고유 길이

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1. 개요

고유 길이는 정지해 있는 관찰자가 측정하는 물체의 길이로, 물체의 양 끝점 측정은 동시일 필요가 없다. 물체에 대해 상대적으로 움직이는 프레임에서는 길이 수축이 발생하여 정지 길이보다 짧아진다. 평평한 공간에서 두 사건 사이의 고유 거리는 사건이 동시에 발생하는 관성 기준 프레임에서 측정된 두 사건 사이의 거리이며, 휘어진 시공간에서는 경로를 따라 고유 거리를 정의한다.

고유 길이

정의

고유 길이	어떤 물체의 정지 좌표계에서 측정한 그 물체의 길이

로렌츠 수축	관찰자의 운동 방향으로 물체의 길이가 짧아지는 현상

2. 고유 길이 또는 정지 길이

물체의 고유 길이 또는 정지 길이는 정지해 있는 관찰자가 표준 측정 막대를 어떤 물체에 적용하여 측정하는 길이이다. 물체의 양 끝점 측정은 동시에 이루어질 필요가 없다. 끝점은 물체의 정지 프레임에서 항상 같은 위치에 정지해 있으므로 Δt와 무관하다. 따라서 이때의 길이는 다음과 같다.

: $L_{0} = \Delta x.$

그러나 물체에 상대적으로 움직이는 프레임에서는 물체의 끝점이 계속 위치를 바꾸기 때문에 양 끝점을 동시에 측정해야 한다. 그 결과 길이는 정지 길이보다 짧아지며, 길이 수축 공식으로 나타낼 수 있다(여기서 γ는 로런츠 계수이다).

: $L = \frac{L_0}{\gamma}.$

이에 비해 동일한 물체의 끝점에서 발생하는 임의의 두 사건 사이의 불변 고유 거리는 다음과 같다.

: $\Delta\sigma = \sqrt{\Delta x^2 - c^2 \Delta t^2}.$

Δσ는 Δt에 의존하지만, 위에서 설명한 것처럼 물체의 정지 길이 L₀는 Δt와 독립적으로 측정할 수 있다. 따라서 동일한 물체의 끝점에서 측정한 Δσ와 L₀는 측정 사건이 물체의 정지 프레임에서 동시에 발생하여 Δt가 0일 때만 일치한다. 파인골드(Fayngold)는 다음과 같이 설명한다.

: "두 사건 사이의 고유 거리는 보통 끝점이 이 사건들과 각각 일치하는 물체의 고유 길이와 같지 않다. 일정한 고유 길이 l₀인 막대를 생각해 보자. 막대의 정지 프레임 K₀에서 길이를 측정하려면, 먼저 끝점을 표시하면 된다. 이 끝점들을 K₀에서 동시에 표시할 필요는 없다. K₀에서 한쪽 끝(순간 t₁)과 나중에 다른 쪽 끝(순간 t₂)을 표시한 다음, 표시 사이의 거리를 측정할 수 있다. 이러한 측정을 고유 길이의 가능한 조작적 정의로 고려할 수도 있다. 실험 물리학의 관점에서 보면, 마크를 동시에 만들어야 한다는 요구는 모양과 크기가 일정한 고정된 물체에 대해서는 중복되므로, 이 정의에서 제외할 수 있다. 막대는 K₀에 고정되어 있으므로, 두 표시 사이의 시간 경과에 관계없이 표시 사이의 거리는 막대의 고유 길이이다. 반면, K₀에서 마크가 동시에 이루어지지 않으면 마킹 이벤트 사이의 고유 거리가 아니다."

3. 평평한 공간에서 두 이벤트 사이의 고유 거리

특수 상대성이론에서 공간처럼 분리된 두 사건 사이의 고유 거리는 사건이 동시에 발생하는 관성 기준 프레임에서 측정된 두 사건 사이의 거리이다. 이러한 특정 프레임에서 거리는 다음과 같이 주어지며,

:Δσ = √Δx² + Δy² + Δz²

여기서,
* Δ x, Δ y, Δ z는 두 이벤트의 선형, 직교, 공간 좌표의 차이이다.

이 정의는 이벤트가 해당 프레임에서 동시에 발생하지 않아도, 모든 관성 참조 프레임에 대해 다음과 같이 동일하게 제공될 수 있다.

:Δσ = √Δx² + Δy² + Δz² - c²Δt²

여기서,
* Δt는 두 이벤트의 시간 좌표의 차이이고,
* c는 빛의 속도이다.

두 공식은 시공간 간격의 불변성 때문에 동일한데, 이는 이벤트가 주어진 프레임에서 동시일 때 정확히 Δt = 0이기 때문이다.

위의 공식이 Δ σ 에 대해 0이 아닌 실제 값을 제공하는 경우에만 두 이벤트가 공간적으로 분리된다.

4. 경로를 따른 고유 거리

두 사건 사이의 고유 거리에 대한 공식은 두 사건이 발생하는 시공간이 평평하다고 가정한다. 따라서 이 공식은 휘어진 시공간을 고려하는 일반 상대성이론에서는 일반적으로 사용할 수 없다. 그러나 곡선이든 평면이든 모든 시공간에서 경로를 따라 고유 거리를 정의하는 것은 가능하다. 평평한 시공간에서 두 사건 사이의 고유 거리는 두 사건 사이의 직선 경로를 따른 고유 거리이다. 휘어진 시공간에서는 두 사건 사이에 하나 이상의 직선 경로(측지선)가 있을 수 있으므로, 두 사건 사이의 직선 경로를 따른 고유 거리는 두 사건 사이의 고유 거리를 유일하게 정의하지 않는다.

임의의 공간과 같은 경로 P를 따라 고유 거리는 선적분에 의해 텐서 구문으로 다음과 같이 주어진다.

: $L = c \int_P \sqrt{-g_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu} ,$

여기서,

* g _μν는 현재 시공간 및 좌표 매핑에 대한 메트릭 텐서이고,
* dx ^μ는 경로 P 를 따라 인접한 이벤트 사이의 좌표 분리이다.

위 방정식에서 메트릭 텐서는 +−−− 메트릭 부호를 사용하는 것으로 가정하고 거리 대신 시간을 반환하도록 정규화되었다고 가정하고 있다. 방정식의 − 기호는 대신 −+++ 메트릭 부호를 사용하는 메트릭 텐서와 함께 삭제되어야 한다. 또한 광속 $c$ 는, 거리를 사용하도록 정규화되거나 또는 기하 단위를 사용하는 미터법 텐서와 함께 삭제해야 한다.