다항식 전개

3. 곱셈 공식

다항식의 곱셈은 분배법칙을 이용하여 전개한 후, 동류항끼리 계산하여 정리한다.

두 인수를 곱하려면 첫 번째 인수의 각 항을 다른 인수의 각 항과 곱해야 한다. 예를 들어, $(x+2)(2x-5)\backslash ,$를 전개하면 $2x^2-5x+4x-10\; =\; 2x^2-x-10$이 된다.

3개 이상의 다항식의 곱도 마찬가지이다. 각 인수에서 하나씩 항을 선택하고, 그 모든 조합에 대해 곱을 취하고, 그 합이 전개의 결과가 된다.

$(a\; +\; b\; +\; c)(x\; +\; y)$를 전개하면 $ax\; +\; ay\; +\; bx\; +\; by\; +\; cx\; +\; cy$가 된다. 전개 과정은 다음 표와 같이 나타낼 수 있다.

전개 후, 더 간단하게 만들 수 있는 경우도 있다. 예를 들어 $(a\; +\; b)(a\; -\; b)$를 전개하는 경우의 표는 다음과 같다.

$ab$와 $-ab$가 상쇄되므로 $a^2\; -\; b^2$가 된다.

자주 사용되는 곱셈 공식들은 하위 섹션에서 확인할 수 있다. 이 공식들은 좌변을 우변으로 변형하는 전개 공식인 동시에, 우변을 좌변으로 변형하는 인수분해 공식으로도 간주할 수 있다.

3. 1. 2차식 곱셈 공식

• $\backslash ,m(a\backslash pm\; b)\; =\; ma\backslash pm\; mb$
• $\backslash ,(a+b)(c+d)\; =\; ac+ad+bc+bd$
• $\backslash ,(a+\; b)^2\; =\; a^2+\; 2ab+b^2$
• $\backslash ,(a-\; b)^2\; =\; a^2-\; 2ab+b^2$
• $\backslash ,(a+b)(a-b)\; =\; a^2-b^2$
• $\backslash ,(x+a)(x+b)\; =\; x^2+(a+b)x+ab$
• $\backslash ,(ax+b)(cx+d)\; =\; acx^2+(ad+bc)x+b$
• $\backslash ,(a+b+c)^2=\; a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$
• $\backslash ,(ax+by)(cx+dy)\; =\; acx^2+(ad+bc)xy+bdy^2$
• $\backslash ,(ax+by+c)(dx+ey+f)\; =\; adx^2+(af+cd)x+(ae+bd)xy+bey^2+(bf+ce)y+cf$

• $\backslash ,\; a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ca)=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash left\backslash \{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\; \backslash right\backslash \}$
• $\backslash ,\; (a+b)^2\; =\; a^2+b^2+2ab\; ,\; (a+b)^2-2ab\; =\; a^2+b^2$
• $\backslash ,\; (a-b)^2\; =\; a^2+b^2-2ab,\; (a-b)^2+2ab\; =\; a^2+b^2$
• $(a-b)^2+2ab=\; (a+b)^2-2ab,\; (a-b)^2+4ab=\; (a+b)^2,(a-b)^2=\; (a+b)^2-4ab$

전개 후, 더 간단하게 만들 수 있는 경우도 있다. 예를 들어 $(a\; +\; b)(a\; -\; b)$를 전개하는 경우의 표는 다음과 같다.

$ab$와 $-ab$가 상쇄되므로 $a^2\; -\; b^2$가 된다. 일반적으로 이러한 계산을 포함하여 "다항식 전개"라고 부른다. 수학 교육에서는 이와 같은 경우의 전개식, 예를 들어 다음과 같은 식을 공식으로 가르치는 경우가 많다.

• $(a\; +\; b)(a\; -\; b)\; =\; a^2\; -\; b^2$
• $(a\; +\; b)(a^2\; -\; ab\; +\; b^2)\; =\; a^3\; +\; b^3$
• $(a\; +\; b)^2\; =\; a^2\; +\; 2ab\; +\; b^2$

3. 2. 3차식 곱셈 공식

• $(x\; \backslash pm\; a)(x\; \backslash pm\; b)(x\; \backslash pm\; c)\; =\; x^3\; \backslash pm\; (a+b+c)x^2\; +\; (ab+bc+ca)x\; \backslash pm\; abc$
• $(a\; \backslash pm\; b)^3\; =\; a^3\; \backslash pm\; 3a^2b\; +\; 3ab^2\; \backslash pm\; b^3$
• $(a\; \backslash pm\; b)(a^2\; \backslash mp\; ab\; +\; b^2)\; =\; a^3\; \backslash pm\; b^3$
• $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\; =\; a^3+b^3+c^3-3abc$
• $\backslash frac\{1\}\{2\}(a+b+c)\backslash \{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\backslash \}\; =\; a^3+b^3+c^3-3abc$
• $a^3+b^3+c^3=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+3abc$

3. 3. 4차식 곱셈 공식

• $(a\; \backslash pm\; b)^4\; =\; a^4\; \backslash pm\; 4a^3b\; +\; 6a^2b^2\; \backslash pm\; 4ab^3\; +\; b^4$ (복부호 동순)
• $(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)\; =\; a^4+a^2b^2+b^4$

3. 4. 일반적인 다항식의 전개

4. 곱셈 공식의 변형

복부호 동순이 모든 공식에 적용된다.

대한민국의 2015년 개정 교육과정에서 쓰이는 고등학교 1학년 수준의 '''곱셈 공식의 변형'''을 다룬다. (단, 2차식 내용의 일부는 중학교 3학년 과정이다.)

4. 1. 2차식 곱셈 공식의 변형

• $\backslash ,\; a^2\; +\; b^2\; =\; (a\; \backslash pm\; b)^2\; \backslash mp\; 2ab$
• $\backslash ,\; (a+b)^2\; =\; (a-b)^2\; +\; 4ab$
• $\backslash ,\; x^2\; +\; \{1\; \backslash over\; x^2\}\; =\; \backslash left(\; x\; \backslash pm\; \{1\; \backslash over\; x\}\; \backslash right)^2\; \backslash mp\; 2$
• $\backslash ,\; \backslash left(\; x\; +\; \{1\; \backslash over\; x\}\; \backslash right)^2\; -\; \backslash left(\; x\; -\; \{1\; \backslash over\; x\}\; \backslash right)^2\; =\; 4$
• $\backslash ,\; a^2\; +\; b^2\; +\; c^2\; =\; (a+b+c)^2\; -\; 2(ab+bc+ca)$
• $\backslash ,\; a^2\; +\; b^2\; +\; c^2\; \backslash pm\; ab\; \backslash pm\; bc\; \backslash pm\; ca\; =\; \{1\; \backslash over\; 2\}\; \backslash left\backslash \{\; (a\; \backslash pm\; b)^2\; +\; (b\; \backslash pm\; c)^2\; +\; (c\; \backslash pm\; a)^2\; \backslash right\backslash \}$

4. 2. 3차식 곱셈 공식의 변형

• $\backslash ,\; a^3\backslash pm\; b^3\; =\; (a\backslash pm\; b)^3\backslash mp\; 3ab(a\backslash pm\; b)$
• $\backslash ,\; x^3\; \backslash pm\; \{1\; \backslash over\; x^3\}\; =\; \backslash left(\; x\backslash pm\; \{1\; \backslash over\; x\}\; \backslash right)\; ^3\; \backslash mp\; 3\; \backslash left(\; x\backslash pm\; \{1\; \backslash over\; x\}\; \backslash right)$
• $\backslash ,\; a^3+b^3+c^3\; =\; (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+3abc$

4. 3. 고차식 곱셈 공식의 변형

• $\backslash ,\; a^5+b^5\; =\; (a^2+b^2)(a^3+b^3)-a^2b^2(a+b)$

• $\backslash ,\; n$이 짝수일 때, $\backslash ,\; a^n+b^n\; =\; (a^k+b^k)^2-2a^kb^k$
• $\backslash ,\; n$이 홀수일 때, $\backslash ,\; a^n+b^n\; =\; (a^p+b^p)(a^q+b^q)-a^pb^p(a+b)$

5. 다항식 전개의 확장: 멱급수

분배 법칙을 사용하면 다항식의 곱을 하나의 다항식으로 나타낼 수 있다. 무한 개의 항을 가지는 멱급수의 곱셈도 정의할 수 있으며, 이는 다항식 전개의 확장으로 간주될 수 있다.

두 멱급수의 곱은 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash Bigl(\; \backslash sum\_\{i=0\}^\backslash infty\; a\_i\; x^i\; \backslash Bigr)\; \backslash Bigl(\; \backslash sum\_\{j=0\}^\backslash infty\; b\_j\; x^j\; \backslash Bigr)=\backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; \backslash Bigl(\; \backslash sum\_\{i+j=k\}a\_i\; b\_j\; \backslash Bigr)\; x^k$

이 곱은 코시 곱이라고 불린다. 멱급수를 그 수렴 영역에 대한 함수로 간주했을 경우, 이것은 함수의 곱에 대응한다.

5. 1. 멱급수 전개의 예시