위너 공간

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 푸리에 변환을 통한 정의
- 2.2. 구체적 정의
3. 성질
4. 예
5. 역사
6. 한국의 관점
참조

1. 개요

위너 공간은 추상적 정의와 구체적 정의가 동치로 정의되며, 푸리에 변환과 힐베르트 공간을 통해 정의될 수 있다. 위너 공간은 가우스 측도를 구축하는 방법 중 하나이며, 무한 차원 바나흐 공간의 모든 가우스 측도는 위너 공간을 통해 나타낼 수 있다. 위너 공간은 페일리-위너 적분, 캐머런-마틴 정리와 같은 성질을 가지며, 고전 위너 공간, 브라운 다리 등 다양한 예시가 존재한다. 노버트 위너가 최초로 구성했으며, 레너드 그로스가 추상적 위너 공간의 개념을 도입했다.

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위너 공간

2. 정의

위너 공간의 개념은 두 가지 방식으로 정의될 수 있다. 첫 번째는 위너 공간에 정의된 측도의 푸리에 변환이 특정 가우스 함수 형태를 가진다는 조건을 통해 추상적으로 정의하는 방식이다. 두 번째 방식은 적절한 힐베르트 공간으로부터 위너 공간을 구체적으로 구성하는 것이다. 이 두 가지 정의 방식은 서로 동치이다.^[1]

하위 섹션에서는 이 두 가지 정의 방식을 각각 자세히 다룬다.

2. 1. 푸리에 변환을 통한 정의

다음과 같은 요소들이 주어졌다고 가정하자.

분해 가능한 실수 바나흐 공간 $E$
$E$ 의 보렐 시그마 대수 위에 정의된 확률 측도 $\mu$
분해 가능한 실수 힐베르트 공간 $(H,\langle|\rangle)$ (여기서 $\langle|\rangle$ 는 내적을 나타낸다)
단사적이면서 연속인 실수 선형 변환 $\iota\colon H\hookrightarrow E$ . 이 변환은 등거리 변환일 필요는 없지만, 그 상(image)은 $E$ 안에서 조밀 집합이어야 한다.

이때,

H

는

E

의 부분 공간으로 볼 수 있으므로(

H\subseteq E

), 각 공간의 연속 쌍대 공간

E^*

와

H^*

사이에는 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

:

E^* \subseteq H^* = H

여기서

H^* = H

는 리즈 표현 정리에 따른 것이며,

E^*

는

H

안에서 조밀 집합을 이룬다.

만약 확률 측도

\mu

의 푸리에 변환이 모든

\lambda\in E^*\subseteq H

에 대해 다음과 같은 형태를 가진다면, 순서쌍

(E,\mu,H)

를 '''위너 공간'''이라고 정의한다.

:

\int_E \exp(\mathrm i\langle \lambda|x\rangle)\,\mathrm d\mu(x) = \exp\left(- \frac{\langle \lambda|\lambda\rangle_H}2 \right)

여기서 좌변은 측도

\mu

의 푸리에 변환(또는 특성 함수)을 나타내고, 우변은

H

에서의 내적

\langle \lambda|\lambda\rangle_H

를 이용한 가우스 함수 형태이다. 즉, 위너 공간은 그 확률 측도의 푸리에 변환이 특정 형태의 가우스 함수로 주어지는 공간이다.

이러한 추상적인 위너 공간 구성은 단순히 가우스 측도를 만드는 한 가지 방법이 아니다. 오히려 무한 차원 바나흐 공간 위의 모든 가우스 측도는 이러한 방식으로 나타난다는 것이 알려져 있다(가우스 측도 구조 정리). 구체적으로, 무한 차원의 분해 가능한 바나흐 공간

B

위에 가우스 측도

\mu

가 주어지면, 케머런-마틴 정리에 따라 케머런-마틴 부분 공간이라고 불리는 특별한 힐베르트 공간

H\subset B

를 찾을 수 있다. 이 경우, 쌍

(H,B)

는 추상적인 위너 공간을 이루며, 주어진 측도

\mu

는 이 위너 공간과 관련된 가우스 측도가 된다.

2. 2. 구체적 정의

위너 공간의 개념은 힐베르트 공간으로부터 더 구체적으로 정의될 수 있다.

먼저 분해 가능한 실수 힐베르트 공간

H

를 생각하자.

H

위의 기둥 집합들의 모임

\operatorname{Cyl}(H)

위에 다음과 같은 유한 가법 함수

\nu

를 정의한다.

:

\nu\colon\operatorname{Cyl}(H) \to [0,1]

:

\nu\colon P^{-1}(S) \mapsto (2\pi)^{-n/2}\int_S \exp(-x^2/2)\,\mathrm d^nx\qquad (P\colon H\to\mathbb R^n,\;S\in\operatorname{Borel}(\mathbb R^n))

여기서

P

는

H

에서

n

차원 유클리드 공간

\mathbb R^n

으로 가는 사영(projection)이고,

S

는

\mathbb R^n

의 보렐 집합이다. 이 정의에 따르면

\nu(H) = 1

이고

\nu(\varnothing) = 0

이다. 그러나

\nu

는 가산 무한 가법성을 만족하지 않기 때문에 수학적 의미의 측도는 아니다. 즉,

\nu

는

H

의 보렐 시그마 대수

\operatorname{Borel}(H) = \sigma(\operatorname{Cyl}(H))

위의 (가산 가법) 측도로 확장될 수 없다. 이러한

\nu

를

H

위의 '''기둥 집합 측도'''(cylinder-set measure^영어)라고 부른다.

이제

H

위에 주어진 노름

\|-\|

(이는

H

의 원래 내적으로부터 유도된 노름과 다를 수 있다)을 생각하자. 만약 다음 조건을 만족하는 유한 차원 부분 공간들의 증가하는 열

:

V_1 \subseteq V_2 \subseteq \dotsb \subseteq H

이 존재한다면, 이 노름

\|-\|

을 '''가측 노름'''(measurable norm^영어)이라고 한다:

:임의의 유한 차원 부분 공간

W \subseteq H

에 대하여, 만약

W

가

V_n

과 직교한다면(

W\perp V_n

),

\nu(\{x\in H\colon \|\operatorname{proj}_Wx\|> 2^{-n}\})<2^{-n}

이다. 여기서

\operatorname{proj}_W

는

W

로의 직교 사영이다.

H

를 어떤 가측 노름

\|-\|

에 대해 완비화하여 얻은 바나흐 공간을

E

라고 하자. 즉,

H

는

E

의 조밀 부분 집합이다 (

H\subseteq E

).

E

의 쌍대 공간

E^*

는

H

의 쌍대 공간

H^*

(이는

H

자신과 동일시됨)의 부분 공간으로 볼 수 있으므로 (

E^* \subseteq H^* \cong H

),

E

의 기둥 집합을

H

와 교차시키면

H

의 기둥 집합이 된다:

:

\{H\cap C\colon C\in\operatorname{Cyl}(E) \} \subseteq \operatorname{Cyl}(H)

이제

E

의 기둥 집합들의 모임

\operatorname{Cyl}(E)

위에 다음과 같이 함수

\mu

를 정의할 수 있다.

:

\mu \colon \operatorname{Cyl}(E) \to [0,1]

:

\mu(C) := \nu(H\cap C) \qquad\forall C\in\operatorname{Cyl}(E)

달리 표현하면, 임의의 유한 차원 사상

\phi\colon E\to\mathbb R^n

과

\mathbb R^n

의 보렐 집합

S

에 대해 정의된 기둥 집합

C = \phi^{-1}(S)

에 대하여,

:

\mu(\phi^{-1}(S)) = \nu(H\cap \phi^{-1}(S))

로 정의한다.

중요한 점은, 이렇게 정의된

\mu

는

H

위의 기둥 집합 측도

\nu

와 달리,

\operatorname{Cyl}(E)

로 생성되는 시그마 대수

\sigma(\operatorname{Cyl}(E))

(이는

E

의 보렐 시그마 대수

\operatorname{Borel}(E)

와 같다) 위에서 가산 가법성을 만족하는 측도로 유일하게 확장될 수 있다는 것이다. 즉,

\mu

는 가측 공간

(E,\operatorname{Borel}(E))

위의 확률 측도가 된다.

이렇게 구성된 삼조

(E, H, \mu)

를 '''위너 공간'''이라고 부른다. 여기서

E

는 바나흐 공간,

H

는 원래의 힐베르트 공간(이제

E

의 부분 공간으로 간주됨),

\mu

는

E

위의 가우시안 확률 측도이다.

H

자체는

\mu

에 대해 측도 0인 집합이 된다. 즉, 측도는 더 큰 공간

E

위에 존재한다. 이 구성은 레너드 그로스(Leonard Gross)가 체계화했다.^[2] 힐베르트 공간

H

는 이 위너 공간의 캐머런-마틴 공간이라고 불린다.

3. 성질

위너 공간 $(E,\mu,H)$ 에서, 임의의 유계 범함수 $\phi\in E^*$ 에 대해, 실수 $\mathbb R$ 위의 측도 $\phi_*\mu$ 의 분포 함수는 평균이 0인 정규 분포에 비례한다. 즉, 다음과 같은 형태를 가진다.

: $\mu(\phi^{-1}(S)) = \int_SC\exp(-x^2/2\sigma^2)\,\mathrm dx\,\qquad(C\ge0,\;\sigma^2 > 0)$

만약 $\phi \ne 0$ 라면, $C>0$ 이다.

위너 공간의 측도를 구성하는 과정은 무한 차원 힐베르트 공간 $H$ 에서 시작된다. $H$ 의 '''원통 집합'''은 유한 개의 연속 선형 범함수 $\phi_1,\ldots,\phi_n$ 와 $\R^n$ 의 보렐 집합 $E$ 를 이용하여 $C = \{v\in H \mid (\phi_1(v),\ldots,\phi_n(v)) \in E \}$ 와 같이 정의된다. 이 원통 집합들 위에는 리즈 표현 정리와 그램-슈미트 절차를 이용하여 자연스럽게 "가우스 원통 집합 측도" $\mu$ 를 정의할 수 있다.

: $\mu(C)=(2\pi)^{-n/2}\int_{E \subset \R^n}e^{-\Vert x\Vert^2/2}\,dx$

여기서 $dx$ 는 $\R^n$ 에 대한 표준 르베그 측도이다. 그러나 $H$ 가 무한 차원일 경우, 이 원통 집합 측도 $\mu$ 는 원통 집합들로 생성된 σ-대수 위에서 가산 가법 측도로 확장될 수 없다. 이는 $\R^n$ 상의 표준 가우스 측도에서 벡터의 제곱 노름 기댓값이 $n$ 이 되어, $n \to \infty$ 일 때 발산하기 때문이다. 즉, 무한 차원 힐베르트 공간 $H$ 자체에는 잘 정의된 "표준 가우스 측도"가 존재하기 어렵다.

이 문제를 해결하기 위해 추상 위너 공간 개념이 도입되었다. 아이디어는 $H$ 를 조밀하게 포함하는 더 큰 바나흐 공간 $B$ (분리 가능하고, $i: H \to B$ 가 단사 연속 선형 사상이며 이미지가 조밀)를 고려하는 것이다. $H$ 에서의 원통 집합 측도를 이용하여 $B$ 위의 원통 집합 측도를 정의한다. 만약 $B$ 가 $H$ 에 비해 "충분히 크다면", $B$ 위의 원통 집합 측도는 $B$ 의 보렐 σ-대수 위에서 가산 가법 측도로 유일하게 확장될 수 있다. Gross는 이러한 $B$ 가 존재하기 위한 필요충분조건을 제시했다.^[2] 이렇게 얻어진 $B$ 위의 측도를 '''가우스 측도'''라 하며, 부분 공간 $H \subset B$ 를 캐머런-마틴 공간이라고 부른다. 중요한 점은, 가우스 측도는 $H$ 가 아닌 더 큰 공간 $B$ 위에서만 잘 정의되며, $H$ 자체는 $B$ 안에서 측도 0 집합을 이룬다는 것이다.

역으로, 무한 차원 분리 가능 바나흐 공간 위의 모든 가우스 측도는 이러한 추상 위너 공간 구성을 통해 얻어진다(가우스 측도 구조 정리). 즉, 가우스 측도 $\mu$ 가 주어지면 항상 그에 맞는 캐머런-마틴 공간 $H\subset B$ 를 찾을 수 있어 $(H,B)$ 가 추상 위너 공간을 이루고 $\mu$ 가 연관된 가우스 측도가 된다.

추상 위너 공간의 대표적인 예는 고전적 위너 공간이다. 이는 시간 $[0, T]$ 동안 $\mathbb R^n$ 안에서 움직이는 연속 경로들의 공간으로 구성된다. 여기서 캐머런-마틴 공간 $H$ 는 제곱 적분 가능한 도함수를 가지는 절대 연속 경로들의 공간 $L_{0}^{2, 1} ([0, T]; \mathbb{R}^{n})$ 이고, 바나흐 공간 $B$ 는 균등 노름을 갖춘 연속 경로들의 공간 $C_0([0, T]; \mathbb{R}^n)$ 이다. 이 경우 가우스 측도 $\mu$ 는 위너 측도이며, 이는 $\mathbb R^n$ 에서의 브라운 운동을 기술한다. $H$ 가 $B$ 에서 측도 0이라는 사실은, 전형적인 브라운 운동 경로는 어디에서도 미분 가능하지 않아 $H$ 에 속하지 않는다는 성질과 일맥상통한다.

위너 공간과 그 위의 가우스 측도는 여러 중요한 성질을 가지며, 이는 아래 하위 섹션들에서 더 자세히 다루어진다.

3. 1. 페일리-위너 적분

위너 공간

(E,\mu,H)

가 주어졌다고 하자. 임의의 유계 범함수

\phi\in E^*

에 대하여,

\mathbb R

위의 측도

\phi_*\mu

의 분포 함수는 평균이 0인

\mathbb R

위의 정규 분포에 비례한다. 즉, 다음과 같은 형태를 가진다.

:

\mu(\phi^{-1}(S)) = \int_SC\exp(-x^2/2\sigma^2),\mathrm dx\,\qquad(C\ge0,\;\sigma^2 > 0)

여기서 만약

\phi \ne 0

라면,

C>0

이다.

위너 공간

(E,\mu,H)

에서는 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

:

E^* \subseteq H\subseteq E

또한,

E^*

는 L² 공간

\operatorname L^2(E,\mu;\mathbb R)

의 부분집합이기도 하다.

:

E^* \subseteq \operatorname L^2(E,\mu;\mathbb R)

이때,

E^*

의 원소

\phi

에 대해 다음 등식이 성립한다.

:

\|\phi\|_{\operatorname L^2(E,\mu;\mathbb R)} = \sqrt{\langle \phi|\phi\rangle_H}

이는

E^*

에서

\operatorname L^2(E,\mu;\mathbb R)

로 가는 등거리 변환인 선형 변환이 존재함을 의미한다.

E^*

는

H

의 조밀 집합이므로, 이 등거리 선형 변환을

H

전체로 확장할 수 있다. 이렇게 확장된 등거리 변환이자 단사 선형 변환

:

I\colon H \to \operatorname L^2(E,\mu;\mathbb R)

를 페일리-위너 사상(Paley–Wiener map^영어)이라고 부른다. 이 사상을 이용하여, 임의의

h\in H

및

x\in E

에 대하여 실수 값

I_h(x) \in \mathbb R

를 정의할 수 있는데, 이를 페일리-위너 적분(Paley–Wiener integral^영어)이라고 한다. 이는 위너 공간과 L² 공간 사이의 중요한 연결고리를 제공하며, 확률 적분 이론의 기초가 된다.

3. 2. 캐머런-마틴 정리

위너 공간

(E,\mu,H)

와 힐베르트 공간

H

의 원소

h\in H

에 대하여, 평행 이동 변환

(+h) \colon E \to E

를

x \mapsto x+h

로 정의할 수 있다. 이 변환을 이용해

E

위의 새로운 보렐 집합 확률 측도

\mu_h = (+h)_*\mu

를 정의할 수 있다.

'''캐머런-마틴 정리'''(Cameron–Martin theorem^영어)는 원래 측도

\mu

에 대한 변환된 측도

\mu_h

의 라돈-니코딤 도함수를 구체적으로 제시하는 정리이다. 그 도함수는 다음과 같이 표현된다.^[2]

:

\frac{\mathrm d\mu_h}{\mathrm d\mu}(x) = \exp\left(I_h(x) - \frac12 \langle h|h\rangle_H\right)

여기서

I_h(x)

는 페일리-위너 적분이며,

\langle \cdot|\cdot \rangle_H

는 힐베르트 공간

H

의 내적을 나타낸다. 이 힐베르트 공간

H

를 캐머런-마틴 공간이라고도 부른다.

즉, 캐머런-마틴 정리는 가우스 측도

\mu

가 캐머런-마틴 공간

H

의 원소

h

에 의한 평행 이동에 따라 어떻게 변환되는지를 설명한다. 이 정리는 확률 미분 방정식의 해의 존재성과 유일성을 증명하는 등 확률 해석학의 여러 분야에서 중요한 도구로 사용된다.

3. 3. 기타 성질

위너 공간 위의 측도

\mu

는 다음과 같은 주요 성질들을 가진다.

가우스 측도: $\mu$ 는 가우스 측도이다. 이는 바나흐 공간 $B$ 위의 어떤 0이 아닌 쌍대공간 $B^*$ 의 원소인 선형 범함수 $f$ ( $f \neq 0$ )에 대해, $f$ 를 통해 변환된 측도 $f_*(\mu)$ 가 실수 집합 $\mathbb{R}$ 위의 가우스 측도가 된다는 것을 의미한다.
보렐 측도: $\mu$ 는 보렐 측도이다. 즉, 공간 $B$ 의 열린 집합들에 의해 생성되는 보렐 시그마 대수 위에서 정의된다.
양수성 및 국소 유한성: $\mu$ 는 엄격하게 양수이며(즉, 공집합이 아닌 열린 집합의 측도는 0보다 크다) 국소 유한하다(즉, 모든 점은 측도가 유한한 근방을 가진다).
평행 이동: 측도 $\mu$ 가 캐머런-마틴 공간 $H$ 의 원소 $h \in H$ 에 의한 평행 이동 $b \mapsto b+h$ 에 따라 어떻게 변하는지는 캐머런-마틴 정리에 의해 구체적으로 기술된다.^[1]
곱 공간: 두 개의 추상 위너 공간 $i_1: H_1 \to B_1$ 과 $i_2: H_2 \to B_2$ 가 주어졌을 때 (각각의 가우스 측도를 $\mu_1$ , $\mu_2$ 라 하자), 이들의 데카르트 곱 공간 $B_1 \times B_2$ 위에도 자연스러운 위너 공간 구조가 존재하며, 이에 대응하는 가우스 측도 $\mu_{12}$ 는 각 공간 위의 측도의 곱측도가 된다. 즉, $\mu_{12} = \mu_1 \otimes \mu_2$ 이다. 더 일반적으로, 두 위너 공간 $(E,\mu,H)$ , $(E',\mu',H')$ 가 주어졌을 때, $(E\oplus E',H\oplus H')$ 위에는 곱측도 성질 $\mu(S\times S') = \mu_E(S) \mu_{E'}(S')$ (모든 보렐 집합 $S \subset E, S' \subset E'$ 에 대해)을 만족하는 위너 공간 구조가 존재한다.
측도 0 부분 공간: 만약 캐머런-마틴 공간 $H$ 가 무한 차원이라면, $B$ 안에서 $H$ 의 상(image)은 $\mu$ -측도 0 집합이다. 이는 콜모고로프 영-일 법칙의 한 결과로, 가우스 측도 $\mu$ 가 실제로 $H$ 자체가 아닌 더 큰 공간 $B$ 위에 존재한다는 것을 보여준다.

4. 예

만약 $H$ 가 유클리드 공간(즉, 유한 차원 힐베르트 공간)이고 $H= E$ 라고 가정하면, $H$ 위의 위너 공간 구조는 단순히 평균이 0인 정규 분포와 동일한 개념이 된다.

무한 차원의 분리 가능한 실수 힐베르트 공간 $H$ 를 생각해 보자. $H$ 의 '''원통 집합'''(cylinder set^eng)은 $H$ 에 대한 유한 개의 연속 선형 범함수 $\phi_1,\ldots,\phi_n$ 와 $\R^n$ 의 보렐 집합 $E$ 를 이용하여 다음과 같이 정의되는 집합 $C$ 이다.

$C = \left\{v\in H \mid (\phi_1(v),\ldots,\phi_n(v)) \in E \right\}.$

이러한 원통 집합들의 모임은 $H$ 에서 집합의 대수(algebra of sets^eng)를 형성하지만, $\sigma$ -대수는 아니다.

원통 집합 $C$ 에 대해 가우스 측도를 자연스럽게 정의할 수 있다. 리즈 표현 정리에 따라 각 선형 범함수 $\phi_i$ 는 $H$ 의 어떤 벡터 $v_i$ 와의 내적으로 표현된다. 그램-슈미트를 이용하면 $v_1, \ldots, v_n$ 이 정규 직교한다고 가정할 수 있다. 이때, 원통 집합 $C$ 의 측도 $\mu(C)$ 는 $\mathbb R^n$ 에서의 표준 가우시안 측도를 이용하여 다음과 같이 정의된다.

$\mu(C)=(2\pi)^{-n/2}\int_{E \subset \R^n}e^{-\Vert x\Vert^2/2}\,dx,$

여기서 $dx$ 는 $\R^n$ 에서의 표준 르베그 측도이다. 이 측도 $\mu$ 는 $C$ 를 어떻게 표현하든 동일한 값을 가지므로 잘 정의된다.

이러한 구성 방법은 단순히 가우스 측도를 만드는 한 가지 예시가 아니다. 무한 차원 바나흐 공간 위의 ''모든'' 가우스 측도는 이러한 방식으로 나타난다 (가우스 측도 구조 정리 참조). 즉, 무한 차원의 분리 가능한 바나흐 공간 $B$ 위에 가우스 측도 $\mu$ 가 주어지면, 항상 케머런-마틴 공간이라고 불리는 힐베르트 공간 $H\subset B$ 를 찾을 수 있다. 이 쌍 $(H,B)$ 는 추상 위너 공간을 이루며, $\mu$ 는 이 공간에 대응하는 가우스 측도가 된다. 구체적인 위너 공간의 예시로는 고전 위너 공간, 브라운 다리 등이 있다.

4. 1. 고전 위너 공간

다음과 같은 바나흐 공간을 생각하자. 이는 시간 간격

[0,T]

동안

\mathbb R^n

공간에서 움직이는 경로 중, 시간

t=0

에서 원점

f(0)=0

을 출발하는 연속 함수들의 모임이다.

:

\mathcal C^0_0([0,T],\mathbb R^n) = \{f\in\mathcal C^0([0,T],\mathbb R^n)\colon f(0) = 0\}

이 공간의 노름 (크기)은 경로가 원점에서 가장 멀리 벗어난 거리로 정의된다.

:

\|f\|_{\mathcal C^0_0([0,T],\mathbb R^n)} = \max_{t\in[0,T]} \|f(t)\|_{\mathbb R^n}

이 연속 경로 공간

\mathcal C^0_0([0,T],\mathbb R^n)

안에는 더 특별한 성질을 가진 경로들의 부분 공간을 정의할 수 있다. 이 경로들은 거의 어디서나 시간에 대해 미분 가능하며, 그 도함수(속도)의 제곱을 시간

[0,T]

에 대해 적분한 값이 유한하다. 이러한 경로를 유한 에너지 경로(finite-energy path^영어)라고 부르며, 이들의 공간은 소볼레프 공간

\operatorname W^{1,2}

의 일부이다.

:

\operatorname W_0^{1,2}\left([0,T],\mathbb R^n\right) = \operatorname W^{1,2}([0,T],\mathbb R^n) \cap \mathcal C^0_0([0,T],\mathbb R^n) = \{f\in\mathcal C^0_0([0,T],\mathbb R^n) ,\; \mathrm df/\mathrm dt \in \operatorname L^2([0,T],\mathbb R^n) \}

여기서

\mathrm df/\mathrm dt

는 경로

f

의 시간 도함수(속도)를 나타내며,

\operatorname L^2([0,T],\mathbb R^n)

는 제곱해서 적분 가능한 함수들의 르베그 공간이다. 도함수의 L² 노름의 제곱, 즉

\int_0^T \|\dot f(t)\|_{\mathbb R^n}^2\,\mathrm dt

는 경로의 에너지라고 불린다.

이 유한 에너지 경로 공간

\operatorname W_0^{1,2}\left([0,T],\mathbb R^n\right)

는 원래의 연속 경로 공간

\mathcal C^0_0([0,T],\mathbb R^n)

안에서 조밀 집합이며, 다음과 같은 내적을 통해 힐베르트 공간 구조를 갖는다.

:

\langle f,g\rangle_{\operatorname W_0^{1,2}\left([0,T],\mathbb R^n\right)} = \int_0^T \langle \dot f(t),\dot g(t)\rangle_{\mathbb R^n}\,\mathrm dt

이제 어떤 확률 공간

\Omega

위에서 정의된

\mathbb R^n

값을 가지는 위너 과정 (또는 브라운 운동)

(W_t \colon \Omega \to \mathbb R^n)_{t\in[0,T]}

을 생각하자. 위너 과정의 경로는 거의 확실하게 연속 함수이며

W_0=0

이므로, 각 경로는

\mathcal C^0_0([0,T],\mathbb R^n)

의 원소로 볼 수 있다. 이 무작위적인 위너 경로들이

\mathcal C^0_0([0,T],\mathbb R^n)

공간 상에 어떻게 분포하는지를 나타내는 확률 측도

\mu

를 정의할 수 있는데, 이를 위너 측도라고 한다. 즉,

\mathcal C^0_0([0,T],\mathbb R^n)

의 임의의 보렐 집합

S

에 대해, 위너 과정의 경로가

S

에 속할 확률로 측도

\mu

를 정의한다.

:

\mu(S) = \Pr(W \in S)

이렇게 정의된 세 요소, 즉 연속 경로 공간

\mathcal C^0_0([0,T],\mathbb R^n)

, 위너 측도

\mu

, 그리고 유한 에너지 경로의 힐베르트 공간

\operatorname W_0^{1,2}\left([0,T],\mathbb R^n\right)

을 묶어

(\mathcal C^0_0([0,T],\mathbb R^n),\mu,\operatorname W_0^{1,2}\left([0,T],\mathbb R^n\right))

를 고전 위너 공간(classical Wiener space^영어)이라고 부른다.

고전 위너 공간은 추상 위너 공간의 대표적인 예시다. 추상 위너 공간은 일반적으로 실수 힐베르트 공간

H

와 이

H

를 조밀 부분 집합으로 포함하는 바나흐 공간

B

의 쌍

(H, B)

로 구성된다. 고전 위너 공간의 경우,

H = \operatorname W_0^{1,2}\left([0,T],\mathbb R^n\right)

(유한 에너지 경로 공간)이고

B = \mathcal C^0_0([0,T],\mathbb R^n)

(연속 경로 공간)이다. 이때

H

를 위너 측도

\mu

의 캐머런-마틴 공간이라고 부른다.

주목할 점은, 캐머런-마틴 공간

H

자체는 위너 측도

\mu

에 대해 측도 0의 집합이라는 것이다. 즉, 위너 측도는 에너지가 무한대인 경로들, 즉

H

에 속하지 않는 경로들에 거의 모든 확률 질량을 부여한다. 이는 브라운 운동의 경로가 거의 확실하게 모든 점에서 미분 불가능하다는 사실과 연결된다. 브라운 운동 경로는 매우 불규칙하여 유한 에너지를 갖는 매끄러운 경로 공간

H

에는 거의 존재하지 않는다.

물리학, 특히 양자장론의 경로 적분에서는 힐베르트 공간

H

상의 적분을 형식적으로 다음과 같이 표현하기도 한다.

:

\frac{1}{Z}\int_H f(v) e^{-\frac{1}{2} \Vert v\Vert_H^2} Dv

여기서

\Vert v\Vert_H^2

는

H

에서의 노름 제곱(고전 위너 공간의 경우 에너지

\int_0^T \|\dot v(t)\|^2 dt

)이고,

Dv

는 수학적으로 엄밀하게 정의되지 않는 무한차원 르베그 측도를 상징한다. 고전 위너 공간의 위너 측도

\mu

에 대한 형식적 표현은 다음과 같다.

:

d\mu(b)=\frac{1}{Z} \exp\left\{-\frac{1}{2}\int_0^T \|\dot b(t)\|_{\mathbb R^n}^2\,dt\right\}\,Db

이 표현은 측도가 유한 에너지 경로 공간

H

에 집중되어야 함을 암시하는 듯 보이지만, 실제 위너 측도

\mu

는 더 큰 공간

B = \mathcal C^0_0

위에 정의되며,

H

는

\mu

-측도 0이다.

레오나르드 그로스(Leonard Gross)는 추상 위너 공간 이론을 통해, 힐베르트 공간

H

에 대응하는 가우스 측도가 언제 더 큰 바나흐 공간

B

위에 잘 정의될 수 있는지에 대한 조건을 제시했다.^[2] 그로스는 측도 자체는

B

위에 존재하지만, 그 중요한 성질들은 원래의 힐베르트 공간

H

(캐머런-마틴 공간)의 기하학적 구조에 의해 결정된다는 점을 밝혔다.^[1] 위에서 언급된 형식적 표현은 문자 그대로 해석될 수는 없지만, 캐머런-마틴 정리와 같이 위너 측도의 이동(translation)에 따른 변화 등을 이해하는 데 유용하게 활용될 수 있다.

4. 2. 브라운 다리

브라운 운동을 변형하여 얻는 확률 과정 중 하나로, 시작점과 끝점이 고정된 경로를 나타낸다. 브라운 다리는 위너 공간의 한 예시로 볼 수 있다.

수학적으로 브라운 다리를 정의하기 위해 먼저 원을 다음과 같이 정의한다.

:

\mathbb S^1 = [0,1]/(0\sim1)

이제 L^∞ 노름을 가진, 시작점과 끝점이 0인 실수 값 연속 함수들의 바나흐 공간

E

를 다음과 같이 정의한다.

:

E = \mathcal C^0_0(\mathbb S^1,\mathbb R^n) = \{f \in \mathcal C^0(\mathbb S^1,\mathbb R^n)\colon f(0) = f(1) = 0 \}

이 공간

E

위의 부분 공간

H

를 생각한다.

:

H = \operatorname W_0^{1,2}(\mathbb S^1,\mathbb R^n) = \operatorname W^{1,2}(\mathbb S^1,\mathbb R^n) \cap E

이 부분 공간

H

는 다음 내적에 의해 힐베르트 공간을 이룬다.

:

\langle f,g\rangle = \oint \dot f\dot g

공간

E

위에, 확률 과정

X_t = W_t - tW_1

의 법칙으로 주어지는 확률 측도를 부여한다. 여기서

W_t

는 표준 위너 과정(브라운 운동)이다. 이렇게 정의된

(E,H)

는 위너 공간을 구성한다.

4. 3. 힐베르트 공간 위의 위너 공간 구조

분해 가능한 힐베르트 공간

H

와 에르미트 양의 정부호 성질을 가지는 힐베르트-슈미트 작용소

A \colon H\to H

가 주어졌다고 가정하자. 이 작용소

A

를 이용하여 다음과 같은 노름을 정의할 수 있다.

:

\|x\|_A = \langle Ax|Ax\rangle_H

이 노름은 가측 노름(measurable norm)임을 보일 수 있다. 이렇게 정의된 노름을 통해 위너 공간

(E,\mu,H)

를 구성할 수 있으며, 이때

E

역시 힐베르트 공간이 된다. 반대로, 어떤 위너 공간

(E,\mu,H)

에서

E

가 힐베르트 공간이라면, 이 위너 공간은 항상 위에서 설명한 방식, 즉 특정 힐베르트-슈미트 작용소

A

를 통해 정의된 형태로 표현될 수 있다.

5. 역사

고전 위너 공간은 노버트 위너가 최초로 구성하였다. 이후 레너드 그로스( Leonard Gross^영어 )가 추상적 위너 공간의 개념을 도입하였다.^[5] 그로스는 무한 차원 힐베르트 공간에서 직접 정의하기 어려운 적분 문제를 해결하기 위해, 기존 힐베르트 공간을 포함하는 더 큰 바나흐 공간에서 측도를 정의하는 방식을 제안했다. 이는 특히 양자장론의 경로 적분 문제를 수학적으로 다루는 데 중요한 기여를 했다. 그로스는 이러한 접근 방식에서 원래의 힐베르트 공간 구조가 여전히 중심적인 역할을 한다고 보았다.^[1]

페일리-위너 적분은 레이먼드 에드워드 앨런 크리스토퍼 페일리( Raymond Edward Alan Christopher Paley^영어, 1907〜1933)와 노버트 위너의 이름을 따서 명명되었다.

캐머런-마틴 정리는 로버트 호턴 캐머런( Robert Horton Cameron^영어, 1908〜1989)과 윌리엄 테드 마틴( William Ted Martin^영어, 1911〜2004)이 증명하였다.

6. 한국의 관점

한국의 금융 시장은 변동성이 크고 복잡한 특징을 지닌다.^[1] 위너 공간은 이러한 금융 시장의 움직임을 모델링하고 분석하는 데 유용하게 활용될 수 있다.^[2] 특히, 주가, 금리, 환율 등 시계열 데이터의 움직임을 분석하고 미래를 예측하는 데 위너 공간 기반의 확률 모형이 사용될 수 있다.^[3]

참조

_[1] 서적
_[2] 서적
_[3] 서적 The Malliavin calculus John Wiley 1987
_[4] 논문 Analysis and probability on infinite-dimensional spaces 2016
_[5] 서적 Proceedings of the Fifth Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability. Volume Ⅱ. Part Ⅰ. Contributions to probability theory University of California Press 1967

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