스펙트럼 (위상수학)

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1. 개요

스펙트럼은 위상 공간이나 단순 집합의 수열과 구조 사상으로 구성되는 개념으로, 안정 호모토피 범주를 연구하는 데 중요한 도구이다. 스펙트럼은 준스펙트럼, 대칭 스펙트럼, 직교 스펙트럼 등 다양한 형태로 정의되며, 스펙트럼 범주는 S-가군의 범주, 직교 스펙트럼의 범주, 대칭 스펙트럼의 범주 등으로 구성된다. 스펙트럼의 호모토피 군은 안정 호모토피 군을 정의하는 데 사용되며, 스펙트럼의 스매시 곱은 안정 호모토피 범주를 모노이드 범주로 만든다. 스펙트럼은 일반화된 (공)호몰로지 이론, 에일렌베르크-매클레인 스펙트럼, 위상 K이론 스펙트럼, 초구 스펙트럼, 톰 스펙트럼, 현수 스펙트럼, Ω-스펙트럼, 환 스펙트럼 등 다양한 예시를 가지며, 안정 호모토피 이론의 발전에 기여했다.

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스펙트럼 (위상수학)
스펙트럼 (위상수학)
분야	위상수학, 수학
정의	위상 공간 X에서 모든 자연수 n에 대해 X에서 n-구로 가는 연속 함수들의 동치류 집합
참고	호모토피 코호몰로지 대수적 위상수학
관련 개념	CW 복합체

2. 정의

일반적으로 '''스펙트럼'''은 점을 가진 위상 공간 또는 점을 가진 단순 집합의 수열 $X_n$ 과 구조 사상 $S^1 \wedge X_n \to X_{n+1}$ 을 포함하며, 여기서 $\wedge$ 는 스매시 곱이다. 점을 가진 공간 $X$ 와 원의 스매시 곱은 $\Sigma X$ 로 표기되는 $X$ 의 축소된 현수와 위상 동형이다.

프랭크 아담스(1974)의 정의에 따르면, 스펙트럼(또는 CW-스펙트럼)은 일련의 CW 복합체 $E:= \{E_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ 와 현수 $\Sigma E_n$ 를 $E_{n+1}$ 의 부분 복합체로 포함하는 사상 $\Sigma E_n \to E_{n+1}$ 으로 구성된다.

다른 정의는 대칭 스펙트럼과 단순 스펙트럼을 참고하라.

2. 1. 준스펙트럼

준스펙트럼은 다음 데이터로 구성된다.

점을 가진 공간의 열 $(X_i,x_i)_{i\in\mathbb N})$
점을 보존하는 연속 함수 $(s_i\colon \Sigma X_i\to X_{i+1})_{n\in\mathbb N}$ . 여기서 $\Sigma$ 는 축소 현수이다.

두 준스펙트럼이 유한 개의 성분을 제외하고 서로 동일하다면, 서로 동치라고 한다.

점을 가진 공간

X

에 대하여, 함자

\Sigma^\infty

를 다음과 같이 정의한다.

:

\Sigma^\infty X=(X,\Sigma X,\Sigma\Sigma X,\dots)

여기서 함수

s_i

는 모두 항등 함수이다.

두 준스펙트럼

X_\bullet

,

Y_\bullet

사이의 사상

f\colon X_\bullet\to Y_\bullet

은 다음 그림을 가환하게 만드는 연속 함수

f_i\colon X_i\to Y_i

들의 열이다.

:

\begin{matrix}\Sigma X_i&\to&X_{i+1}\\{\scriptstyle\Sigma f_i}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle f_{i+1}\\\Sigma Y_i&\to&Y_{i+1}\\\end{matrix}

준스펙트럼의 분쇄곱과 쐐기합을 성분별로 정의할 수 있다. 준스펙트럼의 분쇄곱은 일반적으로 결합 법칙을 따르지 않지만, 서로 다르게 괄호를 씌워 계산한 값은 항상 호모토피 동치이다. 준스펙트럼의 호모토피 범주는 닫힌 모노이드 범주를 이루며, 스펙트럼 범주의 호모토피 범주를 이룬다.

2. 2. 대칭 스펙트럼

대칭 스펙트럼은 다음 데이터로 구성된다.

점을 가진 단체 집합들의 열 $(X_n)_{n\in\mathbb N}$
대칭군 $\operatorname{Sym}(n)$ 의 $X_n$ 위의 작용
각 $n\in\mathbb N$ 에 대하여, 점을 보존하는 사상 $\sigma_n\colon\mathbb S^1\wedge X_n\to X_{n+1}$ . 이를 구조 사상이라고 한다. 이 경우 구조 사상으로부터 얻어지는 사상 $\mathbb S^m\wedge X_n\to X_{m+n}$ 은 항상 $\operatorname{Sym}(m)\times\operatorname{Sym}(n)$ -등변 함수이어야 한다 ( $m>0$ , $n\ge0$ ).

대칭 스펙트럼

X

,

Y

사이의 사상은 다음 데이터로 구성된다.

각 $n\in\mathbb N$ 에 대하여, 사상 $f\colon X_n\to Y_n$

이는 다음과 같은 그림들을 가환하게 만들어야 한다.

:

\begin{matrix}X_n\wedge\mathbb S^1&\xrightarrow{f_n\wedge\mathbb S^1}&Y_n\wedge\mathbb S^1\\\downarrow&&\downarrow\\X_{n+1}&\xrightarrow[f_{n+1}]{}&Y_{n+1}\end{matrix}

2. 3. 직교 스펙트럼

직교 스펙트럼은 대칭군 대신 직교군을 사용한 개념이다. 이 경우, 단체 집합 대신 위상 공간을 사용해야 한다. 직교 스펙트럼은 위상 공간들과 직교군의 작용을 이용하여 정의되며, 대칭 스펙트럼과 유사하다.

3. 스펙트럼 범주

스펙트럼 범주는 여러 방법으로 구성할 수 있다. 흔히 사용되는 구성들은 다음과 같다.

'''S-가군'''(S-module^영어)의 범주.^[2] 이는 오퍼라드 이론을 사용하며 대수적이다.
'''직교 스펙트럼'''(orthogonal spectrum^영어)의 범주.^[3] 더 위상수학적이며, 직교군의 연속적 작용을 갖춘 위상 공간들로 구성된다. 위상 공간 대신 단체 집합을 사용하기 힘들다.
'''대칭 스펙트럼'''(symmetric spectrum^영어)의 범주.^[4] 대칭군의 작용을 갖춘 위상 공간 또는 단체 집합들로 구성된다.

이들 사이에는 다음과 같은 퀼런 동치가 존재한다.^[5]^[6] (퀼런 동치의 존재는 추이적 관계이지만 대칭 관계가 아님에 주의하자.)

:준스펙트럼 ⇆ 대칭 스펙트럼 ⇆ 직교 스펙트럼 ⇆ S-가군

여기서

\mathcal C\leftrightarrows\mathcal D

는

\mathcal C\to\mathcal D

방향의 함자 (왼쪽 퀼런 함자)가 쌍대올뭉치를 보존하고

\mathcal D\to\mathcal C

방향의 함자(오른쪽 퀼런 함자)가 올뭉치를 보존한다는 뜻이다.

두 스펙트럼 ''E''와 ''F'' 사이의 '''함수'''는 ''E''_''n''에서 ''F''_''n''으로의 사상의 시퀀스로, 사상 Σ''E''_''n'' → ''E''_''n''+1 및 Σ''F''_''n'' → ''F''_''n''+1과 가환한다.

스펙트럼의 '''사상'''

f: E \to F

는

E

의 공종 부분 스펙트럼

G

에서

F

로의 함수로 정의하여 스펙트럼을 범주로 바꿀 수 있다. 여기서 두 개의 이러한 함수는 일부 공종 부분 스펙트럼에서 일치하는 경우 동일한 사상을 나타낸다.

스펙트럼 사이의 사상에 대한 '''호모토피'''는

(E \wedge I^+) \to F

로의 사상에 해당하며, 여기서

I^+

는 기저점을

*

로 취한 비분리 합집합

[0, 1] \sqcup \{*\}

이다.

'''안정 호모토피 범주''', 또는 '''(CW) 스펙트럼의 호모토피 범주'''는 객체가 스펙트럼이고 사상이 스펙트럼 사이의 사상의 호모토피류인 범주로 정의된다. 스펙트럼에 대한 다른 많은 정의(일부는 매우 다르게 나타남)는 동치인 안정 호모토피 범주로 이어진다.

(\Sigma E)_n = E_{n+1}

에 의해 스펙트럼의 현수를 정의할 수 있다. 이 '''이동 현수'''는 역이 가능하며,

(\Sigma^{-1}E)_n = E_{n-1}

로 설정하여 역현수도 할 수 있다.

스펙트럼을 다룰 때 발생하는 전형적인 복잡성은 스펙트럼

Q

의 무한 루프 공간에 관한 다섯 가지 공리를 만족할 수 없다는 사실에서 비롯된다.^[1]

이 때문에, 스펙트럼 연구는 사용되는 모델에 따라 분열되어 있다.

3. 1. 호모토피 군

스펙트럼의 가장 중요한 불변량 중 일부는 스펙트럼의 호모토피 군이다. 이러한 군은 공간의 안정 호모토피 군의 정의를 반영한다. 현수 맵의 구조가 정의에 필수적이기 때문이다. 스펙트럼 ''E''가 주어졌을 때, 호모토피 군 π_n(''E'')를 다음 극한으로 정의한다.

:π_n(''E'') = lim_→k π_n+k(''E''_k)

:= lim_→ (⋯ → π_n+k(''E''_k) → π_n+k+1(''E''_k+1) → ⋯)

여기서 맵은 맵 Σ: π_n+k(''E''_n) → π_n+k+1(Σ''E''_n) (즉, [S^n+k, ''E''_n] → [S^n+k+1, Σ''E''_n]은 Σ의 함자성으로 주어짐)와 구조 맵 Σ''E''_n → ''E''_n+1의 합성을 통해 유도된다. 스펙트럼은 음수 ''k''에 대해 π_k가 0이면 연결이라고 한다.

3. 2. 안정 호모토피 범주

안정 호모토피 범주는 스펙트럼을 대상으로 하고, 스펙트럼 사이의 사상의 호모토피류를 사상으로 하는 범주이다. 이 범주에서, 스펙트럼의 현수는 $(\Sigma E)_n = E_{n+1}$로 정의되며, 역현수는 $(\Sigma^{-1}E)_n = E_{n-1}$로 설정하여 이동 현수가 가능하다.

안정 호모토피 범주는 가법 범주이며, 사상은 트랙 덧셈의 변형을 사용하여 더할 수 있다. 따라서 한 스펙트럼에서 다른 스펙트럼으로의 호모토피 클래스는 아벨 군을 형성한다. 또한, 안정 호모토피 범주는 삼각 범주이며, 시프트는 현수에 의해 주어지고, 특이 삼각은 스펙트럼의 매핑 콘 열에 의해 주어진다:

X\rightarrow Y\rightarrow Y\cup CX \rightarrow (Y\cup CX)\cup CY \cong \Sigma X

.

4. 연산

4. 1. 스매시 곱

스펙트럼의 스매시 곱은 CW 복합체의 스매시 곱을 확장한 개념이다. 이는 안정 호모토피 범주를 모노이드 범주로 만든다. 즉, 아벨 군의 (유도된) 텐서 곱처럼 동작한다. 스매시 곱의 주요 문제점은 이를 정의하는 명백한 방식이 호모토피까지의 결합 법칙과 교환 법칙만을 만족시킨다는 것이다. 대칭 스펙트럼과 같은 몇 가지 최근 스펙트럼의 정의는 이러한 문제를 제거하여, 호모토피류로 넘어가기 전에 사상 수준에서 대칭 모노이드 구조를 제공한다.

스매시 곱은 삼각 범주 구조와 호환된다. 특히, 구분된 삼각형과 스펙트럼의 스매시 곱은 구분된 삼각형이다.

5. 성질

5. 1. 일반화된 (공)호몰로지 이론

스펙트럼의 안정 호모토피 군은 다음과 같이 정의할 수 있다.

:

\displaystyle \pi_n E = [\Sigma^n \mathbb{S}, E]

여기서

\mathbb{S}

는 구 스펙트럼이고,

[X, Y]

는

X

에서

Y

로의 사상의 호모토피 클래스 집합이다.

스펙트럼 ''E''를 사용하여 일반화된 호몰로지 이론과 일반화된 코호몰로지 이론을 정의할 수 있다. 일반화된 호몰로지 이론은 다음과 같다.

:

E_n X = \pi_n (E \wedge X) = [\Sigma^n \mathbb{S}, E \wedge X]

일반화된 코호몰로지 이론은 다음과 같다.

:

\displaystyle E^n X = [\Sigma^{-n} X, E]

여기서

X

는 스펙트럼이거나, 그 현수 스펙트럼을 사용하여 공간일 수 있다.

6. 예시

6. 1. 에일렌베르크-매클레인 스펙트럼

아벨 군

G

계수의 특이 코호몰로지

\operatorname H^\bullet(-;G)

는 브라운 표현 정리에 따라 에일렌베르크-매클레인 공간

K(G,n)

을 사용하여 표현할 수 있다. 즉,

:

\operatorname H^\bullet(X;G)\cong [X,K(G,n)]_\bullet

이다. 여기서

[,]_\bullet

은 점을 가진 공간에서의 점 보존 호모토피류 집합이다.

에일렌베르크-매클레인 공간 사이에는 다음과 같은 호모토피 동치가 존재한다.

:

\Omega K(G,n)\simeq K(G,n-1)

따라서, 이들은 '''에일렌베르크-매클레인 스펙트럼'''

HG

를 이룬다. 준스펙트럼의 구조 사상

:

\Sigma K(G,n-1) \to K(G,n)

은 임의의

X

에 대하여 축소 현수의 코호몰로지 사상

:

\operatorname H^{n-1}(X;G)=[X,\mathbb S^1\wedge K(G,n-1)] \to [X,K(G,n)] = \operatorname H^n(X;G)

을 유도한다.

계수

A

를 갖는 특이 코호몰로지

H^n(X;A)

는 CW 복합체

X

에 대해,

X

에서

K(A,n)

으로의 사상의 호모토피류 집합과 동일시될 수 있다.

:

[X,K(A,n)] = H^n(X;A)

해당 스펙트럼

HA

는

n

번째 공간으로

K(A,n)

을 가지며,

A

의 '''Eilenberg–MacLane 스펙트럼'''이라고 불린다. 이 구성을 통해 모든 링

R

을 스펙트럼 범주에 삽입할 수 있으며, 이는 유도 대수 기하학의 모델인 스펙트럼 기하학의 기초를 형성한다. 이 삽입은 다음과 같은 동형 사상을 갖는다는 중요한 속성을 지닌다.

:

\begin{align}\pi_i( H(R/I) \wedge_R H(R/J) ) &\cong H_i\left(R/I\otimes^{\mathbf{L}}R/J\right)\\&\cong \operatorname{Tor}_i^R(R/I,R/J)\end{align}

이는 스매시 곱이 유도 텐서 곱으로 작용하는 스펙트럼 범주가 가환 링의 유도 정보를 추적한다는 것을 보여준다. Eilenberg–Maclane 스펙트럼은 위상적 호흐쉴드 호몰로지와 같은 이론을 정의하는 데 사용될 수 있다.

6. 2. 위상 K이론 스펙트럼

위상 K이론은 스펙트럼으로 표현된다. ''X''가 콤팩트일 때,

K^0(X)

는 ''X'' 위의 복소 벡터 다발의 모노이드의 그로텐디크 군으로 정의된다.

K^1(X)

는 X의 현수(suspension)에 대한 벡터 다발에 해당하는 군이다. 위상적 K-이론은 일반화된 코호몰로지 이론이므로 스펙트럼을 제공한다. 0번째 공간은

\mathbb{Z} \times BU

이고, 첫 번째 공간은

U

이다. 여기서

U

는 무한 유니타리 군이고,

BU

는 그 분류 공간이다. 보트 주기성에 의해 모든 ''n''에 대해

K^{2n}(X) \cong K^0(X)

및

K^{2n+1}(X) \cong K^1(X)

를 얻으므로, 위상적 K-이론 스펙트럼의 모든 공간은

\mathbb{Z} \times BU

또는

U

로 주어진다. 복소 벡터 다발 대신 실수 벡터 다발을 사용하여 8-주기 스펙트럼을 제공하는 해당 구성을 사용할 수 있다.

6. 3. 초구 스펙트럼

'''초구 스펙트럼'''(

\mathbb S=\Sigma^\infty(\mathbb S^0)

)은 가장 기본적인 스펙트럼이다.(

\mathbb S^0

은 임의의 밑점을 가진 0차원 초구이다.) 이에 대하여 정의되는 코호몰로지는 안정 호모토피 군이다.

초구 스펙트럼

\mathbb{S}

의 호모토피 군은 구체의 안정 호모토피 군으로 주어진다.(

\pi_n(\mathbb{S}) = \pi_n^{\mathbb{S}}

) 이 스펙트럼은

\mathbb{S}_i = S^i

로 쓸 수 있으며, 여기서

\mathbb{S}_0 = \{0, 1\}

이다. 곱셈 연산(

S^n \wedge S^m \simeq S^{n+m}

)은

\mathbb{S}

에 링 구조를 유도한다. 또한, 대칭 스펙트럼의 범주를 고려할 때, 이는 가환 링의 범주에서

\mathbb{Z}

와 유사하게 초기 객체를 형성한다.

6. 4. 톰 스펙트럼

톰 스펙트럼은 다양한 코보디즘 이론을 나타낸다. 실수 코보디즘

MO

, 복소수 코보디즘

MU

, 프레임 코보디즘, 스핀 코보디즘

MSpin

, 스트링 코보디즘

MString

등이 이에 해당하며, 등등이 있다. 모든 위상군

G

에 대해 톰 스펙트럼

MG

이 존재한다.

6. 5. 현수 스펙트럼

점을 가진 CW 복합체

(X,\bullet_X)

가 주어졌을 때,

X_i = \mathbb S^n \wedge X

를 정의한다. (

\wedge

는 분쇄곱)

:

X_0 = \mathbb S^0 \wedge X = X

:

X_1 = \mathbb S^1 \wedge X = \Sigma X

(축소 현수)

:

X_{i+1} = \Sigma X_i

이 경우 축소 현수의 표준적 사상

X_i \to \Sigma X_i = X_{i+1}

이 주어져, 이는 준스펙트럼을 이룬다. 이를

X

의 '''현수 스펙트럼'''(suspension spectrum}})이라고 한다.^[1]

공간

X

의 '''현수 스펙트럼'''

\Sigma^\infty X

는 스펙트럼

X_n = S^n \wedge X

이다. (구조 사상은 항등 사상) 예를 들어, 0-구의 현수 스펙트럼은 구 스펙트럼이다. 이 스펙트럼의 호모토피 군은

X

의 안정 호모토피 군이며 다음과 같다.

:

\pi_n(\Sigma^\infty X) = \pi_n^\mathbb{S}(X)

현수 스펙트럼의 구성은 모든 공간을 코호몰로지 이론으로 간주할 수 있음을 의미한다. 이는 다음과 같은 함자를 정의한다.

:

\Sigma^\infty:h\text{CW} \to h\text{Spectra}

CW 복합체의 호모토피 범주에서 스펙트럼의 호모토피 범주로의 함자이다. 사상은 다음과 같이 주어진다.

:

[\Sigma^\infty X, \Sigma^\infty Y] = \underset{\to n}{\operatorname{colim}{}}[\Sigma^nX,\Sigma^nY]

이는 Freudenthal 현수 정리에 의해 결국 안정화된다.

:

\left[\Sigma^N X, \Sigma^N Y\right] \simeq \left[\Sigma^{N+1} X, \Sigma^{N+1} Y\right] \simeq \cdots

and

\left[\Sigma^\infty X, \Sigma^\infty Y\right] \simeq \left[\Sigma^N X, \Sigma^N Y\right]

어떤 유한 정수

N

에 대해. CW 복합체

X

에 대해, 스펙트럼

E

를 받아 공간을 형성하는 역 구성

\Omega^\infty

이 있다.

:

\Omega^\infty E = \underset{\to n}{\operatorname{colim}{}}\Omega^n E_n

이를 스펙트럼의 무한 루프 공간이라고 한다. CW 복합체

X

에 대해

:

\Omega^\infty\Sigma^\infty X = \underset{\to}{\operatorname{colim}{

^영어 \Omega^n\Sigma^nX

그리고 이 구성은 모든

n

에 대해

X \to \Omega^n\Sigma^n X

의 포함을 동반하며, 따라서 다음과 같은 사상을 제공한다.

:

X \to \Omega^\infty\Sigma^\infty X

이는 단사 사상이다. 이러한 두 구조는 스펙트럼 이론에서 상당한 복잡성을 초래한다. 위의 수반 관계는 공간과 스펙트럼의 호모토피 범주에서만 유효하며, 항상 특정 스펙트럼 범주(호모토피 범주가 아님)에서는 유효하지 않다.^[1]

6. 6. Ω-스펙트럼

Ω-스펙트럼은 구조 사상의 수반(즉, 사상

X_n \to \Omega X_{n+1}

)이 약한 동치인 스펙트럼이다. K-이론 스펙트럼은 환의 Ω-스펙트럼의 예시이다.

6. 7. 환 스펙트럼

'''환 스펙트럼'''은 스매시 곱을 사용하여 환 공리를 설명하는 다이어그램이 "호모토피까지" 가환하는 스펙트럼 ''X''이다(

S^0 \to X

는 항등원에 해당). 예를 들어, 위상 ''K''-이론의 스펙트럼은 환 스펙트럼이다. '''모듈 스펙트럼'''도 유사하게 정의될 수 있다.

더 많은 예시는 코호몰로지 이론 목록을 참조하라.

7. 역사

스펙트럼 개념의 한 버전은 일론 라게스 리마의 1958년 박사 학위 논문에서 처음 소개되었다. 그의 지도교수였던 에드윈 스패니에는 1959년에 이 주제에 대해 더 자세히 글을 썼다. 스펙트럼은 1960년대 초 마이클 아티야와 조지 W. 화이트헤드가 일반화된 호몰로지 이론에 관한 연구에 채택했다. J. 마이클 보드만(마이클 보드만)의 1964년 박사 학위 논문은 CW 복합체의 범주가 불안정 경우에 유용한 것처럼 안정 호모토피 이론에서 유용한 스펙트럼의 범주와 스펙트럼 간의 사상(호모토피류가 아닌)에 대한 실용적인 정의를 제시했다. 1990년 이후 스펙트럼의 공식적인 속성을 대폭 개선하면서 중요한 추가 이론적 발전이 이루어졌다.

8. 한국의 관점

참조

_[1] 논문 Is there a convenient category of spectra? 1991-08-30
_[2] 서적 Rings, modules and algebras in stable homotopy theory http://www.math.uchi[...] American Mathematical Society 1997
_[3] 저널 Diagram spaces, diagram spectra, and FSP’s http://www.math.uiuc[...] 1998
_[4] 저널 Symmetric spectra http://www.math.uiuc[...] 2000
_[5] 저널 Orthogonal spectra and ''S''-modules http://www.math.uiuc[...]
_[6] 저널 Equivariant orthogonal spectra and ''S''-modules http://www.math.uiuc[...]

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