경로 (위상수학)
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1. 개요
경로는 위상 공간 X에서 정의되는 연속 함수로, 구간 [0,1]에서 X로의 사상이다. 경로의 시작점과 끝점이 같을 경우 이를 고리라고 부른다. 경로는 곡선과 유사하지만 매개화에 대한 정보를 포함하며, 유클리드 공간에서도 정의된다. 경로가 미분 가능할 경우 속도와 속력을 정의할 수 있으며, 속도 벡터는 경로의 접선 방향을 나타낸다. 경로의 호모토피는 경로의 양 끝점을 고정하면서 연속적으로 변형하는 개념을 의미하며, 호모토피로 연결된 경로는 호모토픽하다고 한다. 경로의 호모토피는 동치 관계를 형성하며, 이에 따른 동치류를 호모토피류라고 한다. 경로 합성은 두 경로를 연결하는 연산으로, 경로의 합성은 결합 법칙이 성립하지 않지만, 호모토피류에서는 결합적이다. 이러한 성질을 이용하여 기본군과 기본 아군을 정의할 수 있다.
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| 경로 (위상수학) | |
|---|---|
| 정의 | |
| 설명 | '위상 공간 X 안의 두 점 사이를 잇는 연속 함수' |
| 정의 | |
| 정의 | '닫힌 단위 구간 I = 닫힌구간[0, 1]에서 위상 공간 X로 가는 연속 함수 f : I → X' |
| 시작점 | '경로 f의 시작점은 f(0)' |
| 끝점 | '경로 f의 끝점은 f(1)' |
| 호 | '경로의 자취를 호라고 부른다.' |
| '매개변수의 종류 (매개변수화)' | '같은 자취를 갖는 경로는 매개변수의 종류에 따라 다를 수 있다.' |
| 예시 | '단위원 닫힌구간[0, 1] 위의 경로 f(x) := x와 g(x) := x²는 같은 자취를 갖지만 다른 경로이다.' |
| 경로 공간 | '위상 공간 X 안의 모든 경로들의 집합 {f : I → X}은 콤팩트-열린 위상을 부여하여 위상 공간으로 만들 수 있으며, 이를 X의 경로 공간이라고 한다.' |
| 닫힌 경로 (고리) | |
| 정의 | '시작점과 끝점이 같은 경로, 즉 f(0) = f(1)인 경로를 닫힌 경로 또는 고리(loop)라고 한다.' |
| 표기 | '한 점 x ∈ X에서 시작하여 X 안에서 도는 모든 고리들의 집합 {f : I → X | f(0) = f(1) = x}에 콤팩트-열린 위상을 부여하면 위상 공간이 되며, 이를 X의 고리 공간이라고 한다. X의 고리 공간은 ΩX로 표기한다.' |
| 호모토피 | |
| 경로 호모토피 | '두 경로 사이의 호모토피는 경로 호모토피라고 한다.' |
| 경로 성분 | '위상 공간 X의 경로 연결 성분들의 집합 π₀(X)은 X의 경로 성분이라고 한다.' |
| 기본군 | '위상 공간 X의 한 점 x₀ ∈ X에서 시작하는 고리들의 호모토피류들의 집합 π₁(X, x₀)은 군을 이루며, 이를 X의 기본군이라고 한다.' |
| 같이 보기 | |
| 관련 항목 | 곡선 사슬 (위상수학) 올림 (위상수학) |
| 외부 링크 | |
| 외부 링크 | 'Path - Wolfram MathWorld' 'Path - PlanetMath' |
2. 정의
가 위상 공간이라고 하자. 속의 '''경로'''는 연속 함수 이다. 여기서 은 표준적인 위상을 가진 폐구간이다. f(0)을 경로의 '''시작점'''(initial point)이라 하고, f(1)을 경로의 '''끝점'''(terminal point)이라 한다. 시작점과 끝점이 같은 경로를 '''고리'''(loop영어)라고 한다.
경로는 단순히 '곡선과 유사한' X의 부분집합을 말하는 것이 아니라, 매개화에 대한 정보도 함께 포함하고 있다는 점에 주의해야 한다. 예를 들어, 실직선에서 f(x) = x와 g(x) = x2은 서로 다른 두 경로이다.
유클리드 공간 에서 정의되는 '''경로'''는 로 정의되는 사상이다. 이때 경로 는 곡선 를 매개변수화 한다고 한다.
위상 공간 에서 ''곡선''은 비어 있지 않은 비퇴화 구간 에서 연속 함수 이다. 에서 '''경로'''는 정의역 가 콤팩트 비퇴화 구간(즉, 는 실수임)이고, 를 경로의 '''시작점''', 를 '''종점'''이라고 하는 곡선 이다. '''에서 까지의 경로'''는 시작점이 이고 종점이 인 경로이다.
모든 비퇴화 콤팩트 구간 는 에 위상 동형이므로, 특히 호모토피 이론에서 '''경로'''는 닫힌 단위 구간 에서 로의 연속 함수 로 정의되기도 한다.
에서 '''호''' 또는 '''C0-호'''는 위상 임베딩인 에서의 경로이다.
공간 에서 를 기준으로 하는 '''루프'''는 에서 까지의 경로이다. 루프는 인 맵 또는 단위 원 에서 로의 연속 맵으로 간주할 수도 있다.
:
이는 이 이 로 식별될 때 의 몫 공간이기 때문이다. 의 모든 루프 집합은 의 루프 공간이라고 하는 공간을 형성한다.
2. 1. 위상 공간에서의 경로
위상 공간 속의 '''경로'''는 연속 함수 이다. 여기서 은 표준적인 위상을 가진 폐구간이다. 을 경로의 '''시작점'''이라 하고, 을 경로의 '''끝점'''이라 한다. 시작점과 끝점이 같은 경로를 '''고리'''(loop영어)라고 한다.경로는 단순히 '곡선과 유사한' 의 부분집합을 말하는 것이 아니라, 매개화에 대한 정보도 함께 포함하고 있다는 것이다. 예를 들어, 실직선에서 와 은 서로 다른 두 경로이다.
고리는 단위 원 에서 로의 연속 맵 으로 간주할 수도 있다. 이는 이 이 로 식별될 때 의 몫 공간이기 때문이다.
2. 2. 유클리드 공간에서의 경로
유클리드 공간 에서 정의되는 '''경로'''는 로 정의되는 사상이다. 이러한 경로 에 대해서 가 에서 변할 때 점 들의 집합 를 곡선이라 하고 와 를 곡선 의 끝점이라고 한다. 이때 경로 는 곡선 를 매개변수화 한다고 한다. 만약 이라면 으로 나타낼 수 있는데 이때 , , 들을 각각 경로 의 성분함수들이라고 한다. 3이 아닌 n에 대해서도 같은 방식으로 정의한다.3. 속도와 속력
미분 가능한 경로에 대해, 각 점에서의 속도는 크기와 방향을 가지는 벡터량으로 정의되며, 속력은 속도의 크기로 정의된다.
3. 1. 속도
경로 가 미분 가능하면, 매 에서의 속도는 다음과 같이 정의된다.:
보통 그림으로 나타낼 때는 경로 가 매개변수화하는 곡선 의 각 점을 시작점으로 속도벡터를 그린다. 이때 그 지점에서의 속력은 속도벡터의 크기, 즉 로 정의한다. 만약 이라면 으로 나타나고, 어떤 점 에서의 속도는 연쇄법칙에 의하여 이며, 속력은 이 벡터의 크기인 이다.
3. 2. 속력
경로 가 미분 가능할 때, 매 에서의 속력은 속도 벡터의 크기 로 정의한다. 인 경우 로 나타낼 수 있고, 어떤 점 에서 속력은 벡터의 크기 이다.4. 접벡터와 접선
속도벡터 는 일 때 경로 와 접한다. 만약 이라면, 는 경로 로 매개변수화된 곡선 의 에서의 접벡터이다. 로부터 이 접벡터 방향으로 뻗어나가는 직선을 에서의 접선이라고 한다. 이 접선은 다음과 같은 경로 로 매개변수화된다.
:
4. 1. 접벡터
속도벡터 는 일 때 경로 와 접한다. 만약 이라면 는 경로 로 매개변수화된 곡선 의 에서의 접벡터이다. 그리고 로부터 이 접벡터 방향으로 뻗어나가는 직선을 에서의 접선이라고 한다. 이 직선은 다음과 같은 경로 로 매개변수화되어있다.:
4. 2. 접선
속도벡터 는 일 때 경로 와 접한다. 만약 이라면, 는 경로 로 매개변수화된 곡선 의 에서의 접벡터이다. 그리고 로부터 이 접벡터 방향으로 뻗어나가는 직선을 에서의 접선이라고 한다. 이 직선은 다음과 같은 경로 로 매개변수화되어있다.:
5. 경로의 호모토피
경로와 루프는 대수적 위상수학의 한 분야인 호모토피 이론에서 중요하게 다루는 대상이다. 경로의 호모토피는 경로의 양 끝점을 고정한 채, 경로를 연속적으로 변형하는 것을 구체적으로 나타낸 것이다.
호모토픽이라는 관계는 위상 공간에서 경로에 대한 동치 관계이다. 이 관계에 따른 경로 의 동치류는 의 '''호모토피류'''라고 하며, 종종 로 표기한다.
5. 1. 경로 호모토피
경로와 루프는 대수적 위상수학의 한 분야인 호모토피 이론의 핵심 연구 대상이다. 경로의 호모토피는 경로의 양 끝점을 고정하면서 연속적으로 변형하는 개념을 명확하게 한다.구체적으로, 에서의 경로의 호모토피 또는 '''경로-호모토피'''는 로 색인된 경로 의 집합으로, 다음과 같다.
- 및 는 고정된다.
- 로 주어지는 사상 는 연속이다.
호모토피로 연결된 경로 와 을 '''호모토픽'''하다고 한다 (또는 더 정확하게는 '''경로-호모토픽'''이라고 하여, 고정된 공간 사이의 모든 연속 함수에 대해 정의된 관계와 구별한다). 마찬가지로, 기준점을 고정하는 루프의 호모토피를 정의할 수 있다.
호모토픽이라는 관계는 위상 공간에서 경로에 대한 동치 관계이다. 이 관계에 따른 경로 의 동치류는 의 '''호모토피류'''라고 하며, 종종 로 표기한다.
5. 2. 호모토피류
경로와 루프는 대수적 위상수학의 한 분야인 호모토피 이론의 핵심 연구 대상이다. 경로의 호모토피는 경로의 양 끝점을 고정하면서 연속적으로 변형하는 개념을 명확하게 한다.구체적으로, 에서의 경로의 호모토피 또는 '''경로-호모토피'''는 로 색인된 경로 의 집합으로, 다음과 같다.
- 및 는 고정된다.
- 로 주어지는 사상 는 연속이다.
호모토피로 연결된 경로 와 을 '''호모토픽'''하다고 한다 (또는 더 정확하게는 '''경로-호모토픽'''이라고 하여, 고정된 공간 사이의 모든 연속 함수에 대해 정의된 관계와 구별한다). 마찬가지로, 기준점을 고정하는 루프의 호모토피를 정의할 수 있다.
호모토픽이라는 관계는 위상 공간에서 경로에 대한 동치 관계이다. 이 관계에 따른 경로 의 동치류는 의 '''호모토피류'''라고 하며, 종종 로 표기한다.
6. 경로 합성
위상 공간에서 경로를 합성하는 방법은 다음과 같다. 경로 ''f''가 ''x''에서 ''y''까지 이어지고, 경로 ''g''가 ''y''에서 ''z''까지 이어질 때, 이 두 경로를 합성하여 새로운 경로 ''fg''를 만들 수 있다. 이 경로는 먼저 ''f''를 따라 ''y''까지 이동한 후, ''g''를 따라 ''z''까지 이동하는 경로로 정의된다.
경로 합성은 ''f''의 끝점과 ''g''의 시작점이 일치하는 경우에만 정의된다. 시작점과 끝점이 같은 루프들을 모아놓고 보면, 경로 합성은 이항 연산이 된다.
하지만, 경로 합성은 매개변수를 어떻게 설정하느냐에 따라 결합 법칙이 성립하지 않을 수 있다. 예를 들어 세 경로 ''f'', ''g'', ''h''가 있을 때, (''fg'')''h'' 와 ''f''(''gh'')는 서로 다른 매개변수화를 가질 수 있다. 그러나 경로-호모토피 개념을 도입하면 이러한 차이는 무시할 수 있으며, 결합 법칙이 성립한다고 볼 수 있다. 즉, [(fg)h] = [f(gh)]이다.
특정 점 에서 시작하여 다시 로 돌아오는 닫힌 경로들의 호모토피 클래스들을 모으면, 경로 합성을 연산으로 하는 군을 이룬다. 이 군을 를 기점으로 하는 기본군이라 하고, 로 표기한다.
경로 합성이 엄밀하게 결합 법칙을 만족하도록 하기 위해, 무어 경로의 개념을 사용할 수 있다.
6. 1. 경로 합성의 정의
위상 공간에서 경로를 합성하는 방법은 다음과 같다. 가 에서 까지의 경로이고, 가 에서 까지의 경로라고 가정할 때, 경로 는 먼저 를 따라가고, 다음으로 를 따라가는 경로로 정의된다.:
경로 합성은 의 종점이 의 시작점과 일치할 때만 정의된다. 점 를 기반으로 하는 모든 루프를 고려하면, 경로 합성은 이항 연산이다.
경로 합성은 정의될 때마다, 매개변수화의 차이로 인해 결합 법칙이 성립하지 않는다. 그러나 경로-호모토피까지는 결합적이다. 즉, 이다. 경로 합성은 의 점 를 기반으로 하는 루프의 호모토피 클래스 집합에 군 구조를 정의한다. 결과로 얻어지는 군은 의 점 를 기반으로 하는 기본군이라고 하며, 일반적으로 로 표기한다.
경로 합성에 대한 결합 법칙이 정확하게 성립해야 하는 상황에서는, 의 경로는 대신 임의의 실수 에 대해 구간 에서 로의 연속 함수로 정의될 수 있다. (이러한 경로는 무어 경로라고 한다.) 이러한 종류의 경로 는 로 정의된 길이 를 갖는다. 그런 다음 경로 합성은 다음과 같은 수정 사항을 사용하여 이전과 같이 정의된다.
:
이전 정의에서는 및 가 모두 길이 (함수의 정의 구역의 길이)을 갖는 반면, 이 정의는 를 만든다. 이전 정의에서 결합 법칙이 성립하지 않았던 이유는 와 가 동일한 길이, 즉 을 갖지만, 의 중간점이 와 사이에 발생하는 반면, 의 중간점은 와 사이에 발생했기 때문이다. 이 수정된 정의에서는 와 가 동일한 길이, 즉 를 가지며, 두 경우 모두 와 에서 에서 동일한 중간점을 갖는다. 더 일반적으로는 전체적으로 동일한 매개변수화를 갖는다.
6. 2. 경로 합성의 성질
위상 공간에서 두 경로를 합성하는 방법은 다음과 같이 정의된다. 가 에서 까지의 경로이고, 가 에서 까지의 경로라고 할 때, 경로 는 먼저 를 따라가고, 다음으로 를 따라가는 경로이다.:
경로 합성은 의 종점이 의 시작점과 일치할 때만 정의된다. 점 를 기반으로 하는 모든 루프(닫힌 경로)를 고려하면, 경로 합성은 이항 연산이 된다.
하지만 경로 합성은 매개변수화의 차이 때문에 결합 법칙이 성립하지 않는다. 예를 들어, 와 는 같은 경로를 나타내지만, 매개변수화가 다르다. 그러나 경로-호모토피를 고려하면 결합 법칙이 성립한다. 즉, 이다.
경로 합성은 의 점 를 기반으로 하는 루프의 호모토피 클래스 집합에 군 구조를 정의한다. 이 결과로 얻어지는 군을 의 점 를 기반으로 하는 기본군이라 하며, 로 표기한다.
경로 합성에 대한 결합 법칙을 엄밀하게 만들기 위해, 경로를 구간 (인 실수)에서 로의 연속 함수로 정의할 수 있다. 이러한 경로를 무어 경로라고 한다. 이 경우 경로 의 길이는 로 정의된다. 경로 합성은 다음과 같이 수정된다.
:
이 수정된 정의에서는 와 는 같은 길이 를 가지며, 중간점도 로 같고, 전체적으로 동일한 매개변수화를 갖게 되어 결합 법칙이 성립한다.
7. 기본군 및 기본 아군
범주론적으로 경로를 다루는 방법도 유용하다. 임의의 위상 공간 $X$에 대해, $X$의 각 점을 대상으로 하고, 경로의 호모토피류를 사상으로 하는 범주를 생각할 수 있다. 이 범주는 모든 사상이 동형 사상이므로 groupoid이며, $X$의 기본 아군(fundamental groupoid)이라고 불린다.
이 범주에서 닫힌 경로는 자기 사상 (실제로는 자기 동형 사상)에 대응한다. $x_0$을 기점으로 하는 $X$ 내의 닫힌 경로 전체가 이루는 자기 동형군은 $x_0$을 기점으로 하는 기본군과 같다.
더 일반적으로, $X$의 임의의 부분 집합 $A$ 위의 기본 아군을 정의할 때는 $A$ 내의 점을 잇는 경로에 관한 호모토피류를 사용한다. 이러한 방식은 반 캄펜 정리에서 유용하게 활용된다.
7. 1. 기본군 (Fundamental Group)
위상 공간에서 경로를 합성하는 방법은 다음과 같다. 가 에서 까지의 경로이고, 가 에서 까지의 경로라고 가정할 때, 경로 는 먼저 를 따라가고, 다음으로 를 따라가는 경로로 정의된다.:
경로 합성은 의 종점이 의 시작점과 일치할 때만 정의된다. 점 를 기반으로 하는 모든 루프를 고려하면, 경로 합성은 이항 연산이다.
경로 합성은 정의될 때마다 매개변수화의 차이로 인해 결합 법칙이 성립하지 않는다. 그러나 경로-호모토피까지는 결합적이다. 즉, 이다. 경로 합성은 의 점 를 기반으로 하는 루프의 호모토피 클래스 집합에 군 구조를 정의한다. 결과로 얻어지는 군은 의 점 를 기반으로 하는 기본군이라고 하며, 일반적으로 로 표기한다.
경로 합성에 대한 결합 법칙이 정확하게 성립해야 하는 상황에서는, 의 경로는 임의의 실수 에 대해 구간 에서 로의 연속 함수로 정의될 수 있다. (이러한 경로는 무어 경로라고 한다.) 이러한 종류의 경로 는 로 정의된 길이 를 갖는다. 그런 다음 경로 합성은 다음과 같은 수정 사항을 사용하여 이전과 같이 정의된다.
:
이전 정의에서는 및 가 모두 길이 (함수의 정의 구역의 길이)을 갖는 반면, 이 정의는 를 만들기 때문이다. 이전 정의에서 결합 법칙이 성립하지 않았던 이유는 와 가 동일한 길이, 즉 을 갖지만, 의 중간점이 와 사이에 발생하는 반면, 의 중간점은 와 사이에 발생했기 때문이다. 이 수정된 정의에서는 와 가 동일한 길이, 즉 를 가지며, 두 경우 모두 와 에서 에서 동일한 중간점을 갖는다. 더 일반적으로는 전체적으로 동일한 매개변수화를 갖는다.
7. 2. 기본 아군 (Fundamental Groupoid)
위상 공간 는 범주를 생성하는데, 여기서 대상은 의 점이고, 사상은 경로의 호모토피 동치류이다. 이 범주의 모든 사상은 동형 사상이므로, 이 범주는 의 기본 군군이라고 하는 군군이다. 이 범주에서의 루프는 자기 사상 (실제로 모두 자기 동형 사상)이다. 의 점 의 자기 동형 군은 를 기준으로 하는 기본 군과 같다. 더 일반적으로, 의 점들을 연결하는 경로의 호모토피 동치류를 사용하여 의 임의의 부분 집합 에 대한 기본 군군을 정의할 수 있다. 이는 반 캄펜 정리에 유용하다.경로를 범주론적으로 다루는 것도 때로는 유효하다. 임의의 위상 공간 에 대해, 의 각 점을 대상으로 하고, 경로의 호모토피류를 사상으로 하는 범주를 생각할 수 있다. 이 범주에 속하는 임의의 사상은 동형 사상이 되므로, 이 범주는 groupoid영어이며, 의 fundamental groupoid영어라고 불린다. 이 범주에서의 닫힌 경로는 자기 사상 (따라서 실제로는 자기 동형 사상)에 대응하며, 을 기점으로 하는 내의 닫힌 경로 전체가 이루는 자기 동형군은 을 기점으로 하는 기본군과 같다. 더 일반적으로, 의 임의의 부분 집합 위의 기본 아군을, 내의 점을 잇는 경로에 관한 호모토피류를 사용하여 정의할 수 있다. 그렇게 다루는 것은 반 캄펜 정리에서 편리하다.
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