케일리 변환

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 응용
5. 역사
참조

1. 개요

케일리 변환은 가역원 2를 갖는 환 위의 사영 직선에서 정의되는 함수로, 복소수, 행렬, 사원수 등 다양한 수학적 구조에서 특정 형태로 나타난다. 복소수에서는 뫼비우스 변환으로, 행렬에서는 반대칭 행렬을 직교 행렬로 변환하는 데 사용되며, 사원수에서는 3차원 공간의 알렉산드로프 콤팩트화를 3차원 초구에 대응시킨다. 이러한 변환은 실수 및 복소 호모그래피, 쌍곡 기하학 모형, 전기 임피던스 매칭, 회전의 유리수 매개변수 설명 등 다양한 분야에 응용된다. 아서 케일리가 1846년에 반대칭 행렬에 대해 처음 도입했다.

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케일리 변환
케일리 변환
분야	수학
하위 분야	선형대수학, 함수해석학
이름의 유래	아서 케일리
정의
연산	만약 $A$가 복소수 힐베르트 공간 $H$ 위의 닫힌 조밀하게 정의된 연산자이면, $A$의 케일리 변환은 다음과 같이 정의된다: $U = (A - iI)(A + iI)^{-1}$ 여기서 $I$는 항등 연산자이다.
성질	연산자 $U$는 $A$의 케일리 변환이며, 다음과 같은 성질을 가진다.
유계	$U$는 유계 연산자이다.
닫힘	$U$는 닫힌 연산자이다.
등거리	$U$는 등거리 연산자이다.
정의 구역	$U$의 정의 구역은 $H$ 전체이다.
단위성	$U$는 단위 연산자이다.
스펙트럼	$A$의 스펙트럼은 실수선에 포함된다.
활용
자기 수반 연산자 연구	케일리 변환은 자기 수반 연산자를 연구하는 데 유용한 도구이다.
연산자 이론	연산자 이론에서 중요한 역할을 한다.
양자역학	양자역학에서 시간 진화 연산자를 나타내는 데 사용된다.

2. 정의

케일리 변환은 수학의 여러 분야에서 사용되는 중요한 변환 중 하나이다. 기본적으로, 2가 가역원인 환 위의 사영 직선에서 정의되는 함수로 볼 수 있다. 이 변환의 중요한 특징 중 하나는 두 번 적용하면 원래대로 돌아오는 멱등 함수라는 점이다.

2. 1. 일반적인 정의

2가 가역원인 환

R

(즉,

R

에서 2의 곱셈 역원

2^{-1}

가 존재하는 환) 위의 사영 직선

:

\mathbb P_R^1 = R^2 / \sim

을 생각해보자. 여기서 동치 관계

\sim

는 다음과 같이 정의된다.

:

[x,y] \sim [ax,ay]\qquad\forall x,y \in R, a \in \operatorname{Unit}(R)

(단,

a

는

R

의 가역원)

이 사영 직선

\mathbb P_R^1

위의 케일리 변환

f

는 다음과 같이 정의되는 함수이다.

:

f \colon [x,y] \mapsto [y-x,x+y]

이 변환

f

는 자기 자신을 두 번 적용하면 항등 변환이 되는 성질을 가진다. 즉, 멱등 함수의 일종인 대합이다.

:

f \circ f = \operatorname{id}

여기서

\operatorname{id}

는 항등 함수를 의미한다. 따라서, 케일리 변환

f

는

R

위의 사영 직선에서 자기 자신으로 가는 전단사 함수이다.

더 일반적으로, 환

R

의 임의의 가역원

u \in \operatorname{Unit}(R)

에 대하여 케일리 변환

f_u

를 다음과 같이 정의할 수 있다.

:

f_u \colon [x,y] \mapsto [yu-x,yu+x]

이 일반화된 케일리 변환

f_u

의 역변환

f_u^{-1}

는 다음과 같다.

:

f_u^{-1} \colon [x,y] \mapsto [y-x,(x+y)u^{-1}]

여기서

u^{-1}

는

u

의 곱셈 역원이다.

2. 2. 복소수에서의 정의

복소 평면에서 케일리 변환은 뫼비우스 변환의 한 종류이다. 대표적으로 두 가지 형태가 사용된다.

첫 번째 형태는 리만 구

\mathbb P^1_{\mathbb C} = \mathbb C \cup \{\infty\}

전체에서 정의되며, 다음과 같다.

:

f(z) = \frac{1-z}{1+z}

이 변환은 자기 자신의 역변환이기도 하다(

f(f(z))=z

). 주요 변환 관계는 아래 표와 같다.

입력 z	출력 f(z)
0	1
i	−i
∞	−1
허수축 ( $\mathbb i\mathbb R\cup\{\infty\}$ )	단위 원 ( $U(1)$ )
실수축 ( $\mathbb R\cup\{\infty\}$ )	실수축 ( $\mathbb R\cup\{\infty\}$ )
실수부가 0 이상인 오른쪽 반평면 ( $\{z \in\mathbb C\colon \operatorname{Re}z\ge 0\} \cup \{\infty\}$ )	단위 원판 ( $\{z\in\mathbb C\colon \|z\|\le1\}$ )
실수부가 0 이하인 왼쪽 반평면 ( $\{z \in\mathbb C\colon \operatorname{Re}z\le 0\} \cup \{\infty\}$ )	\{z\in\mathbb C\colon>z\|\ge1\} \cup\{\infty\})

즉, 이 변환은 허수축과 단위 원을 서로 변환시키며, 실수축은 자기 자신으로 보낸다. 또한, 실수부가 0 이상인 오른쪽 반평면을 단위 원판 내부와 경계로 변환시킨다.

두 번째 형태는 복소 평면의 상반평면 (허수부가 양수인 영역)에서 주로 사용되며, 다음과 같이 정의된다.^[1]^[2]

: $f(z) = \frac {z - i}{z + i} .$

이 변환은 뫼비우스 변환의 성질에 따라 일반화된 원(원 또는 직선)을 다른 일반화된 원으로 변환한다. 구체적으로, 실수축 위의 세 점 $\{\infty, 1, -1\}$ 을 단위 원 위의 세 점 $\{1, -i, i\}$ 로 각각 변환시키므로, 실수축 전체를 단위 원으로 변환한다. 또한, 이 변환은 위상 동형이며, 상반평면 위의 점 $i$ 를 원점 0으로 보내므로, 상반평면 전체를 단위 원판 (크기가 1 이하인 원 내부)으로 변환한다.

쌍곡 기하학의 모형에서는 이 케일리 변환이 푸앵카레 상반평면 모형을 푸앵카레 원반 모형으로 바꾸는 역할을 한다.

전기 공학에서는 리액턴스 반평면을 스미스 차트로 변환하는 데 사용되어, 전송선의 임피던스 매칭 문제를 다룰 때 유용하게 활용된다.

2. 3. 행렬에서의 정의

n\times n

실수 정사각 행렬의 환

\operatorname{Mat}(n;\mathbb R)

위에서 케일리 변환

f

는 다음과 같이 정의된다.

:

f \colon \{M \in \operatorname{Mat}(n;\mathbb R) \mid \det(I+M) \neq 0\} \to \operatorname{Mat}(n;\mathbb R)

:

M \mapsto (I-M)(I+M)^{-1}

여기서

I

는 항등행렬이다.

(I-M)

과

(I+M)^{-1}

는 교환 가능하므로,

f(M) = (I+M)^{-1}(I-M)

로도 쓸 수 있다. 이 변환은

I+M

이 가역 행렬인 경우, 즉

-1

이

M

의 고유값이 아닌 경우에만 정의된다.

특히,

M

이 반대칭 행렬(

M^\top = -M

)인 경우,

M

의 고유값은 순수 허수이거나 0이므로

-1

은 고유값이 될 수 없다. 따라서

I+M

은 항상 가역 행렬이다. 이때 케일리 변환

Q = f(M)

을 계산하면 다음과 같다.

:

Q^\top Q = ((I-M)(I+M)^{-1})^\top (I-M)(I+M)^{-1}

:

= ((I+M)^{-1})^\top (I-M)^\top (I-M)(I+M)^{-1}

:

= (I+M^\top)^{-1} (I-M^\top) (I-M)(I+M)^{-1}

:

= (I-M)^{-1} (I+M) (I-M)(I+M)^{-1}

여기서

(I+M)

과

(I-M)

이 교환 가능하고,

(I-M)

과

(I+M)^{-1}

도 교환 가능하므로 (케일리 변환의 존재 조건 상

(I\pm M)

은 모두 가역),

:

Q^\top Q = (I-M)^{-1} (I-M) (I+M) (I+M)^{-1} = I \cdot I = I

따라서

Q

는 직교 행렬이다. 또한 행렬식을 계산하면,

:

\det(Q) = \det((I-M)(I+M)^{-1}) = \frac{\det(I-M)}{\det(I+M)}

이고,

\det(I-M) = \det((I-M)^\top) = \det(I-M^\top) = \det(I+M)

이므로,

:

\det(Q) = \frac{\det(I+M)}{\det(I+M)} = 1

이다. 즉,

Q

는 특수 직교 행렬 (

Q \in \operatorname{SO}(n;\mathbb R)

)이다.

결론적으로 케일리 변환은 반대칭 행렬의 리 대수

\mathfrak{o}(n;\mathbb R)

에서 특수직교군

\operatorname{SO}(n;\mathbb R)

으로 가는 매끄러운 함수

:

f \colon \mathfrak{o}(n;\mathbb R) \to \operatorname{SO}(n;\mathbb R)

를 정의하며,

f(0) = I

를 만족시킨다. 하지만 이 함수는 전사 함수가 아니다. 케일리 변환의 결과로 나오는 직교 행렬

Q = (I-M)(I+M)^{-1}

는

I+Q = I + (I-M)(I+M)^{-1} = ( (I+M) + (I-M) ) (I+M)^{-1} = 2I(I+M)^{-1}

이므로,

I+Q

는 항상 가역이다. 이는

Q

가

-1

을 고유값으로 가질 수 없음을 의미한다. 따라서

-1

을 고유값으로 갖는 특수 직교 행렬(예:

n=2

일 때

-I

)은 케일리 변환

f

의 치역에 포함되지 않는다.

반대로,

-1

을 고유값으로 갖지 않는 임의의 직교 행렬

Q

에 대해, 역변환

:

A = (I - Q)(I + Q)^{-1}

는 반대칭 행렬이다.

(I-Q)

와

(I+Q)^{-1}

는 교환 가능하므로

A = (I+Q)^{-1}(I-Q)

로도 쓸 수 있다.

케일리 변환은 약간 다른 형태로 정의되기도 한다.^[5]^[6]

:

\begin{align} Q &= (I + A)(I - A)^{-1}, \\[5mu] A &= (Q - I)(Q + I)^{-1}. \end{align}

이 정의들은 위의 정의와 동치이다. 예를 들어

Q = (I+A)(I-A)^{-1}

이면

Q(I-A) = I+A

이고

Q-QA=I+A

,

Q-I = A+QA = (I+Q)A

이므로

A=(I+Q)^{-1}(Q-I)

이다.

임의의 회전 행렬(특수 직교 행렬)

Q

는 어떤 반대칭 행렬

A

에 대해

:

Q = \bigl((I - A)(I + A)^{-1}\bigr)^2

로 나타낼 수 있다. 더 일반적으로, 임의의 직교 행렬

Q

는

:

Q = E(I - A)(I + A)^{-1}

로 쓸 수 있으며, 여기서

A

는 반대칭 행렬이고

E

는 대각 성분이 ±1인 대각행렬이다.^[4]

복소수 정사각 행렬의 환

\operatorname{Mat}(n;\mathbb C)

위에서도 유사하게 케일리 변환을 정의할 수 있다. 이 변환을 특정 리 대수에 제한하면 다음과 같은 매끄러운 함수들을 얻는다.

복소수 반대칭 행렬의 복소수 리 대수 $\mathfrak{o}(n;\mathbb C)$ 에서 복소수 특수 직교 군 $\operatorname{SO}(n;\mathbb C)$ 으로:

:

(f \restriction \mathfrak{o}(n;\mathbb C)) \colon \mathfrak{o}(n;\mathbb C) \to \operatorname{SO}(n;\mathbb C)

반에르미트 행렬 ( $M^\dagger = -M$ )의 실수 리 대수 $\mathfrak{u}(n)$ 에서 유니터리 군 $\operatorname{U}(n)$ 으로:

:

(f \restriction \mathfrak{u}(n)) \colon \mathfrak{u}(n) \to \operatorname{U}(n)

여기서

\operatorname{SO}(n;\mathbb C)

는 행렬식이 1인 복소수 직교 행렬로 구성된 리 군이고,

\operatorname{U}(n)

은 유니터리 군이다.

2. 4. 사원수에서의 정의

사원수 대수

\mathbb H

위의 케일리 변환은 다음과 같이 정의된다.

:

f \colon \mathbb H\cup\{\infty\} \to \mathbb H\cup\{\infty\}

:

f \colon q \mapsto \frac{1-q}{1+q}

여기서

1-q

와

1+q

는 서로 가환하므로, 나눗셈을 왼쪽에서 하든 오른쪽에서 하든 결과는 같다. 이 변환은 순허수 성분 사원수로 구성된 3차원 유클리드 공간의 알렉산드로프 콤팩트화

:

(\mathrm i\mathbb R+\mathrm j\mathbb R+\mathrm k\mathbb R) \cup \{\infty\}

를 절댓값이 1인 사원수로 구성된 3차원 초구

:

\mathbb S^3 = \{q\in\mathbb H \colon |q| = 1 \}

에 대응시킨다. 이는 리 대수

\mathfrak{su}(2)

(의 알렉산드로프 콤팩트화)와 리 군 SU(2) 사이의 사상으로 해석될 수 있다. (이는 리 대응과는 다른 사상이다.)

사원수

a+b\vec{i}+c\vec{j}+d\vec{k}

의 4차원 공간에서, versor

:

u(\theta, r) = \cos \theta + r \sin \theta

는 단위 3-구를 형성한다. 여기서

r

은 허수 단위 벡터 (예:

\mathrm i, \mathrm j, \mathrm k

중 하나 또는 이들의 조합)이고

r^2 = -1

이다.

사원수는 곱셈에 대해 비가환적이므로, 그 환 위의 사영 직선의 원소는 동차 좌표를

U[a,b]

로 표기하여 동차 인자가 왼쪽에 곱해짐을 나타낸다. 사원수 케일리 변환은 다음과 같이 표현될 수 있다.

:

f(u,q) = U[q,1]\begin{pmatrix}1 & 1 \\ -u & u \end{pmatrix} = U[q - u,\ q + u] \sim U[(q + u)^{-1}(q - u),\ 1].

앞서 설명된 실수 및 복소수 케일리 변환은 각각

\theta

가 0 또는

\pi/2

인 versor

u

를 사용하는 사원수 케일리 변환의 특수한 경우에 해당한다.

변환은

u \to 0 \to -1

로,

-u \to \infty \to 1

로 대응시킨다.

이 변환을

q=1

에서 계산하면, versor

u

를 다음과 같이 매핑한다.

:

f(u,1) =(1+u)^{-1}(1-u)

이는 다음과 같이 계산될 수 있다.

:

f(u,1) = (1+u)^*(1-u)/ |1+u|^2.

여기서

|1+u|^2 = (1+u)(1+u^*) = (1+\cos\theta+r\sin\theta)(1+\cos\theta-r\sin\theta) = (1+\cos\theta)^2 + \sin^2\theta = 1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta + \sin^2\theta = 2 + 2 \cos \theta

이고,

(1+u^*)(1-u) = (1+\cos\theta-r\sin\theta)(1-(\cos\theta+r\sin\theta)) = (1+\cos\theta-r\sin\theta)(1-\cos\theta-r\sin\theta)

= (1-r\sin\theta)^2 - \cos^2\theta = 1 - 2r\sin\theta - \sin^2\theta - \cos^2\theta = 1 - 2r\sin\theta - 1 = -2r \sin \theta

이다.

따라서,

:

f(u,1) = \frac{-2r \sin \theta}{2 + 2 \cos \theta} = -r \frac {\sin \theta}{1 + \cos \theta} = -r \tan \frac{\theta}{2} .

이러한 형식에서 케일리 변환은 회전의 유리수 매개변수화로 설명될 수 있다. 복소수에서의 항등식

:

e^{-i \varphi} = \frac{1 - ti}{1 + ti}

에서

t=\tan(\phi/2)

라고 하면^[3], 우변은

ti

의 케일리 변환이고 좌변은 복소평면에서의

-\phi

라디안 회전을 나타낸다. 사원수 케일리 변환은 이를 3차원 공간에서의 회전으로 확장한 것으로 볼 수 있다.

3. 성질

케일리 변환은 복소수, 행렬, 사원수 등 다양한 수학적 대상 위에서 정의되며, 각 대상의 구조적 특징을 반영하는 중요한 성질들을 가진다. 이 변환은 특정 공간이나 집합을 다른 형태의 공간이나 집합으로 대응시키는 역할을 하며, 대수적 구조와 기하학적 구조 사이의 관계를 탐구하는 데 유용하게 사용된다.

복소수: 복소 평면 또는 리만 구 위에서 케일리 변환은 뫼비우스 변환의 일종으로 작용한다. 이는 특정 영역(예: 상반평면 또는 허수축)을 다른 영역(예: 단위 원판 또는 단위 원)으로 변환하는 성질을 가진다.
행렬: 행렬 공간에서 케일리 변환은 특정 유형의 행렬(예: 반대칭 행렬, 반에르미트 행렬)을 다른 유형의 행렬(예: 직교 행렬, 유니터리 행렬)으로 대응시킨다. 이는 리 군과 그에 대응하는 리 대수 사이의 관계를 이해하는 데 중요한 도구로 사용된다.
사원수: 사원수 대수에서도 케일리 변환을 정의할 수 있으며, 이는 특정 사원수 집합(예: 순허수 사원수)을 다른 집합(예: 단위 사원수, 즉 3차원 초구)으로 대응시키는 역할을 한다.

이처럼 케일리 변환은 다양한 수학적 구조에서 유사하면서도 각각의 특성을 반영하는 변환 관계를 제공하며, 해석학, 기하학, 대수학 등 여러 분야에서 중요한 응용을 가진다. 각 대상에서의 구체적인 정의와 성질은 하위 섹션에서 자세히 다룬다.

3. 1. 복소수에서의 성질

케일리 변환

:

f \colon z \mapsto \frac{1-z}{1+z}

은 리만 구

\mathbb P^1_{\mathbb C} = \mathbb C \cup \{\infty\}

위의 뫼비우스 변환을 이룬다. 이 변환은 다음과 같은 성질을 갖는다.

z=f(f(z))	f(z)
0	1
i	−i
∞	−1
$\mathbb i\mathbb R\cup\{\infty\}$ (허수축과 무한대 점)	U(1) (단위 원)
$\mathbb R\cup\{\infty\}$ (실수축과 무한대 점)	$\mathbb R\cup\{\infty\}$ (실수축과 무한대 점)
$\{z \in\mathbb C\colon \operatorname{Re}z\ge 0\} \cup \{\infty\}$ (우반평면과 무한대 점)	\{z\in\mathbb C\colon>z\|\le1\} (닫힌 단위 원판)
$\{z \in\mathbb C\colon \operatorname{Re}z\le 0\} \cup \{\infty\}$ (좌반평면과 무한대 점)	\{z\in\mathbb C\colon>z\|\ge1\} \cup\{\infty\} (단위 원판의 외부와 무한대 점)

즉, 이 변환은 허수축과 단위원을 서로 바꾸며, 실수축은 고정시킨다. 또한, 실수부가 0 이상인 반평면(우반평면)은 닫힌 단위 원판에 대응된다.

복소 평면의 상반평면에서 정의되는 또 다른 형태의 케일리 변환은 다음과 같다.^[1]^[2]

: $f(z) = \frac {z - i}{z + i} .$

이 변환은 세 점 $\{\infty, 1, -1\}$ 을 각각 $\{1, -i, i\}$ 로 대응시킨다. 뫼비우스 변환은 복소 평면에서 일반화된 원(원 또는 직선)을 다른 일반화된 원으로 보내므로, 이 케일리 변환 $f$ 는 실수축을 단위 원으로 대응시킨다. 또한, $f$ 는 위상 동형이고 점 $i$ 는 $f$ 에 의해 0으로 변환되므로, 상반평면은 단위 원반으로 대응된다.

3. 2. 행렬에서의 성질

n \times n

실수 정사각 행렬의 공간

\operatorname{Mat}(n;\mathbb R)

위에서 케일리 변환

f

는 다음과 같이 정의된다.

:

f(M) = (I-M)(I+M)^{-1}

여기서

I

는 항등 행렬이고,

M

은

I+M

이 가역 행렬이 되는 행렬이다. 이 변환은

f(M) = (I+M)^{-1}(I-M)

과 같이 순서를 바꾸어 계산해도 동일하다.
실수 행렬의 경우만약

A

가 반대칭 행렬 (

A^\top = -A

)이면,

I+A

는 항상 가역 행렬이며, 케일리 변환으로 얻어지는 행렬

Q = f(A)

는 다음과 같은 성질을 가진다.

:

Q^\top Q = ((I-A)(I+A)^{-1})^\top (I-A)(I+A)^{-1} = (I+A^\top)^{-1} (I-A^\top) (I-A)(I+A)^{-1}

A^\top = -A

이고

(I+A)

와

(I-A)

는 서로 교환 가능하므로, 위 식은 다음과 같이 정리된다.

:

Q^\top Q = (I-A)^{-1} (I+A) (I-A)(I+A)^{-1} = (I-A)^{-1} (I-A) (I+A)(I+A)^{-1} = I \cdot I = I

따라서

Q

는 직교 행렬이다 (

Q^\top Q = I

).

또한,

Q

의 행렬식은

\det(Q) = \det((I-A)(I+A)^{-1}) = \frac{\det(I-A)}{\det(I+A)}

이다. 함수

t \mapsto \det(I-tA)/\det(I+tA)

는

t=0

일 때 값이 1이고,

t \in [0, 1]

에서 연속이다. 직교 행렬의 행렬식은

\pm 1

만 가능하므로, 연속성에 의해

\det(Q)

는 항상 1이다. 즉,

Q

는 특수 직교 행렬이다.

결론적으로, 케일리 변환은 실수 반대칭 행렬의 리 대수

\mathfrak{o}(n, \mathbb{R})

에서 특수 직교군

\operatorname{SO}(n, \mathbb{R})

으로 가는 매끄러운 함수를 정의한다.

:

f \colon \mathfrak{o}(n, \mathbb{R}) \to \operatorname{SO}(n, \mathbb{R})

:

A \mapsto (I-A)(I+A)^{-1}

이 함수는

f(0) = I

를 만족하지만, 전사 함수는 아니다. 예를 들어

\mathfrak{o}(n, \mathbb{R})

는 축약 가능 공간이지만

\operatorname{SO}(n, \mathbb{R})

는 그렇지 않다.
역변환 (실수)반대로,

-1

을 고유값으로 갖지 않는 임의의 직교 행렬

Q

에 대해, 다음 변환은 반대칭 행렬

A

를 생성한다.

:

A = (I-Q)(I+Q)^{-1}

Q

가

-1

을 고유값으로 갖지 않는다는 조건은

I+Q

가 가역 행렬임을 보장한다. 이 조건은 행렬식이

-1

인 직교 행렬을 자동으로 제외하며, 일부 특수 직교 행렬도 제외될 수 있다.
다른 형태 및 일반화 (실수)케일리 변환은 다음과 같은 형태로도 표현될 수 있다.^[5]^[6]

:

\begin{align} Q &= (I - A)^{-1}(I + A) \\ A &= (Q - I)(Q + I)^{-1} \end{align}

임의의 회전 행렬(특수 직교 행렬)

Q

는 어떤 반대칭 행렬

A

에 대해

Q = \bigl((I - A)(I + A)^{-1}\bigr)^2

형태로 쓸 수 있다. 더 일반적으로, 임의의 직교 행렬

Q

는

Q = E(I - A)(I + A)^{-1}

형태로 표현 가능하며, 여기서

E

는 대각 성분이

\pm 1

인 대각 행렬이다.^[4]
복소수 행렬의 경우케일리 변환은 복소수 행렬로 확장될 수 있다. 이 경우 "직교 행렬"은 "유니터리 행렬"로, "반대칭 행렬"은 "반에르미트 행렬" (

A^H = -A

)로 대체되며, 행렬 전치(

\cdot^\top

)는 켤레 전치(

\cdot^H

)로 대체된다. 즉, 표준 실수 내적을 표준 복소수 내적으로 대체하는 것과 같다.

반에르미트 행렬 $\leftrightarrow$ 유니터리 행렬: $A$ 가 반에르미트 행렬이면, 케일리 변환 $Q = (I-A)(I+A)^{-1}$ 는 유니터리 행렬 ( $Q^H Q = I$ )을 생성한다. 이 변환은 반에르미트 행렬의 실수 리 대수 $\mathfrak{u}(n)$ 에서 유니터리 군 $\operatorname{U}(n)$ 으로 가는 매끄러운 함수 $f \colon \mathfrak{u}(n) \to \operatorname{U}(n)$ 를 정의한다.
복소수 반대칭 행렬 $\leftrightarrow$ 복소수 특수 직교 행렬: 복소수 반대칭 행렬 ( $A^\top = -A$ , $A \in \operatorname{Mat}(n;\mathbb C)$ )의 복소수 리 대수 $\mathfrak{o}(n, \mathbb{C})$ 에서 행렬식이 1인 복소수 직교 행렬의 리 군 $\operatorname{SO}(n, \mathbb{C})$ 으로 가는 함수 $f \colon \mathfrak{o}(n, \mathbb{C}) \to \operatorname{SO}(n, \mathbb{C})$ 도 정의할 수 있다.

주의사항행렬

A

가 반대칭 행렬(또는 반에르미트 행렬)이라는 조건은 변환된 행렬

Q

가

-1

을 고유값으로 갖지 않는 직교 행렬(또는 유니터리 행렬)이라는 조건과 동치이다.

케일리 변환 자체는

I+M

이 가역이기만 하면 임의의 정사각 행렬

M

에 대해 정의될 수 있다. 예를 들어, 다음과 같은 변환이 가능하다.

:

\begin{bmatrix} 0 & -a & ab - c \\ 0 & 0 & -b \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\leftrightarrow\begin{bmatrix} 1 & 2a & 2c \\ 0 & 1 & 2b \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} .

그러나 이 경우 변환된 행렬이 반드시 직교 행렬이나 유니터리 행렬이 되는 것은 아니다.

3. 3. 사원수에서의 성질

사원수 대수

\mathbb H

위에서도 케일리 변환을 정의할 수 있다.

:

f: \mathbb H \cup \{\infty\} \to \mathbb H \cup \{\infty\}

:

f(q) = \frac{1-q}{1+q}

여기서

1-q

와

1+q

는 서로 교환 가능하므로 나눗셈 순서는 상관없다. 이 변환은 순허수 성분 사원수로 구성된 3차원 유클리드 공간의 알렉산드로프 콤팩트화

:

(\mathrm i\mathbb R+\mathrm j\mathbb R+\mathrm k\mathbb R) \cup \{\infty\}

를 절댓값이 1인 사원수로 구성된 3차원 초구

:

\mathbb S^3 = \{q \in \mathbb H \mid |q| = 1 \}

로 대응시킨다. 이는 리 대수

\mathfrak{su}(2)

(의 알렉산드로프 콤팩트화)와 리 군 SU(2) 사이의 사상으로 볼 수 있지만, 리 대응과는 다른 사상이다.

사원수

a+b\vec{i}+c\vec{j}+d\vec{k}

는 4차원 공간의 점으로 볼 수 있는데, 이 공간에서 versor

:

u(\theta, r) = \cos \theta + r \sin \theta

는 단위 3-구를 형성한다.

사원수는 곱셈의 교환법칙이 성립하지 않기 때문에, 환 위의 사영 직선의 원소는 동차 좌표를

U[a,b]

와 같이 표기하여 동차 인자가 왼쪽에 곱해짐을 나타낸다. 사원수 케일리 변환은 다음과 같이 표현할 수도 있다.

:

f(u,q) = U[q,1]\begin{pmatrix}1 & 1 \\ -u & u \end{pmatrix} = U[q - u,\ q + u] \sim U[(q + u)^{-1}(q - u),\ 1].

실수 및 복소수에서의 케일리 변환(호모그래피)은 각각

\theta

가 0 또는

\pi/2

인 경우의 사원수 호모그래피로 볼 수 있다. 이 변환은

u \to 0 \to -1

로,

-u \to \infty \to 1

로 점을 이동시킨다.

이 변환을

q=1

에서 계산하면, versor

u

를 다음 값으로 매핑한다.

:

f(u,1) =(1+u)^{-1}(1-u)

계산을 통해 다음 결과를 얻을 수 있다.

:

f(u,1) = -r \frac {\sin \theta}{1 + \cos \theta} = -r \tan \frac{\theta}{2} .

이러한 형식은 회전을 유리수 매개변수로 표현하는 방식과 관련이 있다. 복소수에서의 항등식

:

e^{-i \varphi} = \frac{1 - ti}{1 + ti}

(여기서

t=\tan(\phi/2)

)과 유사한 관계를 보여준다. 이 복소수 항등식의 우변은

ti

에 대한 케일리 변환이고, 좌변은 복소평면에서

-\phi

라디안만큼 회전하는 것을 나타낸다.^[3]

4. 응용

케일리 변환은 실수, 복소수, 사원수, 행렬 등 다양한 수학적 대상에 적용되어 여러 분야에서 활용된다. 이는 대수적 구조와 기하학적 구조를 연결하는 중요한 도구로 기능한다.

호모그래피: 실수, 복소수, 사원수 위에서의 호모그래피 변환으로 정의될 수 있다.
실수 영역에서는 실수 투사 직선 위의 점들을 변환하며, 예를 들어 양의 실수 전체를 특정 구간으로 대응시키는 데 사용된다.
복소수 영역에서는 복소 평면의 상반평면을 단위 원반으로 변환하는 데 중요하게 사용된다. 이는 쌍곡 기하학의 푸앵카레 모형들을 연결하고, 전기 공학의 스미스 차트 작성에도 응용된다.
사원수 영역에서는 3차원 벡터 공간과 3차원 초구 사이의 대응 관계를 제공하며, 3차원 회전 표현과 리 군 이론(예: SU(2)와 $\mathfrak{su}(2)$ )과 관련된다.
행렬 매핑: 정사각 행렬 공간에서 정의되어, 특정 종류의 행렬(예: 반대칭 행렬)을 다른 종류의 행렬(예: 직교 행렬)로 변환한다. 이는 리 군과 리 대수 사이의 관계를 탐구하는 데 사용된다.

각 응용 분야에서의 구체적인 정의와 성질은 이어지는 하위 섹션들에서 자세히 설명된다.

4. 1. 실수 호모그래피

케일리 변환의 간단한 예는 실수 투사 직선에서 수행될 수 있다. 여기서 케일리 변환은 {1, 0, −1, ∞}의 요소를 순서대로 순열시킨다. 예를 들어, 양의 실수를 구간 [−1, 1]로 매핑한다. 따라서 케일리 변환은 르장드르 유리 함수를 사용하여 양의 실수에 대한 함수에 사용할 수 있도록 르장드르 다항식을 적용하는 데 사용된다.

실수 호모그래피로서, 점은 사영 좌표로 설명되며, 매핑은 다음과 같다.

:

[y,\ 1] = \left[\frac {x - 1}{x +1},\ 1\right] \thicksim [x - 1, \ x + 1] = [x,\ 1]\begin{pmatrix}1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} .

4. 2. 복소수 호모그래피

복소 평면의 상반평면에서 케일리 변환은 다음과 같이 정의된다.^[1]^[2]

:

f(z) = \frac {z - i}{z + i}

이 변환은 뫼비우스 변환의 성질에 따라 복소 평면에서 일반화된 원(원 또는 직선)을 다른 일반화된 원으로 보낸다. 실수축 위의 세 점

\{\infty, 1, -1\}

이 단위 원 위의 세 점

\{1, -i, i\}

으로 매핑되므로,

f

는 실수축 전체를 단위 원으로 변환한다. 또한,

f

는 위상 동형이며 상반평면의 점

i

를

0

으로 변환시키므로, 상반평면 전체를 단위 원반으로 매핑한다.

쌍곡 기하학의 모형 관점에서, 이 케일리 변환은 푸앵카레 상반평면 모형을 푸앵카레 원반 모형과 관련시킨다.

전기 공학에서는 케일리 변환을 이용하여 리액턴스 반평면을 스미스 차트로 매핑하며, 이는 전송선의 임피던스 매칭에 사용된다.

4. 3. 사원수 호모그래피

사원수 대수

\mathbb H

위에서의 케일리 변환은 다음과 같이 정의된다.

:

f \colon \mathbb H\cup\{\infty\} \to \mathbb H\cup\{\infty\}

:

f(q) = \frac{1-q}{1+q}

여기서

1-q

와

1+q

는 서로 가환이므로, 분수를 왼쪽 나눗셈으로 보든 오른쪽 나눗셈으로 보든 결과는 같다. 이 변환은 실수부가 0인 순허수 사원수들로 이루어진 3차원 유클리드 공간에 무한대 점을 추가한 알렉산드로프 콤팩트화 공간

:

(\mathrm i\mathbb R+\mathrm j\mathbb R+\mathrm k\mathbb R) \cup \{\infty\}

을 절댓값이 1인 사원수들의 집합인 3차원 초구

:

\mathbb S^3 = \{q\in\mathbb H \colon |q| = 1 \}

로 대응시킨다. 이는 리 대수

\mathfrak{su}(2)

의 알렉산드로프 콤팩트화와 리 군 SU(2) 사이의 사상으로 해석할 수도 있다. (이는 리 대응과는 다른 사상이다.)

사원수

a+b\vec{i}+c\vec{j}+d\vec{k}

로 표현되는 4차원 공간에서, 특정 형태의 사원수인 버서(versor)

:

u(\theta, r) = \cos \theta + r \sin \theta

(여기서

r

은 절댓값이 1인 순허수 사원수, 즉

r^2 = -1

이다)

는 단위 3차원 초구

\mathbb S^3

위의 점을 나타낸다.

사원수는 곱셈에 대해 비가환적이므로, 환 위의 사영 직선의 원소는 동차 좌표

U[a,b]

로 표기하여 동차 인자가 왼쪽에 곱해짐을 나타낸다. 사원수 호모그래피 변환은 다음과 같이 정의된다.

:

f(u,q) = U[q,1]\begin{pmatrix}1 & 1 \\ -u & u \end{pmatrix} = U[q - u,\ q + u] \sim U[(q + u)^{-1}(q - u),\ 1].

여기서

u

는 버서이고

q

는 사원수이다.

\sim

는 동치관계를 나타내며, 이는 사원수 스칼라 곱에 의한 동치이다.

앞서 설명된 실수 및 복소수 호모그래피는 각각 버서

u

의 각도

\theta

가 0 (

u=1

) 또는

\pi/2

(

u=r

)인 특별한 경우에 해당한다.

이 변환은

u \mapsto 0 \mapsto -1

이고

-u \mapsto \infty \mapsto 1

이다.

이 호모그래피를

q=1

에서 계산하면, 버서

u

를 특정 축 벡터로 매핑하는 것을 볼 수 있다.

:

f(u,1) =(1+u)^{-1}(1-u)

|1+u|^2 = (1+u)(1+u^*) = (1+u)(1+u^{-1}) = 1+u+u^{-1}+1 = 2 + (\cos\theta + r\sin\theta) + (\cos\theta - r\sin\theta) = 2 + 2 \cos \theta

이고,

(1+u^*)(1-u) = (1+u^{-1})(1-u) = 1-u+u^{-1}-1 = u^{-1}-u = (\cos\theta - r\sin\theta) - (\cos\theta + r\sin\theta) = -2 r \sin \theta

이므로,

:

f(u,1) = \frac{(1+u^*)(1-u)}

4. 4. 행렬 매핑

n\times n

실수 정사각 행렬의 환

\operatorname{Mat}(n;\mathbb R)

위의 케일리 변환은 다음과 같이 정의된다.

:

f \colon \operatorname{Mat}(n;\mathbb R) \setminus X \to \operatorname{Mat}(n;\mathbb R)

:

M \mapsto (I-M)(I+M)^{-1} = (I+M)^{-1}(I-M)

여기서

X

는

I+M

이 가역 행렬이 아니게 되는 행렬들의 부분 집합이고,

I

는 항등 행렬이다.

만약

M

이 반대칭 행렬 (

M^\top = -M

)이라면,

I+M

은 항상 가역 행렬이며, 케일리 변환으로 얻어지는 행렬

Q = f(M)

은 직교 행렬이다 (즉,

Q^\top Q = I

). 또한, 이 행렬

Q

의 행렬식은 항상 +1이므로,

Q

는 특수 직교 행렬 (

Q \in \operatorname{SO}(n;\mathbb R)

)이다. 이는 반대칭 행렬의 공간

\mathfrak o(n;\mathbb R)

이 연결 공간이고, 행렬식 함수

\det \circ f

가 연속 함수이며

\det f(0) = 1

이기 때문이다. 따라서 케일리 변환은 반대칭 행렬의 공간에서 특수 직교 행렬의 공간으로 가는 매끄러운 함수를 정의한다.

:

f \colon \mathfrak o(n;\mathbb R) \to \operatorname{SO}(n;\mathbb R)

:

f \colon 0 \mapsto I

하지만 이 함수는 전사 함수는 아니다. (예를 들어,

\mathfrak o(n;\mathbb R)

는 축약 가능 공간이지만

\operatorname{SO}(n;\mathbb R)

는 그렇지 않다.)

반대로, 고유값으로 -1을 갖지 않는 임의의 직교 행렬 ''Q''에 대해, 다음과 같이 정의된 ''A''는 반대칭 행렬이다.

:

A = (I - Q)(I + Q)^{-1} \,\!

이 변환은 행렬식이 -1인 직교 행렬과 일부 특수 직교 행렬을 제외한다.

임의의 회전(특수 직교 행렬) 행렬 ''Q''는 어떤 반대칭 행렬 ''A''에 대해 다음과 같이 표현될 수 있다.

:

Q = \bigl((I - A)(I + A)^{-1}\bigr)^2

더 일반적으로, 임의의 직교 행렬 ''Q''는 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

Q = E(I - A)(I + A)^{-1}

여기서 ''E''는 대각 성분이 ±1인 대각 행렬이다.^[4]

약간 다른 형태의 변환 공식도 존재한다.^[5]^[6]

:

\begin{align}Q &= (I - A)^{-1}(I + A), \\[5mu]A &= (Q - I)(Q + I)^{-1}.\end{align}

변환식은 인수의 순서를 바꾸어 쓸 수도 있지만(

Q = (I+A)(I-A)^{-1}

등), ''A''는 항상

(\mu I \pm A)^{-1}

와 교환 가능하므로 결과는 동일하다.^[7]^[8]

복소수 정사각 행렬의 환

\operatorname{Mat}(n;\mathbb C)

위에서도 유사한 케일리 변환을 정의할 수 있다. 이를 제한하면 다음과 같은 매끄러운 함수들을 얻는다.

:

(f \restriction \mathfrak o(n;\mathbb C)) \colon \mathfrak o(n;\mathbb C) \to \operatorname{SO}(n;\mathbb C)

:

(f \restriction \mathfrak u(n;\mathbb C)) \colon \mathfrak u(n;\mathbb C) \to \operatorname U(n;\mathbb C)

여기서 각 기호는 다음을 의미한다.

$\mathfrak o(n;\mathbb C)$ : 복소수 반대칭 행렬의 복소수 리 대수.
$\mathfrak u(n;\mathbb C)$ : 복소수 반에르미트 행렬의 실수 리 대수.
$\operatorname{SO}(n;\mathbb C)$ : 행렬식이 1인 복소수 직교 행렬로 구성된 리 군.
$\operatorname U(n;\mathbb C)$ : 유니터리 군.

=== 예시 ===

==== 2×2 경우 ====

2차원 회전 행렬의 경우, 케일리 변환은 다음과 같다.

:

\begin{bmatrix} 0 & \tan \frac{\theta}{2} \\ -\tan \frac{\theta}{2} & 0 \end{bmatrix}\leftrightarrow\begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} .

여기서 180° 회전 행렬(

-I

)은

\tan \frac{\theta}{2}

가 무한대로 발산하므로 제외된다.

==== 3×3 경우 ====

3차원 회전 행렬의 경우, 변환은 다음과 같다.

:

A = \begin{bmatrix} 0 & z & -y \\ -z & 0 & x \\ y & -x & 0 \end{bmatrix}\leftrightarrowQ = \frac{1}{K}\begin{bmatrix}w^2+x^2-y^2-z^2 & 2 (x y-w z) & 2 (w y+x z) \\2 (x y+w z) & w^2-x^2+y^2-z^2 & 2 (y z-w x) \\2 (x z-w y) & 2 (w x+y z) & w^2-x^2-y^2+z^2\end{bmatrix} ,

여기서

K = w^2+x^2+y^2+z^2

이고

w=1

이다. 이 행렬 ''Q''는 사원수

w + \mathbf{i} x + \mathbf{j} y + \mathbf{k} z

에 해당하는 회전 행렬과 같다 (단,

w=1

로 스케일링됨). 벡터

(x, y, z)

는

\tan \frac{\theta}{2}

로 스케일링된 회전 축 벡터에 해당한다. 이 경우에도 180° 회전(즉, 대칭 행렬인 ''Q'')은 제외된다.

5. 역사

아서 케일리가 반대칭 행렬에 대하여 1846년에 최초로 도입했다.^[9]

참조

_[1] 서적 Function Theory of One Complex Variable American Mathematical Society
_[2] 서적 Advanced Engineering Mathematics Wiley
_[3] 문서 Tangent half-angle formula
_[4] 논문 Remarks on the Cayley Representation of Orthogonal Matrices and on Perturbing the Diagonal of a Matrix to Make it Invertible
_[5] 서적 Matrix Computations Johns Hopkins University Press
_[6] 간행물 A Geometric Note on the Cayley Transform [[Auckland University Press]]
_[7] 서적 Methods of Mathematical Physics Wiley-Interscience
_[8] 서적 Elementary Matrix Theory [[Allyn & Bacon]]
_[9] 저널 Sur quelques propriétés des déterminants gauches

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