고이데 공식

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1. 개요
2. 공식
3. 공식의 특징
- 3.1. 순열 대칭성
- 3.2. 척도 불변성
4. 공식의 해석 및 의의
5. 쿼크 질량과의 관계
- 5.1. 무거운 쿼크
- 5.2. 가벼운 쿼크
6. 추측적 확장
7. 이론적 기원
8. 비판적 시각
참조

1. 개요

고이데 공식은 전자, 뮤온, 타우 입자의 질량과 이들의 제곱근 합의 제곱 간의 비율로 정의되는 수식으로, 약 2/3에 근사하는 값을 갖는다. 이 공식은 세 입자의 질량 합과 제곱근 합의 제곱 간의 관계를 나타내며, 순열 대칭성과 척도 불변성을 가진다. 고이데 공식은 쿼크의 질량에서도 유사한 형태로 나타나며, 쿼크의 질량 관계를 설명하는 데에도 사용될 수 있다. 그러나 이 공식의 이론적 기원은 명확히 밝혀지지 않아, 많은 물리학자들은 이 관계를 수비학의 일종으로 간주한다.

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고이데 공식
개요
이름	고이데 공식
원어명	Koide formula (영어)
일본어	小出の質量公式 (고이데노 시쓰료코시키)
분야	입자물리학
주제	경험식
설명	전하를 띤 렙톤의 질량 관계를 나타내는 경험식
공식
공식	Q = (mₑ + mµ + mτ) / (√mₑ + √mµ + √mτ)² ≈ 2/3
변수 설명	mₑ: 전자의 질량 mµ: 뮤온의 질량 mτ: 타우 입자의 질량
Q 값	2/3에 가까움
역사
제안자	고이데 요시오
발표 시기	1981년
중요성 및 논란
중요성	렙톤 질량 간의 관계를 나타내는 간단한 공식
논란	이론적 배경이 명확히 밝혀지지 않음

2. 공식

Koide formula|고이데 공식^영어은 다음과 같이 표현된다.

: $Q = \frac{m_e + m_{\mu} + m_{\tau}}{(\sqrt{m_e}+\sqrt{m_{\mu}}+\sqrt{m_{\tau}})^2} \approx \frac{2}{3}.$

여기서 전자, 뮤온, 타우의 질량은 각각 ''m''_e, ''m''_μ, ''m''_τ이다. 괄호 안의 숫자는 불확실성을 나타낸다.^[26] 이 실험값들을 대입하면 ''Q'' 값을 얻는다.^[27]

이 분수는 를 만족하는데, 여기서 상한값은 제곱근이 양수임을 가정하여 얻을 수 있다. 또한, 코시-슈바르츠 부등식으로부터, 이 공식은 두 벡터가 이루는 각의 코사인의 제곱으로 해석할 수 있다. 즉, 벡터

: $(\sqrt{m_e},\sqrt{m_{\mu}},\sqrt{m_{\tau}})$

와

: $(1,1,1)$

가 이루는 각의 코사인의 제곱으로 해석할 수 있다.

고이데 공식의 수수께끼는 그 물리적인 값에 있다. ''Q''는 두 개의 극한값, 즉 세 개의 렙톤이 축퇴되는 극한에서의 값 1/3과 하나의 렙톤 질량이 무거운 극한에서의 값 1의 정확히 중간값을 준다는 점이 특이하다.

3. 공식의 특징

고이데 공식은 다음과 같다.^[29]

: $Q = \frac{\; m_e + m_\mu + m_\tau \;}{\left(\,\sqrt{m_e\,} + \sqrt{m_\mu\,} + \sqrt{m_\tau\,} \,\right)^2} = 0.666661(7) \approx \frac{\,2\,}{3}~,$

여기서 전자, 뮤 입자, 타우 입자의 질량은 각각 , , 이며, 괄호 속의 숫자는 측정 불확실성을 나타낸다.^[2] 이 값을 대입하면 = 이 된다.^[30]

어떤 질량을 대입하더라도 ≤ < 1 이라는 범위가 나오는데, 최댓값은 분모가 제곱근 형태이기 때문에 수학적으로 성립하며, 최솟값은 코시-슈바르츠 부등식을 따른다. 실험적으로 측정한 값인 은 이 범위의 정중앙에 위치한다.

로버트 풋은 고이데 공식을 $\frac{1}{\,3\,Q\,}$ 의 값이 $\left[\,\sqrt{m_e\,}, \sqrt{m_\mu\,}, \sqrt{m_\tau\,}\,\right]$ 벡터와 $[1, 1, 1]$ 벡터 사이의 코사인 제곱 사이의 각도(스칼라곱)를 나타내는 것으로 보았는데,^[3] 이 경우 각도는 정확히 45도가 된다( $\theta = (45.000 \pm 0.001)^\circ~.$ ).^[3]

만약 공식에서 의 값이 정확히 라고 한다면, 전자와 뮤 입자의 질량에서 타우 입자의 질량을 예측하는 데 사용할 수 있으며, 이 경우 타우 입자의 질량 = 이 된다.^[32]

고이데 공식은 앞선입자 모형을 기반으로 만들어졌으나, 이를 유도하는 방법 또한 발견되었다. 하지만, 고이데 공식의 원리는 아직 밝혀지지 않은 상태이다. 쿼크의 질량에서도 비슷한 관계가 발견되었으며,^[33]^[34]^[35] 이를 적용하면 꼭대기 쿼크의 질량을 173.263947(6) GeV로 유도할 수 있다.^[36] 특히 쿼크의 질량은 에너지 크기를 사용하기 때문에 분석이 더욱 어렵다.^[38]

양자장론에 따르면, 결합 상수나 질량은 에너지 규모에 따라 증가하기 때문에,^[42] 각 변수의 값은 재규격화에 따라 관측한 에너지 규모에 따라 변화한다.^[43] 에너지가 높아 대칭이 파괴되지 않았을 경우에 각 값 사이의 관계는 간단하지만, 에너지가 낮아질수록 재규격화가 복잡해져 관계 또한 복잡해진다. 고이데 공식은 에너지가 낮은 경우인 극 질량에서 정확히 성립하기 때문에, 과학자 다수는 이 관계를 수비학의 일종으로 본다.^[44]

일본의 물리학자 스미노 유키나리는 유효 이론을 통해, 새로 발생한 게이지 대칭이 고이데 공식을 정확히 충족하게 된다는 새 기작을 주장했다.^[45]

3. 1. 순열 대칭성

고이데 공식은 세 개의 전하를 띤 렙톤 질량

m_\text{e}

,

m_\mu

,

m_\tau

사이에서 순열 대칭성을 나타낸다.^[9] 이는

Q

의 값이 이러한 질량의 어떤 교환 하에서도 변하지 않는다는 것을 의미한다. 관계가 질량의 합과 그 제곱근의 합에 의존하므로,

m_\text{e}

,

m_\mu

,

m_\tau

의 어떤 순열도

Q

를 불변으로 유지한다.

:

Q = \frac{m_\text{e} + m_\mu + m_\tau}{\left( \sqrt{m_\text{e}} + \sqrt{m_\mu} + \sqrt{m_\tau} \right)^2} = \frac{m_{\sigma(\text{e})} + m_{\sigma(\mu)} + m_{\sigma(\tau)}}{\left( \sqrt{m_{\sigma(\text{e})}} + \sqrt{m_{\sigma(\mu)}} + \sqrt{m_{\sigma(\tau)}} \right)^2}

여기서

\sigma

는

\{ \text{e}, \mu, \tau \}

의 임의의 순열이다.

3. 2. 척도 불변성

양자장론에 따르면, 결합 상수나 질량은 에너지 규모에 따라 증가하기 때문에,^[42] 각 변수의 값은 재규격화에 따라 관측한 에너지 규모에 따라 변화한다.^[43] 에너지가 높아 대칭이 파괴되지 않았을 경우에 각 값 사이의 관계는 간단하지만, 에너지가 낮아질수록 재규격화가 복잡해져 관계 또한 복잡해진다. 고이데 공식은 에너지가 낮은 경우인 극 질량에서 정확히 성립하기 때문에, 과학자 다수는 이 관계를 수비학의 일종으로 본다.^[44]

고이데 관계는 척도 불변성을 갖는다. 즉, 각 질량에 공통 상수

\lambda

를 곱해도

Q

의 값에는 영향을 미치지 않는다.

m'_i = \lambda m_i

(여기서

i = \text{e}, \mu, \tau

)라고 하면, 다음과 같다.

\begin{align}Q' &= \frac{m'_\text{e} + m'_\mu + m'_\tau}{\left( \sqrt{m'_\text{e}} + \sqrt{m'_\mu} + \sqrt{m'_\tau} \right)^2} \\&= \frac{\lambda m_\text{e} + \lambda m_\mu + \lambda m_\tau}{\left( \sqrt{\lambda m_\text{e}} + \sqrt{\lambda m_\mu} + \sqrt{\lambda m_\tau} \right)^2} \\&= \frac{\lambda (m_\text{e} + m_\mu + m_\tau)}{\left( \sqrt{\lambda} (\sqrt{m_\text{e}} + \sqrt{m_\mu} + \sqrt{m_\tau}) \right)^2} \\&= \frac{\lambda (m_\text{e} + m_\mu + m_\tau)}{\lambda \left( \sqrt{m_\text{e}} + \sqrt{m_\mu} + \sqrt{m_\tau} \right)^2} \\&= \frac{m_\text{e} + m_\mu + m_\tau}{\left( \sqrt{m_\text{e}} + \sqrt{m_\mu} + \sqrt{m_\tau} \right)^2} \\&= Q\end{align}

따라서

Q

는 질량을 공통 인수로 스케일링해도 변경되지 않는다.

4. 공식의 해석 및 의의

고이데 공식은 다음과 같다.

: $Q = \frac{\; m_e + m_\mu + m_\tau \;}{\left(\,\sqrt{m_e\,} + \sqrt{m_\mu\,} + \sqrt{m_\tau\,} \,\right)^2} = 0.666661(7) \approx \frac{\,2\,}{3}~,$

여기서 전자, 뮤 입자, 타우 입자의 질량은 각각 , , 이며, 괄호 속의 숫자는 측정 불확실성이다.^[29] 이 값을 대입하면 = 이 된다.^[30]

어떤 질량을 대입하더라도 ≤ < 1 이 되는데, 상한값은 분모가 제곱근 형태이기 때문에 수학적으로 성립하며, 하한값은 코시-슈바르츠 부등식을 따른다. 실험적으로 측정한 값인 은 범위 정중앙에 위치한다.

여기서 제기되는 의문은 값 자체에 있는데, 전혀 관련이 없어 보이는 세 숫자를 합치면 간단한 분수가 나오고, 거기에 전자, 뮤 입자, 타우 입자를 사용하면 의 값이 양 극단 (세 질량이 같을 경우 , 하나의 질량이 매우 클 경우 1) 사이에 정확히 위치한다는 것이다.

로버트 풋은 고이데 공식을 $\frac{1}{\,3\,Q\,}$ 의 값이 $\left[\,\sqrt{m_e\,}, \sqrt{m_\mu\,}, \sqrt{m_\tau\,}\,\right]$ 벡터와 $[1, 1, 1]$ 벡터 사이의 코사인 제곱 사이의 각도(스칼라곱)를 나타내는 것으로 보았는데,^[31] 이 경우 각도는 정확히 45도가 된다( $\theta = (45.000 \pm 0.001)^\circ~.$ ).^[31]

만약 공식에서 의 값이 정확히 라고 한다면, 전자와 뮤 입자의 질량에서 타우 입자의 질량을 예측하는 데 사용할 수 있으며, 이 경우 타우 입자의 질량 = 이 된다.^[32]

고이데 공식은 앞선입자 모형을 기반으로 만들어졌으나, 이를 유도하는 방법 또한 발견되었다. 하지만, 고이데 공식의 원리는 아직 밝혀지지 않은 상태이다.

쿼크의 질량에서도 비슷한 관계가 발견되었으며,^[33]^[34]^[35] 이를 적용하면 꼭대기 쿼크의 질량을 173.263947(6) GeV로 유도할 수 있다.^[36] 고이데 공식과 유사한 형태로 쿼크의 질량 사이의 관계를 설명하는 공식이 있는데, 특히 쿼크의 질량은 에너지 크기를 사용하기 때문에, 분석이 더욱 어렵다.^[38]

양자장론에 따르면, 결합 상수나 질량은 에너지 규모에 따라 증가하기 때문에,^[42] 각 변수의 값은 재규격화에 따라 관측한 에너지 규모에 따라 변화한다.^[43] 에너지가 높아 대칭이 파괴되지 않았을 경우에 각 값 사이의 관계는 간단하지만, 에너지가 낮아질수록 재규격화가 복잡해져 관계 또한 복잡해진다. 고이데 공식은 에너지가 낮은 경우인 극 질량에서 정확히 성립하기 때문에, 과학자 다수는 이 관계를 수비학의 일종으로 본다.^[44]

일본의 물리학자 스미노 유키나리는 유효 이론을 통해, 새로 발생한 게이지 대칭이 고이데 공식을 정확히 충족하게 된다는 새 기작을 주장했다.^[45]

5. 쿼크 질량과의 관계

쿼크 질량은 이를 측정하는 데 사용되는 에너지 척도에 따라 달라지기 때문에 분석이 복잡하다.^[13] 고이데 공식과 유사하게 쿼크 질량 사이의 관계를 설명하는 공식들이 존재한다.

: $Q_\text{middle} = \frac{m_\text{s} + m_\text{c} + m_\text{b}}{\left(- \sqrt{m_\text{s}} + \sqrt{m_\text{c}} + \sqrt{m_\text{b}} \right)^2} \approx 0.675$

위 식은 Rivero의 분석의 일부로 출판되었으며,^[16] 그는 맵시 쿼크 질량 값을 증가시키면 'heavy'와 'middle'의 두 방정식이 정확해진다고 언급했다.

5. 1. 무거운 쿼크

쿼크의 질량은 측정에 사용되는 에너지 척도에 따라 달라지기 때문에, 쿼크 질량 사이의 관계를 설명하는 공식은 분석이 더 어렵다.^[38]

가장 무거운 세 쿼크인 맵시(1.275 ± 0.03 GeV), 바닥(4.180 ± 0.04 GeV), 꼭대기(173.0 ± 0.40 GeV)의 질량으로, 측정치의 불확실성을 고려하지 않고 다음 식을 세울 수 있다.^[40]

:

Q_\text{heavy} = \frac{m_c + m_b + m_t}{\big(\sqrt{m_c} + \sqrt{m_b} + \sqrt{m_t}\big)^2} \approx 0.669 \approx \frac{2}{3}.

2011년에 발표된 논문의 초고에서 이 관계가 언급되었지만,^[39] 출판 과정에서 삭제되었고,^[33] 2012년에 최초로 출판되었다.^[40]

5. 2. 가벼운 쿼크

쿼크의 질량 사이의 관계를 설명하는 공식은 고이데 공식과 유사한 형태를 띤다. 하지만 쿼크의 질량은 에너지 크기에 따라 달라지기 때문에 분석이 더 어렵다.^[38]

가벼운 쿼크인 위(up quark^영어) (), 아래(down quark^영어) (), 기묘(strange quark^영어) ()의 질량 관계식은 불확실성을 고려하지 않을 경우 다음과 같이 나타낼 수 있다.^[40]

:

Q_\text{light} = \frac{m_u + m_d + m_s}{\big(\sqrt{m_u} + \sqrt{m_d} + \sqrt{m_s}\big)^2} \approx 0.56 \approx \frac{5}{9},

1978년 H. 하라리 등의 연구에서는 위, 아래, 기묘 쿼크의 질량을 계산하면서 위 쿼크의 질량을 0으로 가정했는데, 이는 우연히 고이데 공식과 유사한 형태를 띠었다.^[41] 현대에 사용하는 형식으로 변환한 값은 다음과 같다.

:

Q_\text{light} = \frac{0 + m_d + m_s}{\big(\sqrt{0} + \sqrt{m_d} + \sqrt{m_s}\big)^2} \approx 0.70

6. 추측적 확장

칼 브란넨은 경입자의 질량이 다음 관계에 따라 순환 행렬의 고윳값의 제곱으로 주어진다고 주장하였다.^[32]^[4]

: $\sqrt{\,m_n\;} = \mu \left[\,1 + 2 \eta \cos\left( \delta + \frac{\,2\pi\,}{3}\cdot n \right) \,\right]$ (단 n = 0, 1, 2, ...)

여기에 η² = 0.500003(23), 위상값 δ = 0.2222220(19)(2/9와 유사)를 대입하면 실험 결과와 일치하나, η² = 1/2과 δ = 2/9라는 값 자체가 실험 결과와 일치하지 않는 문제가 있다.^[32]^[4]

쿼크에서도 비슷한 관계가 제안되었는데, 여기서 위상값은 2/27 = 2/9 × 1/3과 4/27 = 2/9 × 2/3으로, 입자 간 전하량의 차이를 내포하고 있다(쿼크에서 1/3과 2/3, 경입자에서 3/3 = 1).^[37]^[10]

7. 이론적 기원

양자장론에 따르면, 결합 상수나 질량은 에너지 규모에 따라 증가하기 때문에,^[42] 각 변수의 값은 재규격화에 따라 관측한 에너지 규모에 따라 변화한다.^[43] 에너지가 높아 대칭이 파괴되지 않았을 경우에 각 값 사이의 관계는 간단하지만, 에너지가 낮아질수록 재규격화가 복잡해져 관계 또한 복잡해진다. 고이데 공식은 에너지가 낮은 경우인 극 질량에서 정확히 성립하기 때문에, 과학자 다수는 이 관계를 수비학의 일종으로 본다.^[44]

일본의 물리학자 스미노 유키나리는 유효 이론을 통해, 새로 발생한 게이지 대칭이 고이데 공식을 정확히 충족하게 된다는 새 기작을 주장했다.^[45]

로버트 풋은 고이데 공식을 기하학적 관계로 해석했는데, 여기서 값 $\textstyle \frac{ 1 }{3 Q}$ 는 벡터 $[ \sqrt{ m_\text{e} }, \sqrt{ m_\mu }, \sqrt{ m_\tau } ]$ 와 벡터 사이 각도의 제곱 코사인이다(''내적'' 참조).^[3] 그 각도는 거의 정확히 45도이다: $\theta = 45.000^\circ \pm 0.001^\circ .$ ^[3]

공식이 정확하게 성립한다고 가정할 때, (더 정확하게 알려진) 전자와 뮤온의 질량으로부터 타우 질량을 예측하는 데 사용할 수 있는데, 그 예측값은 이다.^[4]

원래 공식은 프리온 모델의 맥락에서 나왔지만, 다른 방법으로 이를 유도하는 방법이 발견되었다(스미노와 고이데에 의해). 그러나 전체적으로 이해는 불완전하다. 유사한 일치가 실행 질량에 따라 쿼크의 삼중항에 대해 발견되었다.^[5]^[6]^[7] 교대 쿼크를 사용하여 연속적인 삼중항에 대한 고이데 방정식을 연결하면 톱 쿼크의 질량에 대해 의 결과를 얻을 수 있다.^[8]

고이데 공식의 기원은 다음과 같다.^[11]

: $m_{e_i} \propto (z_0 + z_i)^2$ 을 가정하고 다음과 같은 조건을 부여한다.

: $z_1 + z_2 + z_3 = 0$

: $\tfrac{ 1 }{ 3 } (z_1^2+z_2^2+z_3^2) = z_0^2$

이로부터 공식이 도출된다. 게다가, 중성미자와 아래 쿼크의 질량은 $z_i^2$ 에 비례한다고 가정되었고, 위 쿼크의 질량은 $\propto ( z_0 + 2 z_i )^2 ~.$ 에 비례한다고 가정되었다.

출판된 모델^[12]은 첫 번째 조건을 대칭 붕괴 계획의 일부로, 두 번째 조건을 이 대칭 붕괴를 일으키는 상호 작용에서 프리온에 대한 "맛 전하"로 정당화한다.

행렬 형식으로 $M = A\ A^\dagger$ and $A = Z_0 + Z$ 로 나타낼 때, 방정식은 단순히 $\operatorname{tr} Z = 0$ and $\operatorname{tr} Z_0^2 = \operatorname{tr} Z^2 .$ 이다.

8. 비판적 시각

양자장론에 따르면, 결합 상수나 질량은 에너지 규모에 따라 증가하기 때문에, 각 변수의 값은 재규격화에 따라 관측한 에너지 규모에 따라 변화한다.^[42]^[43] 에너지가 높아 대칭이 파괴되지 않았을 경우에 각 값 사이의 관계는 간단하지만, 에너지가 낮아질수록 재규격화가 복잡해져 관계 또한 복잡해진다. 고이데 공식은 에너지가 낮은 경우인 극 질량에서 정확히 성립하기 때문에, 과학자 다수는 이 관계를 "수비학"의 일종으로 본다.^[44]

하지만 일본의 물리학자 스미노 유키나리는 대전된 렙톤 스펙트럼의 기원과 고이데 공식을 설명하기 위한 메커니즘을 제안했다. 예를 들어 극 질량이 관계식을 정확히 만족하도록 하는 새로운 게이지 대칭을 가진 유효장 이론을 구성하는 방식으로 설명했다.^[21]

참조

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