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지수 사상 (리만 기하학)

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목차

1. 개요

지수 사상은 리만 기하학에서 미분 다양체 위의 점에서의 접공간의 벡터를 해당 점에서 시작하는 측지선 위의 점으로 대응시키는 함수이다. 아핀 접속을 통해 정의되며, 국소적으로만 정의될 수 있다. 지수 사상은 접벡터를 측지선을 따라 사상하며, 호프-리노 정리에 의해 다양체가 거리 공간으로서 완비일 때 전체 접공간에서 정의될 수 있다. 가우스 보조정리는 지수 사상의 중요한 성질로, 곡률을 구현하는 데 유용하며, 리 군의 지수 사상과 관련이 있다.

2. 정의

미분 가능 다양체한국어 M영어 위의 점 p영어에서, 아핀 접속은 p영어를 지나는 직선 개념을 정의한다.[1]

v영어 ∈ T''p''''M''를 p영어에서의 접선 벡터라 하면, γ''v''(0) = p영어이고 초기 접선 벡터가 γ′v(0) = v영어인 유일한 측지선 γ''v''영어:[0,1] → M영어이 존재한다. 이때 '''지수 사상'''은 expp(v) = γ''v''(1)영어로 정의된다.

지수 사상은 보통 상미분 방정식의 존재와 유일성 정리에 의존하여 ''국소적으로만 정의''된다. 접다발의 모든 점에서 지수 사상이 잘 정의될 때 아핀 접속을 완비라고 한다.

2. 1. 측지선과의 관계

''M''이 미분 다양체이고 ''p''는 ''M''의 점이라고 하자. ''M''에 대한 아핀 접속을 통해 점 ''p''를 지나는 측지선의 개념을 정의할 수 있다.[2]

v영어∈TpM를 ''p''에서 다양체에 대한 접벡터라고 하자. 그러면 ''γv''(0) = ''p''이고 ''γ′v''(0) = ''v''인 유일한 측지선 ''γv'' : [0,1] → ''M''이 존재한다. 해당 지수 사상은 ''expp''(v영어) := ''γv''(1)로 정의된다. 일반적으로 지수 사상은 국소적으로만 정의되는데, 이는 국소적 상미분방정식의 존재정리와 고유성에 의존하기 때문이다. 접다발의 모든 점에서 지수 사상이 잘 정의된 경우 아핀 접속을 완비라고 한다.

2. 2. 국소적 정의

''M''이 미분 다양체이고 ''p''는 ''M''의 점이라고 하자. ''M''에 대한 아핀 접속을 통해 점 ''p''를 지나는 직선의 개념을 정의할 수 있다.[2]

v영어∈TpM를 ''p''에서 다양체에 대한 접벡터라고 하자. 그러면 γv(0) = p영어, γ′v(0) = v영어인 측지선 γv : [0,1] → M영어은 유일하다. 해당 '''지수 사상'''은 expp(v) := γv(1)영어로 정의된다. 일반적으로 지수 사상은 ''국소적으로만 정의된다''. 이는 국소적 상미분방정식의 존재정리와 고유성에 의존하기 때문이다. 접다발의 모든 점에서 지수 사상이 잘 정의된 경우 아핀 접속을 완비라고 한다.

3. 성질

지수 사상은 다양체의 접벡터를 가지고 해당 점에서 시작하여 단위 구간을 측지선을 따라 사상한다. 접벡터를 변경하면 기준점 ''p''에서 어느 정도 거리 내에 있는 다른 점을 얻을 수 있는데, 이는 접공간이 다양체의 "선형화"임을 보여주는 것이다.[1]

지수 사상은 호프-리노 정리, 단사 반경, 절단 궤적, 가우스 보조정리 등과 관련하여 중요한 성질을 갖는다.[1]

3. 1. 호프-리노우 정리

호프-리노 정리에 따르면, 다양체가 거리 공간으로서 완비일 경우에만 전체 접공간에서 지수 사상을 정의할 수 있다. 이러한 성질을 가진 지수 사상을 갖는 다양체를 '''측지 완비'''라고 부른다. 특히 콤팩트 다양체는 측지 완비성을 만족한다.[1]

3. 2. 단사 반경

지수 사상이 미분동형사상이 되는 T_pM의 원점에 대한 가장 큰 공의 반경을 ''p''에서 ''M''의 '''단사 반경'''이라고 한다.[1] 접공간의 원점에서 미분은 항등 사상이므로 역함수 정리에 의해 지수 사상이 국소 미분동형사상인 T_pM의 원점 근처를 찾을 수 있다.[1]

3. 3. 절단 궤적

지수 사상의 절단 궤적은 지수 사상이 유일한 최솟값을 갖지 못하는 모든 점의 집합이다.[1]

3. 4. 가우스 보조정리

가우스 보조정리[1]는 지수 사상의 중요한 성질이다. 이중 접공간 T_v(T_pM)에서 ''v''에 직교하는 벡터 ''w''는 지수 사상을 통해 앞으로 밀어낼 때도 ''v''에 직교하는 성질을 유지한다.[1]

이는 특히 T_pM의 원점에 대한 작은 공의 경계 구가 해당 벡터에 의해 결정된 ''M''의 측지선과 직교한다는 것을 의미한다. 즉, 측지선은 방사형이다.[1] 이러한 성질은 리만 다양체에서 측지선 정규 좌표를 정의하는 데 중요한 역할을 한다.[1]

3. 5. 곡률과의 관계

지수 사상은 단면 곡률을 구체적으로 구현하는 데 유용하다. 단면 곡률은 곡률을 보다 구체적으로 구현하는 방법 중 하나인데, 직관적으로 점 ''p''를 지나는 곡면의 가우스 곡률로 정의된다. 이는 T''p''''M''의 2차원 부분 공간 ''W''에 대한 지수 사상의 상 exp''p''(''W'')으로 정의되는 ''p''를 지나는 곡면의 가우스 곡률과 정확히 같다.[1]

4. 리 군론에서의 지수 사상

리 군에서 쌍불변 계량(왼쪽 및 오른쪽 변환 모두에서 준 리만 계량 불변)이 있는 경우, 준 리만 구조의 지수 사상은 리 군의 지수 사상과 동일하다. 일반적으로 리 군에는 쌍불변 계량이 없지만, 모든 연결 반단순 리 군에는 존재한다. 쌍불변 ''리만'' 계량의 존재성은 준 리만 계량의 존재성보다 강력하며, 리 대수가 콤팩트 리 군의 리 대수임을 의미한다. 반대로, 모든 콤팩트 (또는 아벨 리 군) 리 군에는 이러한 리만 계량이 존재한다.[1]

4. 1. 리 군의 지수 사상의 예시 (R+)

양의 실수의 곱셈군 '''''R'''''+는 일반적인 곱셈에서 리 군이 되며, 각 접공간은 '''''R'''''이다. 점 ''y''에서 '''''R'''''의 각 사본에 수정된 내적을 도입하면 다음과 같다.

:\langle u,v\rangle_y = \frac{uv}{y^2}

이는 두 실수를 일반적인 실수처럼 곱하지만, 계량을 왼쪽 불변으로 만들기 위해 '''''y^2'''''로 나누어 준 것이다.

점 ''1\in \R^+''을 잡고 ''x\in T_1\R^+''를 1에서 접공간의 원소로 생각한다. 1에서 나오는 일반적인 직선, 즉 ''y(t)=1+xt''는 호 길이 재매개화를 하면 측지선과 동일한 곡선을 지난다. 이를 위해 수정된 계량 |\cdot|_y에 의해 유도된 호의 길이로 다시 매개변수화하면 다음과 같다.

:s(t) = \int_0^t |x|_{y(\tau)} d\tau = \int_0^t \frac

{1 + \tau x} d\tau = |x| \int_0^t \frac{d\tau}{1 + \tau x} = \frac

{x} \ln|1 + tx|

여기서 역함수 '''''t(s)'''''를 얻어서

:y(s) = e^{sx/|x|}

를 구한다. 이제 호 길이 재매개화된 곡선의 성질을 사용하여

:\exp_1(x) = y(|x|_1) = y(|x|)

를 얻고 이는 예상대로 지수 함수 '''''e^x'''''가 된다.

이에 의해 정의된 리만 거리는 다음과 같다.

:\operatorname{dist}(a, b) = \left|\ln\left(\frac b a\right)\right|. [1]

참조

[1] 문헌
[2] 문헌


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