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아이디얼 노름

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목차

1. 개요

아이디얼 노름은 데데킨트 정역에서 정의되는 모노이드 준동형으로, 상대 아이디얼 노름, 절대 아이디얼 노름, 아라켈로프 인자의 아이디얼 노름, 이델 노름 등이 있다. 상대 아이디얼 노름은 분수 아이디얼의 모노이드 준동형이며, 체 노름을 사용하여 정의할 수 있다. 절대 아이디얼 노름은 대수적 정수환의 아이디얼에 대한 몫환의 크기이며, 곱셈 연산을 보존한다. 아이디얼 노름은 체 노름과 관계가 있으며, 복소수 자리의 수와 관련된 부등식을 통해 상계를 얻을 수 있다. 아이디얼 노름은 장피에르 세르에 의해 정의되었다.

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아이디얼 노름

2. 정의

데데킨트 정역 R와 그 분수체 K의 유한 분해 가능 확대 L/K가 주어졌을 때, 크룰-아키즈키 정리에 의하여 R의 L 속의 정수적 폐포 S 역시 데데킨트 정역을 이룬다.

'''상대 아이디얼 노름'''(relative ideal norm영어)은 다음과 같은 꼴의 모노이드 준동형이다.

:\operatorname N_{S/R}\colon\operatorname{FracIdeal}(S)\to\operatorname{FracIdeal}(R)

여기서 \operatorname{FracIdeal}(-)은 (영 아이디얼을 포함하는) 모든 분수 아이디얼들로 구성된 곱셈 모노이드이다. 이는 상대 아이디얼 노름이 만족시키는 성질들로부터 공리적으로 정의할 수 있으며, 체 노름을 사용하여 구체적으로 정의할 수도 있다.

2. 1. 공리적 정의

상대 아이디얼 노름 \operatorname N_{S/R}\colon\operatorname{FracIdeal}(S)\to\operatorname{FracIdeal}(R)은 다음 두 조건을 만족시키는 유일한 모노이드 준동형이다.[8]

  • \operatorname N_{S/R}((0)_S)=(0)_R. 여기서 (0)은 영 아이디얼이다.
  • 임의의 영 아이디얼이 아닌 소 아이디얼 \mathfrak q\subseteq S 및 \mathfrak p\subseteq R에 대하여, 만약 \mathfrak q\mid\mathfrak p라면,

:\operatorname N_{S/R}(\mathfrak q)=\mathfrak p^{[S/\mathfrak q:R/\mathfrak p]}

: 여기서 [S/\mathfrak q:R/\mathfrak p]는 (덧셈군으로서) 부분군의 지표를 뜻한다.

여기서 \mathfrak q\mid\mathfrak p라는 것은 분기화에 대하여 \mathfrak q가 \mathfrak p 위에 있다는 것을 뜻한다. 즉, \mathfrak p를 S에서 소인수 분해하면 \mathfrak q는 그 소인수 가운데 하나이다.

''A''를 데데킨트 정역, ''K''를 분수체, ''B''를 유한 분리 가능 확대 ''L''에서 ''A''의 정수적 폐포라고 하자. (이는 ''B''도 데데킨트 정역임을 의미한다.) \mathcal{I}_A와 \mathcal{I}_B를 각각 ''A''와 ''B''의 아이디얼 군이라고 하자. 장-피에르 세르가 개발한 기술에 따라, 노름 사상

:N_{B/A}\colon \mathcal{I}_B \to \mathcal{I}_A

은 다음을 만족하는 유일한 군 준동형사상이다.

:N_{B/A}(\mathfrak q) = \mathfrak{p}^{[B/\mathfrak q : A/\mathfrak p]}

여기서 \mathfrak q는 ''B''의 0이 아닌 모든 소 아이디얼, \mathfrak p = \mathfrak q\cap A는 \mathfrak q 아래에 놓인 ''A''의 소 아이디얼이다.

또는, 임의의 \mathfrak b\in\mathcal{I}_B에 대해 N_{B/A}(\mathfrak{b})를 ''B''의 원소들의 체 노름 집합 \{ N_{L/K}(x) | x \in \mathfrak{b} \}에 의해 생성된 ''A''의 분수 아이디얼로 동등하게 정의할 수 있다.[1]

\mathfrak a \in \mathcal{I}_A에 대해, N_{B/A}(\mathfrak a B) = \mathfrak a^n이며, 여기서 n = [L : K]이다.

따라서 주 아이디얼의 아이디얼 노름은 원소의 체 노름과 호환된다.

:N_{B/A}(xB) = N_{L/K}(x)A.[2]

L/K를 수체의 갈루아 확장으로, 정수환 \mathcal{O}_K\subset \mathcal{O}_L를 갖는다고 하자.

그러면 앞의 내용은 A = \mathcal{O}_K, B = \mathcal{O}_L에 적용되며, 임의의 \mathfrak b\in\mathcal{I}_{\mathcal{O}_L}에 대해

:N_{\mathcal{O}_L/\mathcal{O}_K}(\mathfrak b)= K \cap\prod_{\sigma \in \operatorname{Gal}(L/K)} \sigma (\mathfrak b),

이고, 이는 \mathcal{I}_{\mathcal{O}_K}의 원소이다.

표기법 N_{\mathcal{O}_L/\mathcal{O}_K}는 때때로 N_{L/K}로 단축되는데, 위에서 언급했듯이 체 노름에 대해서도 N_{L/K}를 쓰는 것과 호환되는 표기법의 남용이다.

K=\mathbb{Q}인 경우, \mathbb{Z}는 자명한 아이디얼 유군과 단위군 \{\pm 1\}를 가지므로, 각 0이 아닌 \mathbb{Z}의 분수 아이디얼은 유일하게 결정된 양의 유리수에 의해 생성되므로, N_{\mathcal{O}_L/\mathbb{Z}}\,의 범위로 양의 유리수를 사용하는 것이 합리적이다. 이러한 관례에 따라, L에서 K=\mathbb{Q}로의 상대 노름은 아래에 정의된 절대 노름과 일치한다.

2. 2. 체 노름을 통한 정의

아이디얼 노름은 체 노름을 통해서도 정의할 수 있다.[5][6] 분수 아이디얼 \mathfrak A\in\operatorname{FracIdeal}S의 '''아이디얼 노름''' \operatorname N_{S/R}(\mathfrak A)\in\operatorname{FracIdeal}R은 다음과 같은 분수 아이디얼이다.

:\operatorname N_{S/R}(\mathfrak A)=\{r_1\operatorname N_{L/K}(a_1)

+r_2\operatorname N_{L/K}(a_2)+\cdots+r_n\operatorname N_{L/K}(a_n)

\colon n\in\mathbb N,\;a_1,\dots,a_n\in\mathfrak A,\;r_1,\dots,r_n\in R\}\in\operatorname{FracIdeal}(R)

즉, \operatorname N_{L/K} 아래 \mathfrak A의 상으로 생성되는 분수 아이디얼이다. 여기서 \operatorname N_{L/K}는 체의 확대 L/K에 대한 체 노름이다.

임의의 \mathfrak b\in\mathcal{I}_B에 대해 N_{B/A}(\mathfrak{b})를 ''B''의 원소들의 체 노름 집합 \{ N_{L/K}(x) | x \in \mathfrak{b} \}에 의해 생성된 ''A''의 분수 아이디얼로 정의할 수도 있다.[1]

2. 3. 절대 아이디얼 노름

대수적 수체 L/\mathbb Q가 주어졌을 때, K=\mathbb Q, S=\mathcal O_L, R=\mathbb Z로 놓으면 아이디얼 노름 조건을 만족한다. 이 경우, (\mathbb Z는 주 아이디얼 정역이므로) \operatorname{FracIdeal}(\mathbb Z)은 음이 아닌 유리수의 곱셈 모노이드 \mathbb Q_{\ge0}로 여길 수 있다. 따라서 아이디얼 노름은 모노이드 준동형

:\operatorname N_{\mathcal O_L/\mathbb Z}\colon\operatorname{FracIdeal}(\mathcal O_L)\to\mathbb Q_{\ge0}

을 정의하며, '''절대 아이디얼 노름'''이라고 한다.

절대 아이디얼 노름은 다음과 같이 직접적으로 정의할 수 있다. 대수적 수체 L/\mathbb Q의 대수적 정수환 \mathcal O_L의 아이디얼 \mathfrak a의 '''절대 아이디얼 노름'''은 다음과 같다.[7]

:\operatorname N_L(\mathfrak a)=\begin{cases}

|\mathcal O_L/\mathfrak a|\\

0&\mathfrak a=(0)

\end{cases}



즉, 만약 \mathfrak a가 영 아이디얼이 아니라면 몫환 \mathcal O_L/\mathfrak a의 집합의 크기이다. 이는 곱셈 연산을 보존하므로, 다음과 같은 모노이드 준동형을 이룬다.

:\operatorname N_{\mathcal O_L/\mathbb Z}\colon\operatorname{Ideal}(\mathcal O_L)\to\mathbb N

:\operatorname N_{\mathcal O_L/\mathbb Z}(\mathfrak a\mathfrak b)=\operatorname N_L(\mathfrak a)\operatorname N_K(\mathfrak b)

:\operatorname N_{\mathcal O_L/\mathbb Z}(\mathcal O_L)=1

여기서 \operatorname{Ideal}(\mathcal O_L)은 \mathcal O_L의 아이디얼들의 곱셈 모노이드이며, \mathbb N은 자연수(음이 아닌 정수)들의 곱셈 모노이드이다.

보다 일반적으로, \mathcal O_L-아이디얼의 절대 아이디얼 노름은 \mathcal O_L-분수 아이디얼로 다음과 같이 일반화할 수 있다.

:\operatorname N_L(\mathfrak a/b)=\operatorname N_L(\operatorname a)/\operatorname N_L((b))\qquad\left(\mathfrak a/b\in\operatorname{FracIdeal}(\mathcal O_L),\;b\in\mathcal O_L\right)

(여기서 (b)는 b로 생성되는 주 아이디얼이다.) 이는 다음과 같은 모노이드 준동형을 이룬다.

:\operatorname N_L\colon\operatorname{FracIdeal}(\mathcal O_L)\to\mathbb Q_{\ge0}

여기서

L을 대수적 수체라고 하고, \mathcal{O}_L을 정수환이라고 하자. \mathfrak a는 \mathcal{O}_L의 0이 아닌 (정수) 아이디얼이다.

\mathfrak a의 절대 노름은 다음과 같다.

:N(\mathfrak a) :=\left [ \mathcal{O}_L: \mathfrak a\right ]=\left|\mathcal{O}_L/\mathfrak a\right|.\,

관례에 따라, 영 아이디얼의 노름은 0으로 간주한다.

만약 \mathfrak a=(a)가 주 아이디얼이면, 다음이 성립한다.

:N(\mathfrak a)=\left|N_{L/\mathbb{Q}}(a)\right|.[3]

노름은 완전 곱셈 함수이다. 만약 \mathfrak a와 \mathfrak b가 \mathcal{O}_L의 아이디얼이면, 다음이 성립한다.

:N(\mathfrak a\cdot\mathfrak b)=N(\mathfrak a)N(\mathfrak b).[3]

따라서 절대 노름은 다음과 같은 군 준동형 사상으로 유일하게 확장된다.

:N\colon\mathcal{I}_{\mathcal{O}_L}\to\mathbb{Q}_{>0}^\times,

이는 \mathcal{O}_L의 모든 0이 아닌 분수 아이디얼에 대해 정의된다.

아이디얼 \mathfrak a의 노름은 아이디얼이 포함하는 가장 작은 0이 아닌 원소의 체 노름에 대한 상한을 제공하는 데 사용될 수 있다.

다음 조건을 만족하는 0이 아닌 a\in\mathfrak a가 항상 존재한다.

:\left|N_{L/\mathbb{Q}}(a)\right|\leq \left ( \frac{2}{\pi}\right )^s \sqrt{\left|\Delta_L\right|}N(\mathfrak a),

여기서

  • \Delta_L은 L의 판별식이고
  • s는 L을 \mathbb{C}로 사상하는 (실수가 아닌) 복소수 매장의 쌍의 수이다.

2. 4. 아라켈로프 인자의 아이디얼 노름

대수적 수체 L의 무한 또는 유한 자리 \mathfrak q\mid\mathfrak p (\mathfrak p\in\{2,3,5,7,\dots,\infty\})에 대하여, \kappa(\mathfrak q)는 값매김환 \mathcal O_{L_{\mathfrak q}}의 잉여류체이다. (만약 \mathfrak q가 무한 위치라면 \mathcal O_{L_{\mathfrak q}}=L_{\mathfrak q}이다.) 마찬가지로 \kappa(\mathfrak p)는 값매김환 \mathcal O_{K_{\mathcal p}}의 잉여류체이다. f_{\mathfrak p}=[\kappa(\mathfrak q):\kappa(\mathfrak p)]는 분기화 S/R에 대한 \mathfrak q의 관성 차수이다.

다음과 같이 정의한다.

:\operatorname N(\mathfrak q)=\begin{cases}

\mathfrak q^{\nu(\mathfrak q)}&\mathfrak q\nmid\infty\\

\mathrm e^{\nu(\mathfrak q)}&\mathfrak q\mid\infty

\end{cases}

임의의 아라켈로프 인자

:\mathfrak A=\prod_{\mathfrak q}\mathfrak q^{\nu(\mathfrak q)}

\qquad\nu(\mathfrak q)\in\begin{cases}

\mathbb Z&\mathfrak q\nmid\infty\\

\mathbb R&\mathfrak q\mid\infty

\end{cases}



의 '''아이디얼 노름'''은 다음과 같다.[7]

:\operatorname N(\mathfrak A)=\prod_{\mathfrak q}\operatorname N(\mathfrak q)^{\nu(\mathfrak q)}\in\mathbb R^+

이는 아라켈로프 인자들의 아벨 군에서 양의 실수의 곱셈군 \mathbb R^+으로 가는 군 준동형을 정의한다.

2. 5. 이델 노름

두 대역체 사이의 확대 L/K가 주어졌을 때, 그 이델 군 사이에는 다음과 같은 '''상대 이델 노름'''(relative idèle norm영어)이 존재한다.

:\operatorname N_{L/K}\colon\mathbb A_L^\times\to\mathbb A_K^\times

:\operatorname N_{L/K}\colon(a_{\mathfrak q})_{\mathfrak q\in\operatorname{Places} L}\mapsto

\prod_{\mathfrak q\mid\mathfrak p}\operatorname N_{L_{\mathfrak q}/K_{\mathfrak p}}(a_{\mathfrak q})

여기서

  • \textstyle\prod_{\mathfrak q\mid\mathfrak p}는 K의 모든 자리 \mathfrak p 및 \mathfrak p가 분기화하는 모든 L의 자리 \mathfrak q들에 대한 곱이다.
  • \operatorname N_{L_{\mathfrak q}/K_{\mathfrak p}}는 완비체의 확대 L_{\mathfrak q}/K_{\mathfrak p}에 대한 체 노름이다.


이는 연속 함수이며 군 준동형을 이룬다. a\in L^\times에 의하여 정의되는 주 이델 (a)\in\mathbb A_L^\times의 상은 K의 주 이델이므로, 이는 이델 유군 사이의 연속 군 준동형

:C_L\to C_K

를 정의한다.

마찬가지로, 다음과 같은, 양의 실수 값의 '''절대 이델 노름'''(absolute idèle norm영어)이 존재한다.

:\operatorname N_K\colon\mathbb A_K^\times\to\mathbb R^+

:\operatorname N_K\colon(a_{\mathfrak q})_{\mathfrak q\in\operatorname{Places}K}\mapsto\prod_{\mathfrak p}|a|_{\mathfrak p}

이는 연속 함수이며 군 준동형을 이룬다. a\in K^\times에 의하여 생성되는 주 이델 (a)\in\mathbb A_K^\times의 절대 이델 노름은 항상 1이다.[7] 따라서 이는 이델 유군을 정의역으로 하는 연속 군 준동형

:C_K\to\mathbb R^+

을 정의한다.

3. 성질

아이디얼 노름은 대수적 수체의 산술적 구조를 이해하는 데 핵심적인 역할을 하는 여러 중요한 성질을 갖는다.

3. 1. 체 노름과의 관계

대수적 수체의 대수적 정수환 \mathcal O_L에서, 주 아이디얼의 절대 아이디얼 노름은 체 노름 \operatorname N_{K/\mathbb Q}의 절댓값과 같다. 좀 더 일반적으로, L=\operatorname{Frac}\mathcal O_L의 임의의 원소의 주 분수 아이디얼 (a\mathcal O_L)의 절대 아이디얼 노름은 체 노름의 절댓값이다.[1]

:\operatorname N_{\mathcal O_L/\mathbb Z}(a\mathcal O_L)=|\operatorname N_{K/\mathbb Q}(a)|\qquad(a\in K)

그러나 아이디얼 노름은 체 노름과 달리 부호를 기억하지 않는다.

주 아이디얼의 아이디얼 노름은 원소의 체 노름과 호환된다. 즉, 다음이 성립한다.[2]

:N_{B/A}(xB) = N_{L/K}(x)A.

만약 \mathfrak a=(a)가 주 아이디얼이면, 다음이 성립한다.[3]

:N(\mathfrak a)=\left|N_{L/\mathbb{Q}}(a)\right|

3. 2. 복소수 자리의 수

임의의 대수적 수체 L/\mathbb Q에 대하여, L의 복소수 자리의 수(즉, 환 준동형 집합 \hom_{\operatorname{CRing}}(L,\mathbb C)의 크기의 절반. 이는 복소켤레에 의하여 항상 정수이다)를 s_{\mathbb C}(L)라고 하자. 그렇다면, 임의의 (영 아이디얼이 아닌) 아이디얼 \mathfrak a\subseteq\mathcal O_L에 대하여, 다음 부등식이 성립한다.[7]

:\left (\frac\pi2\right)^{s_{\mathbb C}(L)}\le\frac{\sqrt{\left|\Delta_L\right|}\operatorname N_{\mathcal O_L/\mathbb Z}(\mathfrak a)}{\min_{a\in\mathfrak a\setminus\{0\}}|\operatorname N_{L/\mathbb Q}(a)|}

여기서 \Delta_L은 수체의 판별식을 뜻한다. 따라서, 이를 통하여 대수적 수체의 복소수 자리의 수의 상계를 얻을 수 있다.

또한 다음 조건을 만족하는 0이 아닌 a\in\mathfrak a가 항상 존재한다.

:\left|N_{L/\mathbb{Q}}(a)\right|\leq \left ( \frac{2}{\pi}\right )^s \sqrt{\left|\Delta_L\right|}N(\mathfrak a),

여기서

:* \Delta_L은 L의 판별식이고

:* s는 L을 \mathbb{C}로 사상하는 (실수가 아닌) 복소수 매장의 쌍의 수이다(L의 복소수 자릿수).[4]

4. 역사

일반적인 데데킨트 정역에 대한 아이디얼 노름은 장피에르 세르가 정의하였다.[8]

참조

[1] 서적 Algebraic number fields American Mathematical Society 1996
[2] 서적 Local Fields Springer-Verlag 1979
[3] 서적 Number fields Springer-Verlag 1977
[4] 서적 Algebraic number theory Springer-Verlag 1999
[5] 서적 Algebraic number fields American Mathematical Society 1996
[6] 서적 A brief guide to algebraic number theory Cambridge University Press 2001-02
[7] 서적 Algebraic number theory Springer-Verlag 1999
[8] 서적 Local fields Springer-Verlag 1979


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