르레 스펙트럼 열

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 세르 스펙트럼 열
3. 일반화
4. 구성
5. 고전적 정의
6. 예
7. 퇴화 정리
8. 역사 및 다른 스펙트럼 열과의 연관성
참조

1. 개요

르레 스펙트럼 열은 대수기하학과 표현론 등 수학 여러 분야에서 사용되는 중요한 도구로, 층 코호몰로지, 왼쪽 완전 함자, 그로텐디크 스펙트럼 열 등과 관련이 있다. 위상 공간과 층을 사용하여 정의되며, E_2 항에서 시작하여 미분 연산자를 통해 다음 항으로 진행된다. 세르 스펙트럼 열은 르레 스펙트럼 열의 특수한 경우이며, 올뭉치의 코호몰로지를 계산하는 데 사용된다. 르레 스펙트럼 열은 일반화될 수 있으며, 층 초코호몰로지를 통해 정의된다. 이 열은 아벨 범주, 가법 함자, 좌 완전 함자 및 유도 함자를 사용하여 구성된다. 르레 스펙트럼 열은 복소수 준사영 다양체 범주에서 퇴화되며, 이는 코호몰로지 구조 연구에 중요한 도구로 사용된다. 르레 스펙트럼 열은 1950년대 초 장 르레에 의해 제안되었으며, 세르 스펙트럼 열, 그로텐디크 스펙트럼 열과 같은 다른 스펙트럼 열의 개발에 영향을 미쳤다.

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르레 스펙트럼 열

2. 정의

'''르레 스펙트럼 열'''(Leray spectral sequence^영어)은 두 왼쪽 완전 함자의 합성에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열이다.^[6]^[7] 구체적으로, 위상 공간 사이의 연속 함수 $f\colon X\to Y$ 가 주어졌을 때, 이에 대응하는 층의 직상 함자 $f_*\colon \operatorname{Sh}(X;\operatorname{Ab})\to\operatorname{Sh}(Y;\operatorname{Ab})$ 와 $Y$ 위에서의 대역 단면 함자 $\Gamma_Y\colon \operatorname{Sh}(Y;\operatorname{Ab})\to\operatorname{Ab}$ 를 생각한다. 이 두 함자의 합성 $\Gamma_Y \circ f_*$ 는 $X$ 위의 층에서 아벨 군으로 가는 함자이며, 이는 $X$ 위에서의 대역 단면 함자 $\Gamma_X$ 와 같다.

: $\operatorname{Sh}(X;\operatorname{Ab})\xrightarrow{f_*}\operatorname{Sh}(Y;\operatorname{Ab})\xrightarrow{\Gamma_Y}\operatorname{Ab}$

: $\Gamma_Y \circ f_* = \Gamma_X : \mathrm{Sh_{Ab}} (X) \to \mathrm{Ab}$

직상 함자 $f_*$ 는 완전 함자인 왼쪽 수반 함자 (층 역상 함자 $f^*$ )를 가지므로 ( $f^*\dashv f_*$ ), 단사층을 단사층으로 보낸다. 또한, 대역 단면 함자 $\Gamma_Y$ 는 왼쪽 완전 함자이다. 따라서 합성 함자 $\Gamma_X = \Gamma_Y \circ f_*$ 에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열을 구성할 수 있다.

이 스펙트럼 열의 $E_2$ 항(두 번째 페이지)은 다음과 같이 주어진다.^[3]^{pg 33,19}

: $E^{p,q}_2 = (R^p\Gamma_Y \circ R^q f_*)(\mathcal{F}) = H^p(Y, R^q f_* \mathcal{F})$

여기서 $\mathcal{F}$ 는 $X$ 위의 아벨 군의 층이고, $R^q f_*$ 는 직상 함자 $f_*$ 의 $q$ 번째 오른쪽 유도 함자이며, $H^p(Y, -)$ 는 $Y$ 위에서의 $p$ 번째 층 코호몰로지 군을 나타낸다.

이 스펙트럼 열은 합성 함자 $\Gamma_X = \Gamma_Y \circ f_*$ 의 유도 함자, 즉 $X$ 위의 층 코호몰로지로 수렴한다.

: $E^{p,q}_2 \Rightarrow R^{p+q}(\Gamma_Y \circ f_*)(\mathcal{F}) = R^{p+q}\Gamma_X(\mathcal{F}) = H^{p+q}(X, \mathcal{F})$

이를 요약하면 다음과 같다.

: $E^{p,q}_2 = H^p(Y; R^q f_* \mathcal{F}) \Rightarrow H^{p+q}(X;\mathcal{F})$

르레 스펙트럼 열은 공간 $X$ 의 층 코호몰로지를 계산할 때, 상대적으로 더 다루기 쉬울 수 있는 공간 $Y$ 의 층 코호몰로지와 직상 함자의 유도 함자 $R^q f_* \mathcal{F}$ (이는 $f$ 의 올(fiber)들의 코호몰로지와 관련됨)를 이용하여 단계적으로 접근하는 방법을 제공한다.

2. 1. 세르 스펙트럼 열

르레 스펙트럼 열의 특수한 경우로,

f\colon X\to Y

가 올이

F

인 세르 올뭉치라고 하고,

\mathcal F=\underline{G}

가

X

위의, 아벨 군

G

값의 상수층이라고 하자. 또한, 다음 조건들이 성립한다고 가정한다.

$Y$ 는 경로 연결 CW 복합체이다.
기본군 $\pi_1(Y)$ 는 $\operatorname H^\bullet(Y;G)$ 위에 자명하게 작용한다.

그렇다면

:

\operatorname R^qf_*\mathcal F=\underline{\operatorname H^q(F;G)}

가 된다. 즉,

\operatorname R^qf_*\mathcal F

는 올의 코호몰로지 값의 상수층이다. 따라서, 르레 스펙트럼 열은 다음과 같다.^[8]

:

E^{p,q}_2=\operatorname H^p\left(Y;\operatorname H^q(F;G)\right)\Rightarrow\operatorname H^{p+q}(X;G)

여기서

\operatorname H

는 특이 코호몰로지이다. 이를 '''세르 스펙트럼 열'''(Serre spectral sequence^영어)이라고 한다.

3. 일반화

르레 스펙트럼 열의 결과는 고정된 가환환 $A$ 에 대해, 국소적으로 상수인 환의 층 $\underline{A}$ 위의 가군 층을 고려하여 일반화할 수 있다. 이때 층은 $\underline{A}$ -가군의 층이 되는데, 이는 위상 공간 $X$ 의 열린 부분 집합 $U$ 에 대해, 이러한 층 $\mathcal{F} \in \text{Sh}_{\underline{A}}(X)$ 가 $\mathcal{F}(U)$ 에 대한 $\underline{A}(U)$ -가군임을 의미한다.

또한, 개별적인 층 대신에, $\text{Sh}_{\underline{A}}(X)$ 의 유도 범주에서 아래로 유계인 층의 복합체 $\mathcal{F}^\bullet \in D^+_{\underline{A}}(X)$ 를 고려할 수도 있다. 이 경우, 일반적인 층 코호몰로지는 층 초코호몰로지라는 더 일반적인 개념으로 대체된다.

4. 구성

'''르레 스펙트럼 열'''(Leray spectral sequence^영어)은 위상 공간 사이의 연속 함수 $f\colon X\to Y$ 와 아벨 군 값을 갖는 층에 대해 정의되는 스펙트럼 열이다. 이는 다음과 같은 두 왼쪽 완전 함자의 합성에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열의 한 예이다.^[6]^[7]

: $\operatorname{Sh}(X;\operatorname{Ab})\xrightarrow{f_*}\operatorname{Sh}(Y;\operatorname{Ab})\xrightarrow{\Gamma_Y}\operatorname{Ab}$

여기서 $f_*$ 는 $f$ 에 의해 유도되는 층의 직상 함자이고, $\Gamma_Y$ 는 $Y$ 위의 층에 대한 대역 단면 함자이다. (이는 한원소 공간 위의 층 범주 $\operatorname{Sh}(\{\bullet\},\operatorname{Ab})\simeq\operatorname{Ab}$ 로의 직상으로 생각할 수 있다.)

층의 직상 함자 $f_*\colon\operatorname{Sh}(X;\operatorname{Ab})\to\operatorname{Sh}(Y;\operatorname{Ab})$ 는 층 역상 함자 $f^*\colon\operatorname{Sh}(Y;\operatorname{Ab})\to\operatorname{Sh}(X;\operatorname{Ab})$ 를 왼쪽 수반 함자로 가진다 ( $f^*\dashv f_*$ ). 층 역상 $f^*$ 는 완전 함자이므로, 그 오른쪽 수반 함자인 $f_*$ 는 단사층(injective sheaf)을 단사층으로 보낸다. 또한, 대역 단면 함자 $\Gamma_Y$ 는 왼쪽 완전 함자이며, 단사층은 $\Gamma_Y$ -비순환 대상이다. 따라서 $f_*$ 는 단사층을 $\Gamma_Y$ -비순환 대상으로 보낸다는 그로텐디크 스펙트럼 열의 조건이 충족된다.

두 함자의 합성 $\Gamma_Y \circ f_*$ 는 $X$ 위의 층 $\mathcal{F}$ 의 대역 단면을 취하는 함자 $\Gamma_X$ 와 같다.

: $(\Gamma_Y \circ f_*)(\mathcal{F}) = \Gamma_X(\mathcal{F})$

따라서 이 합성 함자의 오른쪽 유도 함자 $R^i(\Gamma_Y \circ f_*)$ 는 $X$ 에서의 층 코호몰로지 $H^i(X; \mathcal{F})$ 를 계산한다.

그로텐디크 스펙트럼 열의 정리에 따라, $f_*$ 와 $\Gamma_Y$ 의 오른쪽 유도 함자 $R^q f_*$ 와 $R^p \Gamma_Y$ 로부터 구성되는 스펙트럼 열이 존재하며, 이는 합성 함자의 유도 함자로 수렴한다.^[3]^{pg 33,19} 이를 '''르레 스펙트럼 열'''이라고 하며, 구체적으로 다음과 같다.

: $E_2^{p,q} = (R^p\Gamma_Y \circ R^q f_*)(\mathcal{F}) = H^p(Y; R^qf_*\mathcal{F}) \implies H^{p+q}(X;\mathcal{F})$

여기서 $\operatorname H^\bullet(-;-)$ 는 층 코호몰로지이다. 이 스펙트럼 열은 $X$ 위의 층 코호몰로지를 $Y$ 위의 층 코호몰로지( $R^q f_* \mathcal{F}$ 층의 코호몰로지)를 이용하여 계산할 수 있게 해준다.

르레 스펙트럼 열의 존재는 그로텐디크 스펙트럼 열^[3]^{pg 19}의 직접적인 응용이다. 그로텐디크 스펙트럼 열은 충분한 단사 대상을 가진 아벨 범주 $\mathcal{A}, \mathcal{B}, \mathcal{C}$ 사이의 가법 함자

: $\mathcal{A} \xrightarrow{G}\mathcal{B} \xrightarrow{F} \mathcal{C}$

에 대해, 만약 $F$ 가 왼쪽 완전 함자이고 $G$ 가 단사 대상을 $F$ -비순환 대상으로 보낸다면, 오른쪽 유도 함자 사이에 자연스러운 동형 관계가 성립함을 의미한다. 이를 유도 범주 $D^+(\mathcal{A}), D^+(\mathcal{B}), D^+(\mathcal{C})$ 를 사용하여 표현하면 다음과 같다.

: $R(F\circ G) \simeq RF\circ RG$

르레 스펙트럼 열의 경우, 관련된 유도 함자의 합성은 다음과 같이 표현된다.

: $D^+(\operatorname{Sh}(X;\operatorname{Ab})) \xrightarrow{Rf_*} D^+(\operatorname{Sh}(Y;\operatorname{Ab})) \xrightarrow{R\Gamma_Y} D^+(\operatorname{Ab}).$

5. 고전적 정의

매끄러운 다양체 사이의 연속 사상 $f\colon X\to Y$ 가 주어졌다고 하자. 만약 $\mathcal{U} = \{U_i\}_{i \in I}$ 가 $Y$ 의 열린 덮개라면, $X$ 위의 묶음 $\mathcal{F} \in \text{Sh}(X)$ 에 대하여, $X$ 의 덮개 $f^{-1}(U)$ 를 이용해 체흐 복합체를 다음과 같이 구성할 수 있다.

: $\text{C}^p(f^{-1}\mathcal{U}, \mathcal{F})$

경계 사상 $d^p\colon C^p \to C^{p+1}$ 와 $X$ 위의 묶음에 대한 사상 $\delta^q\colon \Omega^q_X \to \Omega_X^{q+1}$ 는 이중 복합체 $\text{C}^p(f^{-1}\mathcal{U}, \Omega_X^q)$ 에 대한 경계 사상을 정의한다.

: $D=d+\delta \colon C^\bullet(f^{-1}\mathcal{U},\Omega_X^\bullet)\longrightarrow C^\bullet(f^{-1}\mathcal{U},\Omega_X^\bullet) .$

이 이중 복합체는 또한 $n=p+q$ 로 등급이 매겨진 단일 복합체로 볼 수 있으며, 여기서 $D$ 는 경계 사상이 된다. 만약 열린 덮개 $\mathcal{U}$ 에 속하는 $U_i$ 들의 모든 유한 교집합이 $\R^n$ 과 미분 동형이라면, 이 복합체의 코호몰로지는 $X$ 의 드람 코호몰로지와 같다는 것을 보일 수 있다.^[4]^[5]

: $H_D^n( C^\bullet(f^{-1}\mathcal{U},\Omega_X^\bullet)) = H_\text{dR}^n(X,\R)$

모든 이중 복합체는 다음과 같은 스펙트럼 열 ''E''를 갖는다.

: $E_\infty^{n-p,p}$ 는 $H^n_{dR}( C^\bullet(f^{-1}\mathcal{U},\Omega_X^\bullet))$ 의 ''p''번째 등급 부분이다. (따라서 이들의 합은 $H^n_{dR}$ 이 된다.)

그리고

: $E_2^{p,q} = H^p(f^{-1}\mathcal{U}, \mathcal{H}^q)$

여기서 $\mathcal{H}^q$ 는 $Y$ 위의 사전묶음으로, 열린 집합 $U$ 를 코호몰로지 군 $H^q(f^{-1}(U), F)$ 로 보낸다. 이러한 맥락에서 정의된 스펙트럼 열을 르레 스펙트럼 열이라고 부른다.

현대적인 정의는 이 고전적 정의를 일반화한 것이다. 고차 직접 이미지 함자 $R^pf_*(F)$ 는 사전묶음 $U \mapsto H^q(f^{-1}(U), F)$ 에 대응하는 층화(sheafification)이기 때문이다.

6. 예

$X$ 와 $F$ 를 매끄러운 다양체라고 하고, $X$ 는 단일 연결 공간 ( $\pi_1(X) = 0$ )이라고 가정하자. 이때 사영 사상 $f\colon X\times F \to X$ 의 르레 스펙트럼 열을 생각해보자. $X$ 의 좋은 덮개 $\mathcal{U} = \{U_i\}_{i \in I}$ (즉, 모든 유한 교집합이 $\R^n$ 과 미분동형)를 사용하면, 각 열린 집합 $U_i$ 의 역상 $f^{-1}(U_i) = U_i \times F$ 에 대해 코호몰로지 군은 다음과 같다.

: $\mathcal{H}^q(f^{-1}U_i; \R) \simeq H^q(F; \R)$

$X$ 가 단일 연결 공간이므로, $X$ 위의 모든 국소적으로 상수인 사전층은 상수 사전층이 된다. 따라서 $H^q(F; \R)$ 계수를 갖는 사전층은 상수 사전층 $\underline{H^q(F; \R)}$ 이다. 이를 이용해 르레 스펙트럼 열의 두 번째 쪽( $E_2$ )을 계산하면 다음과 같다.

: $E_2^{p,q} = H^p(X, \underline{H^q(F; \R)}) = H^p(X; \R) \otimes H^q(F; \R)$

여기서 $H^p(X; \R)$ 는 $X$ 의 실수 계수 코호몰로지, $H^q(F; \R)$ 는 $F$ 의 실수 계수 코호몰로지이다. (덮개 $\{f^{-1}(U_i) = U_i \times F\}_{i \in I}$ 가 $X\times F$ 의 좋은 덮개이므로 체흐 코호몰로지와 특이 코호몰로지가 일치함을 이용했다.)

이 스펙트럼 열은 전체 공간 $X\times F$ 의 실수 계수 코호몰로지 $H^{p+q}(X\times F, \R)$ 로 수렴한다.

: $E_2^{p,q} = H^p(X; \R) \otimes H^q(F; \R) \ \Longrightarrow \ H^{p+q}(X\times F, \R)$

이 경우, $f$ 는 사영 사상이므로 $E_2$ 쪽의 모든 원소는 $X\times F$ 전체에 정의된 실제 닫힌 미분 형식으로 표현될 수 있다. 따라서 모든 고차 미분 $d_r$ ( $r \ge 2$ )은 0이 된다 ( $d_r = 0$ ). 즉, 스펙트럼 열은 $E_2$ 쪽에서 퇴화하여 $E_\infty = E_2$ 가 된다. 이는 $X$ 가 단일 연결 공간일 때 곱공간의 코호몰로지에 대한 퀴네트 정리(Künneth theorem)를 실수 계수에 대해 보여준다.

: $H^k(X\times F, \R) \cong \bigoplus_{p+q=k} H^p(X; \R) \otimes H^q(F; \R)$

만약 $f\colon X \to Y$ 가 섬유 $F$ 를 갖는 일반적인 섬유 다발이라면, 위와 유사한 계산을 할 수 있지만 중요한 차이점이 있다. 이 경우, 층 $V \mapsto H^q(f^{-1}(V); \R)$ (여기서 $V \subseteq Y$ 는 열린 집합)은 일반적으로 상수 층이 아니라 국소적으로 상수인 층이다. 이는 밑공간 $Y$ 의 기본군 $\pi_1(Y)$ 의 작용(모노드로미)이 섬유의 코호몰로지에 비자명하게 작용할 수 있음을 의미한다.

또한, 세르 스펙트럼 열은 층 코호몰로지를 사용하는 르레 스펙트럼 열의 중요한 예시이다. 특히, 상수 층을 계수로 사용하는 세르 스펙트럼 열 계산은 르레 스펙트럼 열의 계산과 동일하다. 아래의 하위 섹션에서 다루는 예시들은 세르 스펙트럼 열을 이용한 구체적인 계산을 보여준다.

6. 1. 고리 공간

양의 정수

n>0

이 주어졌다고 하자. 밑점이 부여된 초구

(\mathbb S^n,\bullet_{\mathbb S^n})

에 대하여, 경로 공간 올뭉치

:

\Omega\mathbb S^n\hookrightarrow\mathcal P\mathbb S^n\twoheadrightarrow\mathbb S^n

를 생각한다. 여기서

\Omega\mathbb S^n

는 고리 공간(밑점에서 시작하여 밑점으로 돌아오는 경로들의 공간)이고,

\mathcal P\mathbb S^n

는 밑점에서 시작하는 경로들의 공간이다. 이 구성은

n>0

일 때 올뭉치를 형성하는데,

n=0

이면 0차원 초구

\mathbb S^0

는 경로 연결 공간이 아니므로 올뭉치가 되지 않는다.

이 올뭉치에 대한 호몰로지 세르 스펙트럼 열의

E^2

쪽은 다음과 같다.

:

E^2_{p,q} = \operatorname H_p(\mathbb S^n; \operatorname H_q(\Omega \mathbb S^n))

여기서

\operatorname H_p(\mathbb S^n; -)

는 밑공간

\mathbb S^n

의 호몰로지이며,

\operatorname H_q(\Omega \mathbb S^n)

는 올공간

\Omega \mathbb S^n

의 호몰로지이다.

고리 공간

\Omega\mathbb S^n

은

n>0

조건 때문에 경로 연결 공간이므로,

\operatorname H_0(\Omega \mathbb S^n) \cong \mathbb Z

이다. 따라서

E^2

쪽의

q=0

행은 다음과 같이 계산된다.

:

E^2_{p,0}=\operatorname H_p(\mathbb S^n;\operatorname H_0(\Omega \mathbb S^n)) = \operatorname H_p(\mathbb S^n;\mathbb Z)=\begin{cases}\mathbb Z&p=0,n\\0&p\ne 0,n\end{cases}

이는

\mathbb S^n

의 정수 계수 호몰로지가 0차와

n

차에서만

\mathbb Z

이고 나머지는 0이기 때문이다. 결과적으로

E^2

쪽에서 0이 아닌 성분은

p=0

열과

p=n

열에만 위치할 수 있다.

한편, 전체 공간

\mathcal P\mathbb S^n

은 밑점에서의 상수 함수를 통해 축약 가능 공간임을 알 수 있다. 축약 가능 공간의 호몰로지는 0차에서

\mathbb Z

이고 나머지는 모두 0이다. 스펙트럼 열은 전체 공간의 호몰로지로 수렴하므로, 극한 쪽

E^\infty

는 다음과 같다.

:

E^\infty_{p,q}=\begin{cases}\mathbb Z&p=q=0\\0&(p,q)\ne(0,0)\end{cases}

이는

(0,0)

위치를 제외한 모든 성분이 스펙트럼 열의 진행 과정에서 0이 되어야 함을 뜻한다.

E^2

쪽과

E^\infty

쪽을 비교하면,

E^2_{n,0}=\mathbb Z

성분은

E^\infty

에서 0이 되어야 하므로 어떤 미분

d^r

(

r \ge 2

)에 의해 상쇄되어야 한다. 0이 아닌 성분이

p=0

과

p=n

열에만 존재하므로, 이 상쇄는

p=0

열의 성분과의 사이에서 일어나야 한다. 미분

d^r: E^r_{p,q} \to E^r_{p-r, q+r-1}

의 차수는

(-r, r-1)

이다.

E^r_{n,0}

에서 나가는 미분이

p=0

열로 가려면

n-r=0

, 즉

r=n

이어야 한다. 따라서

d^n: E^n_{n,0} \to E^n_{0, n-1}

이 상쇄를 일으키는 미분이다. 초기 미분들(

d^2, \dots, d^{n-1}

)은 차수 조건 때문에

E^r_{n,0}

또는

E^r_{0,n-1}

(

2 \le r < n

) 항들에 영향을 주지 못하므로,

E^2_{n,0} \cong E^n_{n,0}

이고

E^2_{0,n-1} \cong E^n_{0,n-1}

이다.

E^n_{n,0}

과

E^n_{0,n-1}

이

d^n

에 의해 완전히 상쇄되어야 하므로,

d^n

은 동형사상이어야 한다. 즉,

:

E^2_{n,0} \cong \mathbb Z

와

E^2_{0,n-1} = \operatorname H_0(\mathbb S^n; \operatorname H_{n-1}(\Omega \mathbb S^n)) \cong \operatorname H_{n-1}(\Omega \mathbb S^n)

은 동형이어야 한다. 따라서,

:

\operatorname H_{n-1}(\Omega\mathbb S^n;\mathbb Z) \cong \mathbb Z

이다.

다음으로, 위에서

\operatorname H_{n-1}(\Omega\mathbb S^n) \cong \mathbb Z

임을 알았으므로,

E^2_{n,n-1} = \operatorname H_n(\mathbb S^n; \operatorname H_{n-1}(\Omega \mathbb S^n)) \cong \operatorname H_n(\mathbb S^n; \mathbb Z) \cong \mathbb Z

이다. 이 성분 역시

E^\infty

에서는 0이 되어야 한다. 이전과 같은 논리로, 이 성분은

d^n: E^n_{n, n-1} \to E^n_{0, (n-1)+(n-1)} = E^n_{0, 2(n-1)}

미분에 의해 상쇄되어야 한다. 따라서

E^n_{n, n-1}

과

E^n_{0, 2(n-1)}

은 동형이어야 하며,

E^2_{n, n-1} \cong E^n_{n, n-1}

이고

E^2_{0, 2(n-1)} \cong E^n_{0, 2(n-1)}

이므로,

:

E^2_{0, 2(n-1)} = \operatorname H_0(\mathbb S^n; \operatorname H_{2(n-1)}(\Omega \mathbb S^n)) \cong \operatorname H_{2(n-1)}(\Omega \mathbb S^n)

역시

\mathbb Z

와 동형이다. 즉,

:

\operatorname H_{2(n-1)}(\Omega\mathbb S^n;\mathbb Z) \cong \mathbb Z

이다.

이 과정을 계속 반복하면,

k

가

n-1

의 양의 배수일 때마다

E^2_{n, k} \cong \mathbb Z

이고, 이 성분은

d^n

미분에 의해

E^2_{0, k+(n-1)}

과 상쇄된다는 것을 알 수 있다. 따라서

\operatorname H_{k+(n-1)}(\Omega\mathbb S^n) \cong \mathbb Z

가 된다. 귀납적으로, 고리 공간

\Omega\mathbb S^n

의 정수 계수 호몰로지는 다음과 같이 결정된다.

:

\operatorname H_k(\Omega\mathbb S^n;\mathbb Z) \cong \begin{cases}\mathbb Z & k \ge 0 \text{ 이고 } n-1 \text{ 의 배수일 때} \\0 & \text{그 외의 경우}\end{cases}

(단,

k=0

일 때는

\operatorname H_0(\Omega\mathbb S^n) \cong \mathbb Z

이며, 이는 0이

n-1

의 배수라고 간주한 결과와 일치한다.)

6. 2. 귀진 완전열

올이 초구인 세르 올뭉치

:

\mathbb S^k\hookrightarrow E\twoheadrightarrow B

가 주어졌을 때, 그 세르 스펙트럼 열

E^{p,q}_\bullet

은 오직

q=0,k

인 행에서만 성분을 가지며, 따라서 이는

k+2

번째 쪽에서 퇴화한다. 이를 통해

E

의 코호몰로지와

B

의 코호몰로지를 잇는 긴 완전열을 적을 수 있는데, 이를 '''귀진 완전열'''이라고 한다.

6. 3. 모노드로미를 갖는 예

매끄러운 사영족과 관련된 타원 곡선의 중요한 예시가 있다.

:

y^2 = x(x-1)(x-t)

이 곡선은 사영 직선

\mathbb{P}^1

에서 세 점 {0, 1, ∞}를 제외한 공간 위에 정의된다. 여기서 0과 1 주변의 모노드로미는 피카르-레프셰츠 이론을 사용하여 계산할 수 있으며, 이렇게 얻은 지역 모노드로미들을 합성하여 무한대(

\infty

) 주변의 모노드로미를 구할 수 있다.

7. 퇴화 정리

$\mathbb{C}$ (복소수) 상의 준사영 다양체 범주에서, 피에르 들리뉴와 블랑샤르(A. Blanchard)가 르레 스펙트럼 열에 대해 증명한 퇴화 정리가 있다. 이 정리에 따르면, 다양체의 매끄러운 사영 사상 $f\colon X \to Y$ 가 주어졌을 때, 상수층 $\underline{\mathbb{Q}}_X$ 에 대한 스펙트럼 열의 $E_2$ -페이지는 퇴화한다. 즉, $E_2 = E_\infty$ 가 성립하며, 이를 통해 다음의 코호몰로지 동형식을 얻는다.

: $H^k(X;\mathbb{Q}) \cong \bigoplus_{p + q = k} H^{p}(Y;\mathbf{R}^qf_*(\underline{\mathbb{Q}}_X)).$

여기서 $\mathbf{R}^qf_*(\underline{\mathbb{Q}}_X)$ 는 $f$ 에 대한 $\underline{\mathbb{Q}}_X$ 의 고차 직상(higher direct image)을 나타내는 $Y$ 위의 국소 계이다.

만약 $Y$ 가 단일 연결이라면 계산이 더 간단해지는 경우가 있다. 예를 들어, $Y$ 가 차원이 2 이상인 완전 교차 다양체인 경우가 그렇다. 이는 후레비츠 정리와 레프셰츠 초평면 정리의 결과이다. 이 경우, 국소 계 $\mathbf{R}^qf_*(\underline{\mathbb{Q}}_X)$ 는 자명한 모노드로미를 가지므로, 어떤 정수 $l_q$ 에 대해 $\mathbf{R}^qf_*(\underline{\mathbb{Q}}_X) \cong \underline{\mathbb{Q}}_Y^{\oplus l_q}$ 형태가 된다. 즉, 국소 계는 상수층들의 직합으로 표현된다.

구체적인 예로, 매끄러운 K3 곡면 $Y$ 위에 있는 종수 3인 곡선들의 매끄러운 패밀리 $f\colon X\to Y$ 를 생각해 보자. 이 경우, 고차 직상 계산 결과는 다음과 같다.

: $\begin{align}\mathbf{R}^0f_*(\underline{\mathbb{Q}}_X) &\cong \underline{\mathbb{Q}}_Y \\\mathbf{R}^1f_*(\underline{\mathbb{Q}}_X) &\cong \underline{\mathbb{Q}}_Y^{\oplus 6} \\\mathbf{R}^2f_*(\underline{\mathbb{Q}}_X) &\cong \underline{\mathbb{Q}}_Y\end{align}$

이 계산 결과를 이용하여 스펙트럼 열의 $E_2$ -페이지를 구체적으로 쓸 수 있다. 퇴화 정리에 의해 $E_2 = E_\infty$ 이므로, 이 페이지는 다음과 같다.

: $E_2 = E_\infty = \begin{bmatrix}H^0(Y;\underline{\mathbb{Q}}_Y) & 0 & H^2(Y;\underline{\mathbb{Q}}_Y) & 0 & H^4(Y;\underline{\mathbb{Q}}_Y) \\H^0(Y;\underline{\mathbb{Q}}_Y^{\oplus 6}) & 0 & H^2(Y;\underline{\mathbb{Q}}_Y^{\oplus 6}) & 0 & H^4(Y;\underline{\mathbb{Q}}_Y^{\oplus 6}) \\H^0(Y;\underline{\mathbb{Q}}_Y) & 0 & H^2(Y;\underline{\mathbb{Q}}_Y) & 0 & H^4(Y;\underline{\mathbb{Q}}_Y)\end{bmatrix}$

이 행렬의 각 성분은 $Y$ 의 코호몰로지 군을 나타낸다. 예를 들어 $E_2^{p,q} = H^p(Y; \mathbf{R}^q f_*(\underline{\mathbb{Q}}_X))$ 이다.

8. 역사 및 다른 스펙트럼 열과의 연관성

1946년 장 르레는 스펙트럼 열의 첫 예시로 층 코호몰로지를 계산하는 르레 스펙트럼 열을 소개했다.^[6]^[7] 1951년 장피에르 세르는 르레 스펙트럼 열 중에서 층 코호몰로지가 특이 코호몰로지가 되는 특별한 경우인 세르 스펙트럼 열을 연구했다.^[9]

르레가 연구하던 시기에는 스펙트럼 열과 층 코호몰로지라는 두 개념 모두 아직 완성된 단계는 아니었다. 이 때문에 르레의 결과를 원래 형태로 인용하는 경우는 드물다. 특히 앙리 카르탕의 세미나에서 많은 연구를 거쳐 현대적인 공식이 만들어졌지만, 이것이 일반적인 그로텐디크 스펙트럼 열은 아니었다.

이보다 앞선 시기(1948-1949년)에 올다발에 대한 결과는 세르 스펙트럼 열과 형식적으로 동일한 형태로 도출되었는데, 이는 층을 사용하지 않는 방식이었다. 하지만 이 방법은 콤팩트 지지를 갖는 알렉산더-스패니에 코호몰로지에 적용되었고, 국소 콤팩트 하우스도르프 공간의 고유 사상에 적용되었다. 스펙트럼 열을 유도하기 위해서는 구에 대한 매립을 따라 드람 복소수를 당겨서 얻은, 전체 공간에 대한 실수 미분 등급 대수의 세밀 층이 필요했다. 장피에르 세르는 경로 공간 올다발에 적용할 수 있는 호몰로지에서의 스펙트럼 열이 필요했다. 경로 공간 올다발의 전체 공간은 대부분 국소 콤팩트 공간이 아니었기 때문에, 원래의 르레 스펙트럼 열을 사용할 수 없었다. 따라서 세르는 앞서 언급된 시퀀스와 일치하는 코호몰로지적 변형을 가지는 관련 스펙트럼 열을 유도했다.

알렉산더 그로텐디크가 1957년경에 완성한 공식에 따르면, 르레 스펙트럼 열은 두 유도 함자의 합성에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열로 이해될 수 있다.

참조

_[1] 논문 L'anneau d'homologie d'une représentation https://gallica.bnf.[...]
_[2] 논문 Leray in Oflag XVIIA : the origins of sheaf theory, sheaf cohomology, and spectral sequences, Jean Leray (1906–1998) http://www-math.mit.[...]
_[3] 서적 Sheaves in Topology Springer Science+Business Media|Springer 2004
_[4] 서적 Differential forms in algebraic topology Springer Science+Business Media|Springer-Verlag 1982
_[5] 서적 Principles of algebraic geometry Wiley (publisher)|Wiley
_[6] 저널 L’anneau d’homologie d’une représentation 1946
_[7] 저널 Structure de l’anneau d’homologie d’une représentation 1946
_[8] 서적 Spectral Sequences in Algebraic Topology https://www.math.cor[...]
_[9] 저널 Homologie singulière des espaces fibrés 1951-11

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