양상 논리

3. 의미론

양상 논리의 의미론은 주로 크립키 의미론(가능세계 의미론)을 통해 설명된다. 크립키 의미론은 존재할 수 있는 세계인 '가능세계'를 가정하는 가능세계론에 기반한다.

솔 크립키에 의해 주어진 크립키 의미론은 양상 논리의 의미론 체계이며, 가능 세계론과 관련된 아이디어를 제공한다. 가능 세계 사이의 이항 관계로 정의되는 도달 가능성의 개념을 통해 공리계의 변형을 파악할 수 있다.

명제 양상 논리의 의미론에서 ''W''는 공집합이 아닌 집합으로, 개개의 가능 세계 전체의 집합을 나타낸다. ''W''상의 이항 관계 ''R''을 통해 가능 세계 간의 도달 관계를 정의하고, 양상 연산자가 붙은 논리식의 참/거짓에 영향을 미치도록 한다. 또한 명제 변수 전체의 집합 ''PV''와 함수 V를 통해 원자 명제에 대한 해석을 정의한다.

해석 ''V''는 논리식 전체로 재귀적으로 확장되며, 명제 논리의 결합자에 관해서는 고전 명제 논리와 같지만, 양상 연산자에 관해서는 가능 세계와 도달 관계를 고려해야 한다.

"비정규 세계"(non-normal worlds)를 도입하여 비정규 양상 논리에서의 해석을 정의할 수 있다. 비정규 세계에서는 정의적으로 모든 가능 명제가 참이고, 모든 필연 명제가 거짓이다.

공리계 S4의 위상적 의미론에서는 원자 명제들을 위상 공간 안의 도형으로 해석하고, 양상 연산자는 개핵 작용소와 폐포 작용소로 해석된다. 대수적 의미론에서는 원자 명제들을 위상 부울 대수의 원소로 해석한다.

3. 1. 크립키 의미론

• $v(w,\; P)$ 이면 $w\; \backslash models\; P$ 이다
• $w\; \backslash models\; \backslash neg\; P$ iff $w\; \backslash not\; \backslash models\; P$
• $w\; \backslash models\; (P\; \backslash wedge\; Q)$ iff $w\; \backslash models\; P$ and $w\; \backslash models\; Q$
• $w\; \backslash models\; \backslash Box\; P$ iff ''G''의 모든 원소 ''u''에 대하여 ''w R u'' 이면 $u\; \backslash models\; P$ 일 때
• $w\; \backslash models\; \backslash Diamond\; P$ iff ''G'' 일부 원소 ''u''에 대하여 ''w R u''이며 $u\; \backslash models\; P$ 일 때
• $\backslash models\; P$ iff $w*\; \backslash models\; P$

• '''반사적''': G에 속하는 모든 w에 대하여 wRw이다.
• '''대칭적''': G에 속하는 모든 w, u에 대하여 wRu 이면 uRw이다.
• '''추이적''': G에 속하는 모든 w,u,q에 대하여 wRu 이고 uRq 이면 wRq이다.
• '''연속적''': G에 속하는 각 w에 대하여 wRu 인 (G에 속하는) 어떤 u가 존재한다.
• '''유클리드적''': 모든 u,t,w에 대하여 wRu 이고 wRt 이면 uRt이다. 유클리드의 원론의 공리 1에 대응되기에 이러한 이름이 붙었으며, 대칭성과 추이성으로부터 도출될 수 있다.

• '''K''' := 조건 없음
• '''D''' := 연속적
• '''T''' := 반사적
• '''B''' := 반사적, 대칭적
• '''S4''' := 반사적, 추이적
• '''S5''' := 반사적, 유클리드적

S4의 공리들은 내부와 폐포의 성질로 해석할 수 있다.

관계 의미론은 양상 논리의 표준 의미론이며, 공식의 진리 값은 가능 세계를 기준으로 결정된다. 양상 연산자를 포함하는 공식의 경우, 그 진리 값은 접근 가능한 세계에서 참인 것에 따라 달라질 수 있다. 관계 의미론은 모형 $\backslash mathfrak\{M\}\; =\; \backslash langle\; W,\; R,\; V\; \backslash rangle$을 사용하여 양상 논리의 공식을 해석한다.^[5] 여기서,

1. $W$는 가능 세계의 집합이다.

2. $R$은 $W$에 대한 이항 관계이다.

3. $V$는 원자 공식과 세계의 각 쌍에 진리 값을 할당하는 평가 함수이다(즉, $V:\; W\; \backslash times\; F\; \backslash to\; \backslash \{\; 0,1\; \backslash \}$, 여기서 $F$는 원자 공식의 집합이다).

$W$는 전체 집합이라고도 불린다. 이항 관계 $R$은 접근 관계라고 불리며, 어떤 세계가 서로를 "볼" 수 있는지 제어한다. 예를 들어, $w\; R\; u$는 세계 $u$가 세계 $w$에서 접근 가능하다는 것을 의미한다. 즉, $u$로 알려진 사태는 $w$에 대한 현실적인 가능성이다. 함수 $V$는 평가 함수라고 알려져 있으며, 어떤 원자 공식이 어떤 세계에서 참인지 결정한다.

모형 $\backslash mathfrak\{M\}$에서 세계 $w$에서 공식의 진리 값은 다음과 같이 재귀적으로 정의된다.

• $\backslash mathfrak\{M\},\; w\; \backslash models\; P$ iff $V(w,\; P)=1$
• $\backslash mathfrak\{M\},\; w\; \backslash models\; \backslash neg\; P$ iff $w\; \backslash not\; \backslash models\; P$
• $\backslash mathfrak\{M\},\; w\; \backslash models\; (P\; \backslash wedge\; Q)$ iff $w\; \backslash models\; P$ and $w\; \backslash models\; Q$
• $\backslash mathfrak\{M\},\; w\; \backslash models\; \backslash Box\; P$ iff $W$의 모든 원소 $u$에 대해, 만약 $w\; R\; u$이면 $u\; \backslash models\; P$
• $\backslash mathfrak\{M\},\; w\; \backslash models\; \backslash Diamond\; P$ iff $W$의 어떤 원소 $u$에 대해, $w\; R\; u$이고 $u\; \backslash models\; P$가 성립한다

3. 1. 1. 프레임과 완전성

• '''반사적''': 모든 ''w'' in ''G''에 대해 ''w R w''
• '''대칭적''': 모든 ''w''와 ''u'' in ''G''에 대해 ''w R u''이면 ''u R w''
• '''추이적''': 모든 ''w'', ''u'', ''q'' in ''G''에 대해 ''w R u''와 ''u R q''이면 ''w R q''
• '''직렬적''': 모든 ''w'' in ''G''에 대해 ''w R u''가 성립하는 ''u'' in ''G''가 존재
• '''유클리드적''': 모든 ''u'', ''t'', ''w''에 대해, ''w R u''와 ''w R t''이면 ''u R t'' (대칭성에 의해, 이것은 또한 ''t R u''와 ''t R t'' 및 ''u R u''를 함축)

• ''K'' := 조건 없음
• ''D'' := 직렬
• ''T'' := 반사적
• ''B'' := 반사적 및 대칭적
• ''S4'' := 반사적 및 추이적
• ''S5'' := 반사적 및 유클리드적

3. 2. 위상 의미론

이 경우, S4의 공리들은 내부와 폐포의 성질로 해석할 수 있다.

양상 논리는 위상 구조를 사용하여 해석될 수도 있다. 예를 들어, ''내부 의미론''은 양상 논리의 공식을 다음과 같이 해석한다.

''위상 모델''은 튜플 $\backslash Chi\; =\; \backslash langle\; X,\; \backslash tau,\; V\; \backslash rangle$이며, 여기서 $\backslash langle\; X,\; \backslash tau\; \backslash rangle$는 위상 공간이고 $V$는 각 원자 공식에 $X$의 부분 집합을 매핑하는 평가 함수이다. 기본적인 내부 의미론은 양상 논리의 공식을 다음과 같이 해석한다.

• $\backslash Chi,\; x\; \backslash models\; P$ iff $x\; \backslash in\; V(P)$
• $\backslash Chi,\; x\; \backslash models\; \backslash neg\; \backslash phi$ iff $\backslash Chi,\; x\; \backslash not\backslash models\; \backslash phi$
• $\backslash Chi,\; x\; \backslash models\; \backslash phi\; \backslash land\; \backslash chi$ iff $\backslash Chi,\; x\; \backslash models\; \backslash phi$ and $\backslash Chi,\; x\; \backslash models\; \backslash chi$
• $\backslash Chi,\; x\; \backslash models\; \backslash Box\; \backslash phi$ iff for some $U\; \backslash in\; \backslash tau$ we have both that $x\; \backslash in\; U$ and also that $\backslash Chi,\; y\; \backslash models\; \backslash phi$ for all $y\; \backslash in\; U$

4. 철학에서의 양상 논리

고전적 양상 논리에서 명제는 다음과 같이 정의된다.

• '''가능적'''인 것은 ''반드시 거짓은 아닌'' 경우이다(실제로 참인지 거짓인지와 관계없이).
• '''필연적'''인 것은 ''가능적으로 거짓이 아닌'' 경우이다(즉, 참이고 필연적으로 참인 경우).
• '''우연적'''인 것은 ''필연적으로 거짓이 아니고'' ''필연적으로 참이지도 않은'' 경우이다(즉, 가능하지만 필연적으로 참은 아님).
• '''불가능적'''인 것은 ''가능적으로 참이 아닌'' 경우이다(즉, 거짓이고 필연적으로 거짓인 경우).

• "누군가 또는 무언가가 불을 켰다"는 것은 ''필연적''이다.
• "프리드리히가 불을 켰다", "프리드리히의 룸메이트 맥스가 불을 켰다", "아돌프라는 강도가 프리드리히의 집에 침입해서 불을 켰다"는 것은 ''우연적''이다.
• 위의 모든 진술은 ''가능적''이다.
• 소크라테스(2천 년 이상 전에 사망)가 불을 켰다는 것은 ''불가능''하다.

4. 1. 진리 양상 논리

• '''가능적'''인 것은 ''반드시 거짓은 아닌'' 경우이다(실제로 참인지 거짓인지와 관계없이).
• '''필연적'''인 것은 ''가능적으로 거짓이 아닌'' 경우이다(즉, 참이고 필연적으로 참인 경우).
• '''우연적'''인 것은 ''필연적으로 거짓이 아니고'' ''필연적으로 참이지도 않은'' 경우이다(즉, 가능하지만 필연적으로 참은 아님).
• '''불가능적'''인 것은 ''가능적으로 참이 아닌'' 경우이다(즉, 거짓이고 필연적으로 거짓인 경우).

• "누군가 또는 무언가가 불을 켰다"는 것은 ''필연적''이다.
• "프리드리히가 불을 켰다", "프리드리히의 룸메이트 맥스가 불을 켰다", "아돌프라는 강도가 프리드리히의 집에 침입해서 불을 켰다"는 것은 ''우연적''이다.
• 위의 모든 진술은 ''가능적''이다.
• 소크라테스(2천 년 이상 전에 사망)가 불을 켰다는 것은 ''불가능''하다.

4. 2. 인식 논리

• '''K''', ''분배 공리'': $\backslash Box\; (p\; \backslash to\; q)\; \backslash to\; (\backslash Box\; p\; \backslash to\; \backslash Box\; q)$.^[14]

4. 3. 시간 논리

5. 형이상학적 문제

철학자들은 대상이 과학적 법칙에 의해 규정되지 않은 속성을 갖는지에 대해 논쟁한다. 솔 크립키는 모든 사람은 필연적으로 그들이 가진 부모를 가진다고 주장했다. 다른 부모를 가진 사람은 동일한 사람이 아닐 것이다.^[10]

양상 논리에서 "논리적으로 가능한 세계"를 고려한다. 어떤 진술이 모든 가능 세계에서 참이라면, 그것은 필연적 진리이다. 만약 어떤 진술이 우리의 세계에서 참이지만, 모든 가능 세계에서 참이 아니라면, 그것은 우연적 진리이다. 어떤 가능 세계(반드시 우리 자신의 세계가 아님)에서 참인 진술은 가능한 진리라고 불린다.

이 "가능 세계 표현"에 따르면, 빅풋의 존재가 가능하지만 실제는 아니라고 주장하려면, "빅풋이 존재하는 어떤 가능 세계가 있다; 그러나 실제 세계에서는 빅풋이 존재하지 않는다"라고 말한다. 그러나 이 주장이 우리에게 무엇을 요구하는지는 불분명하다. 우리는 정말로 우리의 실제 세계만큼이나 현실적인 가능 세계의 존재를 주장하는가, 단지 실제가 아닐 뿐인가? 솔 크립키는 '가능 세계'가 일종의 오해라고 생각한다. 즉, '가능 세계'라는 용어는 가능성의 개념을 시각화하는 유용한 방법일 뿐이다.^[17] 그에게 있어서 "당신은 6 대신 4를 굴릴 수 있었다"라는 문장과 "당신이 4를 굴린 가능 세계가 있지만, 실제 세계에서는 6을 굴렸다"라는 문장은 크게 다르지 않은 진술이며, 어느 쪽도 우리에게 가능 세계의 존재를 요구하지 않는다.^[18] 반면에, 데이비드 루이스는 모든 단순한 가능 세계가 우리 세계만큼이나 현실적이며, 우리 세계를 '실제'로 구별하는 것은 단순히 그것이 우리 세계라는 점, 즉 '이' 세계라는 점을 주장하여 스스로 악명이 높아졌다.^[19] 그 입장은 "양상적 실재론"의 주요 원칙이다.

6. 역사

아리스토텔레스는 그의 저서 『전(前) 분석론』에서 양상 삼단논법을 개발했으며, 테오프라스토스가 이를 개선하려 시도했다.^[24] 헬레니즘 시대에, 논리학자 크로노스의 디오도루스, 변증법가 필론, 스토아 학파의 크리시포스는 각각 가능성과 필연성의 상호 정의 가능성을 설명하고, 공리 '''T'''(아래 참조)를 수용하며, 주 논변을 해결하기 위해 양상 논리와 시간 논리의 요소를 결합한 양상 체계를 개발했다.^[25] 가장 초기의 형식 양상 논리 체계는 아비세나에 의해 개발되었으며, 그는 궁극적으로 "시간적 양상" 삼단논법 이론을 개발했다.^[26] 오컴의 윌리엄과 던스 스코투스와 같은 스콜라 철학자들은 주로 본질과 부수적 성질에 대한 명제를 분석하기 위해 비형식적으로 양상적 방식으로 추론했다.

C. I. 루이스는 1912년 "함축과 논리의 대수"를 시작으로 일련의 학술 논문을 통해 현대 양상 논리를 창시했다.^[28][29] 루이스는 고전 논리가 물질적 함축의 역설과 같은 진공 진리 원칙을 허용한다는 근거에 따라 양상 논리, 특히 엄격한 함축을 발명하게 되었다.^[30] 이 연구는 1932년 그의 저서 『기호 논리학』(C. H. 랭포드 공저)으로 절정에 달했으며, 여기에서 다섯 개의 체계 ''S1''에서 ''S5''까지가 소개되었다.

루스 C. 바칸(후일 루스 바칸 마르쿠스)은 양화된 양상 논리의 최초의 공리적 체계를 개발했다. - 루이스의 ''S2'', ''S4'', ''S5''의 일차 및 이차 확장.^[34][35][36]

솔 크립키는 1959년에 현재 표준으로 사용되는 양상 논리에 대한 크립키 의미론(가능 세계 의미론)을 도입했다.^[37]

A. N. 프라이어는 1957년에 양상 논리와 밀접하게 관련된 현대 시간 논리를 만들었다. 보언 프랫은 1976년에 동적 논리를 도입했다. 1977년, 아미르 프누엘리는 지속적으로 작동하는 병행 프로그래밍의 동작을 형식화하기 위해 시간 논리를 사용할 것을 제안했다.

7. 추가 응용

양상 논리는 문학, 시, 예술, 역사와 같은 인문학 분야에서 사용되기 시작했다.^[21][22] 종교철학에서는 양상 논리가 신의 존재에 대한 논증에 일반적으로 사용된다.^[23]

참조

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_[2] 서적 Modal Logic for Open Minds https://pdfs.semanti[...] CSLI 2010
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_[4] 논문 Dynamic Epistemic Logics of Diffusion and Prediction in Social Networks. 2019
_[5] 서적 First-Order Modal Logic https://books.google[...] Kluwer Academic Publishers 1998
_[6] 뉴스 Press release: Superheavy Element 114 Confirmed: A Stepping Stone to the Island of Stability http://newscenter.lb[...] Lawrence Berkeley National Laboratory 2009-09-24
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