유카와 퍼텐셜

3. 쿨롱 퍼텐셜과의 관계

입자가 질량이 없는 경우 ($m=0$) 유카와 퍼텐셜은 쿨롱 퍼텐셜로 줄어들며, 범위는 무한하다고 한다. 실제로, 다음과 같다.

:$m=0\; \backslash Rightarrow\; e^\{-\backslash alpha\; m\; r\}=\; e^0\; =\; 1.$

결과적으로, 다음 방정식

:$V\_\{\backslash text\{Yukawa\}\}(r)=\; -g^2\; \backslash ;\backslash frac\{e^\{-\backslash alpha\; mr\}\}\{r\}$

은 쿨롱 퍼텐셜 형태로 단순화된다.

:$V\_\{\backslash text\{Coulomb\}\}(r)=\; -g^2\; \backslash ;\backslash frac\{1\}\{r\}.$

여기서 스케일링 상수는 다음과 같다.^[5]

:$g^2\; =\; \backslash frac\{q\_1\; q\_2\}\{4\; \backslash pi\; \backslash varepsilon\_0\}$

4. 푸리에 변환

유카와 퍼텐셜이 무거운 장과 연관되어 있음을 이해하는 가장 쉬운 방법은 푸리에 변환을 살펴보는 것이다.

:$V(r)=\backslash frac\{-g^2\}\{(2\backslash pi)^3\}\; \backslash int\; e^\{i\backslash mathbf\{k\; \backslash cdot\; r\}\}$

\frac {4\pi}{k^2+m^2} \;d^3k

여기서 적분은 3-벡터 모멘텀 $k$의 모든 가능한 값에 대해 수행된다. 이 식에서 $4\backslash pi/(k^2+m^2)$는 클라인-고든 방정식의 그린 함수에 해당한다.^[5]

5. 파인만 진폭

유카와 퍼텐셜은 한 쌍의 페르미온 상호작용에 대한 최저차 진폭으로 유도될 수 있다. 유카와 상호작용은 페르미온 장 $\backslash psi(x)$와 중간자 장 $\backslash phi(x)$을 다음 결합 항을 사용하여 결합한다.^[4]

:$\backslash mathcal\{L\}\_\backslash mathrm\{int\}(x)\; =\; g~\backslash overline\{\backslash psi\}(x)~\backslash phi(x)~\backslash psi(x)~.$

운동량 $p\_1$을 가진 한 페르미온과 운동량 $p\_2$를 가진 다른 페르미온이 운동량 $k$를 가진 중간자를 교환하는 두 페르미온의 산란 진폭은 오른쪽에 있는 파인만 도표에 의해 주어진다.

각 꼭지점에 대한 파인만 규칙은 진폭에 $g$의 인수를 연관시킨다. 이 도표는 두 개의 꼭지점을 가지므로 총 진폭은 $g^2$의 인수를 갖는다. 두 페르미온 선을 연결하는 중간의 선은 중간자의 교환을 나타낸다. 입자 교환에 대한 파인만 규칙은 전파인자를 사용하는 것이다. 질량이 있는 중간자에 대한 전파인자는 $\backslash frac\{-4\backslash pi\}\{~k^2+m^2~\}$이다. 따라서 이 그래프에 대한 파인만 진폭은 다음과 같다.^[4]

:$V(\backslash mathbf\{k\})=-g^2\backslash frac\{4\backslash pi\}\{k^2+m^2\}~.$

이 식은 유카와 퍼텐셜의 푸리에 변환임을 알 수 있다.

6. 단면적

본 근사를 사용하면, 유카와 퍼텐셜을 통해 양성자 또는 중성자와 파이온 사이의 산란을 다룰 수 있다. 본 근사는 구면 대칭 퍼텐셜에서 산란되는 파동 함수를 입사 평면파와 작은 섭동의 합으로 근사한다.

:$\backslash psi(\backslash vec\{r\})\; \backslash approx\; A\; \backslash left[(e^\{ipr\})\; +\; \backslash frac\{e^\{ipr\}\}\{r\}\; f(\backslash theta)\; \backslash right]$

여기서 $\backslash vec\{p\}\; =\; p\; \backslash hat\{z\}$는 입자의 입사 운동량이고, 함수 $f(\backslash theta)$는 다음과 같다.

:$f(\backslash theta)\; =\; \backslash frac\{-2\backslash mu\}\{\backslash hbar^2\; \backslash left|\backslash vec\{p\}-\backslash vec\{p\}\text{'}\; \backslash right|\}\; \backslash ,\; \backslash int\_\{0\}^\{\backslash infty\}\; r\; \backslash ,\; V(r)\; \backslash ,\; \backslash sin\backslash left(\backslash left|\backslash vec\{p\}-\backslash vec\{p\}\text{'}\backslash right|\; r\; \backslash right)\; ~\; \backslash mathrm\{d\}r$

$\backslash vec\; p\text{'}\; =\; p\; \backslash hat\; r$는 산란 후 운동량이며, $\backslash mu$는 입사 입자의 질량이다. (파이온 질량 $m$과 혼동하지 않도록 주의) 여기에 유카와 퍼텐셜$V\_\backslash text\{유카와\}$을 대입하면 다음과 같다.

:$f(\backslash theta)\; =\; \backslash frac\{2\backslash mu\}\{\backslash hbar^2\; \backslash left|\backslash vec\{p\}-\backslash vec\{p\}\text{'}\backslash right|\}\; \backslash ,\; g^2\; \backslash int\_\{0\}^\{\backslash infty\}\; e^\{-\backslash alpha\; m\; r\}\; \backslash ,\; \backslash sin\; \backslash left(\backslash left|\backslash vec\{p\}\; -\; \backslash vec\{p\}\text{'}\backslash right|\; \backslash ,\; r\; \backslash right)\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}r$

이 적분을 계산하면,

:$f(\backslash theta)\; =\; \backslash frac\{2\; \backslash mu\; g^2\}\{\backslash hbar^2\backslash ,\backslash left[(\backslash alpha\; m)^2\; +\; \backslash left|\; \backslash vec\{p\}\; -\; \backslash vec\{p\}\text{'}\; \backslash right|^2\backslash right]\}$

에너지 보존 법칙에 의해,

:$\backslash bigl|\backslash vec\; p\backslash bigr|\; =\; \backslash bigl|\backslash vec\; p\text{'}\backslash bigr|\; =\; p~$

따라서,

:$\backslash left|\backslash vec\; p\; -\; \backslash vec\; p\text{'}\backslash right|\; =\; 2\backslash ,p\backslash ,\backslash sin\backslash left(\backslash tfrac\{1\}\{2\}\backslash theta\backslash right)~$

이를 대입하면,

:$f(\backslash theta)\; =\; \backslash frac\{2\; \backslash mu\; g^2\}\{\backslash hbar^2\; \backslash left[(\backslash alpha\; m)^2\; +\; 4\backslash ,p^2\backslash ,\backslash sin^2\backslash left(\{\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash theta\}\backslash right)\backslash right]\}$

미분 단면적은 다음과 같이 주어진다.^[5]

:$\backslash frac\{\backslash mathrm\; d\; \backslash sigma\}\{\backslash mathrm\; d\; \backslash Omega\}\; =\; \backslash left|f(\backslash theta)\backslash right|^2\; =\; \backslash frac\{4\; \backslash mu^2\; g^4\}\{\backslash hbar^4\backslash \; \backslash left[\; (\backslash alpha\; m)^2\; +\; 4\; p^2\; \backslash sin^2\backslash left(\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash theta\backslash right)\; \backslash right]^2\}$

이를 적분하여 총 단면적을 구하면,

:$\backslash sigma\; =\; \backslash int\; \backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}\; \backslash sigma\}\{\backslash mathrm\{d\}\; \backslash Omega\}\; \backslash mathrm\{d\}\backslash Omega$

= \frac{4 \mu^2 g^4}{\hbar^4} \int_0^\pi \frac{2\pi \sin(\theta) \mathrm{d}\theta}{\left[(\alpha m)^2 + 4 p^2 \sin^2\left(\frac{1}{2}\theta\right) \right]^2}

= \frac{4 \mu^2 g^4}{\hbar^4} \frac{4\pi}{(\alpha m)^2 \left[(\alpha m)^2 + 4p^2 \right]}

7. 응집물질 물리학에서의 응용

유카와 퍼텐셜은 금속 내 불순물 주위의 유효 정전기적 퍼텐셜을 기술하는 데 사용된다. 금속 내 자유전자는 불순물의 전하를 가려 쿨롱 퍼텐셜 대신 유카와 퍼텐셜 형태의 상호작용이 나타난다.

:$V=\{q\; \backslash over\; \{\; 4\; \backslash pi\; \backslash epsilon\_0\; \}\; \}\; \{1\; \backslash over\; r\}\; e^\{-\; \backslash kappa\; r\; \}$

충분히 낮은 온도에서 $\backslash kappa$는 다음 식을 따른다.

:$\backslash kappa^2\; =\; \{1\; \backslash over\; \{\backslash epsilon\_0\}\}\; e^2\; N(\backslash epsilon\_F)$

여기서 $\backslash epsilon\_0$는 진공의 유전율, $e$는 전자의 전하량, $N(\backslash epsilon\_F)$는 페르미 준위의 전자 상태 밀도이다.

강한 전해질 용액이나 플라스마에서도 디바이 차폐 효과로 인해 이온 간 상호작용이 유카와 퍼텐셜 형태로 나타나며, 이를 디바이-휘켈 퍼텐셜이라고 한다.

8. 소립자 물리학에서의 유카와 퍼텐셜

유카와 히데키는 1935년 핵력을 설명하기 위해 유카와 퍼텐셜을 처음 제안했다.^[1] 핵력은 핵자들 사이에서 중간자를 주고받으며 발생하는 힘(교환력)으로, 이 힘을 나타내는 퍼텐셜이 유카와 퍼텐셜의 형태를 띤다. 핵력에서 유카와 퍼텐셜은 다음과 같은 형태로 나타난다.

:$-\; \backslash frac\{f^2\}\{4\; \backslash pi\; \backslash hbar\; c\}\; mc^2\; \backslash frac\{1\}\{r/\backslash lambda\}\; e^\{-\; r/\backslash lambda\}\; =\; -\; \backslash frac\{f^2\}\{4\; \backslash pi\}\; \backslash frac\{1\}\{\backslash lambda\}\; \backslash frac\{1\}\{r/\backslash lambda\}\; e^\{-\; r/\backslash lambda\}\; =\; -\; \backslash frac\{f^2\}\{4\; \backslash pi\}\; \backslash frac\{1\}\{r\}\; e^\{-\; r/\backslash lambda\}$

여기서,

:$\backslash kappa\; =\; \{1\; \backslash over\; \backslash lambda\}\; =\; \{\; mc\; \backslash over\; \{\backslash hbar\}\; \}$

• ''c''는 진공에서의 광속
• $\backslash hbar$는 디랙 상수
• ''m''은 중간자의 질량
• ''λ''(=1/''κ'')는 중간자의 콤프턴 파장
• ''f''는 핵자와 중간자의 결합 상수

참조

_[1] 논문 On the interaction of elementary particles
_[2] 서적 Understanding the Universe: From quarks to the cosmos https://archive.org/[...] World Scientific
_[3] 논문 Werner Heisenberg and the beginning of nuclear physics 1985
_[4] 논문 Hideki Yukawa and the meson theory
_[5] 서적 Introduction to Quantum Mechanics Cambridge University Press
_[6] 논문 Regge-Pole in der nichtrelativistischen Potentialstreuung
_[7] 논문 High-energy scattering for Yukawa potentials 1968-02
_[8] 논문 On the calculation of Regge trajectories in nonrelativistic potential scattering
_[9] 논문 On the connection formulas and the solutions of the wave equation
_[10] 서적 Introduction to Quantum Mechanics: Schrödinger equation and path integral World Scientific
_[11] 논문 Calculation of Regge trajectories in potential theory by W.K.B., and variational techniques