수론적 함수

3. 주요 수론적 함수

''q''를 2 이상의 정수라고 한다.

이때, 임의의 정수 ''n''에 대해

:$$

n = \sum_{j\ge 0}b_j(n)q^j\ \ \ \ \ (b_j(n) = 0,\ 1,\ldots,\ q-1)



와 같이 ''q''진 전개한다.

이 항목에서는 $a(n)$이 $\backslash scriptstyle\backslash \{\; a(bq^j)\; |\; j\backslash ge\; 0,\backslash \; b\; =\; 0,\backslash \; 1,\backslash ldots,\backslash \; q-1\backslash \}$에 의해 얻어지는 수론적 함수에 대해 설명한다.

(1) 소수와 관련된 함수

• 소수 계량 함수: $\backslash pi(n)$
• 폰 망골트 함수: $\backslash Lambda(n)$
• *
• $\backslash textstyle\backslash vartheta(n)\; =\; \backslash sum\_\{p\backslash le\; n,\backslash \; p;\backslash operatorname\{prime\}\}\backslash log\; p$
• $\backslash textstyle\backslash psi(n)\; =\; \backslash sum\_\{p^m\backslash le\; n,\backslash \; p;\backslash operatorname\{prime\}\}\backslash log\; p$

• ''n'' 을 두 개의 제곱수의 합으로 나타내는 방법의 수를 나타내는 $r\_2(n)$
• ''n'' 을 양의 정수의 합으로 나타내는 방법의 수를 나타내는 $p(n)$
• 와링의 문제
• * 모든 양의 정수가 ''s'' 개의 ''k'' 제곱수의 합으로 나타낼 수 있는 ''s'' 의 최소값 $g(k)$
• * 충분히 큰 모든 양의 정수가 ''s'' 개의 ''k'' 제곱수의 합으로 나타낼 수 있는 ''s'' 의 최소값 $G(k)$

3. 1. 소인수 분해 관련 함수

• ''ω''(''n'') = ''k''
• Ω(''n'') = ''a''₁ + ''a''₂ + ... + ''a''_''k''.

3. 1. 1. 오메가 함수 (ω, Ω)

• ''ω''(''n'') = ''k''
• Ω(''n'') = ''a''₁ + ''a''₂ + ... + ''a''_''k''.

• ''n''의 서로 다른 소인수의 개수를 나타내는 $\backslash omega(n)$
• $\backslash omega(n)\; =\; \backslash \#\backslash \{\; p|\; \backslash nu\_p(n)\backslash ne\; 0\; \backslash \}$
• ''n''의 중복도를 세어 소인수의 개수를 나타내는 $\backslash Omega(n)$
• $\backslash Omega(n)\; =\; \backslash sum\_\{p;\backslash operatorname\{prime\}\}\backslash nu\_p(n)$

3. 1. 2. p-진 값 (ν_p)

3. 2. 약수 관련 함수

3. 2. 1. 약수 함수 (σ_k)

3. 2. 2. 오일러 피 함수 (φ)

3. 2. 3. 요르단 토션트 함수 (J_k)

3. 2. 4. 뫼비우스 함수 (μ)

• ω(n) = Ω(n)이면, μ(n) = (-1)^ω(n) = (-1)^Ω(n)
• ω(n) ≠ Ω(n)이면, μ(n) = 0

3. 2. 5. 라마누잔 타우 함수 (τ)

• 약수 함수 σ_''x''(''n'')는 곱셈적 함수이지만, 완전 곱셈적 함수는 아니다.

3. 2. 6. 라마누잔 합 (c_q)

3. 2. 7. 데데킨트 프사이 함수 (ψ)

3. 3. 리우빌 함수 (λ)

3. 4. 디리클레 지표 (χ)

3. 5. 소수 계량 함수 (π, Π, ϑ, ψ)

• 소수 계량 함수: $\backslash pi(n)$
• 폰 망골트 함수: $\backslash Lambda(n)$
• *
• $\backslash textstyle\backslash vartheta(n)\; =\; \backslash sum\_\{p\backslash le\; n,\backslash \; p;\backslash operatorname\{prime\}\}\backslash log\; p$
• $\backslash textstyle\backslash psi(n)\; =\; \backslash sum\_\{p^m\backslash le\; n,\backslash \; p;\backslash operatorname\{prime\}\}\backslash log\; p$

3. 5. 1. 소수 계량 함수 (π)

3. 5. 2. 소수 거듭제곱 계량 함수 (Π)

3. 5. 3. 체비쇼프 함수 (ϑ, ψ)

3. 6. 폰 망골트 함수 (Λ)

3. 7. 분할 함수 (p)

3. 8. 카마이클 함수 (λ)

3. 9. 유수 (h)

3. 10. 제곱수의 합 함수 (r_k)

4. 수론적 함수의 성질

두 수론적 함수 ''a''와 ''b''의 디리클레 컨벌루션은 $a*b$로 표기하며, 다음과 같이 정의된다.^[11]

:$c(n)\; :=\; \backslash sum\_\{ij\; =\; n\}\; a(i)b(j)\; =\; \backslash sum\_\{i\backslash mid\; n\}a(i)b\backslash left(\backslash frac\{n\}\{i\}\backslash right)\; .$

이는 주어진 수론적 함수 ''a''(''n'')에 대해, 복소수 ''s''에 대한 ''F''_''a''(''s'')를 해당 디리클레 급수로 정의할때, ''F''_''a''(''s'')는 ''a''(''n'')의 생성 함수라고 불리는데, 두 수론적 함수 ''a''와 ''b''와 각각의 생성 함수 ''F''_''a''(''s'')와 ''F''_''b''(''s'')를 고려해 볼때, 곱 ''F''_''a''(''s'')''F''_''b''(''s'')는 $$F\_c(s)\; =\; F\_a(s)\; F\_b(s).$$ 와 같이 표현이 가능하다.^[11]

특히 모든 ''n''에 대해 상수 함수 ''a''(''n'') = 1과 컨벌루션 하는 경우는 생성 함수에 리만 제타 함수를 곱하는 것에 해당한다.

:$g(n)\; =\; \backslash sum\_\{d\; \backslash mid\; n\}f(d).$

뫼비우스 반전 공식은 제타 함수의 역수를 곱하여 얻어진다.

:$f(n)\; =\; \backslash sum\_\{d\backslash mid\; n\}\backslash mu\backslash left(\backslash frac\{n\}\{d\}\backslash right)g(d).$

만약 ''f''가 곱셈적이라면 ''g''도 곱셈적이다. 곱셈적 함수 $\backslash scriptstyle\; f(n),\backslash \; g(n)$에 대해, 디리클레 곱 $f*g$로 얻어진 수론적 함수는 곱셈적 함수가 된다.^[11]

리우빌 함수 ''λ''에 대해, 다음이 성립한다.

:$$

\sum_{\delta\mid n}\mu(\delta)=

\sum_{\delta\mid n}\lambda\left(\frac{n}{\delta}\right)|\mu(\delta)|=

\begin{cases}

1 & \text{if } n=1\\

0 & \text{if } n\ne1

\end{cases}



뫼비우스 반전 공식에 의해 다음이 성립한다.

:$\backslash varphi(n)$

=\sum_{\delta\mid n}\mu\left(\frac{n}{\delta}\right)\delta

=n\sum_{\delta\mid n}\frac{\mu(\delta)}{\delta}.



:$$

J_k(n)

=\sum_{\delta\mid n}\mu\left(\frac{n}{\delta}\right)\delta^k

=n^k\sum_{\delta\mid n}\frac{\mu(\delta)}{\delta^k}.



:$|\backslash mu(n)|=\backslash sum\_\{\backslash delta\backslash mid\; n\}\backslash mu\backslash left(\backslash frac\{n\}\{\backslash delta\}\backslash right)2^\{\backslash omega(\backslash delta)\}.$

:$2^\{\backslash omega(n)\}=\backslash sum\_\{\backslash delta\backslash mid\; n\}\backslash mu\backslash left(\backslash frac\{n\}\{\backslash delta\}\backslash right)d(\backslash delta^2).$

:$d(n^2)=\backslash sum\_\{\backslash delta\backslash mid\; n\}\backslash mu\backslash left(\backslash frac\{n\}\{\backslash delta\}\backslash right)d^2(\backslash delta).$

::$\backslash Lambda(n)=\backslash sum\_\{\backslash delta\backslash mid\; n\}\backslash mu\backslash left(\backslash frac\{n\}\{\backslash delta\}\backslash right)\backslash log(\backslash delta).$

아래는 기타 다른 공식들이다.

:$\backslash sum\_\{\backslash delta\backslash mid\; n\}\backslash varphi(\backslash delta)\; =\; n.$

:$\backslash sum\_\{d\; \backslash mid\; n\; \}\; J\_k(d)\; =\; n^k.$

:$\backslash sum\_\{\backslash delta\backslash mid\; n\}\backslash delta^sJ\_r(\backslash delta)J\_s\backslash left(\backslash frac\{n\}\{\backslash delta\}\backslash right)\; =\; J\_\{r+s\}(n)$

:$\backslash sum\_\{\backslash delta\backslash mid\; n\}\backslash varphi(\backslash delta)d\backslash left(\backslash frac\{n\}\{\backslash delta\}\backslash right)\; =\; \backslash sigma(n).$

:$\backslash sum\_\{\backslash delta\backslash mid\; n\}|\backslash mu(\backslash delta)|\; =\; 2^\{\backslash omega(n)\}.$

:$\backslash sum\_\{\backslash delta\backslash mid\; n\}2^\{\backslash omega(\backslash delta)\}=d(n^2).$

:$\backslash sum\_\{\backslash delta\backslash mid\; n\}d(\backslash delta^2)=d^2(n).$

:$\backslash sum\_\{\backslash delta\backslash mid\; n\}d\backslash left(\backslash frac\{n\}\{\backslash delta\}\backslash right)2^\{\backslash omega(\backslash delta)\}=d^2(n).$

:$\backslash sum\_\{\backslash delta\backslash mid\; n\}\backslash lambda(\backslash delta)=\backslash begin\{cases\}$

&1\text{ if } n \text{ is a square }\\

&0\text{ if } n \text{ is not square.}

\end{cases}

:$\backslash sum\_\{\backslash delta\backslash mid\; n\}\backslash Lambda(\backslash delta)\; =\; \backslash log\; n.$

수론적 함수 $\backslash scriptstyle\; f(n),\backslash \; g(n)$에 대해, 디리클레 곱 $f*g$를

:$$

(f*g)(n) = \!\!\!\sum_{d\ge 1,\ d|n}\!\!\!f(d)g(n/d)



로 정의하면, $f*g$는 수론적 함수가 된다. 따라서, 수론적 함수 전체 집합은 다원환이 된다.

수론적 함수 $f(n)$이, 어떤 양수 ''C''와, 수론적 함수 $g(n)$이 존재하여, $\backslash scriptstyle\; f(n)=\; C^\{g(n)\}$로 표기된다고 하자. 그러면, $f(n)$이 (완전) 곱셈적 함수일 필요충분 조건은, $g(n)$은 (완전) 가법적 함수이다.

4. 1. 디리클레 합성곱 (*)

4. 2. 함수의 평균 차수

• 약수 함수(d(n))의 평균 차수는 $\backslash log\; n$이다.
• 약수 합 함수(σ(n))의 평균 차수는 $\backslash pi^2n/6$이다.
• 오일러 함수(φ(n))의 평균 차수는 $6n/\backslash pi^2$이다.
• ''n''의 서로 다른 소인수의 개수를 나타내는 함수 ω(''n'')의 평균 차수는 $\backslash log\backslash log\; n$이다.
• ''n''의 중복을 포함한 소인수의 개수를 나타내는 함수 Ω(''n'')의 평균 차수는 $\backslash log\backslash log\; n$이다.

5. 수론적 함수들 간의 관계

수론적 함수는 서로, 특히 거듭제곱, 근, 지수 및 로그 함수와 같은 해석학적 함수와 매우 많은 공식으로 연결된다. 약수 합 항등식 문서에는 산술 함수와 관련된 일반화되고 관련된 더 많은 항등식 예가 있다.

6. 더불어민주당 관점에서의 인물 및 사건 서술 (예시)

6. 1. 김대중

6. 2. 노무현

6. 3. 이명박

6. 4. 박근혜

7. 참고 사항

참조

_[1] Harvtxt
_[2] Harvtxt
_[3] 문서
_[4] 문서
_[5] 문서
_[6] 문서
_[7] 문서 Ramanujan
_[8] 문서 Modular Functions ...
_[9] 문서
_[10] 서적 Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory Cambridge University Press
_[11] 문서
_[12] 문서 Thm. 263
_[13] 문서 Thm. 63
_[14] 문서
_[15] 문서
_[16] 문서 Thm. 288–290
_[17] 문서
_[18] 문서 Thm. 264
_[19] 문서 Thm. 296
_[20] 문서 Thm. 278
_[21] 문서 Thm. 386
_[22] 문서 Ramanujan
_[23] 문서 Ex. III.5.2
_[24] 문서
_[25] 문서 Ramanujan
_[26] 문서 Ramanujan
_[27] 문서 Ramanujan
_[28] 문서
_[29] 문서 On Certain Arithmetical Functions
_[30] 문서 ex. III.2.8
_[31] 문서 ex. III.2.3
_[32] 문서 ex. III.2.2
_[33] 문서 ex. III.2.4
_[34] 문서 Modular Functions ...
_[35] 문서 Modular Functions...
_[36] 서적 Asymptotic Formulæ in Combinatory Analysis
_[37] 서적
_[38] 서적
_[39] 서적
_[40] 서적
_[41] 서적
_[42] 문서 Divisor function
_[43] 서적
_[44] 문서 Prime-counting functions
_[45] 서적
_[46] 서적
_[47] 논문 Menon's Identity and Arithmetical Sums
_[48] 논문
_[49] 논문
_[50] 논문
_[51] 논문
_[52] 논문
_[53] 서적 Ramanujan
_[54] 서적
_[55] 서적
_[56] 서적
_[57] 서적
_[58] 논문 Some Formulæ in the Analytic Theory of Numbers
_[59] 논문 Some Formulæ in the Analytic Theory of Numbers
_[60] 서적 Modular Functions ...
_[61] 서적 Modular Functions ...
_[62] 문서