뫼비우스의 띠

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1. 개요

뫼비우스의 띠는 1858년 독립적으로 발견된 수학적 대상으로, 한 번 꼬인 띠 형태를 갖는다. 3세기 로마 모자이크, 알 자자리의 체인 펌프, 파리의 재봉사 교육 등에서 유사한 형태가 나타났으며, 아우구스트 페르디난트 뫼비우스의 이름에서 유래했다. 뫼비우스의 띠는 단일 경계, 비가향적 곡면 등의 수학적 성질을 가지며, 기계 벨트, 뫼비우스 저항기, 화학 분야 등 다양한 산업 분야에 응용된다. 또한, 예술, 디자인, 건축, 문학, 음악 등 대중문화에서도 순환, 변화 등을 상징하는 모티브로 활용된다.

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뫼비우스의 띠
뫼비우스 띠
뫼비우스 띠
다른 이름	뫼비우스 밴드, 뫼비우스 고리
영어 이름	Möbius strip, Möbius band, Möbius loop
독일어 이름	Möbiusband
발음	"IPA: IPA-en , IPA-en" 발음 참고:
유래	1858년 아우구스트 페르디난트 뫼비우스와 요한 베네딕트 리스팅이 독립적으로 발견
수학적 특성
종류	비가향 곡면
가장자리 개수	1개
면 개수	1개
오일러 지표	0
생성	직사각형을 180도 꼬아 붙여서 생성
위상수학적 성질	비가향성 한쪽 면만 가짐
활용
실생활	컨베이어 벨트, 롤러코스터, 재활용 마크, 무한 잉크 카트리지, 컴퓨터용 프린터 리본
예술	다양한 예술 작품에 영감을 줌
화학	특정 분자 구조 모형에 사용
기타
참고	뫼비우스 띠와 관련된 더 자세한 내용은 수학 프로젝트를 참고 뫼비우스 띠는 비가향 곡면의 대표적인 예시

2. 역사

뫼비우스의 띠는 1858년 독일 수학자 요한 베네딕트 리스팅과 아우구스트 페르디난트 뫼비우스가 독립적으로 발견했다.^[2] 그러나 이 띠는 수학적 발견 이전부터 물리적 대상이나 예술적 묘사로 존재했다. 특히 3세기경 로마 모자이크에서 뫼비우스의 띠와 유사한 형태를 찾아볼 수 있다.

이 모자이크들은 단순히 나선형 리본을 경계로 묘사하는데, 코일의 수가 홀수일 때는 뫼비우스의 띠가 되지만, 짝수일 때는 위상적으로 비틀리지 않은 고리와 동등하다. 따라서 이러한 리본이 뫼비우스의 띠인지 여부는 의도적인 선택이라기보다는 우연에 가깝다.

수학적 발견과는 별개로, 기계공들은 기계 벨트가 뫼비우스의 띠를 형성하면 전체 표면을 사용하므로 벨트의 수명이 늘어난다는 사실을 알고 있었다.

2. 1. 초기 발견

뫼비우스의 띠는 1858년 독일 수학자 요한 베네딕트 리스팅과 아우구스트 페르디난트 뫼비우스가 독립적으로 발견하였다.^[2] 하지만 뫼비우스의 띠는 물리적 대상과 예술적 묘사로는 오래전부터 알려져 있었는데, 특히 3세기경 로마 모자이크 여러 곳에서 볼 수 있다. 많은 경우 이들은 단순히 나선형 리본을 경계로 묘사하는데, 코일의 수가 홀수일 때는 뫼비우스의 띠가 되지만, 짝수일 때는 위상적으로 비틀리지 않은 고리와 동등하다. 따라서 리본이 뫼비우스의 띠인지 여부는 의도적인 선택이라기보다는 우연일 수 있다. 적어도 한 가지 경우에는 서로 다른 색상이 있는 리본이 홀수 개의 코일로 그려져 있어, 색상이 일치하지 않는 지점에서 예술가가 어색한 수정을 해야 했다. 센티눔(그림 참조) 마을의 또 다른 모자이크는 황도대를 신 아이온이 단 한 번만 꼬인 띠로 잡고 있는 모습을 보여준다.

수학과는 별개로, 기계공들은 오랫동안 기계 벨트가 뫼비우스의 띠를 형성하면 전체 표면을 사용하기 때문에 비틀리지 않은 벨트의 안쪽 표면만 사용하는 것보다 절반 정도만 마모된다는 것을 알고 있었다. 또한 이러한 벨트는 옆으로 말리는 경향이 적을 수 있다.

뫼비우스의 띠라는 이름은 독일 수학자 아우구스트 페르디난트 뫼비우스의 이름에서 유래한다. 그는 다면체의 기하학에 관한 파리 과학 아카데미의 현상 문제에 매달리는 과정에서 1865년 「다면체의 체적 결정에 관하여」라는 논문에서 발표했다. 실제로 뫼비우스의 띠를 발견한 것은 1858년으로 여겨지며, 미발표 노트에 뫼비우스의 띠에 대한 내용이 적혀 있다. 같은 1858년, 독일 프랑크푸르트 암 마인의 수학자 요한 베네딕트 리스팅도 별개로 뫼비우스의 띠를 발견하여 노트에 적어 두었고, 논문으로 발표한 것은 뫼비우스보다 4년 앞섰다. 두 수학자가 동시대에 별개로 유사한 개념에 도달한 것은 카를 프리드리히 가우스의 영향 때문일 가능성도 있다.^[2]

2. 2. 고대 묘사

뫼비우스의 띠는 1858년 독일 수학자 요한 베네딕트 리스팅과 아우구스트 페르디난트 뫼비우스에 의해 독립적으로 발견되었지만, 그 이전부터 물리적 대상이나 예술적 묘사로 알려져 있었다. 특히 3세기경 로마 모자이크에서 뫼비우스의 띠와 유사한 형태를 여러 곳에서 찾아볼 수 있다.^[3] 많은 경우 단순히 나선형 리본을 경계로 묘사하는데, 코일의 수가 홀수일 때는 뫼비우스의 띠가 되지만, 짝수일 때는 위상적으로 비틀리지 않은 고리와 같다. 따라서 리본이 뫼비우스의 띠인지 여부는 의도적인 선택이라기보다는 우연일 수 있다. 그러나 최소한 한 가지 경우에는 서로 다른 색상의 리본이 홀수 개의 코일로 그려져 있어, 색상이 일치하지 않는 지점에서 예술가가 수정을 해야 했다.^[3]

센티눔 마을의 또 다른 모자이크는 황도대를 신 아이온이 단 한 번만 꼬인 띠로 잡고 있는 모습을 보여준다. 이러한 천체 시간의 시각적 표현이 의도적으로 뫼비우스 띠를 나타낸 것인지는 명확하지 않다. 황도대의 모든 기호가 띠의 보이는 면에 나타나도록 하기 위한 방법으로 선택되었을 수도 있다.^[4] 우로보로스나 8자형 장식의 다른 고대 묘사도 뫼비우스의 띠를 묘사하는 것으로 추정되지만, 어떤 종류의 띠를 묘사하려고 했는지는 불분명하다.^[4]

2. 3. 산업적 응용

기계공들은 오랫동안 기계 벨트가 뫼비우스의 띠를 형성하면 전체 표면을 사용하기 때문에 비틀리지 않은 벨트의 안쪽 표면만 사용하는 것보다 절반 정도만 마모된다는 것을 알고 있었다. 또한 이러한 벨트는 옆으로 말리는 경향이 적을 수 있다. 이 기술에 대한 초기 서면 설명은 뫼비우스의 띠에 관한 최초의 수학적 출판물 이후인 1871년으로 거슬러 올라간다. 훨씬 이전인 1206년 알 자자리의 작품에 있는 체인 펌프 이미지는 구동 체인에 뫼비우스의 띠 구성을 보여준다. 파리의 재봉사들은 이 표면을 다른 용도로 사용했는데, 구체적인 날짜는 불분명하지만, 초보자들에게 의류에 뫼비우스의 띠를 깃처럼 꿰매도록 함으로써 교육을 시작했다.

띠의 표면을 일반 띠의 2배 활용할 수 있기 때문에 카세트테이프(엔드리스 테이프), 프린터의 잉크 리본 등에 사용되었다. 또한, 연마나 고온의 물체 운반에 사용하는 컨베이어의 벨트를 뫼비우스의 띠 모양으로 하면 접촉면이 2배가 되어 마모가 적어 오래 사용할 수 있다는 장점이 있으며, 1950년대 전후 미국에서 특허를 취득했다.^[15]^[16]

1964년에는 절연체를 뫼비우스의 띠 모양으로 하고 금속박으로 덮은 메비우스 저항기가 발명되었고, 1986년에는 그것을 이용한 메비우스 콘덴서도 특허를 취득했다.^[17]^[16] 둘 다 자기 인덕턴스가 없는 저항, 콘덴서가 된다.

3. 수학적 성질

뫼비우스의 띠는 경계를 가지는 2차원 콤팩트 다양체이며, 비가향적(non-orientable)인 곡면의 대표적인 예시이다. 클라인 병은 두 개의 뫼비우스 띠의 경계를 붙여서 만들 수 있는데, 이는 3차원 유클리드 공간에서는 불가능하다. 실수 사영 평면은 원판의 경계를 따라 뫼비우스 띠의 경계를 붙여서 얻을 수 있다.

뫼비우스의 띠는 비방향성 표면으로, 2차원 물체가 띠를 한 바퀴 돌면 거울상을 가진다. 따라서 뫼비우스의 띠 안에서는 시계 방향이나 시계 반대 방향을 일관되게 정의할 수 없다. 다른 모든 표면은 뫼비우스의 띠를 부분집합으로 가질 때만 비방향성을 가진다.

하나보다 큰 홀수의 반바퀴 비틀림을 가진 뫼비우스의 띠 또는 접착하기 전에 매듭을 지은 뫼비우스의 띠는 2차원 위상 표면으로서 모두 동등하지만, 3차원 공간에 포함된 부분집합으로는 구별된다. 두 개의 뫼비우스의 띠는 중심선이 같은 매듭을 결정하고 같은 수의 비틀림을 가지는 경우에만 3차원 공간에 동등하게 포함된다. 짝수의 비틀림을 가지는 경우에는 환형이라고 하는 다른 위상 표면을 얻는다.

뫼비우스의 띠 가장자리를 따라 경로를 따라가면 가장자리의 시작점으로 돌아올 때까지 모든 경계점을 포함하는 하나의 연속적인 곡선이 된다. 직사각형을 붙이고 비틀어 만든 뫼비우스의 띠의 경우, 그 길이는 띠 중심선의 두 배이다. 이러한 의미에서 뫼비우스의 띠는 비틀리지 않은 고리와는 다르고, 하나의 경계만 갖는 원형 디스크와 같다.

뫼비우스의 띠는 중심선의 점을 고정한 상태에서 폭을 좁히면 중심선으로 연속적으로 변환될 수 있다. 이는 변형 수축의 한 예이며, 뫼비우스의 띠가 위상적으로 원인 중심선과 같은 많은 성질을 가지고 있음을 의미한다.

3. 1. 기본적인 정의

뫼비우스 띠는 몇 가지 흥미로운 성질을 가진다. 띠의 중심을 따라 이동하면 출발한 곳과 반대면에 도달하며, 계속 나아가면 두 바퀴를 돌아 처음 위치로 돌아온다. 이러한 연속성 때문에 뫼비우스 띠는 단일 경계를 가진다.^[3]

뫼비우스 띠는 비방향성 표면이다. 띠 위에서 2차원 물체가 한 바퀴 돌면 거울상이 된다.^[4] 이는 뫼비우스 띠 안에서 시계 방향, 시계 반대 방향을 일관되게 정의할 수 없음을 의미한다. 뫼비우스 띠는 가장 단순한 비방향성 표면이며, 다른 모든 표면은 뫼비우스 띠를 부분집합으로 가질 때만 비방향성을 가진다.

유클리드 공간에 포함될 때 뫼비우스 띠는 한쪽 면만 가진다. 3차원 물체가 띠 표면을 한 바퀴 돌면 거울상이 되지 않고 같은 지점으로 돌아오는데, 이는 국소적으로는 다른 면처럼 보이지만 실제로는 단일 면의 일부임을 보여준다.

뫼비우스 띠의 가장자리를 따라가면 모든 경계점을 포함하는 하나의 연속적인 곡선이 된다. 이 길이는 띠 중심선의 두 배이다. 뫼비우스 띠는 비틀리지 않은 고리와 달리 하나의 경계만 갖는 원형 디스크와 같다. 유클리드 공간에서 뫼비우스 띠는 움직이거나 늘려서 거울상으로 만들 수 없다. 오른손잡이 또는 왼손잡이로 되는 카이랄 객체이다.

뫼비우스의 띠는 중심선의 점을 고정한 상태에서 폭을 좁히면 중심선으로 연속적으로 변환될 수 있다. (변형 수축) 이는 뫼비우스의 띠가 위상적으로 원인 중심선과 같은 많은 성질을 가지고 있음을 의미한다. 특히, 기본군은 원의 기본군과 같은 무한 순환군이다. 따라서 뫼비우스 띠의 경로는 띠를 도는 횟수에 따라서만 위상적으로 구별될 수 있다.

수학적으로 뫼비우스의 띠는 연결·컴팩트하며 방향이 없는 종수 1·경계 성분 수 1의 2차원 다양체(곡면)이다.^[3]

3. 2. 매개변수 표현

Möbius strip^영어를 매개변수로 표현하는 한 가지 방법은 다음과 같다.^[4]

:

x(u,v)= \textstyle \left(1+\frac{1}{2}v \cos \frac{1}{2}u\right)\cos u

:

y(u,v)= \textstyle \left(1+\frac{1}{2}v\cos\frac{1}{2}u\right)\sin u

:

z(u,v)= \textstyle \frac{1}{2}v\sin \frac{1}{2}u

이때,

0 \le u < 2\pi, -1 \le v \le 1

이다. 이것은 ''xy''평면 위에 있는 반지름이 1인 중심원 위에 놓인 너비가 1인 뫼비우스 띠를 만든다. 변수 ''u''는 뫼비우스의 띠를 돌고, ''v''는 모서리 사이를 움직인다.

수학적으로 뫼비우스의 띠는 매개변수 ''r'', ''t'' (-1≦''r''≦1, 0≦''t''≦π)를 사용하면 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

x = (r\cos{t}+2)\cos{2t} \,

:

y = (r\cos{t}+2)\sin{2t} \,

:

z =  r\sin{t} \,

3. 3. 위상수학적 정의

정사각형을 비틀어 뫼비우스 띠로 만들면 모서리 A의 화살표 방향이 같게 되도록 만나게 된다.

위상수학에서 뫼비우스의 띠는 정사각형 [0,1] × [0,1]에서 위쪽 모서리와 아래쪽 모서리가 0 ≤ x ≤ 1에서 (x, 0) ~ (1 − x, 1)로 동치 관계(Equivalence relation)를 주어서 정의한다.^[8]^[9]

뫼비우스의 띠는 경계를 가지는 2차원 콤팩트 다양체(compact manifold with boundary)이다. 또한 비가향적(non-oriantable)인 곡면으로 가장 유명한 예이다.

위상기하학적으로 뫼비우스의 띠는 연결·컴팩트이며 방향이 없는 종수 1·경계 성분 수 1의 2차원 다양체(곡면)이다. 방향이 없다는 것은 앞면과 뒷면을 구분할 수 없다는 것을 의미한다(단측성이라고도 한다).^[3] 일반적인 뫼비우스의 띠는 반 회전의 비틀림을 한 번만 넣은 것을 생각하지만, 홀수 번의 반 회전을 넣은 띠는 모두 동상이다.

3. 4. 절단

뫼비우스의 띠는 띠의 중심을 따라 자를 때 흥미로운 성질을 보인다.

중심선 절단: 뫼비우스의 띠를 중심선을 따라 자르면, 두 개의 띠로 분리되지 않고 하나의 긴 띠가 된다. 이 띠는 720°(네 번의 반 바퀴) 꼬여 있으며, 앞면과 뒷면이 구분되는, 즉 뫼비우스의 띠가 아닌 띠가 된다.^[11] 뫼비우스의 띠는 경계가 하나뿐이므로, 자르면 두 번째 경계가 생긴다.
1/3 지점 절단: 띠 너비의 1/3 지점을 따라 자르면, 두 개의 연결된 띠가 생긴다. 하나는 원래 뫼비우스의 띠와 같은 길이, 1/3 너비의 뫼비우스의 띠이고, 다른 하나는 원래 띠의 두 배 길이, 1/3 너비의 720° 꼬인 띠이다. 이 두 띠는 홉프 링크처럼 얽혀 있다.^[13]
일반화: 180°(한 번의 반 바퀴) 꼬아 만든 뫼비우스 띠를 n회(n은 홀수) 꼬인 띠를 중심선을 따라 자르면 토러스 매듭(2, n) 모양의 띠가 만들어진다. 여기에는 2n+1번의 꼬임이 있다. 예를 들어 540° 꼬아 만든 뫼비우스의 띠를 중심선을 따라 자르면, 삼엽매듭 모양의 띠가 생긴다.^[14]
파라드로믹 링: 잘린 띠에 더 꼬임을 주고, 양쪽 끝을 다시 연결하면 Anel paradrômico|파라드로믹 링^pt이라는 띠가 된다.^[12]

이러한 현상은 직관에 반하는 결과로, 마술 공연에 사용되기도 한다.^[11]

다음은 꼬임수에 따른 절단 결과이다.

꼬임수 (반 바퀴 기준)	2등분 시	3등분 시
1	4번 꼬인 띠 (1개)	4번 꼬인 큰 띠 1개, 1번 꼬인 띠 1개 (연결됨)
2	2번 꼬인 띠 (2개)	2번 꼬인 띠 (3개)
3	8번 꼬인 띠 (1개)	8번 꼬인 큰 띠 1개, 3번 꼬인 띠 1개
4	4번 꼬인 띠 (2개)	4번 꼬인 띠 (3개)

3. 5. 그래프 이론

뫼비우스의 띠는 그래프 이론에서도 여러 흥미로운 연결점을 갖는다.

티체의 그래프는 뫼비우스의 띠를 여섯 개의 서로 인접한 영역으로 나눈 형태를 나타낸다. 이는 뫼비우스의 띠 표면의 지도가 평면에서의 네 색 정리와 달리 여섯 가지 색을 필요로 할 수 있음을 보여준다.^[8] 여섯 개의 색이면 항상 충분하며, 이는 각 위상 표면에 필요한 색상 수를 나타내는 링겔-영스 정리의 일부이다.^[9] 이 여섯 영역의 모서리와 꼭짓점은 티체의 그래프를 형성하는데, 이는 여섯 개의 꼭짓점을 가진 완전 그래프에 대한 이 표면의 이중 그래프이지만 평면에서는 교차 없이 그릴 수 없다.^[8]

뫼비우스의 띠에 포함될 수 있지만 평면에는 포함될 수 없는 또 다른 그래프 집합은 뫼비우스 사다리이다. 이는 뫼비우스의 띠를 끝에서 끝까지 만나는 직사각형으로 세분한 경계이다.^[10] 여기에는 3개의 공익 시설 문제 해결에 사용되는 유틸리티 그래프(여섯 개의 꼭짓점을 가진 완전 이분 그래프)가 포함된다. 뫼비우스의 띠에 대한 포함은 평면과 달리 투명한 뫼비우스 띠에서 이 문제를 해결할 수 있음을 보여준다.^[11]

뫼비우스의 띠의 오일러 특성은 0이다. 즉, 꼭짓점(

V

), 모서리(

E

), 영역(

F

)의 수에 대해

V - E + F = 0

이 성립한다. 예를 들어, 티체의 그래프는 12개의 꼭짓점, 18개의 모서리, 6개의 영역을 가지므로

12 - 18 + 6 = 0

이다.^[12]

4. 뫼비우스 띠의 다양한 구성 방법

뫼비우스 띠는 다음과 같은 다양한 방법으로 구성할 수 있다.

선분 스위핑: 회전하는 평면에서 회전하는 선분을 이용하여 뫼비우스 띠를 만들 수 있다. 이를 선분 스위핑이라고 한다.
다면체 표면 및 평면 접기: 종이띠를 60° 각도로 접어 중심선이 정삼각형을 따라 놓이도록 하고 양 끝을 연결하여 평면에서 평평하게 접힌 뫼비우스 띠를 형성할 수 있다.
매끄럽게 삽입된 사각형: 종횡비가 $\sqrt 3 \approx 1.73$ 보다 큰 종이 직사각형의 양 끝을 연결하여 만든 뫼비우스 띠는 3차원 공간에 매끄럽게 삽입될 수 있다.
경계를 원형으로 만들기: 뫼비우스 띠의 가장자리는 원과 위상적으로 동등하므로, 띠 전체를 늘려 가장자리를 완벽한 원형으로 만들 수 있다.
상수 곡률 표면: 뫼비우스 띠는 가우스 곡률이 양수, 음수, 또는 0이 될 수 있는 다양한 리만 기하학을 가질 수 있다.
선들의 공간: 평면의 직선들의 집합은 각 직선을 이 공간의 한 점으로 나타내어 매끄러운 공간의 구조를 가질 수 있는데, 이렇게 만들어지는 직선들의 공간은 열린 뫼비우스 띠와 위상적으로 동치이다.

4. 1. 선분 스위핑

뫼비우스의 띠는 회전하는 평면에서 회전하는 선분을 이용하여 만들 수 있다. 이 과정을 선분 스위핑이라고 한다.

수학적으로 뫼비우스 띠는 매개변수 곡면으로 표현할 수 있다. u, v (0 ≤ v < 2π, -1 ≤ u ≤ 1) 두 매개변수를 사용하여, 직교 좌표계에서 다음과 같이 나타낼 수 있다.

x = (1 + (u/2)cos(v/2))cos(v)
y = (1 + (u/2)cos(v/2))sin(v)
z = (u/2)sin(v/2)

이는 플뤼커의 코노이드의 한 예시이기도 하다.

4. 2. 다면체 표면 및 평면 접기

종이띠를

60^\circ

각도로 접어 중심선이 정삼각형을 따라 놓이도록 하고 양 끝을 연결하여 평면에서 평평하게 접힌 뫼비우스의 띠를 형성할 수 있다. 이것이 가능한 가장 짧은 띠는 두 삼각형이 만나는 모서리에서 접힌 세 개의 정삼각형으로 구성된다. 종횡비( 띠의 길이와 너비의 비율 )는

\sqrt 3\approx 1.73

이며, 같은 접는 방법은 더 큰 종횡비에도 적용된다. 아홉 개의 정삼각형으로 된 띠의 경우, 결과는 삼육각형이 되며, 이것은 표면의 다른 부분을 드러내도록 구부릴 수 있다. 이 방법을 직접 적용하기에는 너무 짧은 띠의 경우, 먼저 짝수 개의 접힘을 사용하여 띠의 폭 방향으로 앞뒤로 "아코디언 접기"를 할 수 있다. 예를 들어 두 번 접으면

1\times 1

띠는 단면이 'N'자 모양인

1\times \tfrac{1}{3}

접힌 띠가 되며, 반 바퀴 꼬인 후에도 'N'자 모양을 유지한다. 더 좁은 아코디언 접힌 띠는 더 긴 띠와 같은 방식으로 접고 연결할 수 있다.

4. 3. 매끄럽게 삽입된 사각형

종이띠를

60^\circ

각도로 접어 중심선이 정삼각형을 따라 놓이도록 하고 양 끝을 연결하여 평면에서 평평하게 접힌 뫼비우스의 띠를 형성할 수 있다. 종횡비 (즉, 띠의 길이와 너비의 비율)는

\sqrt 3\approx 1.73

이며, 같은 접는 방법은 더 큰 종횡비에도 적용된다. 아홉 개의 정삼각형으로 된 띠의 경우, 결과는 삼육각형이 되며, 이것은 표면의 다른 부분을 드러내도록 구부릴 수 있다. 이 방법을 직접 적용하기에는 너무 짧은 띠의 경우, 먼저 짝수 개의 접힘을 사용하여 띠의 폭 방향으로 앞뒤로 "아코디언 접기"를 할 수 있다. 예를 들어 두 번 접으면

1\times 1

띠는 단면이 'N'자 모양인

1\times \tfrac{1}{3}

접힌 띠가 되며, 반 바퀴 꼬인 후에도 'N'자 모양을 유지한다. 더 좁은 아코디언 접힌 띠는 더 긴 띠와 같은 방식으로 접고 연결할 수 있다.

뫼비우스의 띠는 공간에 다면체 표면으로 포함되거나 평면에 평평하게 접힐 수 있으며, 다섯 개의 삼각형 면이 다섯 개의 꼭짓점을 공유한다. 이러한 의미에서 원기둥보다 간단한데, 원기둥은 단순 복합체로 더 추상적으로 표현하더라도 여섯 개의 삼각형과 여섯 개의 꼭짓점이 필요하다. 다섯 개의 삼각형으로 된 뫼비우스의 띠는 4차원 정규 단체의 열 개의 정삼각형 중 다섯 개로 가장 대칭적으로 나타낼 수 있다. 이 4차원 다면체 뫼비우스의 띠는 유일한 "타이트" 뫼비우스의 띠로, 완전히 4차원이며, 모든 초평면에 의한 절단이 원판이나 원과 위상적으로 동등한 두 부분으로 분리하는 띠이다.

뫼비우스의 띠의 다른 다면체 포함에는 면으로 네 개의 볼록 사각형을 사용하는 것, 세 개의 비볼록 사각형 면을 사용하는 것, 그리고 정팔면체의 꼭짓점과 중심점을 사용하고 삼각형 경계를 사용하는 것이 포함된다. 사영 평면의 모든 추상 삼각분할은 면 중 하나를 제거한 후 삼각형 경계를 가진 다면체 뫼비우스의 띠로 3D에 포함될 수 있다. 예를 들어, 다섯 개의 꼭짓점 뫼비우스의 띠에 한 개의 꼭짓점을 추가하고 경계 모서리 각각에 삼각형으로 연결하여 얻은 여섯 개의 꼭짓점 사영 평면이 있다. 그러나 뫼비우스의 띠의 모든 추상 삼각분할이 다면체 표면으로 기하학적으로 표현될 수 있는 것은 아니다. 실현 가능하려면 삼각분할에 서로소인 두 개의 비수축 가능한 3-사이클이 없어야 한다.

종이 직사각형의 양 끝을 연결하여 만든 직사각형 뫼비우스의 띠는, 가로 세로 비가

\sqrt 3 \approx 1.73

보다 클 때 3차원 공간에 매끄럽게 삽입될 수 있다. 이는 평평하게 접힌 정삼각형 버전의 뫼비우스의 띠와 같다. 이 평평한 삼각형 삽입은 3차원에서 매끄러운 삽입으로 이어질 수 있으며, 여기서 띠는 세 개의 평행 평면 사이에 세 개의 원통형 롤러에 평평하게 놓여 있고, 각 롤러는 두 개의 평면에 접한다. 수학적으로, 매끄럽게 삽입된 종이 시트는 전개 가능면으로 모델링될 수 있으며, 구부릴 수 있지만 늘어날 수 없다. 가로 세로 비가

\sqrt 3

에 가까워짐에 따라, 모든 매끄러운 삽입은 동일한 삼각형 형태에 접근하는 것으로 보인다.

아코디언처럼 접힌 평평한 뫼비우스의 띠의 세로 방향 주름은 층이 서로 분리되고 주름지거나 늘어나지 않고 매끄럽게 구부러지는 3차원 삽입을 형성하는 것을 방지한다. 평평하게 접힌 경우와 달리, 매끄러운 직사각형 뫼비우스의 띠의 가로 세로 비에는 하한이 있다. 자기 교차가 허용되더라도 가로 세로 비는

\pi/2 \approx 1.57

보다 작을 수 없다. 자기 교차하는 매끄러운 뫼비우스의 띠는 이 경계보다 큰 모든 가로 세로 비에 대해 존재한다. 자기 교차가 없다면, 가로 세로 비는 최소

\frac{2}{3}\sqrt{3+2\sqrt3}\approx 1.695

여야 한다.

\sqrt 3

와

\frac{2}{3}\sqrt{3+2\sqrt3}\approx 1.695

사이의 가로 세로 비에 대해, 자기 교차 없이 매끄러운 삽입이 존재하는지 여부는 미해결 문제였다. 2023년, 리처드 슈워츠는 그렇지 않다는 증명을 발표했지만, 이 결과는 아직 동료 검토와 출판을 기다리고 있다. 매끄러움의 요구 사항이 연속적으로 미분 가능한 곡면을 허용하도록 완화되면, 내시-쿠이퍼 정리는 가로 세로 비가 아무리 작아도 모든 직사각형의 두 반대쪽 모서리를 접착하여 삽입된 뫼비우스의 띠를 형성할 수 있음을 의미한다. 두 평행선 사이의 평면의 무한한 띠에서 얻은 극한 경우의 곡면은 반대 방향으로 접합된 곡면이며, '무한 뫼비우스의 띠' 또는 실수 자명 선다발이라고 한다. 3차원 공간에 매끄럽게 닫힌 삽입은 없지만, 4차원 유클리드 공간의 닫힌 부분 집합으로 매끄럽게 삽입될 수 있다.

직사각형으로 붙인 매끄러운 뫼비우스의 띠의 최소 에너지 모양은 알려진 해석적 설명이 없지만, 수치적으로 계산할 수 있으며, 1930년 마이클 사도우스키의 초기 연구 이후 판 이론에서 많은 연구가 진행되었다. 직사각형 전개 가능 뫼비우스 띠를 포함하는 대수 곡면을 찾는 것도 가능하다.

4. 4. 경계를 원형으로 만들기

뫼비우스 띠의 가장자리(경계)는 원과 위상적으로 동등하다. 일반적인 뫼비우스 띠는 원과 모양이 다르지만, 매듭이 없는 상태이므로 스스로 교차하지 않고 전체 띠를 늘려 가장자리를 완벽하게 원형으로 만들 수 있다. 이러한 예 중 하나는 클라인 병의 위상에 기반한 것이다. 클라인 병은 경계가 없는 단측면으로 3차원 공간에 매립될 수 없지만, 침지될 수 있다(표면이 특정 제한된 방식으로 스스로 교차하도록 허용). 클라인 병은 두 개의 뫼비우스 띠를 가장자리에서 가장자리까지 붙였을 때 생성되는 표면이며, 이 과정을 반대로 하면 클라인 병을 신중하게 선택한 절단선을 따라 절단하여 두 개의 뫼비우스 띠를 만들 수 있다. 로슨의 클라인 병으로 알려진 클라인 병의 형태에서 절단되는 곡선을 원형으로 만들 수 있으며, 이는 원형 가장자리를 가진 뫼비우스 띠를 생성한다.

로슨의 클라인 병은 4차원 공간의 단위 초구에서 스스로 교차하는 극소곡면이며, 다음 형태의 점들의 집합이다.

:

(\cos\theta\cos\phi,\sin\theta\cos\phi,\cos2\theta\sin\phi,\sin2\theta\sin \phi)

(

0\le\theta<\pi,0\le\phi<2\pi

)에 대해. 이 클라인 병의 절반, 즉

0\le\phi<\pi

인 부분집합은 초구에 대원을 경계로 하는 극소곡면으로 매립된 뫼비우스 띠를 제공한다. 이 매립은 위상학자 Sue Goodman과 Daniel Asimov이 1970년대에 발견했기 때문에 때때로 "수단 뫼비우스 띠"라고 불린다. 기하학적으로 로슨의 클라인 병은 3구에서 대원을 대원 운동으로 쓸어서 구성할 수 있으며, 수단 뫼비우스 띠는 원 대신 반원을 쓸어서, 또는 동등하게 쓸린 원들에 모두 수직인 원을 따라 클라인 병을 절단하여 얻을 수 있다. 입체 투영은 이 모양을 3차원 구면 공간에서 3차원 유클리드 공간으로 변환하여 경계의 원형을 보존한다. 가장 대칭적인 투영은 각 반원의 중간점을 통과하는 대원에 있는 투영점을 사용하여 얻지만, 투영점을 중심선에서 제거한 무한한 매립을 생성한다. 대신 수단 뫼비우스 띠를 3구에 투영하지 않고 그대로 두면 직교군과 동형인 무한한 대칭군을 갖게 되며, 이는 원의 대칭군이다.

열린 바닥을 가진 크로스캡의 개략적인 묘사. 레벨 집합을 보여준다. 이 표면은 수직 선분을 따라 스스로 교차한다.

수단 뫼비우스 띠는 표면이 스스로 교차하지 않으려면 불가피하게 경계 원의 모든 쪽으로 확장된다. '''크로스캡''' 또는 '''크로스캡'''이라고 하는 또 다른 형태의 뫼비우스 띠는 원형 경계를 가지지만, 그 외에는 이 원의 평면의 한쪽에만 머물러 있으며, 다른 표면의 원형 구멍에 부착하는 데 더 편리하다. 그렇게 하기 위해 스스로 교차한다. 이것은 반구의 상단에서 사각형을 제거하고, 사각형의 가장자리를 번갈아 가며 방향을 정한 다음, 이 방향과 일치하도록 반대쪽 쌍의 가장자리를 붙여서 형성할 수 있다. 두 쌍의 붙인 가장자리로 형성된 표면의 두 부분은 핀치 포인트로 서로 교차하며, 휘트니 우산과 같이 교차하는 세그먼트의 각 끝에 있으며, 플뤼커의 코노이드에서 볼 수 있는 것과 같은 위상 구조를 갖는다.

4. 5. 상수 곡률 표면

뫼비우스의 띠는 가우스 곡률이 양수, 음수, 또는 0이 될 수 있는 다양한 리만 기하학을 가질 수 있다. 음수 및 영의 곡률을 갖는 경우는 모든 측지선(곡면의 "직선")이 어느 방향으로든 무한히 연장될 수 있는 측지적으로 완전한 곡면을 형성한다.

; 영 곡률

영 곡률을 갖는 열린 뫼비우스 띠는 두 평행선 사이의 평면 띠의 반대쪽을 붙여서 구성할 수 있다. 이는 열린 뫼비우스의 띠를 (측지적으로) 완전한 평평한 곡면(즉, 모든 곳에서 가우스 곡률이 0)으로 만든다. 이 곡면은 평면의 몫공간이며, 미끄럼 반사이고, (평면, 원기둥, 토러스, 클라인 병과 함께) 5개의 2차원 완전 평평한 다양체 중 하나이다.

; 음수 곡률

열린 뫼비우스의 띠는 일정한 음의 곡률을 갖는 완전한 메트릭을 가질 수 있다. 쌍곡 평면의 상반평면 모형에서, 두 개의 중첩된 반원 사이의 부분 집합을 취하고 바깥쪽 반원을 안쪽 반원의 좌우 반전과 동일하게 생각하면, 위상적으로 일정한 음의 곡률을 갖는 완전하고 비압축적인 뫼비우스의 띠가 된다.

; 양수 곡률

일정한 양수 곡률을 갖는 뫼비우스의 띠는 완전할 수 없다. 일정한 양수 곡률을 갖는 유일한 완전한 곡면은 구와 사영 평면이기 때문이다. 그러나 열린 뫼비우스의 띠는 일점 천공된 사영 평면과 동상이므로, 어떤 의미에서는 완전한 곡면이 되기까지 단 한 점만 남았다고 볼 수 있다.

극소 곡면은 일정한 영 평균 곡률을 갖는 것으로, 1982년 윌리엄 해밀턴 미크스 3세가 발견한 미크스 뫼비우스 띠가 그 예시이다.

4. 6. 선들의 공간

평면의 직선들의 집합은 각 직선을 이 공간의 한 점으로 나타내어 매끄러운 공간의 구조를 가질 수 있다. 이렇게 만들어지는 직선들의 공간은 열린 뫼비우스의 띠와 위상적으로 동치이다. 이를 이해하는 한 가지 방법은 유클리드 평면에 무한원점의 직선을 하나 더 추가하여 실사영평면으로 확장하는 것이다. 사영쌍대성에 의해 사영평면의 직선 공간은 그 점 공간, 즉 사영평면 자체와 동치이다. 유클리드 직선의 공간을 만들기 위해 무한원점의 직선을 제거하면 이 사영선들의 공간에 구멍이 생긴다. 따라서 유클리드 직선들의 공간은 구멍이 뚫린 사영평면이며, 이는 열린 뫼비우스의 띠의 한 형태이다. 쌍곡평면의 직선들의 공간은 원 위의 서로 다른 두 점의 비순서쌍으로 매개변수화할 수 있으며, 이는 각 직선의 무한원점에서의 점 쌍이다. 이 공간 역시 열린 뫼비우스의 띠와 위상이 같다.

이러한 직선들의 공간은 매우 대칭적이다. 유클리드 직선의 대칭성에는 아핀변환이 포함되며, 쌍곡선 직선의 대칭성에는 뫼비우스 변환이 포함된다. 아핀변환과 뫼비우스 변환은 모두 6차원 리 군을 형성하는데, 이는 대칭의 합성을 설명하는 호환 가능한 대수 구조를 갖는 위상 공간이다. 평면의 모든 직선은 다른 모든 직선과 대칭이기 때문에 열린 뫼비우스의 띠는 동차공간이며, 모든 점을 다른 모든 점으로 보내는 대칭성을 갖는 공간이다. 리 군의 동차공간을 가용다양체라고 하며, 뫼비우스의 띠는 모든 가용다양체가 영다양체가 아니며, 모든 가용다양체가 직적으로 컴팩트한 가용다양체와

\mathbb{R}^n

으로 인수분해될 수 없다는 것을 보여주는 반례로 사용될 수 있다. 이러한 대칭성은 이러한 리 군의 '군 모델'로서 뫼비우스의 띠 자체를 구성하는 또 다른 방법을 제공한다. 군 모델은 리 군과 그 작용의 안정화 부분군으로 구성된다. 부분군의 잉여류를 점으로 축소하면 기저가 되는 동차공간과 같은 위상을 갖는 공간이 생성된다. 유클리드 직선의 대칭성의 경우,

x

축의 안정화자는 축을 자기 자신으로 보내는 모든 대칭으로 구성된다. 각 직선

\ell

는

\ell

을

x

축으로 사상하는 대칭의 집합인 잉여류에 해당한다. 따라서 몫공간(잉여류당 한 점을 가지고 대칭 공간으로부터 위상을 상속받는 공간)은 직선 공간과 동일하며, 다시 열린 뫼비우스의 띠가 된다.

5. 응용

뫼비우스 띠는 일상 생활과 과학 기술 분야에서 다양하게 응용된다. 그 예시는 다음과 같다.

그래핀 리본: 뫼비우스 띠 모양으로 꼬인 그래핀 리본은 새로운 전자적 특성을 보인다.
뫼비우스 방향족성: 유기 화합물 중에는 분자 구조가 뫼비우스 띠 패턴으로 정렬된 분자 궤도를 가진 고리 형태가 있는데, 이를 뫼비우스 방향족성이라 한다.
뫼비우스 저항: 자체 자기 인덕턴스를 상쇄하는 전도성 물질 띠이다.
공진기: 소형 설계에서 선형 코일의 절반인 공진 주파수를 갖는 공진기가 있다.
q-플레이트: q-플레이트에서 나오는 빛의 편광 패턴을 조절하는 데 사용된다.
사회 선택 이론: 연속적이고, 익명이며, 만장일치적인 양당 집계 규칙의 불가능성을 증명하는 데 사용된다.
뫼비우스 루프 롤러코스터: 두 개의 트랙이 서로 홀수 번 꼬여 있어 출발한 트랙과 다른 트랙으로 돌아오는 이중 트랙 롤러코스터이다.
세계 지도: 동서 경계가 없고 지도상의 어떤 점의 반대편도 뫼비우스 띠의 다른 인쇄면의 같은 지점에서 찾을 수 있다는 편리한 특성을 가진 세계 지도 투영에 사용된다.

과학자들은 뫼비우스 띠 모양의 비누막 에너지학, 뫼비우스 띠 모양 분자의 화학 합성, DNA 오리가미를 사용한 나노미터 크기의 뫼비우스 띠 형성에 대해서도 연구해 왔다.

5. 1. 기술 및 공학

뫼비우스 띠는 여러 기술 분야에 응용되어 왔다. 뫼비우스 띠는 표면을 일반 띠의 2배로 활용할 수 있기 때문에 카세트테이프(엔드리스 테이프), 프린터의 잉크 리본 등에 사용되었다. 또한, 연마나 고온의 물체 운반에 사용하는 컨베이어 벨트를 뫼비우스 띠 모양으로 만들면 접촉면이 2배가 되어 마모를 줄여 더 오래 사용할 수 있다는 장점이 있다. 실제로 1950년대 전후 미국에서 관련 특허를 취득했다.^[15]^[16]

1964년에는 절연체를 뫼비우스 띠 모양으로 하고 금속박으로 덮은 Möbius resistor|뫼비우스 저항기^영어가 발명되었고, 1986년에는 이를 이용한 뫼비우스 콘덴서도 특허를 취득했다.^[17]^[16] 이들은 모두 자기 인덕턴스가 없는 저항, 콘덴서가 된다.

그 외에도 뫼비우스 띠는 다음과 같은 기술 및 공학 분야에 활용된다.

그래핀 리본을 꼬아 만든 뫼비우스 띠는 새로운 전자적 특성을 가진다.
유기 화합물 분자 구조가 뫼비우스 띠 패턴으로 정렬된 분자 궤도를 가지는 뫼비우스 방향족성을 가진다.
뫼비우스 저항은 자체 자기 인덕턴스를 상쇄하는 방식으로 유전체 뫼비우스 띠의 단일 면을 덮는 전도성 물질 띠이다.
소형 공진기는 동일하게 구성된 선형 코일의 절반인 공진 주파수를 가진다.
q-플레이트에서 나오는 빛의 편광 패턴을 조절한다.
뫼비우스 루프 롤러코스터는 두 개의 트랙이 서로 홀수 번 나선형으로 감겨져 있어 출발한 트랙과 다른 트랙으로 돌아오는 이중 트랙 롤러코스터의 한 형태이다.
세계 지도를 뫼비우스 띠에 투영하면 동서 경계가 없고 지도상의 어떤 점의 반대편도 뫼비우스 띠의 다른 인쇄면의 같은 지점에서 찾을 수 있다는 편리한 특성을 가진다.

과학자들은 뫼비우스 띠 모양의 비누막 에너지학, 뫼비우스 띠 모양 분자의 화학 합성, DNA 오리가미를 사용한 더 큰 나노미터 크기의 뫼비우스 띠 형성에 대해서도 연구해 왔다.

5. 2. 화학

유기 화합물 분야에서는 분자 구조가 뫼비우스 띠 모양으로 배열된 분자 궤도를 갖는 고리 화합물이 존재하며, 이를 뫼비우스 방향족성이라 한다.^[18] 이 화합물은 일반적인 방향족 화합물과 달리 4nπ 전자를 가질 때 안정하다. 21세기 초에는 이러한 뫼비우스 방향족성을 갖는 화합물이 실제로 합성되었다.

1985년, 콜로라도 대학교 볼더 캠퍼스의 데이비드 월바(David Walba) 연구팀은 뫼비우스 띠 구조를 가진 분자를 최초로 합성하였다.^[18] 이후 과학자들은 뫼비우스 띠 형태의 분자를 화학 합성하는 연구를 지속해왔다.^[18]

무기 화합물 분야에서는 길쭉한 띠 형태의 결정은 만들 수 있었지만, 뫼비우스 띠처럼 뒤틀린 결정은 불가능하다고 여겨졌다. 그러나 2002년, 홋카이도 대학교 공학부의 탄다 사토시(丹田聡) 연구팀은 삼셀렌화니오브(NbSe₃) 결정을 변형하여 뫼비우스 띠 형태의 결정을 만드는 데 성공하였다.^[19]^[20]

5. 3. 기타 응용

균일하게 마모되는 기계식 벨트 설계와 플뤼커 코노이드를 이용한 기어 설계 외에도, 뫼비우스 띠는 다음과 같이 다양하게 활용된다.

나선형 자성을 포함한 새로운 전자적 특성을 가진 뫼비우스 띠 형태의 그래핀 리본
유기 화합물 분자 구조가 뫼비우스 띠 패턴으로 정렬된 분자 궤도를 가진 고리를 형성하는 뫼비우스 방향족성^[1]^[2]
자체 자기 인덕턴스를 상쇄하는 전도성 물질 띠로, 유전체 뫼비우스 띠의 한 면을 덮는 뫼비우스 저항^[3]
소형 설계에서 선형 코일의 절반인 공진 주파수를 갖는 공진기^[4]^[5]
q-플레이트에서 나오는 빛의 편광 패턴^[6]
사회 선택 이론에서 연속적이고 익명이며 만장일치적인 양당 집계 규칙이 불가능함을 증명^[7]
두 트랙이 홀수 번 꼬여 마차가 출발한 트랙과 다른 트랙으로 돌아오는 이중 트랙 롤러코스터인 뫼비우스 루프 롤러코스터^[8]^[9]
동서 경계가 없고 지도상 어느 점의 반대편도 뫼비우스 띠의 다른 면에서 찾을 수 있는 세계 지도 투영^[10]^[11]

과학자들은 뫼비우스 띠 모양 비누막의 에너지학^[12], 뫼비우스 띠 모양 분자의 화학 합성^[13], DNA 오리가미를 이용한 나노미터 크기의 뫼비우스 띠 형성^[14]에 대해서도 연구해 왔다.

6. 대중 문화 속 인용

뫼비우스의 띠는 예술, 문학, 디자인 등 다양한 대중 문화 영역에서 영감을 주는 대상이자 상징으로 활용되었다.

네덜란드의 화가 에셔는 뫼비우스의 띠에서 영감을 받은 작품을 많이 남겼다.^[27]
대한민국의 소설가 조세희의 단편 소설 모음집 《난장이가 쏘아올린 작은 공》에 수록된 첫 번째 단편의 제목이 〈뫼비우스의 띠〉다.
대한민국의 보이 밴드 젝스키스의 4집 앨범 《''Com'Back''》에 "뫼비우스의 띠"라는 제목의 수록곡이 있다.
미국의 재활용 기호는 뫼비우스의 띠 모양이다.
웹사이트 8chan의 로고는 뫼비우스의 띠를 나타내고 있다.
"1면 주사위"는 뫼비우스의 띠를 그대로 다이스로 만든 것으로, "1"이 나올 확률이 100%이며 실용성은 없고 장난감으로 취급된다.
뫼비우스의 띠는 무대 마술의 디자인에 사용되었다. 아프간 밴드로 알려진 트릭 중 하나는 뫼비우스의 띠가 세로로 잘라도 하나의 띠로 남아 있는다는 사실을 이용한다. 1880년대에 유래하여 20세기 전반에 매우 인기가 있었다. 해리 블랙스톤 시니어와 토마스 넬슨 다운스와 같은 유명한 마술사들이 이 트릭을 공연했다.

6. 1. 예술

막스 빌의 ''끝없는 꼬임''(1956). 미델하임 야외 조각 공원 소장

뫼비우스의 띠는 많은 예술 작품에 영감을 주었다. 특히 네덜란드의 화가 에셔는 뫼비우스의 띠에서 영감을 얻은 작품을 많이 남겼다.^[27]

뫼비우스의 띠를 모티프로 한 대표적인 2차원 예술 작품은 다음과 같다.

코라도 칼리의 1947년 무제 회화 (찰스 올슨의 시에 기념됨)
에셔의 판화
''뫼비우스의 띠 I''(1961): 세 마리의 접힌 넙치가 서로의 꼬리를 물고 있는 모습이다.
''뫼비우스의 띠 II''(1963): 개미들이 렘니스케이트 모양의 뫼비우스의 띠를 따라 기어 다니는 모습이다.

뫼비우스의 띠를 모티프로 한 대표적인 조각 작품은 다음과 같다.

막스 빌의 ''끝없는 리본''(1953)
호세 데 리베라의 ''무한대''(1967)
세바스티안의 작품
존 로빈슨의 ''불멸''(1982): 세잎매듭 모양의 뫼비우스 띠
찰스 O. 페리의 ''연속체''(1976)

뫼비우스의 띠는 그 독특한 형태 덕분에 그래픽 디자인에서도 자주 사용된다.

1970년에 디자인된 세 화살표 로고는 뫼비우스의 띠를 기반으로 한다.
엑스포 74의 로고
구글 드라이브 로고 (2012-2014)
브라질 순수 및 응용 수학 연구소(IMPA) 로고
브라질, 벨기에, 네덜란드, 스위스 등 여러 국가의 우표 디자인^[24]

뫼비우스의 띠는 NASCAR 명예의 전당과 같이 건물 디자인에도 영감을 주었다.

6. 2. 디자인

뫼비우스의 띠는 그 독특한 형태 덕분에 그래픽 디자인에서 자주 사용되는 요소이다.^[24] 1970년에 디자인된 세 화살표 로고는 뫼비우스의 띠를 기반으로 한 부드러운 삼각형 형태를 띠고 있으며, 엑스포 74의 로고에도 사용되었다. 구글 드라이브 로고의 초기 버전은 평평하게 접힌 세 번 꼬인 뫼비우스의 띠를 사용했다. IMPA는 뫼비우스의 띠를 본뜬 로고를 사용하며, 건물에 뫼비우스 띠 모양의 대형 조각상을 전시하고 있다.

뫼비우스의 띠는 브라질, 벨기에, 네덜란드, 스위스 등 여러 국가의 우표 디자인에도 등장했다.^[24]

건축 디자인에도 뫼비우스의 띠가 영감을 주기도 했다. NASCAR 명예의 전당은 외관과 캐노피 역할을 하는 꼬인 스테인리스 스틸 리본으로 둘러싸여 있는데, 이는 경주 트랙의 곡선 형태를 연상시킨다.

6. 3. 건축

뫼비우스의 띠는 건물과 다리 디자인에 자주 영감을 주었다.^[21] NASCAR 명예의 전당은 뫼비우스의 띠를 통합한 주목할 만한 건물로, 외관과 캐노피 역할을 하는 꼬인 스테인리스 스틸 리본으로 둘러싸여 있으며 경주 트랙의 곡선 형태를 연상시킨다. 카자흐스탄 국립 도서관은 뫼비우스의 띠 모양으로 건물을 계획했지만, 건축가들이 프로젝트에서 철수한 후 다른 디자인으로 마무리되었다.

소규모로는 페드로 레이스(Pedro Reyes)의 ''뫼비우스 의자''(2006)는 밑면과 측면이 뫼비우스의 띠 형태인 정자이다. 1980년대 초 엘리자베스 지머만(Elizabeth Zimmermann)의 작품 이후로 스카프가 뫼비우스의 띠로 뜨개질되어 왔다. 푸드 스타일링에서는 뫼비우스의 띠를 사용하여 베이글을 썰고, 베이컨으로 고리를 만들고, 파스타의 새로운 모양을 만들었다.

6. 4. 문학 및 영화

마틴 가드너의 "No-Sided Professor"(1946), 아르민 조셉 도이치의 "뫼비우스라는 지하철"(1950)과 이를 바탕으로 제작된 영화 ''뫼비우스''(1996)는 뫼비우스의 띠가 가진 공간적 특성을 활용하여, 조심성 없는 희생자가 갇힐 수 있는 시간 루프를 묘사한다.^[25]

아서 C. 클라크의 "어둠의 벽"(1946)은 뫼비우스의 띠 모양으로 만들어진 세계 전체를 배경으로 하며, 1940년대 윌리엄 헤즐릿 업슨의 여러 이야기에서는 뫼비우스의 띠가 영리한 발명품으로 사용되었다.^[26]

마르셀 프루스트의 ''잃어버린 시간을 찾아서''(1913-1927), 루이지 피란델로의 ''작가를 찾는 여섯 인물''(1921), 프랭크 카프라의 ''멋진 인생''(1946), 존 바스의 ''재미있는 집에서 길을 잃다''(1968), 새뮤얼 R. 델러니의 ''달그렌''(1975), 영화 ''도니 다르코''(2001) 등은 플롯이 비틀림과 함께 반복되는 뫼비우스의 띠와 같은 구조를 가진다고 분석된다.

문학 작품에서 뫼비우스의 띠는 종종 무한한 반복을 비유적으로 나타낸다. 뫼비우스의 띠는 한 바퀴 돌아 제자리로 돌아오면 방향이 반전되는 성질을 가지고 있기 때문에, 순환구조를 가진 플롯이나 등장인물이 어떤 경험을 통해 생각을 바꿔 과거(혹은 원래 있던 곳)로 돌아오는 경우의 비유로 사용된다.

6. 5. 음악

J. S. 바흐의 음악 캐논(BWV 1087) 중 하나는 각 성부가 캐논에서 두 마디 전의 동일한 모티브를 반전된 음표로 반복하는 미끄럼 반사 대칭을 특징으로 한다. 이러한 대칭 때문에 이 캐논은 악보가 뫼비우스의 띠에 쓰여 있다고 생각할 수 있다. 음악 이론에서 옥타브만큼 차이가 나는 음조는 일반적으로 동등한 음표로 간주되며, 가능한 음표의 공간은 색음환을 형성한다. 뫼비우스의 띠는 원 위의 두 개의 무질서한 점의 배치 공간이기 때문에 모든 두 음표 화음의 공간은 뫼비우스의 띠 모양을 취한다. 이 개념과 더 많은 점으로의 일반화는 음악 이론에 오비폴드를 적용하는 중요한 것이다.^[1]^[2] 뫼비우스의 띠에서 이름을 따온 현대 음악 그룹으로는 미국 일렉트로닉 록 트리오 뫼비우스 밴드^[3]와 노르웨이 프로그레시브 록 밴드 링 반 뫼비우스(Ring Van Möbius)가 있다.^[4]

참조

_[1] 논문 cite LPD
_[2] 서적 メビウスの遺産―数学と天文学
_[3] 문서 ユークリッド半平面の定義
_[4] 서적 トポロジー―ループと折れ線の幾何学
_[5] 서적 トポロジー―ループと折れ線の幾何学
_[6] 서적 曲面と結び目のトポロジー―基本群とホモロジー群
_[7] 서적 トポロジー入門
_[8] 서적 トポロジー入門
_[9] 서적 3次元多様体入門
_[10] 서적 トポロジー入門
_[11] 서적 メビウスの帯
_[12] 서적 数学マジック白揚社 1999
_[13] 서적 メビウスの帯
_[14] 서적 結び目の数学培風館 1998
_[15] 특허 研磨用および運搬用メビウスの帯 http://patft.uspto.g[...]
_[16] 서적 メビウスの帯
_[17] 특허 メビウス抵抗器およびメビウスコンデンサ http://patft.uspto.g[...]
_[18] 논문 Top_Stereo Tetrahedron 1986 http://walba.colorad[...] 1986
_[19] 논문 2002
_[20] 간행물 北海道大学大学院工学研究科・工学部広報平成15年7月号 http://www.eng.hokud[...]
_[21] 서적 トポロジー―ループと折れ線の幾何学
_[22] 서적 メビウスの帯
_[23] 서적 メビウスの帯
_[24] 서적 メビウスの帯
_[25] 서적 メビウスの遺産―数学と天文学
_[26] 서적 メビウスの帯
_[27] 이미지 뫼비우스 띠 위에 개미가 기어가는 그림 http://www.worldofes[...]

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