조절 (물리학)

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1. 개요
2. 역사적 배경
3. 조절의 개념과 방법
- 3.1. 재정규화
- 3.2. 이상(Anomaly)
4. 조절의 종류
5. 현실적인 조절(Realistic regularization)
6. 최소 현실적 정규화 (Minimal Realistic Regularization)
7. 수송 이론적 접근 (Transport Theoretic Approach)
8. 새로운 물리학의 단서
참조

1. 개요

조절(Regularization)은 물리학에서 무한대 문제를 해결하기 위한 기법으로, 특히 양자장론에서 중요한 역할을 한다. 고전 전자기학에서 점 입자의 무한한 자기 에너지 문제에서 시작되었으며, 양자장론의 계산에서 나타나는 발산을 제거하고 유한한 결과를 얻기 위해 사용된다. 조절은 차원 조절, 파울리-빌라르 조절, 격자 조절 등 다양한 방법으로 이루어지며, 이러한 기법들은 이론의 예측 능력을 향상시킨다. 현실적인 조절은 기존 물리학의 원리를 존중하면서 무한대를 제거하려는 시도이며, 파울리의 추측과 디랙의 최소 현실적 정규화 개념 등이 제시되었다. 조절은 또한 새로운 물리학, 특히 양자 중력과 표준 모형을 넘어서는 물리학을 탐구하는 데 중요한 단서를 제공한다.

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조절 (물리학)
조절 (물리학)
조절	물리학에서, 특히 양자장론에서 발산하는 계산 결과를 유한하게 만드는 절차
관련 항목	재규격화
상세 정보
개요	양자장론 계산에서 무한대로 발산하는 양을 다루기 위한 기술적인 방법
목표	물리적으로 의미 있는 결과를 얻을 수 있도록 발산을 제거
필요성	양자장론의 많은 계산, 특히 섭동 이론에서 무한대가 나타남 이러한 무한대는 이론의 예측 능력을 저해
주요 방법	차원 조절 파울리-빌라르 조절 격자 조절 제타 함수 조절 인과 섭동 이론 아다마르 조절 점 분할 조절
차원 조절	적분 차원을 복소수로 확장하여 발산을 피함 가장 일반적인 방법 중 하나
파울리-빌라르 조절	무거운 가상 입자를 도입하여 고에너지에서의 발산을 상쇄 게이지 대칭을 명확하게 유지하지 못하는 단점 존재
격자 조절	시공간을 이산적인 격자로 대체하여 발산을 제한 비섭동적인 방법으로, 강한 결합 이론에 유용
제타 함수 조절	리만 제타 함수와 같은 특수 함수를 사용하여 발산을 정의 수학적으로 엄밀하지만, 물리적인 해석이 어려울 수 있음
인과 섭동 이론	시간 순서 연산자를 명확하게 정의하여 발산을 피함 수학적인 엄밀성이 높음
아다마르 조절	그린 함수의 특이점을 조절하여 발산을 제거 주로 곡면 시공간에서 사용
점 분할 조절	장 연산자를 약간 다른 시공간 위치에서 평가하여 발산을 피함 장 연산자의 곱을 정의하는 데 사용
주의 사항	조절은 물리적인 과정이 아니며, 수학적인 기법 조절된 이론은 여전히 무한대를 포함하고 있으며, 이러한 무한대는 재규격화 과정을 통해 제거
재규격화와의 관계	조절은 재규격화를 위한 필수적인 단계 조절을 통해 얻은 유한한 결과를 사용하여 물리적인 파라미터를 재정의
과학자
주요 과학자	마르티뉘스 펠트만 헤라르뒤스 엇호프트 케네스 윌슨

2. 역사적 배경

무한대의 문제는 19세기와 20세기 초 고전 전자기학에서 기본 입자의 점 입자에서 처음 발생했다.

하전 입자의 질량에는 정전기장 내의 질량-에너지가 포함되어야 한다(전자기 질량). 입자가 반지름 $r_e$ 의 하전된 구 껍질이라고 가정하면, 장 내의 질량-에너지는 다음과 같다.

: $m_\mathrm{em} = \int {1\over 2}E^2 \, dV = \int_{r_e}^{\infty} \frac{1}{2} \left( {q\over 4\pi r^2} \right)^2 4\pi r^2 \, dr = {q^2 \over 8\pi r_e},$

$r_e \to 0$ 이 되면 이 값은 무한대가 된다. 이는 점 입자가 무한한 관성을 갖게 되어 가속할 수 없음을 의미한다. $m_\mathrm{em}$ 이 전자 질량과 같게 만드는 $r_e$ 의 값을 고전 전자 반경이라고 하며, ( $q = e$ 로 설정하고 $c$ 와 $\varepsilon_0$ 의 인수를 복원하면) 다음과 같다.

: $r_e = {e^2 \over 4\pi\varepsilon_0 m_{\mathrm{e}} c^2} = \alpha {\hbar\over m_{\mathrm{e}} c} \approx 2.8 \times 10^{-15}\ \mathrm{m}.$

여기서 $\alpha \approx 1/137.040$ 는 미세 구조 상수이고, $\hbar/m_{\mathrm{e}} c$ 는 전자의 컴프턴 파장이다.

고전 물리학 이론은 작은 규모에서 깨지는데, 예를 들어 위에서 보여준 전자와 점 입자의 차이가 있다. 이 문제를 해결하려면 새로운 종류의 추가적인 물리적 제약 조건이 필요하다. 예를 들어, 이 경우 유한한 전자 반경을 가정하는 것(즉, 전자 질량-에너지를 정규화하는 것)만으로도 특정 크기 이하의 시스템을 설명하기에 충분하다. 유사한 정규화 논리는 다른 재정규화 문제에서도 작동한다. 예를 들어, 한 이론은 좁은 조건 집합에서는 유효할 수 있지만, 무한대 또는 특이점을 포함하는 계산으로 인해 다른 조건 또는 규모에서는 깨질 수 있다. 전자의 경우, 입자의 점 성질을 유지하면서 무한한 질량-에너지를 피하는 또 다른 방법은 입자가 3차원 공간에서만 움직이는 것을 제한하는 대신 '퍼져나갈' 수 있는 작은 추가 차원을 가정하는 것이다. 이것이 바로 현 이론과 다중 시간 차원을 포함한 다른 다차원 모델의 동기이다. 알려지지 않은 새로운 물리학의 존재 대신, 환경에서 다른 주변 입자와의 입자 상호 작용의 존재를 가정하는 재정규화는 그러한 고전적인 문제에서 무한대를 해결하는 대안적 전략을 제공한다.

3. 조절의 개념과 방법

조절은 무한대, 발산, 무의미한 표현을 처리하기 위해 조절자(regularizor)라는 보조 개념을 도입하는 기법이다. 예를 들어, 발산이 단거리 물리적 효과에서 발생하는 경우, 공간의 최소 거리 ε^영어를 유용하게 사용할 수 있다. 올바른 물리적 결과는 조절자가 사라지는 극한(예: ε→0^영어)에서 얻어지지만, 조절자의 장점은 유한한 값에 대해 결과가 유한하다는 것이다.

그러나 결과에는 일반적으로 $1/ \epsilon$ 과 같이 ε→0^영어 극한에서 정의되지 않는 항이 포함된다. 조절은 유한하고 의미 있는 결과를 얻기 위한 첫 단계이다.

3. 1. 재정규화

재정규화는

1/ \epsilon

과 같이 겉보기에는 발산하는 표현으로 나타나는 일부 물리적 양이 관측된 값과 같다는 요구 사항을 기반으로 한다. 이러한 제약 조건은 발산하는 것처럼 보이는 다른 많은 양에 대해 유한한 값을 계산할 수 있도록 한다.

ε가 0으로 가는 극한의 존재와 최종 결과가 조절자와 독립적이라는 것은 사소하지 않은 사실이다. 이러한 사실의 근본적인 이유는 케네스 윌슨과 레오 카다노프가 보여준 보편성과 2차 상전이의 존재에 있다. 때로는 ε가 0으로 가는 극한을 취하는 것이 불가능하다. 이는 란다우 극과 페르미 상호작용과 같은 비재정규화 가능한 결합의 경우이다. 그러나 이러한 두 가지 예에서도 조절자가

\epsilon \gg \hbar c/\Lambda

(여기서

\Lambda

는 상위 에너지 컷오프)에 대해서만 합리적인 결과를 제공하고

\hbar c/\Lambda'

의 크기인 스케일로 작업하는 경우,

\hbar c/\Lambda \ll \epsilon \ll \hbar c/\Lambda'

인 조절자는 여전히 매우 정확한 근사를 제공한다. ε가 0으로 가는 극한을 취할 수 없는 물리적 이유는 Λ 아래에 새로운 물리학이 존재하기 때문이다.

ε가 0으로 가는 극한이 조절과 무관하도록 조절을 정의하는 것이 항상 가능한 것은 아니다. 이 경우 이론에 이상이 포함되어 있다고 한다. 이상 이론은 매우 상세하게 연구되었으며 종종 유명한 아티야-싱어 지표 정리 또는 그 변형에 기반을 두고 있다(예: 키랄 이상 참조).

3. 2. 이상(Anomaly)

때로는 ε가 0으로 가는 극한을 취하는 것이 불가능한 경우가 있는데, 이는 란다우 극이나 페르미 상호작용과 같은 비재정규화 가능한 결합의 경우이다. 조절을 정의하는 것이 항상 가능한 것은 아니며, 이 경우 이론에 이상이 있다고 한다. 이상 이론은 아티야-싱어 지표 정리 등과 관련하여 연구된다.

4. 조절의 종류

조절 절차는 조절자라는 보조 개념을 도입하여 무한대, 발산, 무의미한 표현을 처리한다. 올바른 물리적 결과는 조절자가 사라지는 극한에서 얻어지지만, 조절자의 장점은 유한한 값에 대해 결과가 유한하다는 것이다.

그러나 결과에는 일반적으로 극한에서 정의되지 않는 항이 포함될 수 있다. 조절은 완전히 유한하고 의미 있는 결과를 얻기 위한 첫 번째 단계이며, 양자장론에서는 일반적으로 재정규화라는 관련 있지만 독립적인 기술이 따라야 한다. 재정규화는 겉보기에는 발산하는 표현으로 표현되는 일부 물리적 양이 관측된 값과 같다는 요구 사항을 기반으로 한다. 이러한 제약 조건은 발산하는 것처럼 보이는 다른 많은 양에 대해 유한한 값을 계산할 수 있도록 한다.

극한의 존재와 최종 결과가 조절자와 독립적이라는 것은 사소하지 않은 사실이다. 이러한 사실의 근본적인 이유는 케네스 윌슨과 레오 카다노프가 보여준 보편성과 2차 상전이의 존재에 있다. 때로는 극한을 취하는 것이 불가능한 경우도 있는데, 이는 란다우 극과 페르미 상호작용과 같은 비재정규화 가능한 결합의 경우이다.

극한이 조절과 무관하도록 조절을 정의하는 것이 항상 가능한 것은 아니다. 이 경우 이론에 이상이 포함되어 있다고 한다. 이상 이론은 매우 상세하게 연구되었으며 종종 유명한 아티야-싱어 지표 정리 또는 그 변형에 기반을 두고 있다.

조절 절차의 구체적인 유형은 다음과 같다.

차원 조절^[1]
파울리-빌라르 조절
격자 조절
제타 함수 조절
인과 조절^[2]
아다마르 조절

5. 현실적인 조절(Realistic regularization)

현실적인 조절(Realistic regularization)은 현재 사용되는 조절 방법이 가진 문제점을 해결하기 위한 접근 방식이다. 현재 사용되는 방법들은 형식적인 기술적 장치로, 직접적인 물리적 의미를 갖지 않는다. 예를 들어 로렌츠 불변성을 위배하거나, 음의 메트릭 또는 잘못된 통계를 가진 비물리적 입자를 도입하는 문제가 있다.^[3]^[4]^[5]

볼프강 파울리는 1949년에 현대 물리학의 모든 확립된 원리를 존중하는 현실적인 조절이 존재할 것이라고 추측했다.^[6]^[7] 이러한 조절은 재정규화가 필요 없으며, 실험적으로 무시할 수 있더라도 양자 산란 물리학에 대한 새로운 정보를 제공할 수 있다. 반면 현재의 조절 방법은 재정규화를 통해 처리해야 하는 형식적 계수를 도입한다.

폴 디랙은 재규격화 절차에 대해 비판적이었다. 1963년에 그는 "재규격화 이론은 수학자들이 정당하게 만들려는 모든 시도를 무시한 이론"이며, "미래에 살아남지 못할 것"이라고 했다.^[8] 또한 이론 물리학자는 실험적 기반에서 시작하거나, 수학적 기반에서 기존 이론의 결함을 찾아 제거하는 두 가지 절차를 따를 수 있다고 언급하며, 후자의 경우 기존 이론의 성공을 파괴하지 않으면서 결함을 제거하는 것이 중요하다고 강조했다.^[9]

압두스 살람은 1972년에 장 이론적 무한대가 고전 전자기학과 양자 전자기학에서 오랫동안 지속되어 왔으며, 이로 인해 무한대에 대한 기묘한 애정과 자연의 불가피한 부분이라는 믿음이 생겼다고 말했다. 그는 재규격화 상수에 대한 유한 값을 계산하고 피할 수 있다는 희망을 제안하는 것조차 비합리적으로 간주될 정도였다고 언급했다.^[10]^[11]

그러나 헤라르트 't 호프는 어떤 장애물에 부딪히면, 그것이 형식적이거나 기술적인 문제일지라도 주의 깊게 조사해야 하며, 자연이 우리에게 무언가를 말하고 있을 수 있다고 생각했다.^[12]

현실적인 조절의 어려움은 아직 그러한 방법이 발견되지 않았고, 상향식 접근으로는 아무것도 파괴할 수 없지만 실험적 기반이 없다는 점이다.

5. 1. 개념적 문제

현재 사용되는 정규화 방법은 형식적인 기술적 장치이며, 직접적인 물리적 의미가 없다는 문제가 있다. 예를 들어, 로렌츠 불변성을 위배하거나, 음의 메트릭 또는 잘못된 통계를 가진 비물리적 입자를 도입하는 등의 문제가 있다.^[3]^[4]^[5]

5. 2. 파울리의 추측

볼프강 파울리는 1949년에 현대 물리학의 모든 확립된 원리를 존중하는 현실적인 정규화가 존재할 것이라고 추측했다.^[6]^[7] 이러한 현실적인 정규화는 재정규화가 필요하지 않으며, 실험적으로 무시할 수 있을지라도 양자 산란의 물리학에 대한 새로운 정보를 제공할 수 있다. 반대로, 현재의 모든 정규화 방법은 결국 재정규화를 통해 처리되어야 하는 형식적 계수를 도입한다.

5. 3. 현실적인 조절에 대한 다양한 관점

폴 디랙은 재규격화 절차에 대해 끈질기고 극도로 비판적이었다. 1963년에 그는 "… 재규격화 이론은 수학자들이 정당하게 만들려는 모든 시도를 무시한 이론입니다. 저는 재규격화 이론이 미래에 살아남지 못할 것이라고 생각합니다,…"라고 썼다.^[8] 그는 또한 "이론 물리학자를 위한 두 가지 주요 절차를 구별할 수 있습니다. 그 중 하나는 실험적 기반에서 시작하는 것입니다... 다른 절차는 수학적 기반에서 시작하는 것입니다. 기존 이론을 검토하고 비판합니다. 결함을 찾아내 제거하려고 합니다. 여기서 어려운 점은 기존 이론의 매우 큰 성공을 파괴하지 않으면서 결함을 제거하는 것입니다."라고 언급했다.^[9]

압두스 살람은 1972년에 "전자의 로렌츠 계산에서 처음 발견된 장 이론적 무한대는 고전 전자기학에서 70년, 양자 전자기학에서 약 35년 동안 지속되었습니다. 이 오랜 좌절의 세월은 무한대에 대한 기묘한 애정과 그것들이 자연의 불가피한 부분이라는 열렬한 믿음을 이 주제에 남겼습니다. 재규격화 상수에 대한 유한 값을 계산할 수 있고, 어쨌든 그들을 피할 수 있다는 희망을 제안하는 것조차 비합리적인 것으로 간주될 정도입니다."라고 말했다.^[10]^[11]

그러나 헤라르트 't 호프는 "역사는 우리가 어떤 장애물에 부딪히면, 그것이 순수한 형식일지라도, 또는 단지 기술적인 문제일지라도, 주의 깊게 조사해야 한다고 말해줍니다. 자연은 우리에게 무언가를 말하고 있을 수 있으며, 우리는 그것이 무엇인지 찾아내야 합니다."라고 생각했다.^[12]

현실적인 정규화의 어려움은 지금까지 그러한 것이 없다는 것이며, 상향식 접근 방식으로는 아무것도 파괴될 수 없다는 점이 있지만, 실험적 기반이 없다는 점이다.

6. 최소 현실적 정규화 (Minimal Realistic Regularization)

1963년, 디랙은 서로 다른 이론적 문제들에 대해 다음과 같이 제안했다. "나는 이러한 서로 다른 문제들을 해결하기 위해 별개의 아이디어가 필요하며, 미래의 물리학 발전 단계에서 하나씩 차례로 해결될 것이라고 믿습니다. ... 우리는 가능한 한 문제를 서로 분리하고 개별적으로 해결하려고 노력해야 합니다."

디랙에 따르면, "양자 전기역학(QED)은 우리가 가장 잘 알고 있는 물리학 분야이며, 다른 장 이론에 대한 근본적인 진전을 이루기 위해서는, ... 먼저 정돈되어야 할 것입니다."^[9]

디랙의 앞선 두 언급은 4차원 민코프스키 시공간에서 원래의 QED 라그랑지안 밀도에서 시작하여 양자 전기역학(QED)의 현실적인 정규화를 모색해야 함을 시사한다.^[9]

경로 적분 공식은 라그랑지안 밀도에서 해당 페인만 계열로의 로렌츠 불변 형태를 가장 직접적으로 제공한다.^[5] 라그랑지안 밀도의 자유장 부분은 페인만 전파자를 결정하고, 나머지는 꼭짓점을 결정한다. QED 꼭짓점이 QED 산란에서 상호작용을 적절하게 설명하는 것으로 간주되므로, 라그랑지안 밀도의 자유장 부분만 수정하는 것이 합리적이다. 즉, 다음을 수행하는 정규화된 페인만 계열을 얻는 것을 목표로 한다.

(i) 로렌츠 불변이고 유니타리하다.
(ii) QED 입자만 포함한다.
(iii) QED 매개변수와 페인만 전파자의 수정으로 도입된 매개변수에만 의존하며, 이러한 매개변수의 특정 값에 대해 QED 섭동 S-행렬과 같다.
(iv) QED 섭동 S-행렬과 동일한 대칭성을 나타낸다.

이러한 정규화를 '최소 현실적 정규화'라고 지칭하고, QED 라그랑지안 밀도의 해당 수정된 자유장 부분을 찾는다.

7. 수송 이론적 접근 (Transport Theoretic Approach)

비요르켄과 드렐에 따르면, 미분장 방정식으로는 제공할 수 없는 더 자세한 설명을 사용하여 울트라바이올렛 발산을 회피하는 것이 물리적으로 타당할 것이다. 파인만은 미분 방정식의 사용에 대해 다음과 같이 언급했다. "... 중성자 확산의 경우 평균 자유 경로에 비해 우리가 관찰하는 거리가 클 때만 유효한 근사이다. 더 자세히 살펴보면 개별 중성자가 돌아다니는 것을 볼 수 있을 것이다." 그리고 그는 다음과 같이 궁금해했다. "실제 세계가 매우 작은 거리에서만 볼 수 있는 작은 X-on으로 구성되어 있을까? 그리고 우리의 측정에서 항상 이러한 작은 X-on을 볼 수 없는 매우 큰 규모로 관찰하고 있으며, 이것이 우리가 미분 방정식을 얻는 이유일까? ... [따라서] 이것들 또한 실제로 훨씬 더 복잡한 미시 세계의 부드럽게 처리된 모방으로서만 정확한 것일까?"^[13]

1938년에 하이젠베르크는 양자장론이 어떤 '기본 길이'보다 큰 거리에서만 유효한, 양자 역학의 이상화된 대규모 묘사만을 제공할 수 있다고 제안했다.^[14] 1965년 비요르켄과 드렐은 이 길이를 예상했다. 파인만의 앞선 언급은 그 존재에 대한 가능한 물리적 이유를 제시한다. 즉, 그것이거나 아니면 똑같은 것을 말하는 또 다른 방법(거리의 기본 단위가 있다는 것)일 뿐 새로운 정보는 없다.

8. 새로운 물리학의 단서

양자 중력의 모든 양자장론에서 조절 항의 필요성은 표준 모형을 넘어서는 물리학의 주요 동기 부여 요인이다. QFT에서 비중력력의 무한대는 재규격화를 통해서만 제어할 수 있지만, 중력에 대해서는 추가적인 조절, 즉 새로운 물리학이 특별히 필요하다. 조절자는 작은 규모에서 QFT의 붕괴를 모델링하고 해결하며, 따라서 이러한 규모에서 QFT를 넘어 다른 이론이 작용해야 할 필요성을 분명히 보여준다. A. 지(A. Zee)는 이를 조절 프레임워크의 장점으로 여긴다. 즉, 이론은 의도된 영역에서 잘 작동할 수 있지만, 자체적인 한계에 대한 정보도 포함하고 있으며, 새로운 물리학이 필요한 지점을 명확히 지적한다.

참조

_[1] 논문 Regularization and renormalization of gauge fields https://dspace.libra[...]
_[2] 서적 "Finite Quantum Electrodynamics: The Causal Approach" Springer
_[3] 논문 The conceptual foundations and the philosophical aspects of renormalization theory https://www.research[...]
_[4] 서적 Renormalization Springer-Verlag
_[5] 서적 The Quantum Theory of Fields Cambridge University Press
_[6] 서적 Theoretical Physics in the Twentieth Century Interscience Publishers
_[7] 논문 On the Invariant Regularization in Relativistic Quantum Theory 1949-07-01
_[8] 간행물 The Evolution of the Physicist's Picture of Nature 1963-05
_[9] 서적 Unification of Fundamental Forces https://archive.org/[...] Cambridge University Press
_[10] 논문 Infinity Suppression in Gravity-Modified Quantum Electrodynamics 1971-04-15
_[11] 논문 Infinity Suppression in Gravity-Modified Electrodynamics. II 1972-05-15
_[12] 서적 In Search of the Ultimate Building Blocks Cambridge University Press
_[13] 웹사이트 The Feynman Lectures on Physics. Vol. II, Section 12–7: The “underlying unity” of nature https://www.feynmanl[...]
_[14] 논문 Uber die in der Théorie der Elementarteilchen auftretende universelle Lange
_[15] 논문 Regularization and renormalization of gauge fields
_[16] 서적 "Finite Quantum Electrodynamics: The Causal Approach" Springer

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