비유클리드 기하학

3. 비유클리드 기하학의 분류

아서 케일리는 원뿔 내부의 두 점 사이의 거리가 로그와 사영 교차비 함수로 정의될 수 있음을 언급했다. 이 방법은 케일리-클라인 계량이라고 불리게 되었는데, 이는 펠릭스 클라인이 비유클리드 기하학을 설명하기 위해 활용했기 때문이다.^[15] 케일리-클라인 계량은 유클리드 기하학뿐만 아니라 쌍곡 및 타원 계량 기하학의 작동 모델을 제공했다.

클라인은 "쌍곡" 및 "타원"이라는 용어를 사용하게 된 장본인이다 (그의 체계에서 그는 유클리드 기하학을 일반적으로 사용되지 않는 용어인 ''포물선''이라고 불렀다.^[16]).

3. 1. 쌍곡 기하학

3. 1. 1. 쌍곡 기하학의 특징

이 공간에서 삼각형을 그려보면, 공간 자체가 안으로 굽어 있어 삼각형도 안으로 굽은 오목한 모양이 된다. 따라서 삼각형의 세 내각의 크기는 모두 작아져 그 합이 180°보다 작다. 또한, 삼각형의 크기가 커질수록 변이 더 많이 휘어져 세 내각의 크기 합은 더욱 작아진다.

쌍곡 기하학과 유클리드 기하학의 차이점은 다음과 같이 비교할 수 있다.

• 평행선:
• 유클리드 기하학: 한 직선과 그 위에 있지 않은 한 점을 지나는 평행선은 유일하다.
• 쌍곡 기하학: 한 직선과 그 위에 있지 않은 한 점을 지나는 평행선은 무수히 많다.
• 삼각형 내각의 합:
• 유클리드 기하학: 삼각형 내각의 합은 180°이다.
• 쌍곡 기하학: 삼각형 내각의 합은 180°보다 작다. 삼각형이 커질수록 내각의 합은 더 작아진다.
• 람베르트 사각형: 세 개의 직각을 가진 사각형의 네 번째 각은 쌍곡 기하학에서 예각이다.
• 사케리 사각형: 길이가 같은 두 변이 밑변에 수직인 사각형에서, 나머지 두 각(정점 각)은 쌍곡 기하학에서 예각이다.

3. 2. 타원 기하학

타원 기하학은 비유클리드 기하학 중 하나로, 평행선 공준을 부정하고 "한 직선과 그 위에 있지 않은 한 점을 지나면서, 그 직선과 평행한 직선은 존재하지 않는다"는 공리를 채택한다. 이는 베른하르트 리만에 의해 연구되었다.

타원 기하학의 가장 간단한 모델은 구이며, 이 구에서 대원을 직선으로 간주한다. 이때 구의 중심을 지나는 평면과 구의 교선이 직선이 되며, 평행 공리가 성립하지 않음을 알 수 있다. 구면 위의 삼각형 내각의 합은 180°보다 크다.

플레이페어 공리에 따르면, 2차원 평면에서 주어진 직선 과 그 위에 있지 않은 점 ''A''에 대해, ''A''를 지나고 과 교차하지 않는 직선은 정확히 하나 존재한다. 그러나 타원 기하학에서는 ''A''를 지나는 모든 직선이 과 교차한다.^[3]

2차원 평면에서 세 번째 직선에 모두 수직인 두 개의 직선을 무한히 연장했을 때, 타원 기하학에서는 이 직선들이 서로 수렴하여 교차한다.^[3]

3. 2. 1. 타원 기하학의 특징

타원 기하학은 비유클리드 기하학의 한 종류로, 구면 위에서 성립하는 법칙들을 다룬다. 이 기하학은 리만 기하학이라고도 불린다.

타원 기하학에서는 유클리드의 평행선 공리가 성립하지 않는다. 즉, 한 직선과 그 위에 있지 않은 점이 주어졌을 때, 그 점을 지나면서 주어진 직선과 만나지 않는 직선은 존재하지 않는다. 대신, 그 점을 지나는 모든 직선은 주어진 직선과 교차한다.^[3]

타원 기하학의 간단한 모델은 구(球)이다. 구에서 대원(예: 적도 또는 자오선)을 직선으로 생각하면, 서로 반대편에 있는 점(대척점)은 같은 점으로 간주한다. 이 모델에서 주어진 직선과 그 위에 있지 않은 점을 지나는 모든 직선은 반드시 주어진 직선과 만나게 된다.^[3]

타원 기하학의 주요 특징은 다음과 같다.

• 서로 다른 두 직선은 두 점에서 만난다.
• 삼각형 내각의 합은 항상 180°보다 크고 540°보다 작다.
• 같은 구면 위에 있는 삼각형의 면적비는 내각의 합에서 180°를 뺀 값의 비와 같다.
• 같은 구면 위에는 합동을 제외한 닮음은 존재하지 않는다.
• 곡률이 양수인 공간에서 성립하는 기하학이다.

람베르트 사각형은 세 개의 직각을 가진 사각형인데, 타원 기하학에서 람베르트 사각형의 네 번째 각은 둔각이다.^[4] 사케리 사각형은 길이가 같은 두 변이 밑변에 수직인 사각형인데, 타원 기하학에서 사케리 사각형의 나머지 두 각(정점 각)은 둔각이다.^[4]

타원 기하학에서 삼각형의 각의 크기 합은 180°보다 크다.^[4] 삼각형의 ''결함''은 (180° - 삼각형 각의 크기의 합)으로 정의되는데, 타원 기하학에서 삼각형의 결함은 음수이다.^[4]

3. 3. 택시 기하학

헤르만 민코프스키가 19세기에 고안한 택시 기하학은 맨해튼 거리를 അടിസ്ഥാന으로 하는 비유클리드 기하학의 한 종류이다. 택시 기하학은 유클리드 기하학과 거리 함수가 다르다.

유클리드 기하학에서 두 점 사이의 거리는 피타고라스 정리를 이용하여 $d(A,\; B)\; =\; \backslash sqrt\{(c-a)^2+(d-b)^2\}$와 같이 계산한다. 반면 택시 기하학에서는 바둑판 모양의 도로망을 가진 도시에서 택시가 이동하는 거리를 생각하여 $d\_\{r\}(A,\; B)\; =\; |c-a|\; +\; |d-b|$와 같이 계산한다.

3. 3. 1. 택시 기하학의 특징

헤르만 민코프스키가 19세기에 고안한 택시 기하학은 유클리드 기하학과 거의 유사하지만 거리함수가 다르다. 택시 기하학에서 두 점 사이의 거리는 바둑판 모양의 블록 도로망을 가진 도시에서 택시를 타고 이동하는 경우를 생각하여 측정한다. 두 점 A, B 사이에 건물이 있어 A에서 B로 곧바로 가지 못하고 다른 지점(C)을 거쳐서 이동하는 거리로 계산한다.^[28]

택시 기하학에서 두 점 '''''A(a,b)'''''와 '''''B(c,d)''''' 사이의 거리($d\_\{r\}(A,\; B)$)는 다음과 같이 나타낸다.

:$d\_\{r\}(A,\; B)\; =\; |c-a|\; +\; |d-b|$

실생활에서 두 지점 사이의 거리는 택시 거리로 측정하는 것이 더 현실적이며, 택시 평면 위에서 유클리드 기하학의 내용이 적용되지 않기 때문에 택시 기하학은 비유클리드 기하학에 분류된다. 택시 기하학에서는 삼각형의 합동 공리가 성립하지 않고, 원의 모양이 정사각형으로 나타나는 등 유클리드 기하학과 다른 특징을 보인다.

3. 4. 절대 기하학

유클리드 기하학의 처음 네 공준만을 기반으로 하는 기하학 체계이다. 평행선 공준을 포함하지 않으므로, 유클리드 기하학과 비유클리드 기하학 모두에 적용될 수 있다. 보여이 야노시에 의해 연구되었다.^[19] 유클리드의 ''원론''의 처음 28개의 명제는 평행선 공준 또는 그와 동등한 것을 사용할 필요가 없으므로, 절대 기하학에서 모두 참된 명제이다.

4. 비유클리드 기하학과 유클리드 기하학의 비교

유클리드 기하학은 평평한 공간(곡률이 0)을 다루는 반면, 비유클리드 기하학은 굽은 공간(곡률이 0이 아닌)을 다룬다. 유클리드의 다섯 번째 공준인 평행선 공준은 플레이페어의 공리와 동치이며, 2차원 평면에서 주어진 직선과 그 위에 있지 않은 점 ''A''에 대해, ''A''를 지나고 주어진 직선과 교차하지 않는 직선은 정확히 하나 존재한다고 말한다. 그러나 쌍곡 기하학에서는 ''A''를 지나고 주어진 직선과 교차하지 않는 직선이 무한히 많고, 타원 기하학에서는 ''A''를 지나는 모든 직선이 주어진 직선과 교차한다.^[2]

이러한 기하학적 차이점을 설명하는 또 다른 방법은 2차원 평면에서 세 번째 직선에 모두 수직인 두 개의 직선을 무한히 연장하는 것이다.

• 유클리드 기하학에서, 이 직선들은 서로 일정한 거리를 유지하며 평행선으로 알려져 있다.
• 쌍곡 기하학에서, 이 직선들은 서로 멀어져 공통 수직선과의 교차점으로부터 멀어질수록 거리가 증가하며, 이러한 직선들은 종종 초평행선이라고 불린다.
• 타원 기하학에서, 이 직선들은 서로 수렴하여 교차한다.^[2]

니콜라이 이바노비치 로바체프스키는 1829년에 "허(虛)기하학"으로 명명된 쌍곡 기하학의 모델을 제시했고, 보야이 야노시는 1832년에 자신의 저서에서 평행선 공준을 가정한 기하학과 평행선 공준의 부정을 가정한 기하학을 논했다. 베른하르트 리만은 리만 구라고 불리는 타원 기하학의 모델을 구성했다.^[4]

5. 비유클리드 기하학의 중요성

비유클리드 기하학은 과학사에서 중요한 패러다임 전환을 가져왔다.^[24] 2천 년간 공간을 설명하는 유일한 방법으로 여겨졌던 유클리드 기하학과 달리, 비유클리드 기하학은 인간의 사고를 유클리드 공간 너머로 확장시켰다.

칸트는 산술과 유클리드 기하학이 경험이 아닌 이성에서 비롯되는 선험적이고 보편타당하며 필연적인 관념이라고 주장했다. 그러나 비유클리드 기하학의 등장으로 유클리드 기하학의 관점은 크게 흔들렸고, 칸트의 인식론에 대한 비판이 제기되었다. 로바쳅스키는 인식이 지각을 통해 획득되며, 선천적인 것이 아니라고 주장했다.^[13]

아인슈타인은 일반상대성이론에서 우주가 평평하지 않고 중력에 의해 휘어져 있다는 것을 보이며, 비유클리드 기하학을 공간에 대한 기초 이론으로 삼았다. 아인슈타인은 "만일 내가 그 기하학(비유클리드 기하학)을 몰랐다면 나는 결코 상대성 이론을 만들어 낼 수 없었을 것이다."라고 말했다.

비유클리드 기하학의 발견은 수학과 과학뿐만 아니라 철학, 신학, 교육 등 다양한 분야에 영향을 미쳤다.^[23][27] 특히 빅토리아 시대 잉글랜드에서는 유클리드 기하학 기반의 교육에 대한 재검토를 촉발하는 주요 요인이 되었다. 루이스 캐럴로 더 잘 알려진 찰스 루트위지 도지슨은 자신의 저서 ''유클리드와 그의 현대 경쟁자들''에서 이 문제를 다루기도 했다.

6. 현대 과학과의 연관성

아인슈타인(Albert Einstein, 1879~1955)은 우주가 평평하지 않고 중력에 의해 휘어 있음을 보였고, 일반 상대성 이론의 공간에 대한 기초 이론을 비유클리드 기하학에서 찾았다.^[22] 이처럼 유클리드의 다섯 번째 공리에 관한 의심에서 출발한 비유클리드 기하학은 미시공간과 극대 공간을 해석하는 이론으로 폭넓게 사용되고 있다. 아인슈타인은 "만일 내가 그 기하학(비유클리드 기하학)을 몰랐다면 나는 결코 상대성 이론을 만들어 낼 수 없었을 것이다."라고 언급하며 비유클리드 기하학의 중요성을 강조했다.

쌍곡 기하학은 1908년 헤르만 민코프스키가 도입한 물리 우주론을 통해 운동학에 적용되었다. 민코프스키는 세계선 및 고유 시간과 같은 용어를 수리물리학에 도입했다. 그는 미래의 한 순간 고유 시간을 갖는 부분다양체가 3차원 쌍곡 공간으로 간주될 수 있음을 깨달았다.^[30][31]

비유클리드 평면 대수는 평면에서 운동학적 기하학을 지원한다. 예를 들어, 분할 복소수 ''z'' = e^''a''j는 속도 ''a''의 기준 틀의 미래의 한 순간의 시공간 사건을 나타낼 수 있다. 또한, ''z''를 곱하는 것은 속도가 0인 틀을 속도가 ''a''인 틀로 매핑하는 로렌츠 부스트에 해당한다.

이중수를 사용하면 고전적인 운동 묘사를 나타낼 수 있는데, 방정식과 선형대수를 통해 표현이 가능하다.^[32]

1912년 E. B. 윌슨과 길버트 루이스는 특수 상대성 이론을 비유클리드 기하학으로 보는 또 다른 관점을 제안했다.^[33][34]

7. 비유클리드 기하학의 모델

참조

_[1] 간행물 Views of Euclid's Parallel Postulate in Ancient Greece and in Medieval Islam http://www.math.rutg[...] Rutgers University 2008-01-23
_[2] 인용 "Three scientists, Ibn al-Haytham, Khayyam, and al-Tusi, had made the most considerable contribution to this branch of geometry, whose importance was completely recognized only in the nineteenth century. In essence, their propositions concerning the properties of quadrangle—which they considered assuming that some of the angles of these figures were acute of obtuse—embodied the first few theorems of the hyperbolic and the elliptic geometries. Their other proposals showed that various geometric statements were equivalent to the Euclidean postulate V. It is extremely important that these scholars established the mutual connection between this postulate and the sum of the angles of a triangle and a quadrangle. By their works on the theory of parallel lines Arab mathematicians directly influenced the relevant investigations of their European counterparts. The first European attempt to prove the postulate on parallel lines – made by [[Witelo]], the Polish scientists of the thirteenth century, while revising [[Ibn al-Haytham]]'s ''[[Book of Optics]]'' (''Kitab al-Manazir'') – was undoubtedly prompted by Arabic sources. The proofs put forward in the fourteenth century by the Jewish scholar [[Levi ben Gerson]], who lived in southern France, and by the above-mentioned Alfonso from Spain directly border on Ibn al-Haytham's demonstration. Above, we have demonstrated that ''Pseudo-Tusi's Exposition of Euclid'' had stimulated both J. Wallis's and G. [[Saccheri]]'s studies of the theory of parallel lines." Routledge
_[3] 서적 Geometry Routledge
_[4] 인용 "In ''Pseudo-Tusi's Exposition of Euclid'', [...] another statement is used instead of a postulate. It was independent of the Euclidean postulate V and easy to prove. [...] He essentially revised both the Euclidean system of axioms and postulates and the proofs of many propositions from the ''Elements''." Routledge
_[5] 인용 "But in a manuscript probably written by his son Sadr al-Din in 1298, based on Nasir al-Din's later thoughts on the subject, there is a new argument based on another hypothesis, also equivalent to Euclid's, [...] The importance of this latter work is that it was published in Rome in 1594 and was studied by European geometers. In particular, it became the starting point for the work of Saccheri and ultimately for the discovery of non-Euclidean geometry." Addison–Wesley
_[6] 웹사이트 MacTutor's Giovanni Girolamo Saccheri http://www-history.m[...]
_[7] 웹사이트 Johann Heinrich Lambert http://www-history.m[...] 2011-09-16
_[8] 문서 A Treatise of Human Nature Oxford University Press
_[9] 간행물 Werke http://gdz.sub.uni-g[...] B. G. Teubner
_[10] 서적 Non-Euclidean geometry: A critical and historical study of its development https://archive.org/[...] Open Court
_[11] 문서 In the letter to Wolfgang (Farkas) Bolyai of March 6, 1832 Gauss claims to have worked on the problem for thirty or thirty-five years
_[12] 문서 However, other axioms besides the parallel postulate must be changed to make this a feasible geometry.
_[13] 서적 Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint: Geometry Dover
_[14] 서적 Non-Euclidean Geometry https://archive.org/[...] Pergamon
_[15] 간행물 Über die sogenannte nichteuklidische Geometrie
_[16] 문서 The Euclidean plane is still referred to as parabolic in the context of conformal geometry
_[17] 문서 for instance
_[18] 문서 a 21st axiom appeared in the French translation of Hilbert's Grundlagen der Geometrie
_[19] 문서 Harvard citation
_[20] 문서 while only two lines are postulated, it is easily shown that there must be an infinite number of such lines.
_[21] 문서 Book I Proposition 27 of Euclid's Elements
_[22] 서적 Three-dimensional geometry and topology. Vol. 1 Princeton University Press
_[23] 간행물 Gott und Geometrie: Eine viktorianische Kontroverse
_[24] 문서 see
_[25] 서적 Men of Mathematics Touchstone Books
_[26] 인용 "What [[Vesalius]] was to [[Galen]], what [[Copernicus]] was to [[Ptolemy]] that was Lobachevsky to [[Euclid]]."
_[27] 문서 Harvard citation
_[28] 서적 Complex Numbers in Geometry Academic Press
_[29] 서적 Theory of Relativity of Motion
_[30] 문서 Space and Time
_[31] 문서 Non-Euclidean Style of Special Relativity http://www.univ-nanc[...]
_[32] 서적 A simple non-Euclidean geometry and its physical basis : an elementary account of Galilean geometry and the Galilean principle of relativity Springer
_[33] 간행물 "The Space-time Manifold of Relativity. The Non-Euclidean Geometry of Mechanics and Electromagnetics"
_[34] 웹사이트 Synthetic Spacetime https://web.archive.[...]
_[35] 웹사이트 The Call of Cthulhu http://www.hplovecra[...]
_[36] 웹사이트 HyperRogue website http://www.roguetemp[...]
_[37] 웹사이트 慶應義塾大学メディアセンターデジタルコレクション https://dcollections[...] 2021-09-30
_[38] 논문 <論考> アラビア語とサンスクリット版ユークリッド『原論』にみる三平方の定理 (経済学部特集号: 本多三郎教授退職記念号) https://www.i-reposi[...] 2010-07