브라우어르 차수

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 다양체 간의 사상
- 2.2. Sⁿ에서 Sⁿ으로의 사상
3. 계산
- 3.1. 미분 기하학적 방법
- 3.2. 대수적 위상수학적 방법
4. 성질
5. 예
6. 역사
7. 확장
- 7.1. 경계가 있는 다양체
- 7.2. 모듈로 2 차수
8. 응용
참조

1. 개요

브라우어르 차수는 콤팩트 연결 다양체 사이의 연속 함수에 대해 정의되는 정수이며, 함수의 호몰로지 군 준동형을 통해 정의된다. 브라우어르 차수는 호모토피 불변량이며, n차원 구에서 자기 자신으로 가는 연속 맵의 경우 완전한 호모토피 불변량이다. 브라우어르 차수는 다양체 간의 사상, 특히 구면에서 구면으로의 사상과 같은 다양한 상황에서 계산되고, 계산 알고리즘과 소프트웨어 도구가 존재한다. 또한, 경계가 있는 다양체와 모듈로 2 차수로의 확장이 가능하며, 다양한 응용 분야에서 활용된다.

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브라우어르 차수
개요
분야	대수적 위상수학
관련 개념	호모토피, 기본군, 특성류
정의
정의	연속 함수의 사상 정도는 함수가 다양체를 얼마나 "감싸는지" 나타내는 정수이다.
조건	두 방향 부여 가능 다양체 사이의 연속 함수여야 한다.
기호	deg(f)
계산
방법	다양체의 호몰로지를 사용하여 계산할 수 있다.
공식	사상 정도는 유도된 호몰로지 사상의 차수와 같다.
응용
응용 분야	고정점 정리, 벡터장의 영점 연구

2. 정의

자연수 $n\in\mathbb N$ 이 주어졌다고 하자. $X$ 와 $Y$ 를 $n$ 차원 콤팩트 연결 다양체라 하고, 각각에 방향이 주어져 있다고 가정한다. 이는 각 다양체의 최고차 호몰로지 군 $\operatorname H_n(X;\mathbb Z)$ 와 $\operatorname H_n(Y;\mathbb Z)$ 에서 기본류 $[X]$ 와 $[Y]$ 를 선택하는 것과 같다. 이 최고차 호몰로지 군들은 각각 정수의 덧셈군 $\mathbb Z$ 와 동형이다.

: $H_n(X;\mathbb Z)\cong H_n(Y;\mathbb Z)\cong\mathbb Z$

이제 연속 함수 $f\colon X\to Y$ 를 생각하자. 이 함수 $f$ 는 호몰로지 군 사이에 군 준동형

: $f_*\colon\operatorname H_n(X;\mathbb Z)\to\operatorname H_n(Y;\mathbb Z)$

을 유도한다. 이때 연속 함수 $f$ 의 '''브라우어르 차수'''(Brouwer degree) $\deg f$ 는 다음 조건을 만족시키는 유일한 정수이다.

: $f_*([X])=(\deg f)[Y]$

2. 1. 다양체 간의 사상

두 다양체 사이의 연속 함수에 대해 정수 값으로 정의되는 위상적 불변량인 브라우어르 차수는 다음과 같이 정의된다.

자연수

n

에 대해,

X

와

Y

를 각각 콤팩트하고 경계가 없는 연결된

n

차원 다양체라고 하자. 또한 두 다양체 모두 방향이 주어져 있다고 가정한다. 다양체에 방향을 부여하는 것은, 정수 '''Z'''와 동형인 최고차 호몰로지 군

\operatorname H_n(X;\mathbb Z)

와

\operatorname H_n(Y;\mathbb Z)

각각에서 생성원을 하나씩 선택하는 것과 같다. 이 선택된 생성원을 각각

X

와

Y

의 기본류라고 부르며,

[X]

와

[Y]

로 표기한다. 푸앵카레 쌍대성은 이러한 최고차 호몰로지 군이 실제로 '''Z'''와 동형임을 보장한다.

이제 연속 함수

f\colon X\to Y

를 생각하자. 이 함수는 호몰로지 군 사이에 준동형 사상

:

f_*\colon\operatorname H_n(X;\mathbb Z)\to\operatorname H_n(Y;\mathbb Z)

을 유도한다. 이때, 함수

f

의 브라우어르 차수(Brouwer degree)

\deg f

는 다음 식을 만족시키는 유일한 정수이다.

:

f_*([X])=(\deg f)[Y]

만약

Y

안의 한 점

y

에 대해, 그 원상

f^{-1}(y)

가 유한 집합

\{x_1,\dots,x_m\}

이라면,

f

의 차수는 각 점

x_i

에서의 국소적인 기여도를 합하여 계산할 수 있다. 이는 각 점

x_i

근방에서

f

가 국소적으로 어떻게 작용하는지를 상대 호몰로지나 국소 호몰로지 군을 이용하여 분석하는 것과 관련된다. 구체적인 식은 다음과 같다.

:

\deg(f) = \sum_{i=1}^{m}\deg(f|_{x_i})

여기서

\deg(f|_{x_i})

는 점

x_i

에서의 국소적 차수를 의미한다.

간단한 예로 원주

S^1

에서

S^1

으로 가는 연속 함수

f \colon S^1 \to S^1

를 생각해보자.

S^1

을 절댓값이 1인 복소수들의 군으로 간주할 때, 함수

f(z) = z^k

(

k

는 정수)는 원주

S^1

을

k

번 감는(덮는) 사상이다. 이 경우, 사상

f

의 차수는

k

이다. 즉,

\deg f = k

이다. 이 차수는 함수

f

를 연속적으로 변형시켜도 변하지 않는 중요한 위상적 불변량이다.

브라우어르 차수는 n차원 구면

S^n

간의 연속 함수

f \colon S^n \to S^n

이나, 더 일반적으로 위에서 언급한 조건(콤팩트, 연결, 방향 가짐)을 만족하는

n

차원 다양체

M, N

사이의 연속 함수

f \colon M \to N

에 대해서도 동일하게 정의될 수 있다.

2. 2. Sⁿ에서 Sⁿ으로의 사상

가장 간단하고 중요한 경우는

n

차원

n

-구

S^n

에서 자기 자신으로 가는 연속 함수의 차수이다.

n=1

인 경우, 이는 회전수라고도 불린다.

f\colon S^n\to S^n

를 연속 함수라고 하자. 그러면

f

는 푸시포워드 과정을 통해 호몰로지 군 사이에 준동형 사상

f_*\colon H_n\left(S^n\right) \to H_n\left(S^n\right)

을 유도한다. 여기서

H_n\left(S^n\right)

는

S^n

의

n

번째 호몰로지 군을 나타낸다.

n

차원 구면의

n

번째 호몰로지 군은 정수의 덧셈군

\mathbb{Z}

와 동형이다(

H_n\left(S^n\right)\cong\mathbb{Z}

). 이 때문에, 준동형 사상

f_*

는 어떤 고정된 정수

\alpha\in\mathbb{Z}

에 대해

f_*\colon x\mapsto\alpha x

와 같은 형태로 나타나야 한다. 이 정수

\alpha

를 함수

f

의 차수(degree)라고 하며,

\deg f

로 표기하기도 한다.

n=1

인 경우, 즉 원주

S^1

위의 연속 사상

f : S^1 \to S^1

의 차수는

f

의 상이

S^1

을 (방향을 포함하여) 몇 겹으로 덮는지를 나타낸다. 예를 들어,

S^1

을 절댓값 1인 복소수들의 군으로 간주할 때,

z

를

z^k

(

k

는 정수)로 보내는 사상은

S^1

을

k

겹으로 덮으며, 이 사상의 차수는

k

이다. 연속적인 변형을 통해 함수를 바꾸더라도 이 차수 값은 변하지 않는다.

3. 계산

브라우어르 차수는 대수적 위상수학과 미분 기하학의 도구를 사용하여 여러 방식으로 계산할 수 있다.

대수적 위상수학에서는 다양체의 최고 차수 호몰로지 군과 연속 함수가 유도하는 준동형 사상을 이용하여 차수를 정의한다. 이는 다양체의 기본류가 함수에 의해 어떻게 변환되는지를 정수 값으로 나타내는 방식으로 계산된다.^[6] 자세한 내용은 아래 문단에서 설명한다.

미분 기하학에서는 매끄러운 함수와 정칙 값의 개념을 사용하여 차수를 정의한다. 특정 점에서의 역상 개수와 각 역상점에서 함수가 방향을 보존하는지 또는 반전시키는지를 고려하여 계산하며, 미분 형식의 적분을 통해서도 차수를 표현할 수 있다.^[6] 자세한 내용은 아래 문단에서 설명한다.

3. 1. 미분 기하학적 방법

미분 기하학의 관점에서 매끄러운 함수의 차수를 정의할 수 있다. 함수 ''f''가 콤팩트 다양체 ''X''에서 다른 다양체 ''Y''로 가는 매끄러운 함수이고, ''p''가 ''Y''에서 ''f''의 정칙 값이라고 하자. 정칙 값이라는 조건은 ''p''의 역상(preimage)인 집합

:

f^{-1}(p) = \{x_1, x_2, \ldots, x_n\}

이 유한 집합임을 보장한다.

''p''가 정칙 값이므로, 각 역상점 ''x''_''i''의 충분히 작은 근방에서 함수 ''f''는 국소적으로 미분 동형 사상처럼 행동한다. 이는 각 점 ''x''_''i'' 주변의 작은 영역을 ''p'' 주변의 작은 영역으로 일대일 대응시키면서, 공간의 방향을 보존하거나 뒤집는(반전시키는) 변환임을 의미한다. ''f''가 방향을 보존하는 점 ''x''_''i''의 개수를 ''r''개, 방향을 반전시키는 점의 개수를 ''s''개라고 하자. 만약 ''f''의 공역 ''Y''가 연결되어 있다면, ''r'' − ''s'' 값은 어떤 정칙 값 ''p''를 선택하든지 항상 일정하다. 이 값을 함수 ''f''의 차수로 정의한다. 이 미분 기하학적 정의는 대수적 위상수학에서 정의하는 차수와 동일한 결과를 제공한다.

이 정의는 경계가 있는 콤팩트 다양체 ''X'', ''Y'' 사이의 함수 ''f''에도 적용될 수 있다. 다만, 이 경우 함수 ''f''는 ''X''의 경계를 ''Y''의 경계로 보내야 한다는 추가 조건이 필요하다.

또한, 정수 대신 두 원소 체 '''Z'''₂ = {0, 1} 위에서 차수를 정의할 수도 있는데, 이를 모듈로 2 차수(deg₂(''f''))라고 한다. 이는 '''Z'''₂ 호몰로지에서 기본류를 이용하여 정의한다. 이 경우 다양체가 가향적일 필요는 없으며, 모듈로 2 차수는 정칙 값 ''p''의 역상 개수 ''n''을 2로 나눈 나머지, 즉 ''n'' 모듈로 2와 같다.

미분 형식의 적분을 이용하여 차수를 표현할 수도 있다. 가향 ''m''-차원 다양체 사이의 매끄러운 함수 ''f'': ''X'' → ''Y''에 대해, ''Y'' 위의 임의의 ''m''-형식 ''ω''에 대해 다음 등식이 성립한다.

:

\int_X f^*\omega = \deg f \int_Y \omega \,

여기서 ''f''^∗ω는 ''ω''를 함수 ''f''를 통해 다양체 ''X'' 위로 당겨온(풀백) 미분 형식이다.

매끄러운 다양체 ''M'', ''N'' 사이의 매끄러운 사상 ''f''의 경우, 차수를 다른 방식으로 계산할 수도 있다. ''N''의 임의의 정칙 값 ''y''에 대해, 각 역상점 ''x'' ∈ ''f''^-1(''y'')에서 ''f''의 미분 ''df_x'' (국소적 선형 근사)이 방향을 보존하는지 여부를 나타내는 부호(sign ''df_x'')를 생각할 수 있다. 이는 ''df_x''를 행렬로 표현했을 때 그 행렬식의 부호에 해당한다.^[6] 방향을 보존하면 +1, 반전시키면 -1이다. 그러면 차수는 이 부호들의 합과 같다.

:

\deg f = \sum_{x \in f^{-1}(y)} \operatorname{sign} df_x

이 값은 정칙 값 ''y''의 선택에 의존하지 않는다.

3. 2. 대수적 위상수학적 방법

''X''와 ''Y''를 닫혀 있고 연결된, 방향을 가진 ''m''차원 다양체라고 가정하자. 푸앵카레 쌍대성 정리에 따르면, 이러한 다양체의 가장 높은 차수(차원)의 호몰로지 군은 정수 집합 '''Z'''와 동형이다. 즉, 구조적으로 같다고 볼 수 있다. 다양체에 '방향을 부여한다'는 것은 이 최고 호몰로지 군에서 특정 생성원을 선택하는 것과 같다.

주어진 연속 함수 ''f'' : ''X'' → ''Y''는 호몰로지 군 사이의 준동형 사상 ''f''_∗ : ''H_m''(''X'') → ''H_m''(''Y'')를 자연스럽게 만들어낸다. ''H_m''(''X'')와 ''H_m''(''Y'')에서 선택된 생성원(이는 각각 ''X''와 ''Y''의 기본류라고 불린다)을 [''X'']와 [''Y'']로 표기하자. 이때 함수 ''f''의 '''차수'''(degree)는 다음 관계식을 만족하는 정수 deg(''f'')로 정의된다.

:

f_*([X]) = \deg(f)[Y]

만약 ''Y'' 안의 한 점 ''y''에 대해, 그 점으로 보내지는 ''X'' 안의 점들의 집합 ''f'' ⁻¹(''y'')가 유한 개의 점으로 이루어져 있다면, 함수 ''f''의 차수는 다음과 같이 각 점에서의 기여도를 합하여 계산할 수 있다. ''f'' ⁻¹(''y'')의 각 점 ''x_i''에서 ''X''의 ''m''차 상대 호몰로지 국소 호몰로지 군을 고려하여 계산한다. 즉,

f^{-1}(y)=\{x_1,\dots,x_m\}

일 때, 다음 식이 성립한다.

:

\deg(f) = \sum_{i=1}^{m}\deg(f|_{x_i})

여기서

\deg(f|_{x_i})

는 점 ''x_i'' 근방에서의 국소적인 차수를 의미한다.

좀 더 일반적으로, 호상 연결되어 있고, 방향 가부한 ''n''차원 다양체 ''X''의 ''n''차 호몰로지 군 ''H_n''(''X'')은 정수군 '''Z'''와 동형이며, 이는 하나의 원소로 생성되는 무한 순환군이다. 생성원이 될 수 있는 원소는 두 개(+1 또는 -1에 해당하는 원소)가 존재하는데, ''X''에 방향을 부여하면 이 중 어느 것을 '+'로 간주할지 결정하게 된다. 즉, ''H_n''(''X'')의 특정 생성원을 선택하는 것이며, 이 생성원을 (방향이 부여된) ''X''의 기본 호몰로지류라고 하고 [''X'']로 표기한다.

콤팩트하고 호상 연결되어 있으며 방향이 주어진 ''n''차원 다양체 ''M'', ''N''과 연속 사상 ''f'' : ''M'' → ''N''이 주어졌다고 하자. 함수 ''f''로부터 유도되는 준동형 사상

f_*: H_n(M) \rightarrow H_n(N)

에 대해, 다음을 만족하는 유일한 정수 ''k''가 존재한다.

f_*([M]) = k[N]

이때, 정수 ''k''를 함수 ''f''의 사상도(mapping degree)라고 정의하며, deg ''f''로 표기한다.

4. 성질

브라우어르 차수는 호모토피 불변량이다. 즉, 두 함수가 서로 호모토피 관계라면 그 차수는 같다.

특히, 구( $S^n$ )에서 자기 자신으로 가는 연속 함수 $f, g: S^n \to S^n$ 의 경우, 브라우어르 차수는 완전한 호모토피 불변량이 된다. 이는 두 함수의 차수가 같을 때 ( $\deg(f) = \deg(g)$ ), 그리고 오직 그때만 두 함수가 호모토피 관계임을 의미한다. 다른 말로 표현하면, 브라우어르 차수는 구의 $n$ 번째 호모토피 군 $\pi_n(S^n)$ (이는 $S^n$ 에서 $S^n$ 으로 가는 함수들의 호모토피 동치류 집합 $[S^n, S^n]$ 과 같다)과 정수 집합 $\mathbf{Z}$ 사이의 동형 사상을 제공한다.

더 나아가, 호프 정리는 임의의 $n$ 차원 닫힌 유향 다양체 $M$ 에서 $n$ 차원 구 $S^n$ 으로 가는 두 연속 함수 $f, g: M \to S^n$ 에 대해서도 중요한 성질을 알려준다. 이 정리에 따르면, 두 함수 $f$ 와 $g$ 가 호모토피 관계일 필요충분조건은 두 함수의 차수가 같은 것( $\deg(f) = \deg(g)$ )이다.

$n$ 차원 구 $S^n$ 에서 자기 자신으로 가는 연속 함수 $f: S^n \to S^n$ 가 주어졌을 때, 이 함수를 $n+1$ 차원 공( $B_{n+1}$ , 경계가 $S^n$ ) 내부까지 확장하여 $F: B_{n+1} \to S^n$ (단, $S^n$ 위에서는 $F$ 가 $f$ 와 같음)를 만들 수 있는지 여부는 $f$ 의 차수와 관련이 있다. 확장이 가능할 필요충분조건은 $f$ 의 차수가 0인 것( $\deg(f) = 0$ )이다.

차수의 개념을 직관적으로 이해하기 위해 원주( $S^1$ ) 위의 함수를 생각해 볼 수 있다. $S^1$ 에서 $S^1$ 으로 가는 연속 함수 $f: S^1 \to S^1$ 의 차수는 함수 $f$ 의 상이 목표 공간인 $S^1$ 을 (방향을 고려하여) 몇 번 감싸는지를 나타내는 정수이다. 예를 들어, $S^1$ 을 절댓값이 1인 복소수들의 집합(군)으로 보고 함수 $f(z) = z^k$ (단, $k$ 는 정수)를 생각하면, 이 함수의 차수는 $k$ 이다. 이는 함수 $f$ 가 원주를 $k$ 번 감는다는 의미이다. 함수를 연속적으로 변형해도 이 감는 횟수, 즉 차수는 변하지 않는다.

브라우어르 차수는 초구( $S^n$ ) 사이의 함수뿐만 아니라, 더 일반적으로 같은 차원의 닫힌 유향 다양체 $M, N$ 사이의 연속 함수 $f: M \to N$ 에 대해서도 정의될 수 있다. 주요 성질은 다음과 같다.

만약 두 함수 $f$ 와 $g$ 가 호모토피 관계이면, 그 차수는 같다( $\deg f = \deg g$ ).
만약 목표 공간이 $n$ 차원 구 $N = S^n$ 이라면, 두 함수 $f, g: M \to S^n$ 가 호모토피 관계인 것과 두 함수의 차수가 같은 것은 필요충분조건이다(호프 정리).

5. 예

절댓값이 1인 복소수들의 집합으로 생각할 수 있는 단위원 S¹을 고려해보자. 이 원은 표준적인 방향을 가진 1차원 콤팩트 다양체이다.

이때, 연속 함수 f : S¹ → S¹ 를 f(z) = zⁿ (단, n은 정수)으로 정의하면, 이 함수의 브라우어르 차수는 n이다.

브라우어르 차수는 '사상도'라는 개념으로 직관적으로 이해할 수 있다. 원 S¹ 위의 연속 사상 f : S¹ → S¹에 대해, f의 상이 S¹을 (방향을 포함하여) 몇 겹으로 감싸는지를 나타내는 정수가 바로 사상도이다. 예를 들어, 함수 f(z) = z^k는 원 S¹을 k겹으로 감싸므로, 이 함수의 사상도(브라우어르 차수)는 k가 된다. 중요한 점은 함수 f를 연속적으로 변형시키더라도 사상도는 변하지 않는다는 것이다. 이는 사상도가 위상 불변량임을 의미한다.

S¹에서 S¹으로 가는 사상의 그래프는 S¹ × S¹, 즉 원환면(토러스) 위에 시각적으로 나타낼 수 있다. 아래 그림들은 각각 사상도가 -4, 0, 3인 함수의 그래프를 보여준다.

이러한 사상도의 개념은 n차원 구면 Sⁿ 위의 연속 사상 f : Sⁿ → Sⁿ이나, 더 일반적으로 n차원 다양체 M, N 사이의 연속 사상 f : M → N에 대해서도 확장하여 정의할 수 있다.

6. 역사

라위트전 브라우어르가 1911년 정의하였다.^[7]

7. 확장

브라우어르 차수의 개념은 더 일반적인 수학적 대상으로 확장될 수 있다. 대표적인 확장으로는 경계가 있는 다양체에서의 차수 정의와 모듈로 2를 이용한 차수 정의가 있다.

경계가 있는 다양체에서의 차수는 유계인 영역과 그 경계에서의 함수 값을 고려하여 정의된다. 이 차수는 함수의 연속적인 변화에도 값이 변하지 않는 호모토피 불변성 등 중요한 성질을 가지며, 방정식의 해 존재 여부 판별 등에 응용될 수 있다.

모듈로 2 차수는 호몰로지 이론을 바탕으로 정의되며, 다양체가 가향적이지 않은 경우에도 적용 가능하다는 장점이 있다. 이 차수는 특정 점의 역상 개수를 두 원소를 가진 체 위에서 다루는 것과 관련된다.

7. 1. 경계가 있는 다양체

만약

\Omega \subset \R^n

이 유계인 영역이고,

f: \bar\Omega \to \R^n

이 매끄럽고,

p

가

f

의 정칙값이며,

p \notin f(\partial\Omega)

이면, 차수

\deg(f, \Omega, p)

는 다음과 같이 정의된다.

:

\deg(f, \Omega, p) := \sum_{y\in f^{-1}(p)} \sgn \det(Df(y))

여기서

Df(y)

는

y

에서의

f

의 야코비 행렬이다.

이 차수의 정의는

p

가 정칙값이 아닌 경우에도 자연스럽게 확장될 수 있다. 즉,

p

에 가까운 정칙값

p'

에 대해

\deg(f, \Omega, p) = \deg\left(f, \Omega, p'\right)

로 정의한다. 위상적 차수는 또한

\Omega

의 경계에 대한 곡면 적분을 사용하여 계산할 수 있으며,^[2]

\Omega

이 연결된 ''n''-다포체인 경우 차수는 특정 면의 분할에 대한 행렬식의 합으로 표현될 수도 있다.^[3]

차수는 다음과 같은 성질을 만족한다.^[4]

만약 $\deg\left(f, \bar\Omega, p\right) \neq 0$ 이면, $f(x) = p$ 를 만족하는 $x \in \Omega$ 가 존재한다. 이는 방정식의 해 존재 여부를 판별하는 데 사용될 수 있다.
항등 함수 $\operatorname{id}$ 에 대해, 모든 $y \in \Omega$ 에서 $\deg(\operatorname{id}, \Omega, y) = 1$ 이다.
분해 속성: 만약 $\Omega$ 가 서로소인 두 영역 $\Omega_1, \Omega_2$ 의 합집합( $\Omega = \Omega_1 \cup \Omega_2$ )이고, $y$ 가 두 영역의 경계( $\overline{\Omega}\setminus\left(\Omega_1 \cup \Omega_2\right)$ )의 상( $f$ 에 의한 이미지)에 포함되지 않으면, 다음이 성립한다.

\deg(f, \Omega, y) = \deg(f, \Omega_1, y) + \deg(f, \Omega_2, y)

호모토피 불변성: 만약 두 함수 $f$ 와 $g$ 가 호모토피 동치이고, 그 호모토피를 $F(t)$ ( $F(0) = f,\, F(1) = g$ )라 할 때, 호모토피 과정 중 $p$ 가 경계의 상( $F(t)(\partial\Omega)$ )에 포함되지 않는다면, $\deg(f, \Omega, p) = \deg(g, \Omega, p)$ 이다. 즉, 함수가 연속적으로 변형되어도 차수는 변하지 않는다.
함수 $p \mapsto \deg(f, \Omega, p)$ 는 $\R^n - f(\partial\Omega)$ 에서 국소적으로 상수 함수이다. 즉, $p$ 가 경계의 상을 지나지 않는 한, $p$ 를 조금 변화시켜도 차수는 일정하다.

이러한 성질들은 차수를 고유하게 특징짓는다. 따라서 차수는 이러한 성질들을 공리로 삼아 정의될 수도 있다.

비슷한 방식으로, 컴팩트하고 방향을 가진 경계가 있는 다양체 사이의 사상에 대해서도 차수를 정의할 수 있다.

7. 2. 모듈로 2 차수

이전과 같은 방식으로 모듈로 2 차수(deg₂(''f''))를 정의할 수 있다. 다만, 이때는 Z₂ 호몰로지에서 기본류를 사용한다. 이렇게 정의된 모듈로 2 차수 deg₂(''f'')는 Z₂(두 원소를 가진 체)의 원소가 된다. 이 경우에는 다양체가 가향적일 필요가 없다는 장점이 있다. 앞서 정의한 정칙 값 ''p''의 역상 개수를 ''n''이라고 할 때, 모듈로 2 차수 deg₂(''f'')는 ''n'' 모듈로 2와 같다.

8. 응용

n차원 상자 B (n개의 구간의 곱)에서 Rⁿ으로 가는 연속 함수 f의 위상 차수 deg(f, B, 0)를 계산하는 알고리즘이 존재한다. 이때 함수 f는 산술식 형태로 주어진다.^[5] 이 알고리즘은 LGPL-3 라이선스를 따르는 소프트웨어 도구인 TopDeg에서 구현되어 사용 가능하다.

참조

_[1] 논문 Über Abbildung von Mannigfaltigkeiten https://zenodo.org/r[...]
_[2] 논문 Locating Periodic Orbits by Topological Degree Theory 2003-05
_[3] 논문 A simplification of Stenger's topological degree formula https://cs.nyu.edu/~[...] 1979-06
_[4] 서적 Calculus of Variations and Partial Differential Equations Springer-Verlag
_[5] 논문 Effective topological degree computation based on interval arithmetic 2015
_[6] 문서 f 가 x において向きを保つときに 1, 向きを逆転させるときに -1 の値をとる
_[7] 논문

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