대칭 (물리학)
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1. 개요
대칭(물리학)은 물리계의 불변성을 설명하는 개념으로, 역사, 종류, 응용 분야, 그리고 일반화된 형태로 연구된다. 물리학에서 대칭성은 연속 대칭과 이산 대칭으로 나뉘며, 상대성 이론, 표준 모형, 양자역학 등 여러 분야에서 중요한 역할을 한다. 연속 대칭은 시공간 대칭성을 포함하며, 이산 대칭은 시간 반전, 공간 반전, 글라이드 반사 등을 포함한다. 뇌터 정리는 대칭성과 보존 법칙 사이의 관계를 설명하며, 에너지, 운동량, 각운동량 등의 보존과 관련된다. 또한, 국소적 대칭성과 대역적 대칭성, 자발적 대칭성 깨짐 등 다양한 관련 개념이 존재하며, 한국 물리학계에서도 대칭성 연구가 이루어지고 있다.
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| 대칭 (물리학) | |
|---|---|
| 서론 | |
| 대칭 (물리학) | 물리학에서 계나 물리 법칙의 어떤 특징이 특정 변환 아래에서 변하지 않는 성질 |
| 개요 | |
| 대칭 | 물리학의 기본 개념 |
| 계의 불변성 | 변환에 대한 |
| 예시 | 공간 병진 회전 시간 이동 |
| 대칭 변환 | 계의 상태를 바꾸지 않는 변환 |
| 대칭 연산 | 병진 연산 회전 연산 반전 연산 |
| 형식적 정의 | |
| 변환 | 좌표의 변화 |
| 변환 연산자 | 상태 공간에서의 작용 |
| 대칭 조건 | 변환 후에도 물리 법칙이 동일 |
| 대칭의 종류 | |
| 연속적 대칭 | 공간 병진 대칭 시간 병진 대칭 회전 대칭 게이지 대칭 |
| 이산적 대칭 | 반전 대칭 (P) 시간 반전 대칭 (T) 전하 켤레 대칭 (C) CPT 대칭 |
| 대칭의 중요성 | |
| 물리 법칙 | 보존 법칙과의 관계 운동량 보존 에너지 보존 각운동량 보존 |
| 입자 물리학 | 기본 입자 분류 및 상호 작용 이해 |
| 수학적 표현 | |
| 군론 | 대칭 변환의 수학적 기술 |
| 리 군 | 연속적 대칭 기술 |
| 리 대수 | 리 군의 선형화된 표현 |
| 깨진 대칭 | |
| 자발적 대칭 깨짐 | 계의 기본 법칙은 대칭적 바닥 상태는 대칭적이지 않음 |
| 명시적 대칭 깨짐 | 물리 법칙 자체가 대칭적이지 않음 |
| 응집 물질 물리학 | 초전도 현상 강자성 현상 |
| 응용 | |
| 입자 물리학 | 쿼크 모형 표준 모형 힉스 메커니즘 |
| 응집 물질 물리학 | 결정 구조 고체 물리 |
| 핵물리학 | 핵 구조 핵 반응 |
| 우주론 | 초기 우주 우주 배경 복사 |
| 같이 보기 | |
| 관련 개념 | 대칭성 보존 법칙 군론 표준 모형 자발적 대칭 깨짐 |
2. 역사
대칭성에 대한 개념은 아주 옛날부터 존재해 왔다. 예를 들어, 방 안의 온도가 균일하다면, 방 안 어디에 있든 온도는 변하지 않는다. 즉, 온도에는 '불변성'이 있다. 마찬가지로, 균일한 구를 중심을 기준으로 회전시키면 회전 전과 똑같이 보인다. 이것은 구가 구면 대칭을 가지고 있다는 것을 의미한다.
물리계의 대칭성은 어떤 변화에도 "보존되는" 물리적 또는 수학적 특징(관측량 또는 내재량)이다. 이러한 변환에는 연속적인 변환(원의 회전)과 이산적인 변환(반사)이 있다. 연속 대칭성은 리 군으로, 이산 대칭성은 유한군으로 기술할 수 있다. 대칭성은 군 표현과 같이 수학적으로 표현하기 쉬우며, 많은 문제를 단순화하는 데 유용하게 사용된다.
예를 들어, 전선은 원통 대칭성을 보인다. 대전된 무한 길이의 전선으로부터의 거리 ''r''에서 전계 강도를 생각해 보자. 전선을 중심축으로 하는 반지름 ''r''의 원통 표면 위의 모든 점에서 전계 강도는 동일하다. 전선을 축으로 회전시켜도 전계 강도는 변하지 않으므로, 이 변환은 전계를 보존한다.
뉴턴 역학에서 질량 ''m''인 두 물체가 원점에서 정지해 있다가, ''x'' 축을 따라 반대 방향으로 하나는 ''v''1, 다른 하나는 ''v''2의 속도로 운동한다고 가정하자. 이 계의 전체 운동 에너지는 (1/2)''m''(''v''12 + ''v''22)이며, 속도를 서로 바꿔도 동일하게 유지된다. 즉, 전체 운동 에너지는 ''y'' 축에 대한 반사에 대해 보존된다.
노에터 정리는 물리계의 대칭성과 보존 법칙 사이의 관계를 설명한다. 이 정리에 따르면, 물리계의 연속적인 대칭성은 어떤 물리적 성질이 보존됨을 의미하고, 반대로 보존되는 양은 그에 대응하는 대칭성을 갖는다. 예를 들어, 공간의 등장 사상은 선형 운동량 보존의 법칙을, 시간의 등장 사상은 에너지 보존의 법칙을 낳는다.
다음 표는 몇 가지 기본적인 대칭성과 관련된 보존량을 나타낸다.
| 종류 | 불변성 | 보존량 |
|---|---|---|
| 로렌츠 대칭성 | 시간 병진 | 에너지 |
| 공간 병진 | 선형 운동량 | |
| 공간 회전 | 각운동량 | |
| 이산 대칭성 | P, 좌표 반전 | 공간 패리티 |
| C, 전하 켤레 변환 | C 패리티 | |
| T, 시간 반전 | T 패리티 | |
| CPT | 패리티의 곱 | |
| 내부 대칭성 | U(1) 게이지 변환 | 전하 |
| U(1) 게이지 변환 | 렙톤 생성 수 | |
| U(1) 게이지 변환 | 초전하 | |
| U(1)Y 게이지 변환 | 약 초전하 | |
| U(2) [U(1) × SU(2)] | 전약력 | |
| SU(2) 게이지 변환 | 아이소스핀 | |
| SU(2)L 게이지 변환 | 약 아이소스핀 | |
| P × SU(2) | G 패리티 | |
| SU(3) "회전수" | 바리온 수 | |
| SU(3) 게이지 변환 | 쿼크 색깔 | |
| SU(3) (근사적) | 쿼크 맛깔 | |
| S(U(2) × U(3)) [ U(1) × SU(2) × SU(3) ] | 표준 모형 |
2. 1. 20세기 이후
20세기에 들어 양자역학과 상대성이론이 등장하면서 대칭성은 물리학의 핵심 개념으로 자리 잡았다.2. 1. 1. 상대성이론의 등장
입자 물리학의 표준 모형은 세 가지 관련된 자연스러운 근사 대칭을 갖는다. 이는 우주가 특정 유형의 변화가 도입된 우주와 구별할 수 없다는 것을 의미한다.- C-대칭(전하 대칭): 모든 입자가 반입자로 대체되는 우주.
- P-대칭(패리티 대칭): 모든 것이 세 개의 물리적 축을 따라 대칭되는 우주. 이는 우젠슝의 우 실험에 의해 증명된 바와 같이 약한 상호작용을 제외한다.
- T-대칭(시간 반전 대칭): 시간의 방향이 반전된 우주.
이러한 대칭은 현재의 우주에서 각각 깨지기 때문에 근사 대칭이다. 그러나 표준 모형은 이 세 가지의 조합(즉, 세 가지 변환을 동시에 적용하는 것)이 반드시 대칭이어야 하며, 이를 CPT 대칭이라고 예측한다. C-대칭과 P-대칭의 조합의 위반인 CP 위반은 우주에 상당량의 중입자가 존재하기 위해 필요하다. CP 위반은 현재 입자 물리학에서 유망한 연구 분야이다.
3. 대칭성의 종류
물리계의 대칭성은 어떤 변화 하에서 "보존되는" 계의 물리적 또는 수학적인 특징을 의미한다. 이러한 대칭성은 크게 연속 대칭과 이산 대칭성으로 나눌 수 있다.[2]
- 연속 대칭성: 계의 기하학적 구조가 연속적으로 변해도 불변하는 특징을 갖는다. 예를 들어, 구를 회전시켜도 회전 전과 동일한 상태가 된다.
- 이산 대칭성: 계의 불연속적인 변화를 기술하는 대칭성이다. 예를 들어, 정사각형은 직각의 배수로 회전해야 원래 형태를 유지한다.
3. 1. 연속 대칭성
연속 대칭성은 연속적인 변환에 대해 불변하는 성질을 의미한다. 구형 대칭과 원통형 대칭은 그 예시이다. 예를 들어 전선은 축을 중심으로 어떤 각도로든 회전할 수 있으며, 주어진 원통에서 전장 세기는 동일하다.수학적으로 연속 대칭은 매개변수의 함수로 연속 함수가 연속적으로 변화하는 변환으로 설명된다. 물리적 대칭을 설명하는 변환은 일반적으로 군을 형성하며, 군론은 물리학에서 중요한 분야이다. 연속 대칭은 ''연속군'' (리 군)으로 표현된다. 예를 들어, 구의 임의의 축을 중심으로 한 모든 정회전(임의의 각도)의 집합은 특수 직교군 SO(3)이라는 리 군을 형성한다.[2]
군의 작용 하에 에너지 범함수의 대칭에 의한 감소와 대칭군의 변환에 대한 자발적 대칭 깨짐은 입자물리학 (예: 전자기력과 약력의 통일 및 물리 우주론)의 주제를 설명하는 데 사용된다.
3. 1. 1. 시공간 대칭성
연속적인 ''시공간 대칭''은 공간과 시간의 변환과 관련된 대칭성이다. 시공간 대칭에는 다음과 같은 것들이 있다.- ''시간 이동'': 물리적 시스템은 특정 시간 간격 Δ''t'' 동안 동일한 특징을 가질 수 있다. 예를 들어, 고전 역학에서 중력의 영향을 받는 입자는 지구 표면에서 높이 ''h''에 매달려 있을 때 중력 위치 에너지 ''mgh''를 갖는다. 입자의 높이가 변경되지 않는다고 가정하면, 이것은 모든 시간에서 입자의 총 중력 위치 에너지가 된다.[2]
- ''공간 변환'': 시스템의 속성이 위치의 연속적인 변화에 따라 변경되지 않는 상황을 설명한다. 예를 들어, 방의 온도는 온도계가 방의 어디에 위치하든 관계없이 일정할 수 있다.[3]
- ''공간 회전'': 고유 회전과 부정 회전으로 분류된다. 전자는 '일반적인' 회전이고, 후자는 고유 회전과 공간 반사(반전)의 조합으로 구성된다. 예를 들어, 구는 고유 회전 대칭을 갖는다.
- ''푸앵카레 변환'': 민코프스키 시공간에서 거리를 보존하는 시공간 대칭이다. 민코프스키 공간의 등거리 변환이며, 주로 특수 상대성 이론에서 연구된다. 원점을 고정하는 등거리 변환은 로렌츠 변환이라고 하며 로렌츠 공변성을 발생시킨다.[4]
- ''사영 대칭'': 시공간의 측지선 구조를 보존하는 시공간 대칭이다. 일반 상대성 이론의 정확한 해 연구에 많이 응용된다.
- ''반전 변환'': 푸앵카레 변환을 일반화하여 시공간 좌표에 대한 다른 등각 일대일 변환을 포함한다. 반전 변환에서는 길이가 불변하지 않지만, 불변인 네 점에 대한 교차비가 있다.
수학적으로, 시공간 대칭은 일반적으로 매끄러운 함수인 벡터장으로 매끄러운 다양체에서 설명된다. 가장 중요한 벡터장 중 일부는 다양체의 기본 계량 텐서 구조를 보존하는 시공간 대칭인 킬링 벡터장이다. 킬링 벡터장은 다양체의 두 점 사이의 거리를 보존하며 종종 등거리 변환이라고 불린다.
3. 1. 2. 게이지 대칭성
게이지 이론에서 "국소적" 대칭성을 기반으로 한 물리 이론의 중요한 형태로 게이지 대칭성이 있다. 표준 모형에서의 게이지 대칭성은 SU(3) × SU(2) × U(1) 군에 기초하고 있으며, 기본 상호작용의 세 가지를 기술하기 위해 사용된다. (대략적으로 말하면, SU(3) 군의 대칭성은 강한 상호작용을, SU(2) 군은 전약력을, 그리고 U(1) 군은 전자기력을 기술한다).[2]3. 1. 3. 초대칭성
표준 모형의 이론적 발전을 위해 사용된 대칭의 한 유형으로, 초대칭성이 있다. 초대칭성은 표준 모형에서 이미 개발된 것 외에 또 다른 물리적 대칭, 특히 보손과 페르미온 사이의 대칭이 있다는 아이디어에 기반한다. 초대칭성은 각 유형의 보손은 초대칭 파트너로서, 슈퍼파트너라고 불리는 페르미온을 가지며, 그 반대도 성립한다고 주장한다. 초대칭성은 아직 실험적으로 검증되지 않았다. 즉, 알려진 입자 중 다른 알려진 입자의 슈퍼파트너가 될 수 있는 올바른 속성을 가진 입자는 없다. 현재 LHC는 초대칭성을 시험하는 실험을 준비하고 있다.3. 2. 이산 대칭성
'''이산 대칭성'''(discrete symmetry)은 계의 불연속적인 변화를 기술하는 대칭성이다. 예를 들어, 정방형은 이산 대칭성을 가지는데, 직각의 배수에 의한 회전 조작만이 정방형의 원래 형태를 보존하기 때문이다. 이산 대칭성은 때때로 "교환(swapping)"의 몇 가지 유형을 포함하며, 이러한 교환은 일반적으로 "반사" 또는 "교환"(interchange)이라고 불린다.입자 물리학의 표준 모형은 자연의 세 가지 근사적인 대칭성(시간 반전, 공간 반전, 전하 켤레)을 갖는다. 표준 모형에서 이 세가지 대칭성은 각각은 깨져있지만, 이 셋을 동시에 적용한 CPT 대칭성은 깨지지 않는 대칭성으로 알려져 있다.[1]
3. 2. 1. 공간 반전 대칭성 (P 대칭성)
공간 반전은 형식의 변환으로 표현되며, 좌표가 '반전'될 때 시스템의 불변성을 나타낸다. 다시 말해, 이것은 특정 물체와 그 거울상 사이의 대칭이다. P 대칭성(패리티 대칭성)이라고도 불린다.[1]3. 2. 2. 전하 켤레 대칭성 (C 대칭성)
입자 물리학의 표준 모형은 자연의 세 가지 근사적인 대칭성과 관련이 있다. 이 대칭성에 따르면, 우리가 사는 실제 우주는 모든 입자가 해당 반입자로 대체된 우주와 구별할 수 없다. 이것이 C 대칭성(전하 대칭성)이다.C 대칭성은 현재 우주에서 깨졌기 때문에 근사적인 대칭성이다. 그러나, 표준 모형은 CPT의 세 가지 조합(세 가지 변환을 동시에 적용한 결과)은 대칭이어야 한다고 예측한다. 즉 CPT 대칭성이 성립한다고 생각된다. CP 대칭성 위반(C 및 P 대칭성 위반의 조합)은 우주에 바리온 물질이 많이 존재하기 위해 필수적이며, 나아가 생명 존재의 요건이 된다. CP 대칭성 위반 연구는 현재의 입자 물리학에서 결실 있는 분야가 되고 있다.
3. 2. 3. 시간 반전 대칭성 (T 대칭성)
많은 물리 법칙은 시간의 방향이 반전되어도 여전히 현실의 현상을 설명한다. 수학적으로는 t를 -t로 바꾸는 변환으로 표현된다. 예를 들어, 뉴턴의 운동 제2법칙은 방정식 F = m * r'' 에서 t가 -t로 대체되어도 여전히 유효하다.이는 수직으로 던져진 물체의 움직임을 기록한 다음 재생함으로써 설명할 수 있다(공기 저항 무시). 물체는 녹화가 정상적으로 재생되든 거꾸로 재생되든, 공중에서 동일한 포물선 궤적을 따르며, 따라서 위치는 물체가 최대 높이에 있는 순간에 대해 대칭이다. 반전된 시간에서는 속도도 반전된다.
입자 물리학의 표준 모형은 자연의 세 가지 근사적인 대칭성을 가지는데, 이 중 하나가 시간의 방향이 반전된 우주인 T 대칭성이다. T 대칭성은 직관과 상반되지만, 표준 모형은 엔트로피와 같은 전역적 성질이 아닌 국소적 성질을 묘사한다는 사실로 설명된다. 시간의 방향을 적절하게 반전시키려면 빅뱅과 그 결과로 일어나는 낮은 엔트로피 상태를 "미래"에 두어야 한다. 우리는 "과거" ("미래")를 현재보다 낮은 (높은) 엔트로피로 인식하므로, 이 가상의 시간 반전 우주의 주민들은 우리가 과거로 인식하는 것과 같은 것을 미래로 인식할 것이다.[1]
3. 2. 4. CPT 대칭성
입자 물리학의 표준 모형은 세 가지 관련된 자연의 근사적인 대칭성을 갖는다. 이러한 대칭성 때문에 우리가 사는 실제 우주는 다음과 같은 것과 구별할 수 없다.- 모든 입자가 해당 반입자로 대체된 우주. 이는 C 대칭성(전하 대칭성)이다.
- 모든 입자가 거울에 비친 듯 보이는 우주. P 대칭성(패리티 대칭성)이다.
- 시간의 방향(:en:entropy (arrow of time))이 반전된 우주. 이는 T 대칭성(시간 대칭성)이다.
T 대칭성은 직관과 상반되지만, 표준 모형은 엔트로피와 같은 전역적 성질이 아닌 국소적 성질을 묘사한다는 사실로 설명된다. 시간의 방향을 적절하게 반전시키려면 빅뱅과 그 결과로 일어나는 낮은 엔트로피 상태를 "미래"에 두어야 한다.
이러한 대칭성은 현재의 우주에서 깨졌기 때문에 근사적인 대칭성이다. 그러나, 표준 모형은 C, P, T의 세 가지 조합(세 가지 변환을 동시에 적용한 결과)은 대칭이어야 한다고 예측한다. 즉, CPT 대칭성이 성립한다고 생각된다. CP 대칭성 위반(C 및 P 대칭성 위반의 조합)은 우주에 바리온 물질이 많이 존재하기 위해 필수적이다. CP 대칭성 위반 연구는 현재의 입자 물리학에서 결실 있는 분야가 되고 있다.
3. 2. 5. 글라이드 반사
글라이드 반사는 병진과 반사의 조합으로 표현된다. 이러한 대칭성은 몇몇 결정 및 벽지 대칭성으로 알려진 몇몇 평면 대칭성에서 볼 수 있다.[3]4. 불변성
불변성은 특정 변환에 대해 어떤 속성(예: 양)이 변하지 않는 성질을 수학적으로 나타낸 것이다. 이 개념은 실생활에서 관찰되는 현상에도 적용할 수 있다. 예를 들어, 방 안의 온도가 균일하다면, 온도는 방 안 어디에서 측정하든 같다. 즉, 온도는 방 안에서의 위치 이동이라는 변환에 대해 ''불변''이다.
마찬가지로, 균일한 구를 그 중심을 기준으로 회전시키면 회전 전과 똑같이 보인다. 이를 구면 대칭이라고 하며, 구의 회전축을 중심으로 하는 회전은 구의 표면 모양을 보존한다.
물리계의 대칭성은 어떤 변화에도 "보존되는" 물리적 또는 수학적 특징(관측 가능한 양 또는 내재된 양)을 말한다. 이러한 변환에는 원의 회전과 같이 "연속적인" 변환과, 좌우 대칭인 물체의 반사나 정다각형의 회전처럼 "이산적인" 변환이 있다. 연속적인 변환은 리 군으로, 이산적인 변환은 유한군으로 기술할 수 있다.
4. 1. 힘의 불변성
힘의 불변성은 특정 변환에 대해 힘이 변하지 않음을 의미한다.예를 들어, 전하를 띤 무한 길이의 전선은 원통형 대칭을 가진다. 전선을 축을 중심으로 회전시켜도 전선의 위치나 전하 밀도가 변하지 않으므로, 전기장은 보존된다. 즉, 회전하기 전과 후의 전기장의 세기는 같다. 그러나 이는 임의의 전하 시스템에 대해서는 일반적으로 성립하지 않는다.
뉴턴 역학에서, 질량 ''m''인 두 물체가 원점에서 ''x''축을 따라 반대 방향으로 각각 ''v''1과 ''v''2의 속도로 움직이는 경우, 시스템의 총 운동 에너지는 이며, 두 물체의 속도를 서로 바꾸어도 총 운동 에너지는 변하지 않는다. 즉, 총 운동 에너지는 ''y''축에서의 반사에 대해 보존된다.
4. 2. 뉴턴 역학에서의 불변성
뉴턴 역학에서 질량 ''m''인 두 물체가 원점에서 시작하여 ''x''축을 따라 반대 방향으로 이동하고, 하나의 속도가 ''v''1이고 다른 하나의 속도가 ''v''2인 경우를 생각해 보자. 이 때, 시스템의 총 운동 에너지(원점의 관찰자에 의해 계산됨)는 이며, 두 물체의 속도가 서로 바뀌어도 동일하게 유지된다. 즉, 총 운동 에너지는 ''y''축에서의 반사에 대해 보존된다.이는 물리 시스템의 일부 측면을 설명하는 방정식을 통해 대칭을 표현하는 또 다른 방법이다. 위의 예는 ''v''1과 ''v''2가 서로 바뀔 경우 총 운동 에너지가 동일하다는 것을 보여준다.
예를 들어, 무한 길이의 전하를 띤 전선으로 인한 전기장은 원통형 대칭을 나타낸다. 전선으로부터 주어진 거리 ''r''에서 전기장의 세기는 반지름이 ''r''인 원통(축이 전선) 표면의 각 지점에서 동일한 크기를 가지기 때문이다. 전선을 자체 축을 중심으로 회전시켜도 위치나 전하 밀도가 변경되지 않으므로, 전선을 회전시켜도 전기장은 보존된다. 회전된 위치에서의 전장 세기는 동일하다. 이는 임의의 전하 시스템에 대해 일반적으로 적용되지 않는다.[1]
5. 국소적 대칭성과 대역적 대칭성
대칭성은 작용하는 범위에 따라 국소적 대칭성과 대역적 대칭성으로 나눌 수 있다.
'''국소적 대칭성'''은 시공간의 각 점에서 다를 수 있는 대칭 변환이 적용될 때도 속성이 불변하게 유지되는 대칭이다. '''대역적 대칭성'''은 시공간의 모든 점에서 동시에 적용되는 변환에 대해 속성이 불변하게 유지되는 대칭이다.[2] 국소 대칭 변환은 시공간 좌표에 의해 매개변수화되지만, 전역 대칭은 그렇지 않다. 따라서 전역 대칭은 국소 대칭이기도 하다.[3] 국소 대칭은 게이지 이론의 기초가 되므로 물리학에서 중요하다.[4]
5. 1. 국소적 대칭성
시공간의 모든 점에서 동시에 적용되는 변환에 대해 불변하는 전역 대칭과 달리, 국소적 대칭은 시공간의 각 점에서 서로 다른 대칭 변환이 적용될 때도 불변하는 성질을 의미한다.[2] 국소 대칭 변환은 시공간 좌표에 의해 매개변수화되는 반면 전역 대칭은 그렇지 않다. 이는 전역 대칭이 국소 대칭의 특수한 경우임을 의미한다.국소 대칭은 게이지 이론의 기초가 되므로 물리학에서 중요한 역할을 한다. 게이지 이론에서 국소적 대칭성을 게이지 대칭성이라고 부른다. 예를 들어, 표준 모형에서 게이지 대칭성은 SU(3) × SU(2) × U(1) 군에 기초하고 있으며, 강한 상호작용, 전약력, 전자기력의 세 가지 기본 상호작용을 기술하는 데 사용된다.[3]
5. 2. 대역적 대칭성
시공간의 모든 점에서 동시에 적용되는 변환에 대해 속성을 불변하게 유지하는 대칭을 말한다. 이는 시공간 좌표에 의해 매개변수화되지 않는다. 대역적 대칭은 국소적 대칭이기도 하다.[2][3][4]6. 자발적 대칭성 깨짐
자발 대칭 깨짐은 물리계의 바닥 상태가 대칭성을 갖지 않는 현상을 의미한다.
7. 뇌터 정리
뇌터 정리는 물리계의 연속 대칭성과 보존 법칙 사이의 관계를 설명하는 중요한 정리이다. 이 정리에 따르면, 물리계의 각 연속 대칭은 해당 계의 어떤 물리적 속성이 보존됨을 의미하며, 반대로 각 보존량은 그에 상응하는 대칭성을 가진다. 예를 들어, 공간 병진 대칭성(공간의 균질성)은 선형 운동량 보존을, 시간 병진 대칭성(시간의 균질성)은 에너지 보존을 유발한다.[2]
| 분류 | 불변성 | 보존량 |
|---|---|---|
| 정칙 순수 로렌츠 대칭 | 시간 병진 (균질성) | 에너지 E |
| 공간 병진 (균질성) | 선형 운동량 p | |
| 공간 회전 (등방성) | 각운동량 L = r × p | |
| 로렌츠 부스트 (등방성) | 부스트 3-벡터 N = − | |
| 이산 대칭 | P, 좌표 반전 | 공간 패리티 |
| C, 전하 켤레 | 전하 패리티 | |
| T, 시간 반전 | 시간 패리티 | |
| CPT | 패리티의 곱 | |
| 내부 대칭 (시공간 좌표와 무관) | U(1) 게이지 변환 | 전하 |
| U(1) 게이지 변환 | 렙톤 세대 수 | |
| U(1) 게이지 변환 | 하이퍼전하 | |
| U(1)Y 게이지 변환 | 약 하이퍼전하 | |
| U(2) [ U(1) × SU(2) ] | 전약력 | |
| SU(2) 게이지 변환 | 아이소스핀 | |
| SU(2)L 게이지 변환 | 약 아이소스핀 | |
| P × SU(2) | G-패리티 | |
| SU(3) "와인딩 넘버" | 바리온 수 | |
| SU(3) 게이지 변환 | 쿼크 색깔 | |
| SU(3) (근사) | 쿼크 맛깔 | |
| S(U(2) × U(3)) [ U(1) × SU(2) × SU(3) ] | 표준 모형 | |
7. 1. 뇌터 정리의 내용
뇌터 정리에 따르면, 물리계에 연속 대칭성이 존재하면 그에 해당하는 보존량이 존재한다.[2] 예를 들어, 공간 병진 대칭성(즉, 공간의 균질성)은 선형 운동량 보존을 발생시키고, 시간 병진 대칭성(즉, 시간의 균질성)은 에너지 보존을 발생시킨다.[3][4]다음 표는 몇 가지 기본적인 대칭성과 관련된 보존량을 요약한 것이다.
| 분류 | 불변성 | 보존량 |
|---|---|---|
| 정칙 순수 로렌츠 대칭 | 시간 병진 (균질성) | 에너지 E |
| 공간 병진 (균질성) | 선형 운동량 p | |
| 공간 회전 (등방성) | 각운동량 L = r × p | |
| 로렌츠 부스트 (등방성) | 부스트 3-벡터 N = − | |
| 이산 대칭 | P, 좌표 반전 | 공간 패리티 |
| C, 전하 켤레 | 전하 패리티 | |
| T, 시간 반전 | 시간 패리티 | |
| CPT | 패리티의 곱 | |
| 내부 대칭 (시공간 좌표와 무관) | U(1) 게이지 변환 | 전하 |
| U(1) 게이지 변환 | 렙톤 세대 수 | |
| U(1) 게이지 변환 | 하이퍼전하 | |
| U(1)Y 게이지 변환 | 약 하이퍼전하 | |
| U(2) [ U(1) × SU(2) ] | 전약력 | |
| SU(2) 게이지 변환 | 아이소스핀 | |
| SU(2)L 게이지 변환 | 약 아이소스핀 | |
| P × SU(2) | G-패리티 | |
| SU(3) "와인딩 넘버" | 바리온 수 | |
| SU(3) 게이지 변환 | 쿼크 색깔 | |
| SU(3) (근사) | 쿼크 맛깔 | |
| S(U(2) × U(3)) [ U(1) × SU(2) × SU(3) ] | 표준 모형 |
7. 2. 뇌터 정리와 보존 법칙의 예시
뇌터 정리는 물리계의 연속적인 대칭성이 그 계의 어떤 물리적 성질이 보존됨을 의미하며, 반대로 어떤 보존되는 양은 그에 상응하는 대칭성을 가진다고 설명한다. 예를 들어, 공간에서의 공간 병진 대칭성(즉, 공간의 균질성)은 선형 운동량 보존을, 시간 병진 대칭성(즉, 시간의 균질성)은 에너지 보존을 유발한다.[2]다음 표는 몇 가지 기본적인 대칭성과 관련된 보존량을 요약한 것이다.
| 분류 | 불변성 | 보존량 |
|---|---|---|
| 정칙 순수 로렌츠 대칭 | 시간 병진 (균질성) | 에너지 E |
| 공간 병진 (균질성) | 선형 운동량 p | |
| 공간 회전 (등방성) | 각운동량 L = r × p | |
| 로렌츠 부스트 (등방성) | 부스트 3-벡터 N = − | |
| 이산 대칭 | P, 좌표 반전 | 공간 패리티 |
| C, 전하 켤레 | 전하 패리티 | |
| T, 시간 반전 | 시간 패리티 | |
| CPT | 패리티의 곱 | |
| 내부 대칭 (시공간 좌표와 무관) | U(1) 게이지 변환 | 전하 |
| U(1) 게이지 변환 | 렙톤 세대 수 | |
| U(1) 게이지 변환 | 하이퍼전하 | |
| U(1)Y 게이지 변환 | 약 하이퍼전하 | |
| U(2) [ U(1) × SU(2) ] | 전약력 | |
| SU(2) 게이지 변환 | 아이소스핀 | |
| SU(2)L 게이지 변환 | 약 아이소스핀 | |
| P × SU(2) | G-패리티 | |
| SU(3) "와인딩 넘버" | 바리온 수 | |
| SU(3) 게이지 변환 | 쿼크 색깔 | |
| SU(3) (근사) | 쿼크 맛깔 | |
| S(U(2) × U(3)) [ U(1) × SU(2) × SU(3) ] | 표준 모형 |
8. 한국의 대칭성 연구
한국은 전통적으로 대칭성 연구에 강점을 보여왔으며, 이는 한국의 문화적 배경과도 관련이 있다.
8. 1. 한국 물리학계의 대칭성 연구
한국의 물리학자들은 입자 물리학, 핵물리학, 응집물질 물리학 등 다양한 분야에서 대칭성 연구를 활발하게 진행해 왔다.9. 대칭성의 응용
대칭성은 물리학뿐만 아니라 다양한 분야에서 응용된다. 표준 모형은 자연의 세 가지 근사적인 대칭성인 C 대칭성(전하 대칭성), P 대칭성(패리티 대칭성), T 대칭성(시간 대칭성)을 갖는다. 이들은 각각 모든 입자를 반입자로 대체하거나, 거울에 비친 듯 보이게 하거나, 시간의 방향을 반전시켜도 실제 우주와 구별할 수 없다는 것을 의미한다.
T 대칭성은 직관에 반하지만, 표준 모형은 엔트로피와 같은 전역적 성질이 아닌 국소적 성질을 묘사하기 때문에 설명 가능하다. 시간 반전 시 빅뱅과 낮은 엔트로피 상태는 "미래"에 놓이게 되며, "과거"("미래")는 현재보다 낮은(높은) 엔트로피로 인식되므로, 가상 시간 반전 우주 주민들은 우리가 과거로 인식하는 것을 미래로 인식한다.
이러한 대칭성은 현재 우주에서 깨졌기 때문에 근사적인 대칭성이다. 그러나 표준 모형은 C, P, T 세 가지 변환을 동시에 적용한 CPT 대칭성은 성립한다고 예측한다. CP 대칭성 위반은 우주에 바리온 물질이 많이 존재하고 생명이 존재하기 위한 필수 조건이며, 입자 물리학에서 활발히 연구되는 분야이다.
물리계의 대칭성은 어떤 변화 하에서 보존되는 물리적, 수학적 특징(관측량 또는 내재량)이다. 변환에는 연속적인 변환(원의 회전)과 이산적인 변환(좌우 대칭 상의 반사, 정다각형 회전)이 있다. 연속 대칭성은 리 군, 이산 대칭성은 유한군으로 기술된다.
대칭성은 군 표현과 같은 수학적 형식화를 통해 많은 문제를 단순화하는 데 유용하게 사용될 수 있다.
9. 1. 물리학에서의 응용
물리학에서 대칭성은 매우 중요한 개념으로, 다양한 분야에서 응용된다. 예를 들어, 전선은 원통 대칭성을 보이는데, 이는 전선으로부터 특정 거리에서 전계 강도가 어느 위치에서나 동일하다는 것을 의미한다.[2] 이는 전선을 축으로 회전시켜도 전계 강도가 변하지 않기 때문이다.
뉴턴 역학에서 두 물체가 반대 방향으로 움직일 때, 속도를 서로 바꾸어도 전체 운동 에너지는 변하지 않는다. 이는 ''y'' 축에 대한 반사 대칭으로 설명할 수 있다.
이러한 대칭성은 연속적인 변화에 대한 불변성을 나타내는 연속 대칭성과 불연속적인 변화를 기술하는 이산 대칭성으로 나눌 수 있다.
연속 대칭성의 예로는 구 대칭성과 원통 대칭성이 있으며, 이는 계의 기하학적 구조가 연속적으로 변해도 불변하는 성질을 갖는다는 것을 의미한다. 연속 대칭성은 연속 함수 또는 매끄러운 함수로 기술되며, 특히 시공간 대칭성이 중요하다.
시공간 대칭성은 공간과 시간의 변환을 포함하는 대칭성으로, 다음과 같이 세분화된다.
- 시간 병진: 특정 시간 간격만큼 시간이 흘러도 물리 법칙은 동일하게 유지된다는 것을 의미한다. 예를 들어, 중력만 작용하는 입자는 시간이 지나도 높이가 변하지 않는다면 동일한 중력 위치 에너지를 갖는다.[3]
- 공간 병진: 공간상의 위치를 이동해도 물리 법칙은 동일하게 유지된다는 것을 의미한다. 예를 들어, 이상적인 방에서는 온도계의 위치에 상관없이 온도가 일정하다.[4]
- 공간 회전: 물체를 회전시켜도 물리 법칙은 동일하게 유지된다는 것을 의미한다. 예를 들어, 구는 어떤 축으로 회전시켜도 동일한 형태를 유지한다.
- 푸앵카레 변환: 민코프스키 시공간에서 거리를 보존하는 시공간 대칭성으로, 특수 상대성 이론에서 주로 연구된다.
- 사영 대칭성: 시공간 구조의 측지선을 보존하는 대칭성으로, 일반 상대성 이론에서 응용된다.
- 반전 변환: 푸앵카레 변환을 확장하여 시공간 좌표에 대한 또 다른 변환을 포함하는 대칭성이다.
이산 대칭성은 계의 불연속적인 변화를 나타내는 대칭성이다. 예를 들어, 정사각형은 90도 회전에 대해 대칭이다. 이산 대칭성은 다음과 같이 분류된다.
- 시간 반전: 시간의 방향을 반대로 바꿔도 물리 법칙은 동일하게 유지된다는 것을 의미한다.
- 공간 반전(패리티): 공간 좌표를 반전시켜도 물리 법칙은 동일하게 유지된다는 것을 의미한다.
- 병진 이동과 반사를 결합한 대칭성이다.
입자 물리학의 표준 모형은 C 대칭성, P 대칭성, T 대칭성이라는 세 가지 근사적인 대칭성을 갖는다. 이들은 각각 전하, 공간, 시간을 반전시켰을 때 물리 법칙이 동일하게 유지된다는 것을 의미한다. 그러나 이들은 현재 우주에서 깨진 근사적인 대칭성이며, 세 가지를 모두 조합한 CPT 대칭성은 성립하는 것으로 여겨진다.
표준 모형을 확장하기 위해 보스 입자와 페르미 입자 사이의 대칭성인 초대칭이 도입되었지만, 아직 실험적으로 검증되지 않았다.
물리적 대칭성을 기술하는 변환은 군을 형성하며, 군론은 물리학에서 중요한 수학 분야이다. 연속 대칭성은 리 군으로, 이산 대칭성은 이산군으로 기술된다. 게이지 이론은 국소적 대칭성에 기반한 이론으로, 게이지 대칭성은 표준 모형에서 기본 상호작용을 기술하는 데 사용된다.
10. 일반화된 대칭성
일반화된 대칭은 최근에 인식된 전역 대칭 개념의 여러 일반화를 포괄한다. 여기에는 고차 형식 대칭, 고차 군 대칭, 비가역적 대칭, 하위 시스템 대칭이 포함된다.[1]
10. 1. 고차 형식 대칭성
일반화된 대칭은 최근에 인식된 전역 대칭 개념의 여러 일반화를 포괄한다. 여기에는 고차 형식 대칭, 고차 군 대칭, 비가역적 대칭, 하위 시스템 대칭이 포함된다.[1]10. 2. 고차 군 대칭성
일반화된 대칭은 최근에 인식된 전역 대칭 개념의 여러 일반화를 포괄한다. 여기에는 고차 형식 대칭, 고차 군 대칭, 비가역적 대칭 및 하위 시스템 대칭이 포함된다.[1]10. 3. 비가역적 대칭성
일반화된 대칭은 최근에 인식된 전역 대칭 개념의 여러 일반화를 포괄한다. 여기에는 고차 형식 대칭, 고차 군 대칭, 비가역적 대칭 및 하위 시스템 대칭이 포함된다.[1]10. 4. 하위 시스템 대칭성
일반화된 대칭은 최근에 인식된 전역 대칭 개념의 여러 일반화를 포괄한다. 여기에는 고차 형식 대칭, 고차 군 대칭, 비가역적 대칭 및 하위 시스템 대칭이 포함된다.[1]참조
[1]
논문
Snowmass White Paper: Generalized Symmetries in Quantum Field Theory and Beyond
2022
[2]
문서
より正確には、具体的に粒子にかかる力を考えるのではなく、重力で発生している[[場]]それ自体が時間により変化がなく、時間によらず位置だけでポテンシャルが定まる場合に時間並進対称性があると考えられるので、この場合、粒子の位置に関係なく、[[系 (自然科学)|系]]全体で常に時間並進対称性があると言える。
[3]
문서
連続的な変化に対して不変である事を、無限に小さな変位ベクトルεの変換で考える事がある。
[4]
문서
温度は[[状態量]]であって、[[熱力学的平衡|平衡状態]]では一定であると定義される量であるので、重力下の系での、ポテンシャルが水平方向に対して不変である事などを考える場合が多い。
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