리 준군

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1. 개요

리 준군은 리 군을 일반화한 수학적 구조로, 매끄러운 다양체와 관련된 구성 요소들을 포함하며, 리 군의 분류 공간, 체흐 준군, 순서쌍 리 군 등 다양한 예시가 존재한다. 리 준군은 고차 리 준군으로 일반화될 수 있으며, 미분기하학, 특히 가변 사상 군군, 작용 군군, 게이지 군군 등에서 중요한 역할을 한다. 리 군군과 관련된 개념으로는 표현, 미분 코호몰로지, 리 대수다발, 모리타 동치 등이 있으며, 매끄러운 스택 개념의 발전에 영향을 미쳤다.

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리 준군
리 군론
분야	수학
하위 분야	미분기하학, 위상수학, 군론
다른 이름	매끄러운 준군, 미분 준군
예시
예시	기본 준군 위상 군 리 군 쌍대 대상 쌓인 몫
관련 개념
관련 개념	범주론 리 군 미분기하학 스택 준군

2. 정의 및 기본 개념

'''리 준군'''은 매끄러운 다양체의 범주 내에서 정의되는 준군 대상이다. 구체적으로 다음과 같은 데이터와 공리로 구성된다.^[4]
구성 요소:

두 개의 매끄러운 다양체: 객체(대상)의 공간 $M$ (또는 $X_0$ , $G_0$ )과 사상(화살표)의 공간 $G$ (또는 $X_1$ , $G_1$ ).
두 개의 매끄러운 함수이자 전사 침강 사상인 사상 함수:
'''시작점 (source)''' 함수 $s: G \to M$ (또는 $\operatorname{dom}: X_1 \to X_0$ ). 각 사상에 그 시작점 객체를 대응시킨다.
'''도착점 (target)''' 함수 $t: G \to M$ (또는 $\operatorname{codom}: X_1 \to X_0$ ). 각 사상에 그 도착점 객체를 대응시킨다.
합성 (곱셈) 함수: $m: G^{(2)} \to G$ . 여기서 $G^{(2)} = \{ (g,h) \in G \times G \mid s(g)=t(h) \}$ 는 합성이 가능한 사상 쌍 $(g, h)$ (즉, $h$ 의 도착점이 $g$ 의 시작점과 같은 경우)의 부분 공간이며, 이들의 합성을 $gh := m(g,h)$ 로 정의한다. 합성은 매끄러운 함수여야 한다.
항등 사상 함수: $u: M \to G$ (또는 $\operatorname{id}: X_0 \to X_1$ ). 각 객체 $x \in M$ 에 대해 그 객체에서의 항등 사상 $1_x := u(x)$ 를 대응시킨다. 이 함수는 매끄러워야 한다.
역원 함수: $i: G \to G$ . 각 사상 $g \in G$ 에 대해 그 역원 $g^{-1} := i(g)$ 를 대응시킨다. 이 함수는 매끄러워야 한다.

공리:이 구성 요소들은 다음의 준군 공리들을 만족해야 한다.

합성의 정의역과 공역: 합성이 정의되는 모든 $(g, h) \in G^{(2)}$ 에 대해, $s(gh) = s(h)$ 이고 $t(gh) = t(g)$ 이다. (즉, $h: x \to y$ 이고 $g: y \to z$ 이면 $gh: x \to z$ 이다.)
결합 법칙: 합성이 정의되는 모든 $g, h, l \in G$ (즉, $s(g)=t(h)$ 이고 $s(h)=t(l)$ )에 대해, $(gh)l = g(hl)$ 이다.
항등원의 성질: 모든 객체 $x \in M$ 에 대해 $s(1_x) = t(1_x) = x$ 이다. 또한, 모든 사상 $g \in G$ 에 대해 $1_{t(g)} g = g$ 이고 $g 1_{s(g)} = g$ 이다.
역원의 성질: 모든 사상 $g \in G$ 에 대해 $g^{-1} g = 1_{s(g)}$ 이고 $g g^{-1} = 1_{t(g)}$ 이다.

범주론적 관점에서 리 준군은 객체 집합

M

과 사상 집합

G

가 매끄러운 다양체이고, 위에서 정의된 모든 구조 사상(

s, t, m, u, i

)이 매끄러운 함수이며, 추가적으로

s

와

t

가 침강 사상이라는 조건을 만족하는 준군이다. 이 침강 사상 조건 때문에 리 준군은 단순히 매끄러운 다양체의 범주에서의 준군 대상보다 더 강한 구조이다.^[4]

리 준군은 종종 시작점과 도착점 사상을 명시하여

G \rightrightarrows M

으로 표기한다.

리 준군의 개념은 고차원으로 일반화될 수 있다. 예를 들어, '''리 2-준군'''(Lie 2-groupoid^영어), '''리 3-준군'''(Lie 3-groupoid^영어) 등을 정의할 수 있다. 리 2-준군은 2-범주 구조를 가지며, 모든 1-사상과 2-사상이 가역원을 가지고, 0-사상, 1-사상, 2-사상의 모임이 각각 매끄러운 다양체

X_0, X_1, X_2

를 이루며, 구조를 정의하는 모든 사상들이 매끄러운 함수인 경우이다.

역사적으로 Ehresmann의 초기 정의는 현재 사용되는 Pradines의 정의보다 약했으며, 예를 들어 역원 함수

i

의 매끄러움 등을 요구하지 않았다. 현재의 정의는 리 준군과 리 대수층(Lie algebroid) 이론을 원활하게 전개하기 위해 정립되었다.^[4] 일부 저자들은

s

와

t

가 전사 함수일 필요가 없는 더 약한 정의를 사용하기도 하지만^[5], 전사 조건은 이론 전개에 있어 중요한 역할을 한다. 일반적으로 다양체

G

는 하우스도르프 공간이나 제2 가산 공간일 필요는 없지만,

M

은 이러한 조건을 만족하는 것으로 가정하는 경우가 많다.

3. 예시

리 준군 $G \rightrightarrows M$ 의 시작점 사상과 도착점 사상이 매끄러운 침강이라는 사실로부터 다음과 같은 직접적인 결과를 얻을 수 있다.

$s$ -섬유 $s^{-1}(x) \subseteq G$ , $t$ -섬유 $t^{-1}(x) \subseteq G$ , 합성 가능한 사상들의 집합 $G^{(2)} \subseteq G \times G$ 은 부분 다양체이다.
역사상 $i$ 는 미분 동형 사상이다.
단위 사상 $u$ 는 매끄러운 매입이다.
등방성 군 $G_x$ 는 리 군이다.
궤도 $\mathcal{O}_x \subseteq M$ 는 함몰 부분 다양체이다.
점 $x \in M$ 에서의 $s$ -섬유 $s^{-1}(x)$ 는 해당 점에서의 궤도 $\mathcal{O}_x$ 위의 주 $G_x$ -다발이다.

다음은 리 준군의 모리타 동치와 관련된 예시이다.

동형인 리 준군은 자명하게 모리타 동치이다.
두 리 군은 리 군으로서 동형일 경우에만 모리타 동치이다. (리 군은 대상이 하나인 리 준군으로 볼 수 있다.)
두 단위 준군은 그 기저 다양체가 미분 동형일 경우에만 모리타 동치이다.
임의의 추이적(transitive) 리 준군은 그 안정군(stability group)과 모리타 동치이다.
리 준군 $G\rightrightarrows M$ 과 전사적 침강 $\mu: N\to M$ 이 주어졌을 때, 당김 준군(pullback groupoid) $\mu^*G \rightrightarrows N$ 은 원래 준군 $G\rightrightarrows M$ 과 모리타 동치이다.
$G$ 의 $M$ 에 대한 작용이 자유롭고(free) 고유하면(proper) (따라서 몫공간 $M/G$ 가 다양체이다), 작용 준군 $G \times M \rightrightarrows M$ 은 단위 준군 $u(M/G) \rightrightarrows M/G$ 와 모리타 동치이다.
리 준군 $G$ 가 에탈 준군(étale groupoid)과 모리타 동치일 필요충분조건은 $G$ 의 모든 안정군이 이산적인 것이다.

3. 1. 분류 공간

리 군

G

가 주어졌다고 하자. 이를 하나의 대상만을 갖는 자명한 준군으로 여길 수 있으며, 이는 리 준군을 이룬다. 이를

G

와 구별하기 위하여

\operatorname B(G)

로 쓴다. (이에 대응하는 슈발레-에일렌베르크 대수를 설리번 대수로 여기면, 이에 대응하는 위상 공간은

G

의 분류 공간이다.)

만약

G

가 아벨 리 군일 때는, 마찬가지로

\operatorname B^2(G)=\operatorname B(\operatorname B(G))

,

\operatorname B^3(G) = \operatorname B(\operatorname B(\operatorname B(G)))

등등을 정의할 수 있다. 즉,

\operatorname B^k(G)

는 하나의 0-사상, 1-사상, ……, 하나의

k-2

-사상을 가지며, 그

(k-1)

-사상의 매끄러운 다양체는

G

이다.

만약

G

가 아벨 군이 아니라면, 고차에서의 구성에서, 수평 합성이 수직 합성과 아래와 같이 가환해야 한다는 조건이 성립하지 못한다.

2-범주에서의 위쪽 수평 합성	=	2-범주에서의 이중 합성	=	2-범주에서의 왼쪽 수직 합성	$\circ_0$
$\circ_1$
2-범주에서의 아래쪽 수평 합성

3. 2. 체흐 준군

매끄러운 다양체

X

의 열린 덮개

\mathcal U=(U_i)_{i\in I}

가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

\mathcal U

의 '''체흐 준군'''(Čech groupoid^영어)

\operatorname{\check C}(\mathcal U)

은 다음과 같은 리 준군이다.

$\operatorname{\check C}(\mathcal U)$ 의 대상들의 매끄러운 다양체는 $\textstyle\bigsqcup_{i\in I}U_i$ 이다. 즉, 그 대상은 $x\in U_i$ 가 되는 순서쌍 $(x,U_i)$ 이다.
$\operatorname{\check C}(\mathcal U)$ 의 사상들의 매끄러운 다양체는 $\textstyle\bigsqcup_{i,j\in I}U_i\cap U_j$ 이다. 즉, 사상 $(x,U_i)\to (x,U_j)$ 은 순서쌍 $(x,U_i,U_j)$ 이다.
두 사상의 합성은 단순히 $(x,U_j,U_k)\circ(x,U_i,U_j) = (x,U_i,U_k)$ 이다.
항등 사상은 단순히 $(x,U_i,U_i)$ 의 꼴의 사상이다.

그렇다면, 다음과 같은 함자가 존재한다.

:

\operatorname{\check C}(\mathcal U) \to X

:

(x,U_i) \mapsto x

:

(x,U_i,U_j) \mapsto \operatorname{id}_x

(이 함자의 공역은 모든 사상이 항등 사상인 자명한 리 준군이다.)

보다 일반적으로, 임의의 양의 정수

n

에 대하여, 체흐

n

-준군을 정의할 수 있다. 이 경우,

k

-사상의 매끄러운 다양체는

:

\bigsqcup_{i_1,\dotsc,i_k\in I}U_{i_1}\cap\dotsb\cap U_{i_k}

이다.

3. 3. 순서쌍 리 군

임의의 매끄러운 다양체

M

에 대하여, 다음과 같은 '''순서쌍 리 준군'''(pair Lie groupoid^영어)을 정의할 수 있다.

그 대상(0-사상)의 매끄러운 다양체는 $M$ 이다.
1-사상의 매끄러운 다양체는 $M\times M$ 이다.
1-사상 $(x,y)$ , $(y,z)$ 의 합성은 $(x,z)$ 이다.

이에 대응하는 리 준대수는

M

위의 벡터장들의 리 준대수

\mathrm TM

이다.

3. 4. 자명한 경우 및 극단적인 경우

하나의 대상만을 갖는 리 군체 $G \rightrightarrows {*}$ 는 리 군과 동일하다. 이는 리 군의 개념을 군체의 틀 안에서 바라볼 수 있게 해준다.

임의의 매끄러운 다양체 $M$ 에 대해, 쌍 군체(pair groupoid)라 불리는 리 군체 $M \times M \rightrightarrows M$ 를 정의할 수 있다. 이 군체는 $M$ 의 임의의 두 점(대상) $x, y$ 사이에 정확히 하나의 사상 $(x, y)$ 가 존재하도록 구성된다. 즉, 모든 대상 쌍이 연결되어 있다.

임의의 매끄러운 다양체 $M$ 과 리 군 $G$ 가 주어졌을 때, 자명한 군체(trivial groupoid) $M \times G \times M \rightrightarrows M$ 를 생각할 수 있다. 이 군체의 사상은 $(x, g, y)$ 형태이며, 여기서 $x, y \in M$ 이고 $g \in G$ 이다. 구조 사상은 다음과 같이 정의된다.
원본 사상(source map) $s$ : $s(x,g,y) = y$
표적 사상(target map) $t$ : $t(x,g,y) = x$
합성(multiplication) $m$ : $m((x,g,y), (y,h,z)) = (x, gh, z)$ (단, 첫 번째 사상의 원본과 두 번째 사상의 표적이 같아야 함)
항등원 사상(unit map) $u$ : $u(x) = (x, 1, x)$ (여기서 $1$ 은 $G$ 의 항등원)
역원 사상(inverse map) $i$ : $i(x,g,y) = (y, g^{-1}, x)$

쌍 군체는 여기서

G

가 자명군(trivial group)인 특수한 경우로 볼 수 있다.

임의의 매끄러운 다양체 $M$ 에 대해, 단위 군체(unit groupoid) 또는 항등 군체(identity groupoid) $u(M) \rightrightarrows M$ 가 존재한다. 이 군체는 각 대상 $x \in M$ 에 대해 오직 자기 자신으로 가는 항등원 사상 $u(x)$ 만을 가지며, 서로 다른 대상 사이에는 사상이 전혀 없다. 이는 쌍 군체와는 극단적으로 대비되는 경우이다.

더 일반적으로, 원본 사상 $s$ 와 표적 사상 $t$ 가 동일한( $s=t$ ) 리 군체는 리 군들의 다발(bundle of Lie groups)과 동일한 구조를 갖는다. 이는 각 점 $x \in M$ 위에 리 군 $G_x$ 가 놓여 있는 형태로 생각할 수 있으며, 반드시 국소적으로 자명할 필요는 없다. 예를 들어, 모든 벡터 다발은 각 점 위에 아벨 군(벡터 공간)을 가지므로, 이는 아벨 리 군들의 다발이며, 따라서 특별한 종류의 (아벨) 리 군체로 볼 수 있다.

3. 5. 미분기하학에서의 예시

임의의 리 군체 $G \rightrightarrows M$ 와 전사적 부분 침강 $\mu: N \to M$ 이 주어지면, '''당김 군체''' 또는 '''유도 군체'''라 불리는 리 군체 $\mu^*G \rightrightarrows N$ 가 존재한다. 여기서 $\mu^*G \subseteq N \times G \times N$ 는 $s(g)=\mu(y)$ 및 $t(g) = \mu(x)$ 를 만족하는 삼중항 $(x,g,y)$ 을 포함하며, 곱셈은 $G$ 의 곱셈을 사용하여 정의된다. 예를 들어, $M$ 의 쌍 군체의 당김은 $N$ 의 쌍 군체이다.
임의의 두 리 군체 $G_1 \rightrightarrows M_1$ 과 $G_2 \rightrightarrows M_2$ 가 주어지면, '''직접곱'''이라 불리는 리 군체 $G_1 \times G_2 \rightrightarrows M_1 \times M_2$ 가 존재한다.
임의의 리 군체 $G \rightrightarrows M$ 이 주어지면, '''접선 군체'''라 불리는 리 군체 $TG \rightrightarrows TM$ 이 존재한다. 이는 $G$ 와 $M$ 의 접다발 및 구조 사상의 미분을 고려하여 얻어진다.
임의의 리 군체 $G \rightrightarrows M$ 이 주어지면, '''여접선 군체'''라 불리는 리 군체 $T^*G \rightrightarrows A^*$ 가 존재한다. 이는 $G$ 의 여접선 다발, 리 대수 준군 $A$ 의 쌍대 다발 및 좌우 이동의 미분을 포함하는 적절한 구조 사상을 고려하여 얻어진다.
임의의 리 군체 $G \rightrightarrows M$ 이 주어지면, '''제트 군체'''라 불리는 리 군체 $J^k G \rightrightarrows M$ 이 존재한다. 이는 $G$ 의 국소 이중 단면의 k-제트를 고려하여 얻어지며( $s: G \to M$ 의 제트 다발에서 상속된 매끄러운 구조 사용), 구조 사상은 $s(j^k_x b) = x$ , $t(j^k_x b) = t(b(x))$ , $m(j^k_{t(b(x))} b_1, j^k_x b_2) = j^k_x (b_1 \cdot b_2)$ , $u(x) = j^k_x u$ , $i(j^k_x b) = j^k_{t(b(x))} b^{-1}$ 로 설정된다.
주어진 가변 사상 $\mu: M \to N$ 에 대해, '''가변 사상 군군''' 또는 '''섬유 쌍 군군'''이라 불리는 리 군군 $M \times_\mu M := \{ (x,y) \in M \times M \mid \mu(x)=\mu(y) \} \rightrightarrows M$ 이 존재한다. 그 구조 사상은 쌍 군군 $M \times M \rightrightarrows M$ 에서 유도된다. $N$ 이 점이면 쌍 군군을 복구한다.
다양체 $M$ 에 작용하는 리 군 작용을 갖는 리 군 $G$ 가 주어지면, '''작용 군군''' 또는 '''변환 군군'''이라 불리는 리 군군 $G \times M \rightrightarrows M$ 이 존재한다. 각 삼중항 $g \in G, x,y \in M$ 에 대해 $gx = y$ 인 사상 하나가 존재한다.
임의의 벡터 다발 $E\to M$ 이 주어지면, '''일반 선형 군군'''이라 불리는 리 군군 $GL(E) \rightrightarrows M$ 이 존재한다. $x,y \in M$ 사이의 사상은 섬유 $E_x$ 와 $E_y$ 사이의 선형 동형 사상이다. 예를 들어, $E = M \times \mathbb{R}^n$ 이 자명한 벡터 다발이면, $GL(E) \rightrightarrows M$ 은 작용 군군이다.
구조 군 '' $G$ ''를 갖는 모든 주다발 $P\to M$ 은 '''게이지 군군'''이라 불리는 리 군군 $(P\times P)/G \rightrightarrows M$ 을 정의하며, 여기서 '' $G$ ''는 쌍 $(p,q) \in P \times P$ 에 성분별로 작용한다. 곱셈은 쌍 군군에서와 같이 호환 가능한 표현을 통해 정의된다.
다양체 $M$ 위의 모든 엽층 구조 $\mathcal{F}$ 는 리 군군 $\mathrm{Mon}(\mathcal{F}) \rightrightarrows M$ (또는 $\Pi_1(\mathcal{F}) \rightrightarrows M$ )과 $\mathrm{Hol}(\mathcal{F}) \rightrightarrows M$ 을 정의한다. 이들은 각각 $\mathcal{F}$ 의 잎에 완전히 놓여 있는 경로의 호모토피 동치류와 홀로노미 동치류로 구성된 사상을 갖는 '''모노드로미 군군'''(또는 호모토피/기본 군군)과 '''홀로노미 군군'''이다. 예를 들어, $\mathcal{F}$ 가 잎이 하나뿐인 자명한 엽층 구조이면, 각각 $M$ 의 기본 군군과 쌍 군군이 된다. 반면, $\mathcal{F}$ 가 단순 엽층 구조, 즉 가변 사상 $\mu: M \to N$ 의 섬유에 의한 엽층 구조이면, 그 홀로노미 군군은 가변 사상 군군 $M \times_\mu M$ 과 같지만, 모노드로미 군군은 소멸 사이클에 따라 하우스도르프가 아닐 수 있다.^[9] 일반적으로 많은 기본적인 엽층 구조는 하우스도르프가 아닌 모노드로미 및 홀로노미 군군을 발생시킨다.
모든 유사군 $\Gamma \subseteq \mathrm{Diff}_{loc}(M)$ 이 주어지면, '''germ 군군'''이라 불리는 리 군군 $G = \mathrm{Germ}(\Gamma) \rightrightarrows M$ 이 존재한다. 이는 묶음 위상으로 부여되고 제트 군군의 것과 유사한 구조 사상을 갖는다. 이것은 사상 공간이 하우스도르프가 아니며 제2 가산이 아닌 또 다른 자연스러운 리 군군의 예이다.
''M''을 매끄러운 다양체로 하고, $\{U_\alpha\}$ 를 '' $M$ ''의 열린 덮개로 하자. '''체흐 군군''' $G_1\rightrightarrows G_0$ 는 분리합집합 $G_0:=\bigsqcup_\alpha U_\alpha$ 과 $G_1:=\bigsqcup_{\alpha,\beta}U_{\alpha\beta}$ 로 정의되며, 여기서 $U_{\alpha\beta}=U_\alpha \cap U_\beta\subset M$ 이다. 소스 사상과 타겟 사상은 포함 사상 $s:U_{\alpha\beta}\to U_\alpha$ 와 $t:U_{\alpha\beta}\to U_\beta$ 로 정의된다. 체흐 군군은 단위 군군 $M\rightrightarrows M$ 의 명백한 전사적 부분 침강 $p:G_0\to M$ 하에서의 당김 군군이다. 따라서 '' $M$ ''의 서로 다른 열린 덮개와 관련된 체흐 군군은 모리타 동치이다.

4. 중요한 리 군군의 종류

리 군군은 다양한 기준에 따라 분류될 수 있으며, 이러한 분류는 리 군군의 구조적 특징과 응용 분야를 이해하는 데 도움을 준다. 주요 분류 기준으로는 대상들 사이의 연결성을 나타내는 추이성, 위상 공간으로서의 성질을 나타내는 고유성, 국소적 구조와 관련된 에탈성, 작용의 효과와 관련된 유효성, 그리고 원천 사상(source map)의 올(fiber)의 연결성을 나타내는 source-연결성 등이 있다. 각 분류는 리 군군이 가지는 특정 대수적, 위상적, 기하학적 성질을 강조하며, 서로 다른 맥락에서 중요하게 다뤄진다.

4. 1. 추이적 군군

리 군군(Lie groupoid)

G \rightrightarrows M

이 다음의 동치 조건 중 하나를 만족하면 '''추이적'''(transitive)이라고 한다. 과거 문헌에서는 연결(connected)이라고도 불렸다.

궤도(orbit)가 하나뿐이다.
임의의 두 대상(object) 사이에 최소한 하나의 사상(morphism)이 존재한다.
사상 $(s,t): G \to M \times M$ 이 전사 사상(surjective map)이다. 이 사상을 $G \rightrightarrows M$ 의 '''앵커'''(anchor)라고도 부른다.

게이지 군군(Gauge groupoid)은 추이적 리 군군의 대표적인 예시이다. 실제로 모든 추이적 리 군군은 어떤 주다발(principal bundle), 구체적으로는

G_x

-다발

t: s^{-1}(x) \to M

의 게이지 군군과 동형(isomorphic)이다. 여기서

G_x

는 대상

x \in M

에서의 등방군(isotropy group)이다. 추이적 리 군군의 몇 가지 예는 다음과 같다.

자명한 리 군군 $M \times G \times M \rightrightarrows M$ 은 추이적이며, 자명한 주 $G$ -다발 $G \times M \to M$ 에서 발생한다.
특수한 경우로, 리 군 $G \rightrightarrows \{*\}$ (대상이 하나인 경우)와 쌍 군군(pair groupoid) $M \times M \rightrightarrows M$ 은 자명하게 추이적이다. 이들은 각각 주 $G$ -다발 $G \to \{*\}$ 과 주 $\{e\}$ -다발 $M \to M$ (여기서 $e$ 는 항등원)에서 발생한다.
작용 군군(action groupoid) $G \times M \rightrightarrows M$ 은 군 작용(group action)이 추이적인 경우에만 추이적이다. 이 경우, 작용 군군은 임의의 점에서의 등방군을 구조군(structure group)으로 하는 주 다발 $G \to M$ 에서 발생한다.
벡터 다발 $E$ 의 일반 선형 군군(general linear groupoid)은 추이적이며, 틀다발(frame bundle) $Fr(E) \to M$ 에서 발생한다.
$G \rightrightarrows M$ 의 당김 군군(pullback groupoid), 제트 군군(jet groupoid), 접선 군군(tangent groupoid)은 원래의 리 군군 $G \rightrightarrows M$ 이 추이적인 경우에만 추이적이다.

추이적 리 군군과 주 다발 사이의 대응 관계를 보여주는 덜 자명한 예로, 연결된 매끄러운 다양체

M

의 기본 군군(fundamental groupoid)

\Pi_1(M)

을 들 수 있다. 이는 자연스럽게 위상 군군(topological groupoid)이며 추이적이다.

\Pi_1(M)

은

M

의 보편 피복 공간(universal cover)의 게이지 군군과 동형이라는 사실로부터,

\Pi_1(M)

은 리 군군이 되는 매끄러운 구조를 상속받는다.

반면, 침강 군군(submersion groupoid)

M \times_\mu M \rightrightarrows M

은 비추이적 리 군군의 한 예이다. 이 군군의 궤도는 정확히 침강 사상

\mu

의 올(fiber)들이다.

추이성보다 더 강력한 개념으로 국소적 자명성(local triviality)이 있다. 이는 앵커 사상

(s,t): G \to M \times M

이 전사 침강 사상(submersion)일 것을 요구한다. 이 조건이 국소적 자명성이라고 불리는 이유는, 주 다발의 국소적 자명성 정의와 유사하게, 리 군군

G

가 임의의 열린 집합

U \subseteq M

에 대해 자명한 군군

U \times G_x \times U \rightrightarrows U

와 국소적으로 동형이 되기 때문이다.^[6]

만약 군군 공간

G

가 제2 가산 공간(second-countable space)이라면, 추이성은 국소적 자명성을 함축한다. 따라서 이 두 조건은 많은 실제 예에서 동치이지만, 항상 그런 것은 아니다. 예를 들어,

\Gamma

가 추이적 유사군(pseudogroup)일 경우, 그 종자 군군(germ groupoid)

\mathrm{Germ}(\Gamma)

은 추이적이지만 국소적으로 자명하지는 않다.

4. 2. 고유 군군

리 군군(Lie groupoid) G가 주어졌을 때, 사상 (s,t)가 G에서 M과 M의 곱공간(M × M)으로 가는 것을 생각할 수 있다. 이 사상 (s,t)가 고유 사상(Proper map)일 경우, 해당 리 군군 G를 '''고유'''(proper)하다고 정의한다.^[10]

고유 리 군군은 다음과 같은 중요한 특징을 가진다.^[10]

G의 모든 등방성 군(isotropy group)은 콤팩트 공간(Compact space)이다.
G의 모든 궤도(orbit)는 닫힌 부분 다양체이다.
궤도 공간 M/G는 하우스도르프 공간(Hausdorff space)이다.

고유 리 군군의 예시는 다음과 같다.^[10]

리 군은 그 자체가 콤팩트할 때만 고유 리 군군이 된다.
쌍 군군(pair groupoid)은 항상 고유하다.
단위 군군(unit groupoid)은 항상 고유하다.
작용 군군(action groupoid)은 주어진 작용이 고유 작용(Proper group action)일 때만 고유하다.
기본 군군(fundamental groupoid)은 기본군이 유한할 때만 고유하다.

리 군군의 고유성은 리 군의 콤팩트성 개념을 일반화한 것으로 볼 수 있다. 예를 들어, 원천 사상(source map) s가 G에서 M으로 가는 것이 고유하도록 요구하거나(이를 's-고유'라고 부름), 전체 공간 G 자체가 콤팩트하도록 요구하는 조건을 생각할 수도 있다. 하지만 이러한 조건들은 많은 예시와 응용 사례에서 지나치게 엄격한 제약임이 밝혀졌다.^[10] 따라서 리 군군에서는 (s,t) 사상의 고유성을 중요한 기준으로 삼는다.

4. 3. 에탈 군군

리 군군

G

는 다음의 동치 조건 중 하나를 만족하면 '''에탈'''이라고 한다.

$G$ 와 $M$ 의 차원이 같다.
$s$ 는 국소 미분 동형이다.
모든 $s$ -섬유는 이산적이다.

결과적으로,

t

-섬유, 등방군 및 궤도 또한 이산적이 된다.

예를 들어 다음과 같다.

리 군은 이산적인 경우에만 에탈이다.
페어 군군은 에탈이 아니다.
단위 군군은 항상 에탈이다.
작용 군군은 군 $G$ 가 이산적인 경우에만 에탈이다.
유사군의 germ 군군은 항상 에탈이다.

4. 4. 유효 군군

에탈 군은 임의의 두 지역 이분

b_1, b_2

에 대해

t \circ b_1 = t \circ b_2

조건이

b_1 = b_2

를 함의하면 '''유효'''라고 한다. 예를 들어,

리 군은 자명할 때만 유효하다.
단위 군은 항상 유효하다.
작용 군은 $G$ 작용이 자유 작용이고 $G$ 가 이산적일 때 유효하다.

일반적으로, 모든 유효 에탈 군은 어떤 유사군의 싹 군으로 나타난다.^[11] 하지만 에탈 속성을 가정하지 않는 (더 복잡한) 유효성의 정의도 제공될 수 있다.

4. 5. Source-연결 군군

리 군군(Lie groupoid)에서 '''

s

-연결'''이란 모든

s

-섬유가 연결되어 있는 상태를 의미한다. 비슷하게, 모든

s

-섬유가 단순 연결된 경우를 '''

s

-단순 연결''' 군군이라고 하며, 모든

s

-섬유가 k-연결된 경우(즉, 처음

k

개의 호모토피 군이 자명한 경우)를 '''source-

k

-연결''' 군군이라고 한다.

이때, 화살표들의 전체 공간

G

가 반드시 연결되어야 하는 것은 아니다. 하지만 만약

G

가

k

-연결 다양체 위에 정의된 source-

k

-연결 리 군군이라면,

G

자체도 자동으로

k

-연결이 된다.

예를 들면 다음과 같다:

리 군은 $k$ -연결일 때에만 source $k$ -연결이다.
쌍 군군은 $M$ 이 $k$ -연결일 때에만 source $k$ -연결이다.
단위 군군은 항상 source $k$ -연결이다.
작용 군군은 $G$ 가 $k$ -연결일 때에만 source $k$ -연결이다.
모노드로미 군군(따라서 기본 군군)은 source 단순 연결이다.
주다발 $P\to M$ 과 관련된 게이지 군군은 전체 공간 $P$ 가 $k$ -연결일 때에만 source $k$ -연결이다.

5. 추가 관련 개념

리 준군 이론은 다양한 수학적 개념들과 밀접하게 연관되어 있다. 이러한 관련 개념들은 리 준군의 구조를 더 깊이 이해하고 응용하는 데 중요한 역할을 한다.

주요 관련 개념으로는 리 준군의 작용과 주다발 개념이 있으며, 이는 일반적인 리 군의 작용과 주다발 개념을 확장한다. 또한, 벡터 다발에 대한 리 준군의 표현은 리 군의 표현 이론을 일반화하며, 등방군의 표현과 밀접한 관련이 있다.

리 준군의 미분 코호몰로지는 리 군의 미분 가능 코호몰로지 개념을 확장한 것으로, 리 준군의 신경 구조를 이용하여 정의된다. 모든 리 준군에는 연관된 리 대수다발이 존재하며, 이는 리 군-리 대수 대응 관계를 일반화하는 중요한 도구이다.

리 준군 사이의 관계를 이해하는 데에는 동형 사상보다 더 유연한 모리타 동치 개념이 유용하게 사용된다. 모리타 동치는 리 준군의 횡단 기하학적 성질들을 보존하며, 미분 가능 코호몰로지와 같은 중요한 불변량을 가진다. 마지막으로, 리 준군은 매끄러운 스택 이론의 중요한 예시를 제공하며, 이는 궤도 공간의 기하학적 구조를 연구하는 데 핵심적인 역할을 한다.

5. 1. 작용 및 주다발

군군

G \rightrightarrows M

의 집합

P

에 대한 작용은 함수

\mu: P \to M

을 따라 정의된다. 각 사상

g \in G

에 대해

\mu^{-1}(x) \to \mu^{-1}(y), \quad p \mapsto g \cdot p

와 같은 일련의 사상들이 존재한다. 이에 따라, 매끄러운 사상

\mu: P \to M

을 따르는 '''리 군군'''

G \rightrightarrows M

의 다양체

P

에 대한 '''작용'''은

\mu^{-1}(x) \to \mu^{-1}(y)

사상들이 매끄러운 군군 작용으로 구성되는 것을 의미한다. 물론, 모든

x \in M

에 대해 등방성 군

G_x

의 올

\mu^{-1}(x)

에 대한 유도된 매끄러운 작용이 존재한다.

리 군군

G \rightrightarrows M

이 주어지면, '''주

G

-다발'''은

G

-공간

P

와

G

-불변 전사적 침강 사상

\pi: P \to N

으로 구성되며, 다음 조건을 만족한다:

P \times_N G \to P \times_\pi P, \quad (p,g) \mapsto (p,p \cdot g)

위 사상은 미분동형사상이다. 동치이지만 더 복잡한 정의는

G

-값을 갖는 코사이클 또는 국소 자명화를 사용하여 제공할 수 있다.

만약

G

가 한 점 위에 있는 리 군군이라면, 이는 표준적인 리 군 작용과 주다발의 개념을 복원한다. 즉, 일반적인 리 군의 작용과 주다발은 리 군군의 특수한 경우로 이해할 수 있다.

5. 2. 표현

리 준군

G \rightrightarrows M

의 '''표현'''은 벡터 다발

\pi: E \to M

에 대한 리 준군 작용으로 구성된다. 이 작용은 섬유별 선형이어야 한다. 즉, 각 사상

\pi^{-1}(x) \to \pi^{-1}(y)

는 선형 동형사상이다. 동등하게,

E

의 표현은

G

에서 일반 선형 준군

GL(E)

로 가는 리 준군 사상으로 설명될 수 있다.

임의의 섬유

E_x

는 등방군

G_x

의 표현이 된다. 더 일반적으로, 추이적 리 준군의 표현은 연관 다발 구성을 통해 등방군의 표현에 의해 유일하게 결정된다.

리 준군 표현의 예는 다음과 같다.

리 군 $G \rightrightarrows {*}$ (점이 하나인 다양체 위의 준군)의 표현은 표준적인 리 군의 표현과 같다.
쌍 준군 $M \times M \rightrightarrows M$ 의 표현은 자명한 벡터 다발이다.
단위 준군 $M \rightrightarrows M$ 의 표현은 벡터 다발 그 자체이다.
작용 준군 $G \times M \rightrightarrows M$ 의 표현은 $G$ -등변 벡터 다발이다.
기본 준군 $\Pi_1(M)$ 의 표현은 평탄한 접속이 주어진 벡터 다발이다.

리 준군

G \rightrightarrows M

의 표현들의 동형류 집합

\mathrm{Rep}(G)

는 벡터 다발의 직합 및 텐서 곱 연산을 통해 반환의 자연스러운 구조를 가진다.

5. 3. 미분 코호몰로지

리 군에 대한 미분 가능 코호몰로지 개념은 리 군군으로 자연스럽게 일반화된다. 이 정의는 리 군군

G \rightrightarrows M

을 범주로 보고, 그 단순 구조인 신경

N(G)_n = G^{(n)}

을 이용한다.

더 구체적으로, 공간

G^{(n)}

은 합성 가능한

n

개의 사상의 문자열로 구성된다. 즉,

G^{(n)}:= \{ (g_1,\ldots,g_n) \in G \times \ldots \times G \mid s(g_i)=t(g_{i+1}) \quad  \forall i=1,\ldots,n-1 \},

이고, 사상

t^{(n)} = t \circ \mathrm{pr}_1: G^{(n)}\to M, (g_1,\ldots,g_n) \mapsto t(g_1)

을 생각한다.

어떤 표현

E \to M

을 계수로 하는

G \rightrightarrows M

의 '''미분 가능한 ''

n

''-코체인'''은 풀백 벡터 번들

(t^{(n)})^*E \to G^{(n)}

의 매끄러운 단면이다. 이러한 ''

n

''-코체인의 공간을

C^n(G,E)

로 표기하며, 미분

d_n: C^n(G,E) \to C^{n+1}(G,E)

은 다음과 같이 정의된다.

d_n(c)(g_1,\ldots,g_{n+1}):= g_1 \cdot c(g_2,\ldots,g_{n+1}) +\sum_{i=1}^n (-1)^i c (g_1,\ldots, g_i g_{i+1}, \ldots,g_{n+1}) + (-1)^{n+1} c(g_1,\ldots,g_n).

그러면

(C^n (G, E), d^n)

은 코체인 복합체가 되며, 그 코호몰로지는

H^n_d (G, E)

로 표기하고, 이를

E \to M

을 계수로 하는

G \rightrightarrows M

의 '''미분 가능 코호몰로지'''라고 한다. 0차 미분은

d_0(c)(g) = g \cdot c(s(g)) - c(t(g))

이므로, 0차 미분 가능 코호몰로지는 항상

H^0_d (G, E) = \ker(d_0) = \Gamma(E)^G

가 된다.

리 군군

G \rightrightarrows {*}

의 미분 가능 코호몰로지는 리 군

G

의 표준 미분 가능 코호몰로지와 일치한다. 특히, 이산군의 경우에는 일반적인 군 코호몰로지를 얻는다. 반면, 모든 ''정칙'' 리 군군

G \rightrightarrows M

에 대해서는 모든

n > 0

에 대해

H^n_d (G, E) = 0

임이 알려져 있다.^[15]

5. 4. 리 대수다발

모든 리 군군

G \rightrightarrows M

에는 연관된 리 대수다발

A \to M

이 존재한다. 이는 모든 리 군에 리 대수를 연관시키는 것과 유사한 방식으로 구성된다.

리 군군

G \rightrightarrows M

에 연관된 리 대수다발

A \to M

는 다음과 같이 정의된다.

벡터 다발: $A \to M$ 는 시작점 사상( $s: G \to M$ )의 수직 다발(vertical bundle)을 항등원( $u(M) \subset G$ )에 제한한 것이다. 즉, $A = \ker(ds)|_M$ 이다. 여기서 $ds$ 는 $s$ 의 미분을 나타낸다.
리 괄호: 벡터 다발 $A$ 의 단면들의 공간 $\Gamma(A)$ 위에 리 괄호 $[\cdot, \cdot]$ 가 정의된다. 이는 $\Gamma(A)$ 의 원소들을 $G$ 위의 좌불변 벡터장과 동일시하고, 이 벡터장들의 통상적인 리 괄호를 이용하여 정의한다.
앵커 맵: 벡터 다발 사상인 앵커 맵(anchor map) $\rho: A \to TM$ 은 도착점 사상( $t: G \to M$ )의 미분 $dt$ 를 $A$ 에 제한하여 얻어진다. 즉, $\rho = dt|_A$ 이다.

리 군-리 대수 대응 관계는 리 군군과 리 대수다발의 관계에도 어느 정도 일반화될 수 있다. 특히, 리 군론의 처음 두 기본 정리(부분군-부분대수 정리, 준동형 정리)는 리 군군과 리 대수다발의 설정에서도 유사하게 성립한다.

표준 리 이론에서처럼, 모든 s-연결(source-connected) 리 군군

G

에 대해,

G

와 동일한 리 대수다발을 가지는 유일한(동형 사상 아래에서) s-단순 연결(source-simply connected) 리 군군

\tilde{G}

가 존재한다. 또한, 이들 사이에는 군군 사상이면서 국소 미분 동형 사상인

\tilde{G} \to G

가 존재한다. 예를 들면 다음과 같다.

임의의 연결 다양체 $M$ 에 대해, 쌍 군군(pair groupoid) $M \times M$ 은 s-연결이지만 s-단순 연결은 아니다. 반면, $M$ 의 기본 군군(fundamental groupoid) $\Pi_1(M)$ 은 s-단순 연결이다. 이 두 리 군군은 모두 접다발 $TM \to M$ 을 리 대수다발로 가지며, 국소 미분 동형 사상 $\Pi_1(M) \to M \times M$ 은 경로 $\gamma$ 의 호모토피 동치류 $[\gamma]$ 를 그 시작점과 끝점의 쌍 $(\gamma(0),\gamma(1))$ 으로 보내는 사상( $[\gamma] \mapsto (\gamma(0),\gamma(1))$ )으로 주어진다.
$M$ 위의 임의의 엽층 구조 $\mathcal{F}$ 에 대해, 홀로노미 군군(holonomy groupoid) $\mathrm{Hol}(\mathcal{F})$ 는 s-연결이지만 s-단순 연결은 아니다. 반면, 모노드로미 군군(monodromy groupoid) $\mathrm{Mon}(\mathcal{F})$ 은 s-단순 연결이다. 이 두 리 군군은 모두 엽층 구조의 리 대수다발 $\mathcal{F} \to M$ (엽층의 접다발)을 가지며, 국소 미분 동형 사상 $\mathrm{Mon}(\mathcal{F}) \to \mathrm{Hol}(\mathcal{F})$ 는 경로의 호모토피 동치류를 그 홀로노미 동치류로 보내는 사상( $[\gamma] \mapsto [\gamma]$ )으로 주어진다.

그러나 리의 세 번째 정리의 유사체는 일반적으로 성립하지 않는다. 즉, 모든 리 대수다발이 어떤 리 군군으로부터 유도되는 것은 아니다. 적분 가능한(integrable) 리 대수다발도 많지만, 엽층 이론과 관련된 리 대수다발 중에는 이를 적분하는 리 군군이 존재하지 않는 예시도 있다.^[12] 이러한 적분 가능성에 대한 일반적인 장애물은 리 군군

G

의 위상적 성질과 관련이 있다.^[13]

5. 5. 모리타 동치

리 준군 사이의 동형 사상 개념은 표준적이지만, 실제 응용에서는 이보다 더 유연한 '''모리타 동치'''(Morita equivalence)라는 개념이 유용하게 사용된다.

두 리 준군

G_1 \rightrightarrows G_0

와

H_1\rightrightarrows H_0

사이의 '''모리타 사상'''(Morita morphism)은 때때로 약한 동치(weak equivalence) 또는 본질적 동치(essential equivalence)라고도 불린다. 이는 G에서 H로 가는 리 준군 사상 중에서 전체 충실(fully faithful)하고 본질적 전사(essentially surjective)인 특별한 경우를 말한다. 여기서 범주론의 개념들이 매끄러운 다양체의 맥락에 적용된다.

두 리 준군

G_1\rightrightarrows G_0

와

H_1\rightrightarrows H_0

가 '''모리타 동치'''라는 것은, 제3의 리 준군

K_1\rightrightarrows K_0

가 존재하여 G에서 K로 가는 모리타 사상과 H에서 K로 가는 모리타 사상이 모두 존재하는 경우를 의미한다.

모리타 동치를 더 명시적으로 설명하면 다음과 같다(이는 모리타 동치가 동치 관계임을 보이는 데 유용하다). 두 리 준군 G와 H가 모리타 동치이기 위해서는, 어떤 다양체 P와 두 개의 전사서브머전

p_G: P \to G_0

및

p_H: P \to H_0

가 존재해야 한다. 또한, P 위에는 왼쪽 G-작용과 오른쪽 H-작용이 주어져 서로 호환되어야 하며, 이 작용들이 P를 주 이중 다발(principal bibundle)로 만들어야 한다.^[14]

모리타 동치의 주요 예시는 다음과 같다.

서로 동형인 리 준군은 당연히 모리타 동치이다.
두 리 군이 모리타 동치일 필요충분조건은 두 리 군이 서로 동형인 것이다.
두 단위 준군(unit groupoid)이 모리타 동치일 필요충분조건은 그 기저 다양체가 미분 동형인 것이다.
임의의 추이적(transitive) 리 준군은 자신의 안정군(stabilizer group)과 모리타 동치이다.
리 준군 $G\rightrightarrows M$ 과 전사 서브머전 $\mu: N\to M$ 이 주어졌을 때, 풀백 준군(pullback groupoid) $\mu^*G \rightrightarrows N$ 은 원래의 준군 $G\rightrightarrows M$ 과 모리타 동치이다.
리 군 $G$ 가 다양체 $M$ 위에 자유롭고 고유하게(free and proper) 작용하여 몫 $M/G$ 가 다양체가 될 때, 작용 준군(action groupoid) $G \times M \rightrightarrows M$ 은 단위 준군 $u(M/G) \rightrightarrows M/G$ 와 모리타 동치이다.
리 준군 $G$ 가 에탈 준군(étale groupoid)과 모리타 동치일 필요충분조건은 $G$ 의 모든 안정군이 이산적인 것이다.

마지막 예시의 구체적인 경우로 체흐 준군(Čech groupoid)을 들 수 있다. 매끄러운 다양체 ''M''과 그 열린 덮개

\{U_\alpha\}

가 주어졌다고 하자. 체흐 준군

G_1\rightrightarrows G_0

는 대상의 집합

G_0:=\bigsqcup_\alpha U_\alpha

(분리합집합)과 사상의 집합

G_1:=\bigsqcup_{\alpha,\beta}U_{\alpha\beta}

로 정의된다. 여기서

U_{\alpha\beta}=U_\alpha \cap U_\beta\subset M

이다. 소스 사상(source map)

s:U_{\alpha\beta}\to U_\alpha

와 타겟 사상(target map)

t:U_{\alpha\beta}\to U_\beta

는 자연스러운 포함 사상(embedding)으로 정의된다. 곱셈 연산은

U_{\alpha\beta}

안의 점

(x, \alpha, \beta)

와

U_{\beta\gamma}

안의 점

(y, \beta, \gamma)

에 대해

x=y

일 때

(x, \alpha, \gamma)

로 정의되며, 이는

U_{\alpha\gamma}

안의 점이 된다. 이 체흐 준군은 사실 단위 준군

M\rightrightarrows M

을 명백한 서브머전

p:G_0\to M

을 통해 풀백한 것과 같다. 따라서, ''M''의 서로 다른 열린 덮개로부터 구성된 체흐 준군들은 모두 서로 모리타 동치이다.

5. 6. 모리타 불변성

리 군대상(Lie groupoid)의 여러 성질, 예를 들어 고유성, 하우스도르프성, 추이성 등은 모리타 불변이다. 즉, 두 리 군대상이 모리타 동치라면 하나의 군대상이 가지는 이러한 성질을 다른 군대상도 가진다. 반면, 에탈성은 모리타 불변이 아니다.

또한,

G_1\rightrightarrows G_0

와

H_1\rightrightarrows H_0

사이의 모리타 동치는 이들의 ''횡단 기하학''(transverse geometry)을 보존한다. 이는 다음과 같은 중요한 결과를 이끌어낸다.

궤도 공간 $G_0/G_1$ 과 $H_0/H_1$ 사이에 위상동형사상이 존재한다.
모리타 동치에 의해 대응되는 점 $x\in G_0$ 와 $y\in H_0$ 에서의 등방성 군 사이에 군 동형 $G_x\cong H_y$ 가 존재한다.
대응하는 점 $x\in G_0$ 와 $y\in H_0$ 에서의 등방성 군의 법선 표현 사이에 동형 사상 $\mathcal{N}_x\cong \mathcal{N}_y$ 가 존재한다.

마지막으로, 두 모리타 동치 리 군대의 미분 가능 코호몰로지는 동형이다.^[15]

모리타 동치의 몇 가지 예시는 다음과 같다.

동형인 리 군군은 자명하게 모리타 동치이다.
두 리 군은 리 군으로서 동형일 경우에만 모리타 동치이다.
두 단위 군군(unit groupoid)은 기저 다양체가 미분 동형일 경우에만 모리타 동치이다.
임의의 추이적 리 군군은 그 안정군(stability group)과 모리타 동치이다.
리 군군 $G\rightrightarrows M$ 과 전사적 서브머전 $\mu: N\to M$ 이 주어지면, 풀백 군군 $\mu^*G \rightrightarrows N$ 은 $G\rightrightarrows M$ 과 모리타 동치이다.
리 군 $G$ 가 다양체 $M$ 에 자유롭고 고유하게 작용하면 (따라서 몫공간 $M/G$ 는 다양체이다), 작용 군군(action groupoid) $G \times M \rightrightarrows M$ 은 단위 군군 $u(M/G) \rightrightarrows M/G$ 와 모리타 동치이다.
리 군군 $G$ 가 에탈 군군(étale groupoid)과 모리타 동치일 필요충분조건은 $G$ 의 모든 안정군이 이산적인 것이다.

마지막 예시의 구체적인 경우로 체흐 군군(Čech groupoid)을 들 수 있다. ''M''을 매끄러운 다양체라 하고,

\{U_\alpha\}

를 ''M''의 열린 덮개라고 하자. 체흐 군군

G_1\rightrightarrows G_0

는 분리합집합

G_0:=\bigsqcup_\alpha U_\alpha

과

G_1:=\bigsqcup_{\alpha,\beta}U_{\alpha\beta}

로 정의된다. 여기서

U_{\alpha\beta}=U_\alpha \cap U_\beta\subset M

이다. 소스 사상(source map)과 타겟 사상(target map)은 각각 포함 사상

s:U_{\alpha\beta}\to U_\alpha

와

t:U_{\alpha\beta}\to U_\beta

로 정의된다. 곱셈 연산은

U_{\alpha\beta}

를 ''M''의 부분 집합으로 간주하면 자연스럽게 정의된다 (즉,

U_{\alpha\beta}

의 원소

(x, \alpha, \beta)

와

U_{\beta\gamma}

의 원소

(x, \beta, \gamma)

는 ''M'' 안의 같은 점

x

에 대응하며, 이들의 곱은

U_{\alpha\gamma}

의 원소

(x, \alpha, \gamma)

가 된다). 체흐 군군은 사실 단위 군군

M\rightrightarrows M

을 명백한 서브머전

p:G_0\to M

을 통해 풀백하여 얻은 군군이다. 따라서, ''M''의 서로 다른 열린 덮개로부터 구성된 체흐 군군들은 모두 서로 모리타 동치이다.

5. 7. 매끄러운 스택

리 군의 궤도 공간 구조를 조사하는 과정에서 매끄러운 스택이라는 개념이 나왔다. 예를 들어, 등방성 군이 자명한 경우(체흐 군의 예처럼) 궤도 공간은 매끄러운 다양체가 되지만, 일반적으로는 매끄럽지 않은 경우가 많다. 이 문제를 해결하기 위해, 문제를 다른 관점에서 보아 매끄러운 스택을 모리타 동치 부류의 리 군으로 정의한다. 스택에 존재하는 자연스러운 기하학적 대상은 모리타 동치 아래에서도 변하지 않는 리 군에 대한 기하학적 대상이다. 한 가지 예로 리 군 코호몰로지를 들 수 있다.

매끄러운 스택의 개념은 매우 폭넓어서, 모든 매끄러운 다양체는 당연히 매끄러운 스택에 포함된다. 다른 예시로는 오비폴드(고유 에탈 리 군의 동치 부류)와 엽층의 궤도 공간 등이 있다.

참조

_[1] 논문 Groupoids: unifying internal and external symmetry https://www.ams.org/[...] 1996-02-03
_[2] 논문 Catégories topologiques et categories différentiables https://ncatlab.org/[...] CBRM, Bruxelles 1959
_[3] 논문 Catégories structurées http://www.numdam.or[...] 1963
_[4] 논문 Théorie de Lie pour les groupoïdes dif́férentiables. Relations entre propriétés locales et globales https://gallica.bnf.[...] 1966
_[5] 서적 Lie Equations, Vol. I https://www.degruyte[...] Princeton University Press 2016-03-02
_[6] 서적 Lie Groupoids and Lie Algebroids in Differential Geometry https://www.cambridg[...] Cambridge University Press 1987
_[7] 논문 Genus Integration, Abelianization, and Extended Monodromy 2021-06-28
_[8] 논문 Groupoïdes Symplectiques http://www.numdam.or[...] 1987
_[9] 논문 Feuilletages en surfaces, cycles évanouissants et variétés de Poisson https://doi.org/10.1[...] 1997-09-01
_[10] 논문 Poisson manifolds of compact types (PMCT 1) https://www.degruyte[...] 2019-11-01
_[11] 논문 Structures feuilletées et cohomologie à valeur dans un faisceau de groupoïdes https://doi.org/10.1[...] 1958-12-01
_[12] 논문 Suites d'Atiyah et feuilletages transversalement complets https://gallica.bnf.[...] 1985
_[13] 논문 Integrability of Lie brackets 2003-03-01
_[14] 논문 Lie groupoids and their orbispaces http://www.ems-ph.or[...] 2013
_[15] 논문 Differentiable and algebroid cohomology, Van Est isomorphisms, and characteristic classes https://www.ems-ph.o[...] 2003-12-31
_[16] 논문 Foliation Groupoids and Their Cyclic Homology 2001-02-10

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