톰 공간

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 구성 방법
- 2.2. 내적을 통한 정의
3. 성질
4. 예
5. 응용
- 5.1. 특성류 이론
6. 역사
참조

1. 개요

톰 공간은 파라콤팩트 공간 위의 벡터 다발을 이용하여 구성되는 위상 공간으로, 르네 톰에 의해 도입되었다. 벡터 다발의 섬유를 일점 컴팩트화하거나, 닫힌 공과 초구의 몫공간으로 정의할 수 있다. 톰 공간은 연산에 대한 호환성, 함자성, 호몰로지 등의 성질을 가지며, 톰 동형을 통해 기저 공간의 코호몰로지와 톰 공간의 축소 코호몰로지 사이의 관계를 나타낸다. 톰 공간은 톰 스펙트럼을 정의하고 특성류 이론, 코보디즘 이론 등에서 중요한 역할을 한다.

2. 정의

톰 공간은 파라콤팩트 공간 위에 정의된 실수 벡터 다발로부터 구성되는 위상 공간이다.

톰 공간을 정의하는 한 가지 방법은 다음과 같다. 우선, 파라콤팩트 공간 $X$ 와 그 위에 정의된 $n$ 차원 실수 벡터 다발 $\mathbb R^n\hookrightarrow E\,\overset\pi\twoheadrightarrow\,X$ 를 생각한다. 각 올(fiber)의 알렉산드로프 콤팩트화를 통해, 초구 $\mathbb S^n=\mathbb R^n\sqcup\{\infty\}$ 를 올로 갖는 올다발 $\operatorname{Sph}(E)\twoheadrightarrow X$ 를 구성한다. 이때, 톰 공간 $\operatorname{Th}(E)$ 는 각 올의 콤팩트화를 통해 추가된 점들을 하나의 점으로 붙여 만든 공간이다.

: $\operatorname{Th}(E):=\frac{\operatorname{Sph}(E)}{\{(x,\infty_x)\colon x\in X\}}$

2. 1. 구성 방법

파라콤팩트 공간

X

와

n

차원 실수 벡터 다발

\mathbb R^n\hookrightarrow E\,\overset\pi\twoheadrightarrow\,X

가 주어졌다고 하자.

각 올의 알렉산드로프 콤팩트화를 취하여, 초구

\mathbb S^n=\mathbb R^n\sqcup\{\infty\}

를 올로 하는 올다발

\operatorname{Sph}(E)\twoheadrightarrow X

를 정의할 수 있다. 여기서 톰 공간

\operatorname{Th}(E)

는 각 올의 콤팩트화에서 추가된 점들을 한 점으로 붙인 것이다.

:

\operatorname{Th}(E):=\frac{\operatorname{Sph}(E)}{\{(x,\infty_x)\colon x\in X\}}

다른 방법으로,

E

위에 올별 연속 양의 정부호 내적

\eta \in \Gamma(E^* \otimes E^*)

를 임의로 고르고, 이를 통해 각 올

E_x

의 닫힌 공

:

\operatorname{Ball}(\pi) := \{e \in E_x \colon \eta(e,e) \le 1\}

및 초구

:

\operatorname{Sph}(\pi) := \{e \in E_x \colon \eta(e,e) = 1\}

을 정의할 수 있다. 이들은

X

위의 올다발을 이루며, 포함 관계

\operatorname{Sph}(\pi)\subseteq \operatorname{Ball}(\pi) \subseteq E

를 갖는다. 톰 공간은 다음과 같은 몫공간이다.

:

\operatorname{Th}(\pi) = \frac {\operatorname{Ball}(\pi)}{\operatorname{Sph}(\pi)}

이는 점을 가진 공간을 이루며, 그 밑점은

\operatorname{Sph}(\pi)

의 동치류이다.

좀 더 구체적으로,

p\colon E \to B

가 파라콤팩트 공간 ''B'' 위의 랭크 ''n''인 실수 벡터 다발이라면, ''B''의 각 점 ''b''에 대해 섬유

E_b

는 ''n''차원 실수 벡터 공간이다. 각 섬유의 일점 컴팩트화를 취하고 이를 함께 붙여 총 공간을 얻음으로써 ''n''-구 번들

\operatorname{Sph}(E) \to B

를 구성할 수 있다. 마지막으로, 총 공간

\operatorname{Sph}(E)

에서 톰 공간

T(E)

를 ''B''에 대한

\operatorname{Sph}(E)

의 몫으로 얻는다. 즉, 모든 새로운 점을 단일 점

\infty

로 식별하여

T(E)

의 기준점으로 삼는다. ''B''가 컴팩트하면

T(E)

는 ''E''의 일점 컴팩트화이다.

예를 들어 ''E''가 자명한 번들

B\times \R^n

이면

\operatorname{Sph}(E)

는

B\times S^n

이고, 분리된 기준점을 가진 ''B''를

B_+

로 쓰면

T(E)

는

B_+

와

S^n

의 스매시 곱이다. 즉,

B_+

의 ''n''번째 축소된 현수이다.

''B''가 파라콤팩트이므로 ''E''에 유클리드 메트릭을 부여할 수 있으며, 그러면

T(E)

를 ''E''의 단위 디스크 번들을 ''E''의 단위

(n-1)

-구 번들로 나눈 몫으로 정의할 수도 있다.

2. 2. 내적을 통한 정의

E

위에, 올별 임의의 연속 양의 정부호 내적

:

\eta \in \Gamma(E^* \otimes E^*)

을 임의로 고른다. 이를 통하여, 임의의

x\in X

에 대하여 올

E_x

의 닫힌 공

:

\operatorname{Ball}(\pi) := \{e \in E_x \colon \eta(e,e) \le 1\}

및 초구

:

\operatorname{Sph}(\pi) := \{e \in E_x \colon \eta(e,e) = 1\}

를 정의할 수 있다. 이 둘은

X

위의 올다발을 이루며, 다음과 같은 포함 관계가 존재한다.

:

\operatorname{Sph}(\pi)\subseteq \operatorname{Ball}(\pi) \subseteq E

'''톰 공간'''은 다음과 같은 몫공간이다.

:

\operatorname{Th}(\pi) = \frac {\operatorname{Ball}(\pi)}{\operatorname{Sph}(\pi)}

이는 자연스럽게 점을 가진 공간을 이루며, 그 밑점은

\operatorname{Sph}(\pi)

의 동치류이다.

3. 성질

톰 공간은 벡터 다발의 연산 및 사상에 대해 자연스러운 성질을 갖는다. 이러한 성질은 하위 섹션에서 자세히 다룬다.

3. 1. 연산에 대한 호환

파라콤팩트 공간

X

,

Y

와 그 위에 정의된 두 유한 차원 벡터 다발

:

\pi\colon E\twoheadrightarrow X

:

\varpi\colon F\twoheadrightarrow Y

가 주어졌다고 하자. 곱공간

X\times Y

로부터의 사영 사상

:

\operatorname{proj}_X\colon X\times Y\twoheadrightarrow X

:

\operatorname{proj}_Y\colon X\times Y\twoheadrightarrow Y

을 정의하고, 각 벡터 다발의 사상과의 당김

:

\operatorname{proj}_X^*\pi\colon E \twoheadrightarrow X\times Y

:

\operatorname{proj}_X^*\varpi\colon F \twoheadrightarrow X\times Y

을 구한다. 이들의 직합을

\pi\boxtimes\varpi

로 표기하면 다음과 같다.

:

\pi\boxtimes\varpi \colon \operatorname{proj}_X^* E \oplus \operatorname{proj}_X^* F \twoheadrightarrow X\times Y

이때 위 사상으로 정의되는 올다발의 톰 공간

\operatorname{Th}(\pi\boxtimes\varpi)

는 각각의 톰 공간에 분쇄곱을 취한 것과 위상 동형이다.

:

\operatorname{Th}(\pi\boxtimes\varpi) = \operatorname{Th}(\pi)\wedge \operatorname{Th}(\varpi)

특히,

\varpi

가 한원소 공간 위의 (자명한) 벡터 다발인 경우, 즉

:

Y = \{\bullet\}

:

F = Y \times\mathbb R^n

인 경우,

\varpi

의 톰 공간은 초구 (

\operatorname{Th}(\varpi) = \mathbb S^n

)이므로 다음을 얻는다.

:

\operatorname{Th}(E \oplus \mathbb R^n) = \operatorname{Th}(E) \wedge \mathbb S^n = \operatorname\Sigma^n(\operatorname{Th}(E))

여기서

\operatorname\Sigma^n

은 축소 현수를

n

번 취한 것이다.

3. 2. 함자성

두 파라콤팩트 공간 위의 유한 차원 벡터 다발 π: E→X, ϖ: F→Y 및 연속 함수 f: X→Y 위의 벡터 다발 사상 ϕ: E→F가 주어졌을 때, 자연스러운, 밑점을 보존하는 연속 함수 Th(f,ϕ): Th(π)→Th(ϖ), Th(f,ϕ): (x,e)↦(f(x),ϕ(e)) (e∈Ex), Th(f,ϕ): ∞↦∞ 가 존재한다. 즉, 이는 유한 차원 벡터 다발의 범주에서 점을 가진 공간의 범주로 가는 함자 VectBunfin→Top• 를 정의한다.

3. 3. 호몰로지

초구 다발

\operatorname{Sph}(E)

의 무한대 단면을

s_\infty\colon B\to\operatorname{Sph}(E)

, 영단면을

s_0\colon B\to E\subsetneq\operatorname{Sph}(E)

라고 하자.

톰 공간의 축소 코호몰로지는 다음과 같은 상대 호몰로지와 같다.

:

\operatorname{\tilde H}^\bullet(\operatorname{Th}(E))=\operatorname H^\bullet\left(\operatorname{Sph}(E),s_\infty(B)\right)\cong\operatorname H^\bullet\left(\operatorname{Sph}(E),s_0(B)\right)\cong\operatorname H^\bullet\left(\operatorname{Sph}(E),\operatorname{Sph}(E)\setminus s_0(B)\right)\cong\operatorname H^\bullet\left(E,E\setminus s_0(B)\right)

3. 4. 톰 동형

톰 동형(Thom isomorphism)은 기저 공간의 코호몰로지와 톰 공간의 축소 코호몰로지 사이의 동형 사상이다. 유한 차원 실수 벡터 다발의 경우, F₂^영어-벡터 공간의 표준적인 동형 사상으로 주어진다. 구체적으로, 유한 차원 실수 벡터 다발

E\twoheadrightarrow B

와 음이 아닌 정수

k\in\mathbb N

에 대하여, 다음과 같은 F₂^영어-벡터 공간의 표준적인 동형 사상이 존재한다.^[1]

:

\operatorname H^k(B; \mathbb F_2)\cong\operatorname{\tilde H}^{k+n}(\operatorname{Th}(E); \mathbb F_2)

여기서 우변은 축소 코호몰로지이다.

만약

E\twoheadrightarrow B

가 유향 벡터 다발이라면, 이는 임의의 가환환

R

계수에 대하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.^[1]

:

\Phi\smile\pi^*(-)\colon\operatorname H^k(B;R)\to\operatorname H^{k+n}(E,E\setminus s_0(B);R)

톰 동형은 르네 톰이 1952년에 발표한 논문에서 공식화하고 증명하였다.^[1]

4. 예

파라콤팩트 공간 ''X'' 위의 자명한 벡터 다발 $\pi\colon X\times\mathbb R^n$ 의 톰 공간은 다음과 같이 주어진다.

: $\operatorname{Th}(\pi) = X \times\mathbb S^n / (X \times \{\bullet_{\mathbb S^n}\})$

여기서 $\bullet_{\mathbb S^n} \in \mathbb S^n$ 은 초구 $\mathbb S^n$ 에 부여한 임의의 밑점이며, 공 $\mathbb B^n$ 의 경계에 속한다.

$X_+ = X \sqcup \{\bullet_X\}$ 가 $X$ 에 분리된 밑점을 추가한 점을 가진 공간이라면, 다음이 성립한다.

: $\operatorname{Th}(\pi) \cong X_+ \wedge \mathbb S^n$

여기서 $\cong$ 은 위상 동형이며, $\wedge$ 는 점을 가진 공간끼리의 분쇄곱이다. $n = 0$ 인 경우 (0차원 벡터 다발), 톰 공간은 다음과 같다.

: $\operatorname{Th}(\pi) \cong X_+ \wedge \mathbb S^0 \cong X_+$

예를 들어, ''E''가 자명한 번들 $B\times \R^n$ 이면, $T(E)$ 는 $B_+$ 와 $S^n$ 의 스매시 곱이다. 즉, $B_+$ 의 ''n''번째 축소된 현수이다.

콤팩트 공간 $X$ 위의 벡터 다발 $\pi\colon E\twoheadrightarrow X$ 의 톰 공간 $\operatorname{Th}(\pi)$ 은 $E$ 의 알렉산드로프 콤팩트화와 위상 동형이다.

: $\operatorname{Th}(\pi) \cong E^+$

분류 공간 위의 연관 벡터 다발의 톰 공간으로 톰 스펙트럼을 정의할 수 있다. 톰 스펙트럼은 코보디즘 이론에서 중요한 역할을 한다.^[4] 톰 스펙트럼^[4]은 다음과 같은 톰 공간의 수열로 정의된다.

: $MO(n) = T(\gamma^n)$

여기서 $\gamma^n\to BO(n)$ 은 랭크 ''n''의 보편 벡터 다발을 의미한다. 이 수열은 스펙트럼을 이룬다.^[5]

4. 1. 자명한 벡터 다발

파라콤팩트 공간

X

위의 자명한 벡터 다발

\pi\colon X\times\mathbb R^n

의 톰 공간을 생각하면 다음과 같다.

:

\operatorname{Ball}(\pi) = X\times \mathbb B^n

:

\operatorname{Sph}(\pi) = X\times \mathbb S^{n-1}

:

\operatorname{Th}(\pi) = X \times\mathbb S^n / (X \times \{\bullet_{\mathbb S^n}\})

여기서

\bullet_{\mathbb S^n} \in \mathbb S^n

은 초구

\mathbb S^n

에 부여한 임의의 밑점으로, 공

\mathbb B^n

의 경계에 속한다.

만약

X_+ = X \sqcup \{\bullet_X\}

가

X

에 분리된 밑점을 추가한 점을 가진 공간이라면, 다음이 성립한다.

:

\operatorname{Th}(\pi) \cong X_+ \wedge \mathbb S^n

여기서

\cong

은 위상 동형이며,

\wedge

는 점을 가진 공간끼리의 분쇄곱이다.

특히,

n = 0

일 경우 (0차원 벡터 다발), 톰 공간은 다음과 같다.

:

\operatorname{Th}(\pi) \cong X_+ \wedge \mathbb S^0 \cong X_+

예를 들어, ''E''가 자명한 번들

B\times \R^n

인 경우

\operatorname{Sph}(E)

는

B\times S^n

이고, 분리된 기준점을 가진 ''B''를

B_+

로 쓰면

T(E)

는

B_+

와

S^n

의 스매시 곱이다. 즉,

B_+

의 ''n''번째 축소된 현수이다.

4. 2. 콤팩트 공간 위의 벡터 다발

콤팩트 공간

X

위의 벡터 다발

\pi\colon E\twoheadrightarrow X

의 톰 공간

\operatorname{Th}(\pi)

은

E

의 알렉산드로프 콤팩트화와 위상 동형이다.

:

\operatorname{Th}(\pi) \cong E^+

4. 3. 톰 스펙트럼

분류 공간 위의 연관 벡터 다발의 톰 공간으로 톰 스펙트럼을 정의할 수 있다. 톰 스펙트럼은 코보디즘 이론에서 중요한 역할을 한다.^[4]

분류 공간

:

\operatorname{EO}(n) \twoheadrightarrow \operatorname{BO}(n)

위의 연관 벡터 다발

:

(\operatorname{EO}(n)\times_{\operatorname O(n)} \mathbb R^n) \twoheadrightarrow \operatorname{BO}(n)

의 톰 공간을 다음과 같이 표기한다.

:

\operatorname{MO}(n) := \operatorname{Th}(\operatorname{EO}(n)\times_{\operatorname O(n)}\mathbb R^n)

이들 사이에는 자연스러운 사상

:

\Sigma\operatorname{MO}(n) \to \operatorname{MO}(n+1)

이 존재하여, 스펙트럼

\operatorname{MO}

를 정의하는데, 이를 '''톰 스펙트럼'''이라고 한다.

톰 스펙트럼^[4]은 다음과 같은 톰 공간의 수열로 정의된다.

:

MO(n) = T(\gamma^n)

여기서

\gamma^n\to BO(n)

은 랭크 ''n''의 보편 벡터 다발을 의미한다. 이 수열은 스펙트럼을 이룬다.^[5] 톰의 정리에 따르면

\pi_*(MO)

는 비방향 코보디즘 환이다.^[6] 이 정리의 증명은 톰의 횡단 정리에 결정적으로 의존한다.^[7]

5. 응용

톰 공간은 다양한 분야에서 중요한 도구로 사용된다.

5. 1. 특성류 이론

톰 동형을 통해 슈티펠-휘트니 류를 구성할 수 있다.^[1] 슈틴로드 연산을 사용하여 톰 동형을 통해 슈티펠-휘트니 류를 정의할 수 있다. 벡터 다발

p: E\to B

의 ''i''번째 슈티펠-휘트니 류

w_i(p)

는 다음과 같이 정의된다.^[1]

:

w_i(p) = \Phi^{-1}(Sq^i(\Phi(1))) = \Phi^{-1}(Sq^i(u)).

여기서

\Phi

는 톰 동형,

Sq^i

는 슈틴로드 연산,

u

는 톰 클래스이다.

우 공식은 슈티펠-휘트니 특성류의 불변성과 관련된 중요한 결과이다. 위의 정의에서 다발을 매끄러운 접다발로 간주하면, 슈틴로드 연산이 호모토피 동치에 대해 불변이므로, 다양체의 슈티펠-휘트니 특성류 또한 불변이라는 결론을 얻는다.^[1] 이는 다른 특성류로는 일반화되지 않는 특별한 결과이다.

6. 역사

톰 공간은 프랑스의 수학자 르네 톰이 1954년에 도입하였다.^[8] 1952년 논문에서 톰은 톰 클래스, 슈티펠-휘트니류 및 슈틴로드 연산이 모두 관련되어 있음을 보였다. 그는 이러한 아이디어를 사용하여 1954년 논문 "Quelques propriétés globales des variétés differentiables"에서 코보디즘 군이 특정 톰 공간 ''MG''(''n'')의 호모토피 군으로 계산될 수 있음을 증명했다. 이 증명은 매끄러운 다양체의 횡단성 속성에 의존하며, 톰 횡단 정리와 밀접하게 관련되어 있다.

이 구성을 역으로 적용하여 존 밀너와 세르게이 노비코프 등은 고차원 다양체의 존재성과 유일성에 대한 질문에 답할 수 있었다. 이것은 현재 수술 이론으로 알려져 있다. 또한, 공간 ''MG(n)''은 함께 연결되어 스펙트럼 ''MG''를 형성하며, 이는 현재 '''톰 스펙트럼'''으로 알려져 있다. 코보디즘 군은 실제로 안정적이다. 따라서 톰의 구성은 미분 위상수학과 안정 호모토피 이론을 통합하며, 특히 구의 안정 호모토피 군에 대한 지식에 필수적이다.

슈틴로드 연산을 사용할 수 있다면, 이를 사용하여 정리의 동형 사상을 통해 슈티펠-휘트니류를 구성할 수 있다. 슈틴로드 연산 (mod 2)은 모든 비음수 정수 ''m''에 대해 정의된 자연 변환이다.

: $Sq^i : H^m(-; \Z_2) \to H^{m+i}(-; \Z_2),$

만약 $i=m$ 이면, $Sq^i$ 는 컵 제곱과 일치한다. 벡터 번들 $p: E\to B$ 의 ''i''번째 슈티펠-휘트니류 $w_i(p)$ 는 다음과 같이 정의할 수 있다.

: $w_i(p) = \Phi^{-1}(Sq^i(\Phi(1))) = \Phi^{-1}(Sq^i(u)).$

참조

_[1] 문서
_[2] 웹사이트 Thom's theorem https://sites.math.n[...]
_[3] 웹사이트 Transversality https://sites.math.n[...]
_[4] arXiv Spectra for commutative algebraists 2006-09-15
_[5] 웹사이트 Math 465, lecture 2: cobordism http://math.northwes[...] Northwestern University
_[6] 서적 1968
_[7] 웹사이트 Math 465, lecture 4: transversality http://math.northwes[...] Northwestern University
_[8] 저널 http://resolver.sub.[...] 2016-01-27

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