비트 환

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 비트 분해
- 2.2. 비트 동치와 비트 환
3. 성질
4. 예시
5. 일반화
6. 역사
참조

1. 개요

비트 환은 표수가 2가 아닌 체 k 위에 정의되며, 유한 차원 벡터 공간의 비퇴화 이차 형식의 동치류로 구성된다. 비트 분해 정리에 따라 이차 형식은 표준적으로 분해되며, 비트 동치와 비트 환 개념이 정의된다. 체 K 위의 비퇴화 유한 차원 이차 공간의 비트 동치류 집합에 연산을 부여하면 가환환을 이루며 이를 K의 비트 환이라 한다. 비트 환은 기본 아이디얼, 계수와 행렬식, 하세-비트 불변량 등의 성질을 가지며, 밀너 환과도 관련된다. 비트 환은 체의 종류에 따라 다른 구조를 가지며, 복소수체는 Z/2Z, 실수체는 Z, 유한체는 Z/4Z 또는 (Z/2Z)[F*/(F*)2]와 같은 구조를 갖는다. 비트 환은 왜곡 대칭 형식과 같은 일반화된 형식으로 확장될 수 있으며, L-이론에서 중요한 역할을 한다. 비트 환의 개념은 에른스트 비트에 의해 1937년에 처음 도입되었다.

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밀너 환은 체 위의 가역원군으로 정의되는 등급환으로, 각 등급 성분인 밀너 K군은 대수적 K-이론, 고차 류체론, 갈루아 코호몰로지, 에탈 코호몰로지, 이차 형식 등 여러 수학 분야와 연결되는 심오한 추측들과 연관된다.
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비트 환
비트 환
분야	가환대수학, 대수적 K-이론, 이차 형식
명명	에른스트 비트
관련 개념
관련 개념	비트 벡터, 그로탕디크 환, 이차 형식

2. 정의

표수가 2가 아닌 체 ''k'' 위에서 정의되는 비트 환은 ''k'' 위의 유한 차원 벡터 공간에 정의된 비퇴화 이차 형식들의 동치류들로 구성된다. 여기서 '비퇴화'는 이차 형식 ''Q''에 대해 ''Q(v)'' = 0을 만족하는 벡터 ''v''가 0 벡터뿐임을 의미한다.

두 대칭 쌍선형 형식을 갖춘 공간이 '동치'라는 것은, 하나를 다른 하나로부터 대사 제곱 공간을 더함으로써 얻을 수 있다는 것을 의미한다. 이는 노름이 0인 벡터를 갖는 비퇴화 2차원 대칭 쌍선형 형식인 하나 이상의 쌍곡 평면 사본을 더하는 것이다.^[1] 각 동치류는 비트 분해의 핵심 형식으로 표현된다.^[2]

이러한 동치류들은 직교 직합을 통해 가환군 ''W''(''k'')을 이루며, 이를 ''k''의 '''비트 군'''이라고 한다. 비트 군은 1차원 형식의 동치류에 의해 가산적으로 생성된다.^[3] ''k''의 비트 군은 가환환 구조를 가질 수 있으며, 이차 형식의 텐서곱을 사용하여 링 곱을 정의한다.

2. 1. 비트 분해

비트 분해 정리(Witt decomposition theorem^영어)에 따르면, 표수가 2가 아닌 체

K

위의 유한 차원 벡터 공간

V

위의 이차 형식

Q

는 다음과 같은 꼴로 표준적으로 분해된다.^[51]

:

(V,Q)=(V_0,0)\oplus(V_1,Q_1)\oplus(V_2,Q_2)

여기서 각 성분은 다음과 같다.

$(V_0,0)$ 은 이차 형식이 0인 이차 공간이다.
$(V_1,Q_1)$ 은 '''비등방성 이차 공간'''(anisotropic quadratic space^영어)이다. 즉, $V_1$ 속에서 $Q_1(v)=0$ 인 벡터 $v\in V_1$ 은 $v=0$ 뿐이다. 특히, $Q_1$ 은 비퇴화 이차 형식이다.
$(V_2,Q_2)$ 는 '''분해 이차 공간'''(split quadratic space^영어)이다. 즉, $Q_2$ 는 비퇴화 이차 형식이며, $\dim_KV_2=2n$ 는 짝수이며, $V_2$ 속에서 $Q_2|_W=0$ 인 $n$ 차원 부분 공간 $W\subseteq V_2$ 이 존재한다.

이 경우

(V_1,Q_1)

을

(V,Q)

의 '''핵심'''(核心, core^영어)이라고 한다. 또한,

\dim_K(V_1\oplus V_2)

를

Q

의 '''계수'''(階數, rank^영어)라고 하며,

(\dim_KV_2)/2

를

Q

의 '''비트 지표'''(Witt index^영어)라고 한다.^[47]

2. 2. 비트 동치와 비트 환

같은 체 위의 두 이차 공간

(V,Q)

,

(V',Q')

의 핵심이 서로 동형이라면, 두 이차 공간은 서로 '''비트 동치'''(Witt-equivalent^영어)라고 한다. 표수가 2가 아닌 체

K

위의 비퇴화 유한 차원 이차 공간들의 비트 동치류들의 집합

\operatorname{Witt}(K)

에 다음과 같은 연산을 부여하면, 이는 가환환을 이룬다.

$(V,Q)+(V',Q')=(V\oplus V',Q\oplus Q')$ . $\oplus$ 는 벡터 공간(및 그 위의 함수)의 직합이다.
$-(V,Q)=(V,-Q)$
$0=(K^0,0)$ . 여기서 $K^0$ 는 $K$ 위의 0차원 벡터 공간이다.
$(V,Q)\cdot(V',Q')=(V\otimes V',Q\otimes Q')$ $\otimes$ 는 벡터 공간 (및 그 위의 함수)의 텐서곱이다.
$1=(K^1,x\mapsto x^2)$

이 가환환을

K

의 '''비트 환'''이라고 한다.

표수가 2가 아닌 체 ''k''에서, 벡터 공간은 유한 차원이라고 가정하면, 두 개의 대칭 쌍선형 형식이 갖춰진 공간이 '''동치'''라는 것은, 하나를 다른 하나로부터 대사 제곱 공간을 더함으로써 얻을 수 있다는 것을 의미한다. 즉, 노름 0 벡터를 갖는 비퇴화 2차원 대칭 쌍선형 형식인 하나 이상의 쌍곡 평면의 복사본을 더하는 것이다.^[1] 각 동치류는 비트 분해의 핵심 형식으로 표현된다.^[2]

''k''의 비트 군은 비퇴화 대칭 쌍선형 형식의 동치류들의 가환군 ''W''(''k'')이며, 군 연산은 형식의 직교 직합에 해당한다. 이 군은 1차원 형식의 동치류에 의해 가산적으로 생성된다.^[3] ''k''의 비트 군은 가환환 구조를 가질 수 있으며, 이차 형식의 텐서곱을 사용하여 링 곱을 정의한다. 이것은 때때로 '''비트 링''' ''W''(''k'')이라고 불리지만, "비트 링"이라는 용어는 비트 벡터의 완전히 다른 링에도 자주 사용된다.

3. 성질

비트 환은 다음과 같은 성질을 갖는다.

계수 및 차원: 같은 비트 동치류에 속하는 이차 공간들의 계수는 모두 짝수이거나 홀수이다. 따라서, 비트 환은 다음과 같은 환 준동형을 갖는다.

::

(\dim\bmod2)\colon\dim\colon\operatorname{Witt}(K)\to\mathbb Z/(2)

이 준동형의 핵 $\mathfrak i(K)=\ker(\dim\bmod2)\subseteq\operatorname{Witt}(K)$ 은 비트 환의 기본 아이디얼이라고 불린다.
행렬식: 표수가 2가 아닌 체 위에서, 비퇴화 이차 형식 $Q$ 의 행렬식(또는 판별식) $\det Q\in K^\times/(K^\times)^2$ 은 $Q$ 를 나타내는 대칭 행렬의 행렬식의 동치류이다.
GrQExt(K): 표수가 2가 아닌 체 $K$ 에 대해, 가환환 $\operatorname{GrQExt}(K)$ 는 다음과 같이 정의된다.

::

\operatorname{GrQExt}(K)=\left\{(d,e)\colon d\in K^\times/(K^\times)^2,\;e\in\mathbb Z/(2)\right\}

::

(d,e)+(d',e')=\left((-1)^{ee'}dd', e+e'\right)

::

(d,e)(d',e')=(d^{e'}d'^e, ee')

즉, $\operatorname{GrQExt}(K)$ 의 원소는 $K$ 의 $\mathbb Z/(2)$ -등급 이차 확대의 동치류로 생각할 수 있다.^[51]
이 경우, 다음과 같은 자연스러운 환 준동형이 존재한다.

::

\operatorname{Witt}(K)\to \operatorname{GrQExt}(K)

::

(V,Q)\mapsto(\det Q,\dim_KV\bmod2)

이는 전사 함수이며, 그 핵은 기본 아이디얼의 제곱이다.^[48]
하세-비트 불변량: 표수가 2가 아닌 체 ''K'' 위의 이차 형식 ''Q''의 하세-비트 불변량은 사원수형 대수들로 정의되는 브라우어 군 $\operatorname{Br}(K)$ 원소들의 합이다. ''n''차원 벡터 공간 $V$ 위의 대각화된 비퇴화 이차 형식 $Q=\operatorname{diag}(a_1,a_2,\dots,a_n)$ 에 대하여, 사원수형 대수 $\left(\tfrac{a_i,a_j}K\right)$ 는 중심 단순 대수를 이루며, 하세-비트 불변량은 다음과 같이 정의된다.

:

\epsilon(V,Q)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=i+1}^n\left[\left(\frac{a_i,a_j}K\right)\right]\in\operatorname{Br}(K)

이는 ''Q''의 대각화에 의존하지 않으며, 이차 형식의 불변량을 이룬다. 또한, 비트 동치류 위의 유함수를 이루므로 비트 동치류의 불변량이 된다.^[24] 판별식, 랭크 모듈로 2와 함께 하세 불변량은 ''W''(''K'')에서 브라우어-월 군 BW(''K'')으로의 사상을 정의한다.^[27]
밀너 환과의 관계: 표수가 2가 아닌 체 $K$ 의 비트 환 $\operatorname{Witt}(K)$ 의 기본 아이디얼 $\mathfrak i(K)\subseteq\operatorname{Witt}(K)$ 의 거듭제곱들은 하강 여과를 이룬다.

:

\operatorname{Witt}(K)=\mathfrak i(K)^0\supseteq\mathfrak i(K)^1\supseteq\mathfrak i(K)^2\supseteq\mathfrak i(K)^3\supseteq\cdots

이에 대응되는 $\mathbb N$ -등급환

:

R(K)=\bigoplus_{n=0}^\infty R_n(K)

:

R_n(K)=\mathfrak i(K)^n/\mathfrak i(K)^{n+1}

을 정의할 수 있다.

체 $K$ 위의 '''피스터 이차 형식'''(Pfister quadratic form^영어)은 다음과 같은 꼴의, $2^n$ 차원 벡터 공간 위의 이차 형식이다.

:

\operatorname{diag}(1,-a_1)\otimes_K\operatorname{diag}(1,-a_2)\otimes_K\cdots\otimes_K\operatorname{diag}(1,-a_n)

$i(K)^n$ 의 원소들은 모두 유한 개의 $2^n$ 차원 피스터 이차 형식들의 직합으로 나타낼 수 있다.^[51]
체 $K$ 의 밀너 환

:

\operatorname K^{\operatorname M}(K)=\frac{\operatorname T(K^\times;\mathbb Z)}{(a\otimes(1-a))_{a\in K\setminus\{0,1\}}}

의 원소를

\{a_1,a_2,\dots,a_n\}\in\operatorname K^{\operatorname M}_n(K)

로 표기하면, 피스터 형식을 통해 밀너 환에서 위 등급환으로 가는 등급환 준동형을 정의할 수 있다.

:

\operatorname K_\bullet^{\operatorname M}(K)\to R_\bullet(K)

:

\{a_1,\dots,a_n\}\mapsto\operatorname{diag}(1,-a_1)\otimes_K\operatorname{diag}(1,-a_2)\otimes_K\cdots\otimes_K\operatorname{diag}(1,-a_n)

'''이차 형식에 대한 밀너 추측'''(Milnor conjecture on quadratic forms^영어)에 따르면, 이 준동형은 등급환의 동형을 이룬다. 이는 존 밀너가 추측하였으며,^[49] 2007년에 드미트리 오를로프(Дми́трий Орло́в), 알렉산드르 비시크(Алекса́ндр Вишик), 블라디미르 보예보츠키가 증명하였다.^[50]
순서체와 실베스터 관성 법칙: ''k''가 양뿔 ''P''를 갖는 순서화된 체이면, 관성 실베스터 법칙이 ''k'' 위의 이차 형식에 대해 성립하며, 시그니처는 ''W''(''k'')에서 '''Z'''로의 환 준동형 사상을 정의하며, 커널은 소 아이디얼 ''K''_''P''이다. 이러한 소 아이디얼들은 ''k''의 순서화 ''X_k''와 전단사 함수이며, MinSpec ''W''(''k'')의 최소 소 아이디얼 스펙트럼 MinSpec ''W''(''k'')를 구성한다. 전단사 함수는 자리스키 위상을 갖는 MinSpec ''W''(''k'')와 해리슨 위상을 갖는 순서화 집합 ''X''_''k'' 사이의 위상 동형 사상이다.^[17]

3. 1. 계수와 행렬식

같은 비트 동치류에 속하는 이차 공간들의 계수들은 모두 짝수이거나 모두 홀수이다. 따라서 비트 환은 자연스러운 환 준동형

:

(\dim\bmod2)\colon\dim\colon\operatorname{Witt}(K)\to\mathbb Z/(2)

을 갖는다. 이 준동형의 핵

\mathfrak i(K)=\ker(\dim\bmod2)\subseteq\operatorname{Witt}(K)

을 비트 환의 기본 아이디얼(fundamental ideal^영어)이라고 한다.

표수가 2가 아닌 체 위의 비퇴화 이차 형식

Q

의 행렬식(determinant^영어) 또는 판별식(discriminant^영어)

\det Q\in K^\times/(K^\times)^2

은

Q

를 나타내는 대칭 행렬의 행렬식의 동치류이다.

표수가 2가 아닌 체

K

에 대하여, 다음과 같은 가환환

\operatorname{GrQExt}(K)

를 정의할 수 있다.

:

\operatorname{GrQExt}(K)=\left\{(d,e)\colon d\in K^\times/(K^\times)^2,\;e\in\mathbb Z/(2)\right\}

:

(d,e)+(d',e')=\left((-1)^{ee'}dd', e+e'\right)

:

(d,e)(d',e')=(d^{e'}d'^e, ee')

즉,

\operatorname{GrQExt}(K)

의 원소는

K

의

\mathbb Z/(2)

- 등급 이차 확대의 동치류로 생각할 수 있다.^[51]

이 경우, 다음과 같은 자연스러운 환 준동형이 존재한다.

:

\operatorname{Witt}(K)\to \operatorname{GrQExt}(K)

:

(V,Q)\mapsto(\det Q,\dim_KV\bmod2)

이는 전사 함수이며, 그 핵은 기본 아이디얼의 제곱이다.^[48]

3. 2. 하세-비트 불변량

표수가 2가 아닌 체 ''K'' 위의 이차 형식 ''Q''의 '''하세-비트 불변량'''(Hasse–Witt invariant^영어)은 사원수형 대수들로 정의되는 브라우어 군

\operatorname{Br}(K)

원소들의 합이다. 구체적으로, ''n''차원 벡터 공간

V

위의 대각화된 비퇴화 이차 형식

Q=\operatorname{diag}(a_1,a_2,\dots,a_n)

에 대하여, 사원수형 대수

\left(\tfrac{a_i,a_j}K\right)

는 중심 단순 대수를 이루며, 하세-비트 불변량은 다음과 같이 정의된다.

:

\epsilon(V,Q)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=i+1}^n\left[\left(\frac{a_i,a_j}K\right)\right]\in\operatorname{Br}(K)

이는

Q

의 대각화에 의존하지 않으며, 이차 형식의 불변량을 이룬다. 또한, 비트 동치류 위의 유함수를 이루므로 비트 동치류의 불변량이 된다.^[24] 판별식, 랭크 모듈로 2와 함께 하세 불변량은 ''W''(''K'')에서 브라우어-월 군 BW(''K'')으로의 사상을 정의한다.^[27]

3. 3. 밀너 환과의 관계

표수가 2가 아닌 체

K

의 비트 환

\operatorname{Witt}(K)

의 기본 아이디얼

\mathfrak i(K)\subseteq\operatorname{Witt}(K)

의 거듭제곱들은 하강 여과를 이룬다.

:

\operatorname{Witt}(K)=\mathfrak i(K)^0\supseteq\mathfrak i(K)^1\supseteq\mathfrak i(K)^2\supseteq\mathfrak i(K)^3\supseteq\cdots

이에 대응되는

\mathbb N

-등급환

:

R(K)=\bigoplus_{n=0}^\infty R_n(K)

:

R_n(K)=\mathfrak i(K)^n/\mathfrak i(K)^{n+1}

을 정의할 수 있다.

체

K

위의 '''피스터 이차 형식'''(Pfister quadratic form^영어)은 다음과 같은 꼴의,

2^n

차원 벡터 공간 위의 이차 형식이다.

:

\operatorname{diag}(1,-a_1)\otimes_K\operatorname{diag}(1,-a_2)\otimes_K\cdots\otimes_K\operatorname{diag}(1,-a_n)

i(K)^n

의 원소들은 모두 유한 개의

2^n

차원 피스터 이차 형식들의 직합으로 나타낼 수 있다.^[51]

체

K

의 밀너 환

:

\operatorname K^{\operatorname M}(K)=\frac{\operatorname T(K^\times;\mathbb Z)}{(a\otimes(1-a))_{a\in K\setminus\{0,1\}}}

의 원소를

\{a_1,a_2,\dots,a_n\}\in\operatorname K^{\operatorname M}_n(K)

로 표기하자. 그렇다면, 피스터 형식을 통해 밀너 환에서 위 등급환으로 가는 등급환 준동형을 정의할 수 있다.

:

\operatorname K_\bullet^{\operatorname M}(K)\to R_\bullet(K)

:

\{a_1,\dots,a_n\}\mapsto\operatorname{diag}(1,-a_1)\otimes_K\operatorname{diag}(1,-a_2)\otimes_K\cdots\otimes_K\operatorname{diag}(1,-a_n)

'''이차 형식에 대한 밀너 추측'''(Milnor conjecture on quadratic forms^영어)에 따르면, 이 준동형은 등급환의 동형을 이룬다. 이는 존 밀너가 추측하였으며,^[49] 2007년에 드미트리 오를로프(Дми́трий Орло́в^ru) · 알렉산드르 비시크(Алекса́ндр Вишик^ru) · 블라디미르 보예보츠키가 증명하였다.^[50]

3. 4. 순서체와 실베스터 관성 법칙

''k''가 양뿔 ''P''를 갖는 순서화된 체이면, 관성 실베스터 법칙이 ''k'' 위의 이차 형식에 대해 성립하며, 시그니처는 ''W''(''k'')에서 '''Z'''로의 환 준동형 사상을 정의하며, 커널은 소 아이디얼 ''K''_''P''이다. 이러한 소 아이디얼들은 ''k''의 순서화 ''X_k''와 전단사 함수이며, MinSpec ''W''(''k'')의 최소 소 아이디얼 스펙트럼 MinSpec ''W''(''k'')를 구성한다. 전단사 함수는 자리스키 위상을 갖는 MinSpec ''W''(''k'')와 해리슨 위상을 갖는 순서화 집합 ''X''_''k'' 사이의 위상 동형 사상이다.^[17]

4. 예시

대수적으로 닫힌 체 또는 제곱적으로 닫힌 체의 비트 환은 '''Z'''/2'''Z'''이다.^[19]
'''R'''의 비트 환은 '''Z'''이다.^[19]
유한체 '''F'''_''q''(''q''는 홀수)의 비트 환은 ''q'' ≡ 3 mod 4이면 '''Z'''/4'''Z'''이고, ''q'' ≡ 1 mod 4이면 그룹 링 ('''Z'''/2'''Z''')[''F*''/''F*''²]와 동형이다.^[20]
극대 아이디얼의 아이디얼 노름이 4를 모듈로 하여 1과 합동인 국소체의 비트 환은 ''V''가 클라인 4원군인 그룹 링 ('''Z'''/2'''Z''')[''V'']와 동형이다.^[21]
노름이 4를 모듈로 하여 3과 합동인 극대 아이디얼을 가진 국소체의 비트 환은 ''C''₂가 2차 순환군인 ('''Z'''/4'''Z''')[''C''₂]이다.^[22]
'''Q'''₂의 비트 환은 32차이고, 다음과 같다.^[23]

:::

\mathbf{Z}_8[s,t]/\langle 2s,2t,s^2,t^2,st-4 \rangle .

대수적으로 닫힌 체 또는 제곱으로 닫힌 체의 그로텐디크-비트 환은 '''Z'''이다.^[19]
'''R'''의 그로텐디크-비트 환은 2차 순환군인 ''C''₂의 군환 '''Z'''[''C''₂]와 동형이다.^[19]
홀수 표수를 갖는 모든 유한체의 그로텐디크-비트 환은 '''Z''' ⊕ '''Z'''/2'''Z'''이며, 두 번째 요소에서는 곱셈이 자명하다.^[41] 요소 (1, 0)은 유한체에서 ''a''가 제곱이 아닌 이차 형식 ⟨''a''⟩에 해당한다.
노름이 4를 법으로 1과 합동인 극대 아이디얼을 갖는 국소체의 그로텐디크-비트 환은 '''Z''' ⊕ ('''Z'''/2'''Z''')³과 동형이다.^[21]
노름이 4를 법으로 3과 합동인 극대 아이디얼을 갖는 국소체의 그로텐디크-비트 환은 '''Z''' ⊕ ''Z'''/4'''Z''' ⊕ '''Z'''/2'''Z'''이다.^[21]

4. 1. 복소수체

quadratically closed field|이차 폐체|이차 폐체^영어의 표수가 2가 아닌 경우 (예를 들어 복소수체) 비트 환은

\mathbb Z/(2)

이다.^[51]

4. 2. 실수체

에우클레이데스 체(모든 양수가 제곱근을 갖는 순서체)(예: 실수체

\mathbb R

)의 경우, 비트 환은

\mathbb Z

와 동형이다.^[51] 이 동형은 구체적으로 다음과 같다.

계수 $n\in\mathbb Z^+$ 의 양의 정부호 형식은 $n$ 에 대응한다.
계수 $n\in\mathbb Z^+$ 의 음의 정부호 형식은 $-n$ 에 대응한다.
0차원 벡터 공간 위의 형식은 $0$ 에 대응한다.

실수체의 브라우어 군은 실수체와 사원수환

\mathbb H

로 구성되며, 2차 순환군이다.

:

\operatorname{Br}\mathbb R=\{\mathbb R,\mathbb H\}\cong\operatorname{Cyc}(2)

이 경우 힐베르트 기호가

:

\left(\frac{a,b}\mathbb R\right)=\begin{cases}

1&\max\{a,b\}<0\\

+1&\max\{a,b\}>0\\\end{cases}

이므로, 유한 차원 실수 벡터 공간 위의 부호수

(n_+,n_-)

의 비퇴화 이차 형식

Q

의 하세-비트 불변량은

:

\epsilon(Q)=(-1)^{s(s-1)/2}

이다.

4. 3. 유한체

표수가 홀수인 유한체

\mathbb F_q

의 비트 환의 크기는 4이며, 이는

q

에 따라 구체적으로 다음과 같다.^[51]

:

W(\mathbb F_q)\cong\begin{cases}\mathbb Z/(4)&q\equiv3\pmod4\\\mathbb F_2[\mathbb F_q^\times/(\mathbb F_q^\times)^2]&q\equiv1\pmod4\end{cases}

이 동형은 구체적으로 다음과 같다.

$q\equiv3\pmod4$ 인 경우
$\mathbb Z/(4)$	0	1	2	3
$W(\mathbb F_q)$	$Q_1^{(0)}$	$Q_1^{(1)}$	$Q_1^{(2)}$	$Q_2^{(1)}$

$q\equiv1\pmod4$ 인 경우
$\mathbb F_2[x]/(x^2)$	0	1	x	1+x
$W(\mathbb F_q)$	$Q_1^{(0)}$	$Q_1^{(1)}$	$Q_2^{(2)}$	$Q_2^{(1)}$

4. 4. 국소체

잉여류체의 크기가

q

인 비아르키메데스 국소체

K

의 비트 환은

q

의 값에 따라 다음과 같이 결정된다.^[51]

:

\operatorname{Witt}(K)\cong\begin{cases}\left(\mathbb Z/(2)\right)[\operatorname{Cyc}(2)\oplus\operatorname{Cyc}(2)]&q\equiv1\pmod4\\\left((\mathbb Z/(4)\right)[\operatorname{Cyc}(2)]&q\equiv3\pmod4\end{cases}

여기서

\operatorname{Cyc}(2)

는 2차 순환군이며,

R[G]

는 군환을 뜻한다.

극대 아이디얼의 아이디얼 노름에 따라 다음과 같이 분류할 수 있다.^[21],^[22]

노름이 4를 모듈로 하여 1과 합동인 경우: ''V''가 클라인 4원군인 그룹 링 ('''Z'''/2'''Z''')[''V'']와 동형이다.
노름이 4를 모듈로 하여 3과 합동인 경우: ''C''₂가 2차 순환군인 ('''Z'''/4'''Z''')[''C''₂]이다.

4. 5. 유리수체

유리수체

\mathbb Q

의 비트 환은 크기가 32이며,

W(\mathbb Q)\cong(\mathbb Z/(8))[s,t]/(2s,2t,s^2,t^2,st-4)

와 동형이다.^[51]

5. 일반화

비트 군은 왜곡 대칭 형식과 이차 형식, 더 일반적으로는 임의의 *-환 ''R''에 대한 ε-이차 형식에 대해서도 같은 방식으로 정의될 수 있다.

결과적으로 생성된 군(및 이들의 일반화)은 짝수 차원 대칭 ''L''-군 ''L''^2''k''(''R'')과 짝수 차원 이차 ''L''-군 ''L''_2''k''(''R'')으로 알려져 있다. 이차 ''L''-군은 4-주기성을 가지며, ''L''₀(''R'')는 (1)-이차 형식(대칭)의 비트 군이고, ''L''₂(''R'')는 (−1)-이차 형식(왜곡 대칭)의 비트 군이다. 대칭 ''L''-군은 모든 환에 대해 4-주기적이지 않으므로, 덜 정확한 일반화를 제공한다.

''L''-군은 수술 이론의 중심 대상이며, 수술 완전열의 세 항 중 하나를 형성한다.

6. 역사

에른스트 비트는 1937년 하빌리타치온 논문에서 비트 소거 정리와 비트 분해 정리 및 비트 환의 개념을 도입하였다.^[52]^[53]

참조

_[1] 서적
_[2] 서적
_[3] 서적
_[4] 서적
_[5] 서적
_[6] 서적
_[7] 서적
_[8] 서적
_[9] 서적
_[10] 서적
_[11] 서적
_[12] 서적
_[13] 서적
_[14] 서적
_[15] 서적
_[16] 서적
_[17] 서적
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