퀴네트 정리

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1. 개요
2. 정의
3. 예시
4. 일반화된 호몰로지와 코호몰로지 이론
5. 역사
6. 관련 수학 이론
참조

1. 개요

퀴네트 정리는 위상 공간의 곱의 호몰로지 또는 코호몰로지를 계산하는 데 사용되는 정리이다. 체, 주 아이디얼 정역, 호몰로지 스펙트럼 열 등 다양한 계수를 사용하여 정의되며, 호몰로지 및 코호몰로지 군 사이의 관계를 나타내는 완전열과 스펙트럼 열을 제공한다. 이 정리는 1923년 헤르만 퀴네트에 의해 발표되었으며, K-이론과 코보디즘과 같은 일반화된 호몰로지 및 코호몰로지 이론에서도 유사한 형태로 증명되었다.

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퀴네트 정리

2. 정의

두 위상 공간 $X$ 와 $Y$ 가 주어졌을 때, 특이 호몰로지를 사용하여 퀴네트 정리를 정의할 수 있다. $X$ 와 $Y$ 가 CW 복합체일 경우, 특이 호몰로지는 세포 호몰로지와 동형이므로 세포 호몰로지로 대체할 수 있다.

가장 간단한 경우는 호몰로지의 계수환이 체 $F$ 인 경우이다. 이때 퀴네트 정리는 임의의 정수 $k$ 에 대해 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $\bigoplus_{i + j = k} H_i(X; F) \otimes H_j(Y; F) \cong H_k(X \times Y; F)$ .

이 동형 사상은 자연 동형이며, 합에서 곱의 호몰로지 군으로의 사상을 ''교차 곱''이라고 한다. 교차 곱 연산은 $X$ 위의 $i$ -사이클과 $Y$ 위의 $j$ -사이클을 결합하여 $X \times Y$ 위의 $(i+j)$ -사이클을 생성한다. 이를 통해 직접 합에서 $H_k(X \times Y)$ 로의 명시적인 선형 사상이 정의된다.

이 결과, $X \times Y$ 의 베티 수는 $X$ 와 $Y$ 의 베티 수로부터 결정될 수 있다. $p_Z(t)$ 가 공간 $Z$ 의 베티 수 $b_k(Z)$ 의 수열의 생성 함수라고 하면, 다음 항등식이 성립한다.

: $p_{X \times Y}(t) = p_X(t) p_Y(t).$

이는 $X$ 와 $Y$ 의 베티 수가 유한하고 각각 $\infty$ 가 아닌 자연수인 경우, 푸앵카레 다항식에 대한 항등식으로 읽힌다.

계수환이 주 아이디얼 정역(PID)인 경우, 위 방정식은 항상 참이 아니며, Tor 함자를 이용한 수정 인자가 필요하다. ''R''이 PID일 때, 퀴네트 정리는 모든 위상 공간 ''X''와 ''Y''에 대해 다음과 같은 자연스러운 짧은 완전열이 존재함을 나타낸다.

: $0 \to \bigoplus_{i + j = k} H_i(X; R) \otimes_R H_j(Y; R) \to H_k(X \times Y; R) \to \bigoplus_{i + j = k-1} \mathrm{Tor}_1^R(H_i(X; R), H_j(Y; R)) \to 0.$

이 수열들은 분할되지만, 표준적으로 분할되지는 않는다.

2. 1. 체 계수

X

와

Y

가 위상 공간이고,

K

가 체일 때, 특이 호몰로지에 대한 퀴네트 정리는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

\bigoplus_{i+j=k}\operatorname H_i(X;K)\otimes_K\operatorname H_j(Y;K)\cong\operatorname H_k(X\times Y;K)

이는 베티 수의 생성함수에 대한 다음 항등식으로 표현될 수 있다.

:

b_X(t)b_Y(t)=b_{X\times Y}(t)

코호몰로지 환에 대한 퀴네트 정리는 다음과 같다.

:

\operatorname H^\bullet(X;K)\otimes_K\operatorname H^\bullet(Y;K)\cong\operatorname H^\bullet(X\times Y;K)

2. 2. 주 아이디얼 정역 계수

계수가 주 아이디얼 정역

R

인 경우, 퀴네트 정리에 따르면 다음과 같은

R

-가군의 짧은 완전열이 존재한다.^[1]

:

0\to\bigoplus_{i+j=k}\operatorname H_i(X;R)\otimes_R\operatorname H_j(Y;R)\to\operatorname H_k(X\times Y;R)\to\bigoplus_{i+j=k-1}\operatorname{Tor}^R_1(\operatorname H_i(X;R),\operatorname H_j(Y;R))\to0

여기서

\operatorname{Tor}

는 Tor 함자다. 이 짧은 완전열은 분할 완전열이지만, 이 분할은 표준적(canonical)이지 않다.

마찬가지로, 주 아이디얼 정역

R

계수의 코호몰로지에 대하여,

R

-가군의 짧은 완전열이 존재한다.^[1]

:

0\to \bigoplus_{i+j=k}\operatorname H^i(X;R)\otimes_R\operatorname H^j(Y;R)\to\operatorname H^k(X\times Y;R)\to\bigoplus_{i+j=k+1}\operatorname{Tor}^R_1(\operatorname H^i(X;R),\operatorname H^j(Y;R))\to 0

여기서

\operatorname{Tor}

는 Tor 함자다. 이 짧은 완전열 역시 분할 완전열이다.

2. 3. 호몰로지 스펙트럼 열

임의의 가환환

R

계수의 호몰로지에 대하여, 퀴네트 정리는 '''퀴네트 스펙트럼 열'''(Künneth spectral sequence^영어)

E_{\bullet\bullet}^\bullet

로 표현된다.^[7] 퀴네트 스펙트럼 열의 2번째 쪽은 다음과 같은 Tor 함자이다.

:

E_{pq}^2 = \bigoplus_{q_1 + q_2 = q} \operatorname{Tor}^R_p\left(\operatorname H_{q_1}(X; R), \operatorname H_{q_2}(Y; R)\right)

이 스펙트럼 열은 곱공간의 호몰로지로 수렴한다.

:

E_{pq}^2 \Rightarrow E_{pq}^\infty\cong\operatorname H_{p+q}(X \times Y; R)

보다 일반적으로, 위상군

G

가 연속적으로 오른쪽에서 작용하는 위상 공간

X

및 연속적으로 왼쪽으로 작용하는 위상 공간

Y

가 주어졌고,

Y\twoheadrightarrow Y/G

가

G

-주다발을 이룬다고 하자. 이 경우

G

의 호몰로지

\operatorname H_\bullet(G;R)

는 자연스럽게 환을 이루며, 이는

X

와

Y

의 호몰로지에 각각 오른쪽 및 왼쪽에서 작용한다. 그렇다면 스펙트럼 열

:

E_{pq}^2=\bigoplus_{q_1+q_2=q}\operatorname{Tor}_p^{\operatorname H_\bullet(G;R)}\left(\operatorname H_{q_1}(X; R), \operatorname H_{q_2}(Y; R)\right)

은 다음과 같은

G

-곱공간의 호몰로지로 수렴한다.^[7]

:

E_{pq}^2\Rightarrow E_{pq}^\infty\cong\operatorname H_{p+q}(X\times_GY;R)

여기서

:

X\times_GY=\frac{X\times Y}{(x,g\cdot y)\sim(x\cdot g,y)\;\forall g\in G,x\in X,y\in Y}

이다. 이는

G

가 자명군일 경우 단순한 곱공간이 된다.

2. 4. 코호몰로지 스펙트럼 열

마찬가지로, 코호몰로지의 경우 다음과 같은 스펙트럼 열이 존재한다.^[7]

:

E^{pq}_2=\bigoplus_{q_1+q_2=q}\operatorname{Tor}_p^R\left(\operatorname H^{q_1}(X;R),\operatorname H^{q_2}(Y;R)\right)

만약

X

와

Y

의 코호몰로지가 각 차수에서

R

-유한 생성 가군이라면, 이 스펙트럼 열은

X\times Y

의 코호몰로지로 수렴한다.

:

E^{pq}_2\Rightarrow E^{pq}_\infty\cong\operatorname H^{p+q}(X\times Y;R)

보다 일반적으로, 연속 함수

f\colon X\to B

,

g\colon Y\to B

가 주어졌으며

g

는 올뭉치를 이룬다고 하자. 그렇다면

\operatorname H^\bullet(B;R)

는

X

와

Y

의 코호몰로지 위에 각각 오른쪽 · 왼쪽에서 작용한다. 다음 조건들을 가정하자.

$B$ 는 단일 연결 공간이다.
$X$ , $Y$ , $B$ 의 코호몰로지는 각 차수에서 $R$ -유한 생성 가군이다.

그렇다면 스펙트럼 열

:

E^{pq}_2=\bigoplus_{q_1+q_2=q}\operatorname{Tor}_p^{\operatorname H^\bullet(B;R)}\left(\operatorname H^{q_1}(X;R),\operatorname H^{q_2}(Y;R)\right)

은 다음과 같은 당김의 코호몰로지로 수렴한다.^[7]

:

E^{pq}_2\Rightarrow E^{pq}_\infty\cong\operatorname H^{p+q}(X\times_B Y;R)

여기서

X\times_BY

는 범주론적 당김

:

X\times_BY=\{(x,y)\in X\times Y\colon f(x)=g(y)\}

이다. 이는

B

가 한원소 공간일 경우 단순한 곱공간이 된다.

3. 예시

두 개의 실사영 평면의 곱 $\mathbb{RP}^2 \times \mathbb{RP}^2$ 의 정수 계수를 갖는 호몰로지 군 $H_k(\mathbb{RP}^2 \times \mathbb{RP}^2; \Z)$ 은 다음과 같이 계산할 수 있다. 이 공간은 CW 복합체이다. 편의상 호몰로지 군 $H_i(\mathbb{RP}^2;\Z)$ 를 $h_i$ 로 표기하면, 세포 호몰로지를 사용해 간단히 계산하여 다음을 알 수 있다.

: $h_0\cong \Z$ ,

: $h_1\cong \Z/2\Z$ ,

: $i$ 의 다른 모든 값에 대해 $h_i= 0$

이러한 $h_i$ 값에서 형성될 수 있는 유일한 0이 아닌 Tor 군(비틀림 곱)은

: $\mathrm{Tor}^{\Z}_1(h_1, h_1) \cong \mathrm{Tor}^{\Z}_1(\Z/2\Z,\Z/2\Z)\cong \Z/2\Z$ 이다.

따라서 퀴네트 짧은 완전 순서는 각 차수에서 동형 사상으로 축소되는데, 그 이유는 순서의 왼쪽 또는 오른쪽에 각 경우에 0 군이 있기 때문이다. 결과는 다음과 같다.

: $\begin{align}H_0 \left (\mathbb{RP}^2 \times \mathbb{RP}^2;\Z \right )\; &\cong \;h_0 \otimes h_0 \;\cong \;\Z \\H_1 \left (\mathbb{RP}^2 \times \mathbb{RP}^2;\Z \right )\; &\cong \; h_0 \otimes h_1 \; \oplus \; h_1 \otimes h_0 \;\cong \;\Z/2\Z\oplus \Z/2\Z \\H_2 \left (\mathbb{RP}^2 \times \mathbb{RP}^2;\Z \right )\; &\cong \;h_1 \otimes h_1 \;\cong \;\Z/2\Z \\H_3 \left (\mathbb{RP}^2 \times \mathbb{RP}^2;\Z \right )\; &\cong \;\mathrm{Tor}^{\Z}_1(h_1,h_1) \;\cong \;\Z/2\Z \\\end{align}$

그리고 다른 모든 호몰로지 군은 0이다.

4. 일반화된 호몰로지와 코호몰로지 이론

K-이론과 코보디즘이 가장 잘 알려져 있는, 위상 공간에 대한 많은 일반화된 (또는 "특별한") 호몰로지 및 코호몰로지 이론이 존재한다. 일반 호몰로지 및 코호몰로지와 달리, 일반적으로 체인 복합체를 사용하여 정의할 수 없다. 따라서 퀴네트 정리는 상동 대수의 위 방법으로는 얻을 수 없다. 그럼에도 불구하고, 퀴네트 정리는 매우 많은 경우에 다른 다양한 방법으로 동일한 형태로 증명되었다. 최초의 것은 마이클 아티야의 복소 K-이론에 대한 퀴네트 정리와 피에르 코너와 에드윈 플로이드의 코보디즘에 대한 결과였다.^[3]^[4] 이러한 모듈의 고도로 구조화된 링 스펙트럼에 대한 호모토피 이론을 기반으로 하는 일반적인 증명 방법이 나타났다.^[5]^[6] 이러한 모듈의 호모토피 범주는 호몰로지 대수의 유도 범주와 매우 유사하다.

5. 역사

독일의 수학자 헤르만 퀴네트(Hermann Künneth|헤르만 퀴네트^de)가 1923년에 발표하였다.^[8]^[9]

6. 관련 수학 이론

공간 ''X'' × ''Y''의 사슬 복합체는 자연스러운 준동형사상에 의해 ''X''와 ''Y''의 사슬 복합체와 관련된다. 특이 사슬의 경우, 이것은 아일렌버그-질버 정리이다.^[1] CW 복합체에 대한 세포 사슬의 경우, 이는 직접적인 동형사상이다. 그러면 오른쪽의 텐서 곱의 호몰로지는 호몰로지 대수의 분광 퀴네스 공식에 의해 주어진다.^[1]

사슬 모듈의 자유성은 이 기하학적 경우에 초호몰로지나 전체 도출 텐서 곱을 사용할 필요가 없음을 의미한다.

위의 명제들은 특이 코호몰로지와 층 코호몰로지에도 유사하게 적용된다. 대수적 다양체에 대한 층 코호몰로지의 경우, 알렉산더 그로텐딕은 두 사슬 복합체의 가능한 초호몰로지 군과 이들의 텐서 곱의 초호몰로지 군을 관련시키는 여섯 개의 스펙트럼 열을 발견했다.^[2]

참조

_[1] 서적 Homology Springer
_[2] 간행물 Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné): III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Seconde partie http://www.numdam.or[...] 2008-07-29
_[3] 서적 K-theory W. A. Benjamin
_[4] 서적 Differentiable periodic maps Springer
_[5] 논문 Derived tensor products in stable homotopy theory
_[6] 서적 Rings, modules and algebras in stable homotopy theory American Mathematical Society
_[7] 서적 Spectral Sequences in Algebraic Topology https://www.math.cor[...]
_[8] 저널 Über die Bettischen Zahlen einer Produktmannigfaltigkeit 1923-03
_[9] 저널 Über die Torsionszahlen von Produktmannigfaltigkeiten 1924-03

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