가언적 삼단 논법

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1. 개요

가언적 삼단 논법은 다음과 같은 추론 규칙이다. P → Q, Q → R이면, P → R이다. 이 규칙은 고전 논리학의 연역 추론 규칙 중 하나이며, 혼합형과 순수형으로 분류된다. 혼합형은 전건 긍정식과 후건 부정식을 포함한 네 가지 형식이 있으며, 순수형은 두 개의 조건문으로 구성된다. 가언적 삼단 논법은 명제 논리에서 유효한 추론 규칙으로 사용되며, 직관 논리 및 고전 논리에서 성립하지만, 비단조 논리, 확률 논리 등에서는 예외가 있을 수 있다.

가언적 삼단 논법

논리학 정보

개요

유형	삼단 논법
분야	명제 논리 고전 논리 직관 논리 대부분의 관련성 논리 체계
설명	명제 'P → Q'와 'Q → R'이 증명의 줄에 나타날 때마다, 'P → R'을 후속 줄에 배치할 수 있다.
기호 표현	$rac{P o Q, Q o R}{ herefore P o R}$

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1. 개요
2. 정의
3. 유형
- 3.1. 혼합형 가언적 삼단 논법
- 3.2. 순수 가언적 삼단 논법
4. 명제 논리
5. 성질
6. 적용 가능성
7. 형식 표기법
8. 증명
9. 다른 형태

2. 정의

가언적 삼단 논법은 다음과 같은 추론 규칙이다.
: $\begin{matrix} P\implies Q\qquad Q\implies R\\ \hline P\implies R \end{matrix}$
또는 다음과 같이 표현할 수도 있다.
: $P\implies Q,Q\implies R\vdash P\implies R$
여기서 각 기호는 다음을 의미한다.
* $P$ , $Q$ , $R$ 은 논리식을 나타내는 메타 변수이다.
* $\implies$ 는 함의를 나타낸다. 즉, '만약 ...이면 ...이다' 형태의 조건문을 나타낸다.
* 수평선은 증명 과정의 이웃한 두 단계를 구분하는 메타 논리 기호이다.
* $\vdash$ 는 왼쪽에 놓인 논리식들로부터 오른쪽에 놓인 논리식을 증명할 수 있음을 나타내는 메타 논리 기호이다.

명제 논리에서 가언적 삼단 논법은 유효한 추론 규칙의 이름이며 (종종 HS로 축약되고 때로는 연쇄 논법, 연쇄 규칙, 또는 함축의 추이성의 원리라고도 불린다). 이 규칙은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
: $\frac{P \to Q, Q \to R}{\therefore P \to R}$
다시 말해, " $P \to Q$ "와 " $Q \to R$ "의 예시가 증명의 줄에 나타날 때마다 " $P \to R$ "을 후속 줄에 배치할 수 있다.

가언 삼단 논법은 고전 논리의 연역의 추론 규칙 중 하나이며, 비고전 논리학에서는 채택되지 않는 경우도 있다. 가언 삼단 논법은, 다음 형식을 따르는 타당한 논증이다.
:P → Q
:Q → R
:따라서, P → R

기호적으로 표현하면 다음과 같다.
: $P \rightarrow Q,$
: $Q \rightarrow R$
: $\vdash P \rightarrow R$
다시 말해, 어떤 개념이 다른 개념을 포함하고, 그 다른 개념이 세 번째 개념을 포함할 때, 첫 번째 개념은 세 번째 개념을 포함한다.

3. 유형

가언적 삼단 논법은 크게 혼합형과 순수형의 두 가지 유형으로 나뉜다.

* 혼합형: 하나의 조건문 전제와, 그 조건문의 전건 또는 후건을 긍정하거나 부정하는 또 다른 전제를 가진다.
* 순수형: 두 전제와 결론이 모두 조건문으로 이루어진 삼단 논법이다.

3.1. 혼합형 가언적 삼단 논법

혼합형 가언적 삼단 논법은 두 개의 전제를 갖는데, 하나는 조건문이고 다른 하나는 해당 조건문의 전건 또는 후건을 긍정하거나 부정하는 진술이다. 예를 들어,

:만약 P이면, Q이다.
:P이다.
:그러므로 Q이다.

이 예시에서 첫 번째 전제는 "P"가 전건이고 "Q"가 후건인 조건문이다. 두 번째 전제는 전건을 "긍정"한다. 후건이 참이어야 한다는 결론은 연역적으로 타당하다.

혼합형 가언적 삼단 논법은 네 가지 가능한 형식을 가지며, 그중 두 가지는 타당하고, 다른 두 가지는 타당하지 않다. 타당한 혼합형 가언적 삼단 논법은 전건을 긍정하거나(전건 긍정식) 후건을 부정한다 (후건 부정식). 타당하지 않은 가언적 삼단 논법은 후건을 긍정하거나(역의 오류) 전건을 부정한다 (이의 오류).

3.2. 순수 가언적 삼단 논법

순수 가언적 삼단 논법은 두 개의 전제와 결론이 모두 조건문인 삼단 논법이다. 이 논법이 타당하기 위해서는 한 전제의 전건이 다른 전제의 후건과 일치해야 한다. 그 결과, 결론은 남은 전건을 전건으로, 남은 후건을 후건으로 가지는 조건문이 된다. 형식은 다음과 같다.

:만약 P이면, Q이다.
:만약 Q이면, R이다.
:그러므로 만약 P이면, R이다.

예를 들어 다음과 같은 추론이 가능하다.

:만약 내가 잠에서 깨지 않는다면, 나는 출근할 수 없다.
:만약 내가 출근할 수 없다면, 나는 급여를 받을 수 없다.
:따라서, 만약 내가 잠에서 깨지 않는다면, 나는 급여를 받을 수 없다.

가언적 삼단 논법의 장점 중 하나는 사실과 다른 가정을 사용할 수 있다는 점이다. 즉, 전제가 실제로는 거짓인 경우에도 전체적으로 타당한 논증을 만들 수 있다. 이러한 사실에 반하는 가정을 사용한 예는 다음과 같다.

* 만약 조지 워싱턴에게 수염이 있었다면, 그는 눈에 띄었을 것이다.
* 만약 요기 베라가 홈런을 800개 쳤다면, 그것은 경이로웠을 것이다.

4. 명제 논리

명제 논리에서 가언적 삼단 논법은 유효한 추론 규칙의 이름이며, 종종 HS로 축약되거나 연쇄 논법, 연쇄 규칙, 또는 함축의 추이성 원리라고도 불린다. 이 규칙은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $\frac{P \to Q, Q \to R}{\therefore P \to R}$

이는 " $P \to Q$ "와 " $Q \to R$ "이 증명 과정에 나타날 경우, 후속 단계에서 " $P \to R$ "을 도출할 수 있음을 의미한다.

가언적 삼단 논법 추론 규칙은 시퀀트 표기법으로도 작성될 수 있으며, 이는 잘라내기 규칙의 특수한 경우에 해당한다.

: $\frac{P \vdash Q\quad Q \vdash R}{P \vdash R}$

여기서 $\vdash$ 는 메타논리 기호로, $A \vdash B$ 는 특정 논리 체계 내에서 $B$ 가 $A$ 의 구문적 귀결임을 나타낸다.

또한, 가언적 삼단 논법은 진리 함수적 항진 명제 또는 명제 논리의 정리로도 표현될 수 있다.

: $((P \to Q) \land (Q \to R)) \to (P \to R)$

여기서 $P$ , $Q$ , $R$ 는 특정 형식적 체계에서 표현된 명제를 의미한다.

5. 성질

직관 논리에서 성립하며, 따라서 고전 논리를 비롯한 모든 초직관 논리에서 성립한다. 가언적 삼단 논법의 규칙은 고전 논리, 직관 논리, 대부분의 관련 논리 체계 및 기타 여러 논리 체계에서 유효하다. 그러나 모든 논리에서 유효한 것은 아니며, 예를 들어 비단조 논리, 확률 논리, 기본 논리 등에서는 성립하지 않을 수 있다. 이러한 논리들은 반박 가능한 추론을 다루기 때문인데, 실제 상황에서 사용되는 조건문은 일반적으로 예외, 기본 가정, 기타 조건 또는 불확실성을 포함하는 경우가 많다.

어니스트 W. 아담스가 제시한 예시는 다음과 같다.
* 1. 존스가 선거에서 이기면 스미스는 선거 후 은퇴할 것이다.
* 2. 스미스가 선거 전에 사망하면 존스가 선거에서 이길 것이다.
* 3. 스미스가 선거 전에 사망하면 스미스는 선거 후 은퇴할 것이다.

이 예시에서 (3)은 (1)과 (2)로부터 반드시 도출되지 않는다. (1)은 일반적으로 참이라고 가정할 수 있지만, 스미스가 사망하는 예외적인 상황에서는 성립하지 않을 수 있다. 실제 조건문은 종종 특정 가정이나 맥락을 전제로 하며, 모든 예외적인 상황을 명시하는 것은 어렵거나 불가능할 수 있다. 비슷한 이유로 가언적 삼단 논법의 규칙은 반사실적 조건문에서도 유효하지 않다.

가언 삼단 논법은 고전 논리의 연역에서 사용되는 추론 규칙 중 하나이며, 비고전 논리학에서는 채택되지 않는 경우도 있다. 가언 삼단 논법은 다음 형식을 따르는 타당한 논증이다.

* P → Q (만약 P이면 Q이다)
* Q → R (만약 Q이면 R이다)
* 따라서, P → R (따라서 만약 P이면 R이다)

이를 기호로 표현하면 다음과 같다.

$P \rightarrow Q,$
$Q \rightarrow R$
$\vdash P \rightarrow R$

이는 어떤 개념(P)이 다른 개념(Q)을 함의하고, 그 다른 개념(Q)이 세 번째 개념(R)을 함의할 때, 첫 번째 개념(P)은 세 번째 개념(R)을 함의한다는 것을 의미한다.

6. 적용 가능성

가언적 삼단 논법은 직관 논리에서 성립하며, 따라서 고전 논리를 비롯한 모든 초직관 논리에서도 성립한다. 이 규칙은 고전 논리, 직관 논리, 대부분의 관련 논리 체계 및 기타 여러 논리 체계에서 유효하다.

그러나 모든 논리 체계에서 가언적 삼단 논법이 유효한 것은 아니다. 예를 들어 비단조 논리, 확률 논리, 기본 논리 등 반박 가능한 추론을 다루는 논리에서는 성립하지 않을 수 있다. 이는 해당 논리들이 실제 상황에서 사용되는 조건문들이 일반적으로 예외, 기본 가정, 맥락 의존성 또는 단순한 불확실성을 허용한다는 점을 설명하기 때문이다.

어니스트 W. 아담스가 제시한 예시는 이러한 문제점을 보여준다.

# 존스가 선거에서 이기면 스미스는 선거 후 은퇴할 것이다.
# 스미스가 선거 전에 사망하면 존스가 선거에서 이길 것이다.
# (결론) 스미스가 선거 전에 사망하면 스미스는 선거 후 은퇴할 것이다.

결론 (3)은 명백히 전제 (1)과 (2)로부터 타당하게 도출되지 않는다. 전제 (1)은 일반적인 상황에서는 참일 수 있지만, 스미스가 사망하는 예외적인 상황에서는 유효하지 않기 때문이다. 실제로 현실에서 사용되는 조건문은 특정 맥락이나 기본 가정을 포함하는 경향이 있으며, 참이 되지 않을 수 있는 모든 예외적인 상황을 명시하는 것은 어렵거나 불가능할 수 있다.

이와 유사한 이유로, 가언적 삼단 논법의 규칙은 반사실적 조건문에서도 일반적으로 유효하지 않다.

7. 형식 표기법

가언적 삼단 논법은 다음과 같은 추론 규칙으로 형식화될 수 있다.
: $\begin{matrix}P\implies Q\qquad Q\implies R\\\hlineP\implies R\end{matrix}$
또는 다음과 같이 표기할 수도 있다.
: $P\implies Q,Q\implies R\vdash P\implies R$
여기서 $P$ , $Q$ , $R$ 은 논리식을 나타내는 메타 변수이며, $\implies$ 는 논리적 함의를 나타내는 기호이다. 수평선은 증명 과정의 단계를 구분하며, $\vdash$ 는 왼쪽에 놓인 논리식들로부터 오른쪽에 놓인 논리식을 증명할 수 있음을 나타내는 메타논리 기호이다.

명제 논리에서는 가언적 삼단 논법을 유효한 추론 규칙으로 사용하며, 종종 HS로 축약하거나 연쇄 논법 등으로 부르기도 한다. 이 규칙은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
: $\frac{P \to Q, Q \to R}{\therefore P \to R}$
이는 증명 과정에서 " $P \to Q$ "와 " $Q \to R$ "이 참으로 증명되었다면, 그 다음 단계에서 " $P \to R$ " 역시 참이라고 결론 내릴 수 있음을 의미한다.

또한, 가언적 삼단 논법은 시퀀트 표기법으로도 작성될 수 있으며, 이는 잘라내기 규칙의 특수한 경우에 해당한다.
: $\frac{P \vdash Q\quad Q \vdash R}{P \vdash R}$
여기서 $\vdash$ 는 메타논리 기호로, $A \vdash B$ 는 어떤 논리 체계에서 $B$ 가 $A$ 의 구문적 귀결임을 의미한다.

또한, 명제 논리에서 항진 명제 또는 정리로 표현하면 다음과 같다.
: $((P \to Q) \land (Q \to R)) \to (P \to R)$
여기서 $P$ , $Q$ , $R$ 은 특정 형식적 체계에서 표현된 명제들을 나타낸다.

8. 증명

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단계	명제	유도
1	$P \to Q$	가정
2	$Q \to R$	가정
3	$P$	조건 증명 가정
4	$Q$	긍정 전건 (1,3)
5	$R$	긍정 전건 (2,4)
6	$P \to R$	조건 증명 (3-5)

9. 다른 형태

가언 삼단 논법의 또 다른 형태는 함축과 부정(즉, 결합 기호가 없는)을 사용하는 고전 명제 계산 시스템에 더 유용하다.

:(HS1) $(Q \to R) \to ((P \to Q) \to (P \to R))$

또 다른 형태는 다음과 같다.

:(HS2) $(P \to Q) \to ((Q \to R) \to (P \to R))$