에우제니오 벨트라미
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1. 개요
에우제니오 벨트라미는 1835년 이탈리아 크레모나에서 태어난 수학자이다. 파비아 대학교에서 수학을 공부했으나 정치적 견해로 인해 퇴학당했으며, 이탈리아 통일 운동에 동조했다. 1862년 볼로냐 대학교 교수로 임명되었으며, 피사 대학교, 로마 라 사피엔차 대학교, 파비아 대학교 등에서 다양한 교수직을 역임했다. 그는 비유클리드 기하학 연구에 기여하여 벨트라미-클라인 모형, 푸앵카레 원반 모형 등을 정의했으며, 1898년 린체이 아카데미아 회장, 1899년 이탈리아 왕국 상원 의원을 지냈다. 벨트라미는 1899년 로마에서 사망했다.
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| 에우제니오 벨트라미 - [인물]에 관한 문서 | |
|---|---|
| 기본 정보 | |
 | |
| 이름 | 에우제니오 벨트라미 |
| 로마자 표기 | Eugenio Beltrami |
| 출생 | 1835년 11월 16일 |
| 출생지 | 오스트리아 제국 크레모나 |
| 사망 | 1900년 2월 18일 |
| 사망지 | 이탈리아 왕국 로마 |
| 국적 | 이탈리아 |
| 분야 | 수학 |
| 경력 | |
| 소속 기관 | 볼로냐 대학교 피사 대학교 로마 라 사피엔차 대학교 파비아 대학교 |
| 학력 | 파비아 대학교 (학위 없음) |
| 지도 교수 | 프란체스코 브리오스키 |
| 제자 | 조반니 프라티니 |
| 업적 | |
| 주요 업적 | 벨트라미 방정식 벨트라미 항등식 벨트라미 정리 라플라스-벨트라미 연산자 벨트라미 벡터장 벨트라미-클라인 모형 |
2. 생애
1835년 롬바르디아 크레모나에서 태어난 벨트라미는 1862년 볼로냐 대학교 수학 교수로 임용되었고, 이후 피사, 로마, 파비아에서 교수로 재직했다. 1899년 로마에서 사망하였다.
2. 1. 출생과 초기 생애
벨트라미는 1835년 롬바르디아 크레모나에서 태어났다. 당시 이곳은 오스트리아 제국 영토였으나 현재는 이탈리아 영토이다.[1] 그의 부모는 예술가인 조반니 벨트라미와 베네치아 출신의 엘리사 바로치였다.[2] 1853년 파비아 대학교(Università degli Studi di Paviait)에서 수학을 공부하기 시작했지만, 1856년 정치적 견해 때문에 기슬리에리 칼리지에서 퇴학당했다.[2] 그는 ''이탈리아 통일 운동''에 동조했다.[2] 이 시기에 프란체스코 브리오스키에게 가르침을 받았다.[2] 재정적 어려움으로 학업을 중단하고, 롬바르디-베네치아 철도 회사에서 비서로 일했다.[2]2. 2. 학업과 연구
벨트라미는 1853년부터 파비아 대학교(Università degli Studi di Paviait)에서 수학을 공부하기 시작했으나, 경제적인 어려움으로 1856년에 학업을 한때 중단해야만 했다. 그러나 다시 수학에 복귀하여 1862년 볼로냐 대학교 수학 교수로 임용되었고, 그 해에 그의 첫 번째 수학 연구 논문이 출판되었다. 그 후 피사, 로마, 파비아에서 교수로 재직했다.2. 3. 이탈리아 통일 운동 참여
벨트라미는 1835년 당시 오스트리아 제국의 일부였고 현재 이탈리아에 속한 크레모나(롬바르디아)에서 태어났다. 1853년 파비아 대학교에서 수학을 공부하기 시작했지만, 정치적 견해 때문에 1856년 기슬리에리 칼리지에서 퇴학당했다. 그는 이탈리아 통일 운동에 동조했다.2. 4. 말년
벨트라미는 1898년 린체이 아카데미아 회장이 되었고, 1899년 이탈리아 왕국의 상원 의원이 되었다.[1] 1891년부터 로마에서 거주하다[1] 1899년 그곳에서 사망하였다.3. 업적
1868년, 에우제니오 벨트라미는 《비유클리드 기하학의 해석에 대한 에세이》를 통해 쌍곡 기하학 모형을 처음으로 제시했다. 벨트라미는 이 모형으로 평행선 공준이 유클리드 기하학의 다른 공리들로부터 유도될 수 없음을 증명하려 했다. 처음에는 쌍곡 평면의 일부분만을 다루었기 때문에 실패했지만,[2] 같은 해 다시 시도하여 성공하였다.
벨트라미는 유클리드 기하학과 쌍곡 기하학이 모두 자체적으로 모순이 없다는 것을 증명하여 평행선 공준에 대한 오랜 논쟁에 답을 제시했다. 이 과정에서 벨트라미-클라인 모형, 푸앵카레 원판 모형, 푸앵카레 반평면 모형(Poincaré half-plane model영어) 등 현대 수학에서 중요한 여러 공간들을 정의하였다. 벨트라미는 푸앵카레 반평면 모형을 설명하면서 조제프 리우빌이 가스파르 몽주의 미분 기하학 교과서에 남긴 주석을 인용했다.[2]
벨트라미는 야노시 볼러이와 니콜라이 로바체프스키의 비유클리드 기하학의 일관성과 해석에 관한 두 편의 논문을 발표했다. 이 논문들은 이탈리아어로 작성되었으며, J. 회엘의 프랑스어 번역본은 1869년에 출판되었다. "비유클리드 기하학의 해석에 관한 에세이"에서 그는 이 기하학이 일정한 음의 곡률을 가진 표면, 즉 의사구에서 실현될 수 있다고 제안했다. 벨트라미의 개념에서 기하학의 선은 의사구 위의 측지선으로 표현되며, 비유클리드 기하학의 정리는 로바체프스키와 볼러이처럼 공리적 방식이 아닌 3차원 유클리드 공간 내에서 증명될 수 있다.
1840년에 페르디난트 민딩은 이미 의사구 위의 측지선 삼각형을 고려하여 삼각 함수를 쌍곡선 함수로 대체하면 일반 삼각법의 공식과 동일한 "삼각 함수 공식"을 얻는다고 언급했다. 델피노 코다치는 1857년에 이를 더 발전시켰지만, 두 사람 모두 로바체프스키의 연구와 연관성을 인지하지 못한 것으로 보인다. 벨트라미는 2차원 비유클리드 기하학이 유클리드 기하학만큼 유효하며, 특히 유클리드의 평행선 공준이 다른 공리에서 유도될 수 없음을 증명하려 했다.
의사구의 특이점으로 인해 측지선이 무한히 확장될 수 없어 증명이 불완전하다는 주장이 제기되기도 한다. 그러나 존 스틸웰은 벨트라미가 이 문제를 인지하고 있었으며, 의사구가 위상적으로 원통이라는 점을 고려하여 논문의 일부를 할애해 해결 방법을 모색했다고 지적한다. 벨트라미는 좌표를 적절히 선택하여 의사구의 리만 계량을 단위 원판으로 옮기고, 의사구의 특이점이 비유클리드 평면의 호로사이클에 해당함을 보였다. 다만, 논문 서론에서 그는 이 방법으로 공간의 비유클리드 기하학을 정당화하는 것은 불가능하다고 언급했다.[2]
같은 해 출판된 "일정 곡률 공간의 기본 이론"에서 벨트라미는 임의 차원에서 쌍곡선 기하학과 유클리드 기하학의 등가일관성에 대한 추상적 증명을 제시했다. 그는 벨트라미-클라인 모델, 푸앵카레 원반 모델, 푸앵카레 반평면 모델 등 비유클리드 기하학의 여러 모델을 도입하고, 이들을 서로 연결하는 변환을 통해 증명을 수행했다. 반평면 모델의 경우, 가스파르 몽주의 미분 기하학 논문에 조제프 리우빌이 남긴 메모를 인용했다. 또한 ''n''차원 유클리드 기하학이 (''n''+1)차원 쌍곡 공간의 호로구에서 실현되므로, 유클리드 기하학과 비유클리드 기하학의 일관성 간의 논리적 관계가 대칭적임을 보였다. 벨트라미는 베른하르트 리만의 ''하빌리타치온'' 강의 "기하학의 기초가 되는 가설에 관하여"(1854년, 사후 1868년 출판)에서 영향을 받았음을 인정했다.[2]
벨트라미의 "에세이"는 오늘날 비유클리드 기하학 발전에 매우 중요한 것으로 평가받지만, 당시에는 큰 주목을 받지 못했다. 루이지 크레모나는 순환 논법을 이유로 "에세이" 출판을 1년 연기시키기도 했다. 펠릭스 클라인은 비유클리드 기하학의 사영 원반 모델을 구성하는 데 있어 벨트라미의 우선권을 인정하지 않았다. 이러한 반응은 벨트라미의 추론이 다양체에 대한 리만의 아이디어와 유사하여 당시에는 생소했기 때문으로 보인다. J. 회엘은 로바체프스키와 볼러이의 저작을 프랑스어로 번역하면서 벨트라미의 증명을 함께 출판했다.[2]
3. 1. 비유클리드 기하학 연구
1868년에 《비유클리드 기하학의 해석에 대한 에세이》에서, 벨트라미는 쌍곡 기하학의 모형을 처음으로 만들었다. 벨트라미의 모델에서, 직선들은 반구면상의 측지선으로 나타난다. 이 비유클리드 기하학의 모형에서 그는, 평행선 공준이 유클리드 기하학의 다른 공리들로부터 유도되지 않는다는 사실을 증명하려고 시도하였다. 처음에는 실패하였는데, 이는 이 시도가 불가능한 것이 아니라, 벨트라미가 사용한 반구면은 쌍곡 평면의 일부분만을 가지고 있었기 때문이었다.같은 해에 다시 증명을 시도하면서 결국은 성공하였고, 이에 더해서 유클리드 기하학과 쌍곡 기하학 모두 자체적으로 모순이 없는 기하학이라는 것을 증명할 수 있었다. 즉, 평행선 공준에 대한 많은 설들에 대한 답을 해 낸 것이다. 이 시도에서 벨트라미는 많은 공간들을 정의했는데, 이 공간들은 현대 수학에서는 벨트라미-클라인 모형, 푸앵카레 원판 모형, 푸앵카레 반평면 모형(Poincaré half-plane model영어) 등으로 불린다. 이 공간들은 벨트라미의 논문 《상수 곡률을 가지는 공간의 기본 이론》[2]에서 소개되었다. 이 푸앵카레 반평면 모형에 관한 사실을 나열하면서, 벨트라미는 조제프 리우빌이 가스파르 몽주의 미분 기하학 교과서에 남긴 주석을 인용하였다.
1868년 벨트라미는 야노시 볼러이와 니콜라이 로바체프스키의 비유클리드 기하학의 일관성과 해석을 다룬 두 편의 논문을 발표했다(이탈리아어로 작성되었으며, J. 회엘의 프랑스어 번역본은 1869년에 출판되었다). "비유클리드 기하학의 해석에 관한 에세이"에서 벨트라미는 이 기하학이 일정한 음의 곡률을 가진 표면, 즉 의사구에서 실현될 수 있다고 제안했다. 벨트라미의 개념에서, 기하학의 선들은 의사구 위의 측지선으로 표현되며, 비유클리드 기하학의 정리는 로바체프스키와 볼러이가 이전에 그랬던 것처럼 공리적 방식으로 유도되는 것이 아니라, 일반적인 3차원 유클리드 공간 내에서 증명될 수 있다. 1840년에 페르디난트 민딩은 이미 의사구 위의 측지선 삼각형을 고려했으며, 해당 "삼각 함수 공식"은 일반적인 삼각법의 해당 공식에서 삼각 함수를 쌍곡선 함수로 대체하여 얻어진다고 언급했다. 이는 1857년에 델피노 코다치에 의해 더욱 발전되었지만, 둘 다 로바체프스키의 연구와의 연관성을 알아차리지 못한 것으로 보인다. 이러한 방식으로 벨트라미는 2차원 비유클리드 기하학이 공간의 유클리드 기하학만큼 유효하며, 특히 유클리드의 평행선 공준이 유클리드 기하학의 다른 공리에서 유도될 수 없음을 증명하려고 시도했다. 이 증명은 의사구의 특이점으로 인해 불완전했다는 주장이 종종 제기되는데, 이는 측지선이 무한정 확장될 수 없음을 의미한다. 그러나 존 스틸웰은 벨트라미가 이 어려움을 잘 알고 있었음에 틀림없으며, 이는 의사구가 위상적으로 원통이지 평면이 아니라는 사실에서도 나타나며, 그는 논문의 일부를 이 문제를 해결하는 방법을 고안하는 데 할애했다고 지적한다. 좌표를 적절하게 선택하여 벨트라미는 의사구의 리만 계량이 단위 원판으로 전송될 수 있으며, 의사구의 특이점이 비유클리드 평면의 호로사이클에 해당함을 보여주었다. 반면에, 논문의 서론에서 벨트라미는 이 방법으로는 "로바체프스키의 이론의 나머지 부분", 즉 공간의 비유클리드 기하학을 정당화하는 것이 불가능하다고 언급한다.
같은 해(1868년)에 출판된 두 번째 논문 "일정 곡률 공간의 기본 이론"에서 벨트라미는 이 논리를 이어갔고, 임의의 차원에 대한 쌍곡선 기하학과 유클리드 기하학의 등가일관성에 대한 추상적인 증명을 제시했다. 그는 현재 벨트라미-클라인 모델, 푸앵카레 원반 모델, 푸앵카레 반평면 모델로 알려진 비유클리드 기하학의 여러 모델을 도입하고, 이를 서로 연관시키는 변환을 통해 이를 수행했다. 반평면 모델의 경우, 벨트라미는 가스파르 몽주의 미분 기하학 논문에서 조제프 리우빌의 메모를 인용했다. 벨트라미는 또한 ''n''차원 유클리드 기하학이 (''n'' + 1)차원 쌍곡 공간의 호로구에서 실현되므로, 유클리드 기하학과 비유클리드 기하학의 일관성 간의 논리적 관계가 대칭적임을 보여주었다. 벨트라미는 베른하르트 리만의 획기적인 ''하빌리타치온'' 강의 "기하학의 기초가 되는 가설에 관하여"(1854년; 사후 1868년 출판)의 영향을 인정했다.
오늘날 벨트라미의 "에세이"는 비유클리드 기하학 발전에 매우 중요한 것으로 인정받고 있지만, 당시의 반응은 덜 열광적이었다. 루이지 크레모나는 인지된 순환 논법에 반대하여 벨트라미가 "에세이"의 출판을 1년 연기하도록 강요하기까지 했다. 그 후, 펠릭스 클라인은 비유클리드 기하학의 사영 원반 모델을 구성하는 데 있어 벨트라미의 우선권을 인정하지 않았다. 이러한 반응은 벨트라미의 추상적인 다양체에 대한 리만의 아이디어와 유사한, 벨트라미의 추론의 참신함에 부분적으로 기인할 수 있다. J. 회엘은 로바체프스키와 볼러이의 작품을 프랑스어로 번역한 것에서 벨트라미의 증명을 출판했다.
3. 2. 기타 연구
1868년에 발표한 《비유클리드 기하학의 해석에 대한 에세이》에서 벨트라미는 쌍곡 기하학 모형을 처음으로 제시하였다. 벨트라미의 모델에서 직선은 반구면 상의 측지선으로 나타난다. 그는 이 모형을 통해 평행선 공준이 유클리드 기하학의 다른 공리들로부터 유도될 수 없음을 증명하려 했다. 처음에는 쌍곡 평면의 일부분만을 다루었기 때문에 실패했지만,[2] 같은 해 다시 시도하여 성공하였다.더 나아가 벨트라미는 유클리드 기하학과 쌍곡 기하학이 모두 자체적으로 모순이 없다는 것을 증명하여 평행선 공준에 대한 오랜 논쟁에 답을 제시했다. 이 과정에서 그는 벨트라미-클라인 모형, 푸앵카레 원판 모형, 푸앵카레 반평면 모형(Poincaré half-plane model영어) 등 현대 수학에서 중요한 여러 공간들을 정의하였다. 이러한 공간들은 《상수 곡률을 가지는 공간의 기본 이론》에서 소개되었다. 벨트라미는 푸앵카레 반평면 모형을 설명하면서 조제프 리우빌이 가스파르 몽주의 미분 기하학 교과서에 남긴 주석을 인용했다.[2]
벨트라미는 야노시 볼러이와 니콜라이 로바체프스키의 비유클리드 기하학의 일관성과 해석에 관한 두 편의 논문을 발표했다. 이 논문들은 이탈리아어로 작성되었으며, J. 회엘의 프랑스어 번역본은 1869년에 출판되었다. "비유클리드 기하학의 해석에 관한 에세이"에서 그는 이 기하학이 일정한 음의 곡률을 가진 표면, 즉 의사구에서 실현될 수 있다고 제안했다. 벨트라미의 개념에서 기하학의 선은 의사구 위의 측지선으로 표현되며, 비유클리드 기하학의 정리는 로바체프스키와 볼러이처럼 공리적 방식이 아닌 3차원 유클리드 공간 내에서 증명될 수 있다.
페르디난트 민딩은 1840년에 이미 의사구 위의 측지선 삼각형을 고려하여 삼각 함수를 쌍곡선 함수로 대체하면 일반 삼각법의 공식과 동일한 "삼각 함수 공식"을 얻는다고 언급했다. 델피노 코다치는 1857년에 이를 더 발전시켰지만, 두 사람 모두 로바체프스키의 연구와의 연관성을 인지하지 못한 것으로 보인다. 벨트라미는 2차원 비유클리드 기하학이 유클리드 기하학만큼 유효하며, 특히 유클리드의 평행선 공준이 다른 공리에서 유도될 수 없음을 증명하려 했다.
의사구의 특이점으로 인해 측지선이 무한히 확장될 수 없어 증명이 불완전하다는 주장이 제기되기도 한다. 그러나 존 스틸웰은 벨트라미가 이 문제를 인지하고 있었으며, 의사구가 위상적으로 원통이라는 점을 고려하여 논문의 일부를 할애해 해결 방법을 모색했다고 지적한다. 벨트라미는 좌표를 적절히 선택하여 의사구의 리만 계량을 단위 원판으로 옮기고, 의사구의 특이점이 비유클리드 평면의 호로사이클에 해당함을 보였다. 다만, 논문 서론에서 그는 이 방법으로 공간의 비유클리드 기하학을 정당화하는 것은 불가능하다고 언급했다.[2]
같은 해(1868년) 출판된 "일정 곡률 공간의 기본 이론"에서 벨트라미는 임의 차원에서 쌍곡선 기하학과 유클리드 기하학의 등가일관성에 대한 추상적 증명을 제시했다. 그는 벨트라미-클라인 모델, 푸앵카레 원반 모델, 푸앵카레 반평면 모델 등 비유클리드 기하학의 여러 모델을 도입하고, 이들을 서로 연결하는 변환을 통해 증명을 수행했다. 반평면 모델의 경우, 가스파르 몽주의 미분 기하학 논문에 조제프 리우빌이 남긴 메모를 인용했다. 또한 ''n''차원 유클리드 기하학이 (''n''+1)차원 쌍곡 공간의 호로구에서 실현되므로, 유클리드 기하학과 비유클리드 기하학의 일관성 간의 논리적 관계가 대칭적임을 보였다. 벨트라미는 베른하르트 리만의 ''하빌리타치온'' 강의 "기하학의 기초가 되는 가설에 관하여"(1854년, 사후 1868년 출판)에서 영향을 받았음을 인정했다.[2]
벨트라미의 "에세이"는 오늘날 비유클리드 기하학 발전에 매우 중요한 것으로 평가받지만, 당시에는 큰 주목을 받지 못했다. 루이지 크레모나는 순환 논법을 이유로 "에세이" 출판을 1년 연기시키기도 했다. 펠릭스 클라인은 비유클리드 기하학의 사영 원반 모델을 구성하는 데 있어 벨트라미의 우선권을 인정하지 않았다. 이러한 반응은 벨트라미의 추론이 다양체에 대한 리만의 아이디어와 유사하여 당시에는 생소했기 때문으로 보인다. J. 회엘은 로바체프스키와 볼러이의 저작을 프랑스어로 번역하면서 벨트라미의 증명을 함께 출판했다.[2]
4. 저서 및 논문
- Opere matematiche di Eugenio Beltrami publicate per cura della Facoltà di scienze della r. Università di Roma영어 (1~2권) (U. Hoepli, 밀라노, 1902–1920)[1]
- Opere matematiche di Eugenio Beltrami publicate per cura della Facoltà di scienze della r. Università di Roma영어 (1–4권)
- 에우제니오 벨트라미, Saggio di interpretazione della geometria non-euclideait (비유클리드 기하학 해석 시론), Giornale di Matematicheit 6, 1868, 284–312쪽.
- 에우제니오 벨트라미, Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costanteit (상수 곡률 공간의 기본 이론), Annali di Matematica Pura ed Applicatait (2 시리즈) 2, 1868, 232–255쪽.
- 에우제니오 벨트라미, Sulla teoria dell'induzione magnetica secondo Poissonit (푸아송의 자기 유도 이론에 대하여), 1884.
참조
[1]
논문
Book Review: ''Opere Matematiche di Eugenio Beltrami''
[2]
논문
Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante
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