코호몰로지 연산

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
3. 에일렌베르크-매클레인 공간과의 관계
4. 예
참조

1. 개요

코호몰로지 연산은 CW 복합체에서 정의되는 자연 변환으로, 코호몰로지 함자 사이의 사상이다. 1차 코호몰로지 연산은 에일렌베르크-매클레인 공간 사이의 연속 함수의 호모토피류로, 고차 코호몰로지 연산은 1차 연산과 관련된 세르 올뭉치를 통해 정의된다. 코호몰로지 연산은 에일렌베르크-매클레인 공간과의 관계를 통해 이해할 수 있으며, 합곱, 스틴로드 제곱, 스틴로드 축소 제곱 등이 있다.

더 읽어볼만한 페이지

대수적 위상수학 - 매시 곱
매시 곱은 미분 등급 대수 원소에 대한 연산으로 코호몰로지 곱으로 파악하기 어려운 위상수학적 불변량을 측정하며, 2항 곱과 3항 곱을 일반화한 형태로 불확정성을 가지지만, 브루니안 링크, 보로메오 고리 연구 및 꼬인 K-이론 등 다양한 분야에 응용된다.
대수적 위상수학 - 톰 공간
톰 공간은 파라콤팩트 공간 위의 벡터 다발을 이용하여 구성되며, 르네 톰에 의해 도입되었고, 톰 동형을 통해 기저 공간의 코호몰로지와 관계를 가지며 특성류 이론 등에서 중요한 역할을 한다.

코호몰로지 연산

2. 정의

코호몰로지 연산 $\theta$ 는 CW 복합체에서 정의되는 코호몰로지 함자 사이의 자연 변환이다.

: $(n,q,\pi,G)\,$

: $\theta\colon H^{n}(-,\pi)\to H^{q}(-,G)\,$

2. 1. 1차 코호몰로지 연산

자연수

m,n

및 아벨 군

G,H

에 대하여, '''

(m,n;G,H)

형 1차 코호몰로지 연산'''(primary cohomology operation of type

(m,n;G,H)

^영어)은 에일렌베르크-매클레인 공간 사이의 연속 함수의 호모토피류

:

A\colon K(G,m)\to K(H,n)

이다.

(m,n;G,H)

형 1차 코호몰로지 연산들의 집합은 에일렌베르크-매클레인 공간의 코호몰로지

:

\operatorname H^n\left(K(G,m);H\right)

를 이룬다.

(m,n;G,H)

형 1차 코호몰로지 연산

\alpha

는 코호몰로지 함자 사이의 자연 변환

:

A_*\colon \operatorname H^m(-;G)\Rightarrow \operatorname H^n(-;H)

을 유도한다.

2. 2. 2차 코호몰로지 연산

에일렌베르크-매클레인 공간은 다음과 같은 세르 올뭉치를 갖는다.

:

K(H,n-1) \simeq \Omega K(H,n) \hookrightarrow \mathcal PK(H,n) \twoheadrightarrow K(H,n)

여기서

\Omega X = [\mathbb S^1, X]_\bullet

는 고리 공간,

\mathcal PX = [\mathbb I, X]_\bullet

는 밑점에서 시작하는 경로 공간을 뜻한다. 임의의 1차 코호몰로지 연산

\alpha \in \operatorname H^n(K(G,m);H)

에 대하여, 올뭉치의 당김

:

K(H,n-1) \stackrel{\iota}\hookrightarrow \alpha^*\mathcal PK(H,n) \stackrel\pi\twoheadrightarrow K(G,m)

을 정의할 수 있다.

A

위의 '''

(H',n')

형 2차 코호몰로지 연산'''은

A^*\mathcal PK(H,n)

위의 코호몰로지류

:

B \in \operatorname H^{n'}(\alpha^*\mathcal PK(H,n), n')

이다. 즉, 다음과 같은 호모토피류들이 존재한다.

:

\begin{matrix}K(H,n-1)&\stackrel\iota\hookrightarrow &A^*\mathcal PK(H,n)&\stackrel\pi\twoheadrightarrow &K(G,m)\\&&\downarrow\scriptstyle B\\&& K(H',n')\end{matrix}

그렇다면,

:

B \circ \iota \colon K(H,n-1) \to A^*\mathcal PK(H,n) \to K(H',n')

를 사용하여

:

(B \circ \iota)_* \colon \operatorname H^{n-1}(X;H) \to \operatorname H^{n'}(X;H')

를 정의할 수 있다.

2차 코호몰로지 연산

B \in \operatorname H^{n'}(\alpha^*\mathcal PK(H,n), n')

는 코호몰로지류 위의 함수

:

B_* \colon (\ker A_* \subseteq \operatorname H^m(X,G)) \to \frac{\operatorname H^{n'}(X;H')}{(B \circ \iota)_* \operatorname H^{n-1}(X;H)}

를 정의한다. 구체적으로, 코호몰로지류

:

\alpha \colon X \to K(G,m)

가 주어졌을 때,

:

B_*(\alpha) = B \circ \pi^{-1} \circ a \colon X \to \operatorname H^{n'}(X;H')

이다. 여기서 사용한 역함수

\pi^{-1}

는 일반적으로 잘 정의되지 않는다. 하지만,

$\pi^{-1}$ 는 $\ker A_*$ 위에서 항상 하나 이상의 값을 갖는다.
$\pi^{-1}$ 는 일반적으로 여러 개의 값을 가지지만, 가능한 값들의 차는 모두 $(B \circ \iota)_* \operatorname H^{n-1}(X;H)$ 에 속한다.

2. 3. 고차 코호몰로지 연산

보다 일반적으로, k차 코호몰로지 연산에 대응하는 k+1차 코호몰로지 연산의 개념을 정의할 수 있다. 예를 들어, 1차 코호몰로지 연산

A_1\colon K(G_0,n_0)\to K(G_1,n_1)

에 대한 2차 코호몰로지 연산

A_2\colon A_1^*\mathcal PK(G_1,n_1)\to K(G_2,n_2)

이 주어졌다고 할 때, 그 위의 3차 코호몰로지 연산은 호모토피류

A_3\colon A_2^*\mathcal PK(G_2,n_2)\to K(G_3,n_3)

이다. 즉, 다음과 같다.

:

\begin{matrix}K(G_1,n_1-1)&\stackrel{\iota_1}\hookrightarrow &A_1^*\mathcal PK(G_1,n_1)&\stackrel{\pi_1}\twoheadrightarrow &K(G_0,n_0)\\&&\downarrow\scriptstyle A_2\\&& K(G_2,n_2)\end{matrix}

:

\begin{matrix}K(G_2,n_2-1)&\stackrel{\iota_2}\hookrightarrow &A_2^*\mathcal PK(G_2,n_2)&\stackrel{\pi_2}\twoheadrightarrow &A_1^*\mathcal PK(G_1,n_1)\\&&\downarrow\scriptstyle A_3\\&& K(G_3,n_3)\end{matrix}

이는 연산

:

A_3^*\colon \left(\ker A_2^*\subseteq\operatorname H^{n_0}(-;G_0)\right)\to \frac{\operatorname H^{n_3}(-;G_3)}{(A_3\circ\iota_2)^*\operatorname H^{n_2-1}(-;G_2)}

을 정의한다.

3. 에일렌베르크-매클레인 공간과의 관계

자연수 $m,n\in\mathbb N$ 및 아벨 군 $G,H\in\operatorname{Ab}$ 에 대하여, ''' $(m,n;G,H)$ 형 1차 코호몰로지 연산'''(primary cohomology operation of type $(m,n;G,H)$ ^영어)은 에일렌베르크-매클레인 공간 사이의 연속 함수의 호모토피류

: $A\colon K(G,m)\to K(H,n)$

이다.

코호몰로지 연산 $\theta$ 는 다음과 같은 형식의

: $(n,q,\pi,G)\,$

자연 변환

: $\theta\colon H^{n}(-,\pi)\to H^{q}(-,G)\,$

이며, CW 복합체에서 정의된다.

CW 복합체의 코호몰로지는 표현 가능하며, 이는 에일렌베르크-매클레인 공간에 의해 표현되므로, 요네다 보조정리에 의해 $(n,q,\pi,G)$ 형식의 코호몰로지 연산은 $K(\pi,n) \to K(G,q)$ 의 호모토피 사상의 호모토피 클래스에 의해 주어진다. 표현 가능성을 다시 사용하면, 코호몰로지 연산은 $H^{q}(K(\pi,n),G)$ 의 원소에 의해 주어진다.

기호적으로, $[A,B]$ 를 $A$ 에서 $B$ 로의 사상의 호모토피 클래스의 집합이라고 하면, 다음과 같다.

:: $\begin{align}\displaystyle\mathrm{Nat}(H^n(-,\pi),H^q(-,G)) &= \mathrm{Nat}([-,K(\pi,n)],[-,K(G,q)])\\ &= [K(\pi,n),K(G,q)]\\ &= H^q(K(\pi,n);G).\end{align}$

4. 예

특이 코호몰로지에 대하여 정의되는 대표적인 코호몰로지 연산은 다음과 같다.

합곱 $\smile\colon K(G,m)\times K(G,n)\to K(G,m+n)$ . 이는 불안정 연산이다.
스틴로드 제곱 $\operatorname{Sq}^i\colon K(\mathbb Z/2,n)\to K(\mathbb Z/2,n+i)$
스틴로드 축소 제곱 $P^i\colon K(\mathbb Z/p,n)\to K(\mathbb Z/p,n+2i(p-1)$ , $p$ 는 소수
폰트랴긴 제곱 $K(\mathbb Z/p^r,2n)\to K(\mathbb Z/p^{r+1},2pn)$
아벨 군의 짧은 완전열 $G/N=H$ 에 대하여, 복시테인 준동형 $K(H,n)\to K(N,n+1)$
포스트니코프 제곱
매시 곱. 이는 2차 코호몰로지 연산이다.

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com