지수 적분 함수

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1. 개요

지수 적분 함수는 0이 아닌 실수 x에 대해 정의되는 특수 함수로, 적분 형태로 표현된다. 이 함수는 실수 및 복소수 영역에서 정의되며, 초등 함수로 표현되지 않는다. 지수 적분 함수는 수렴 및 발산 급수, 초등 함수와의 관계, 그리고 다른 특수 함수들과의 관계를 가지며, 열전달, 지하수 흐름, 복사 전달, 중성자 수송 등 다양한 분야에 응용된다.

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지수 적분 함수
개요
유형	특수 함수
분야	수학
정의	Ei(x) = -∫(-x, ∞) (e^(-t) / t) dt
함수 정보
다른 이름	적분 지수 함수
기호	Ei
수학적 성질
미분	d/dx Ei(x) = e^x / x
특이점	x = 0 (로그 분기점)
정의역	실수 전체
치역	실수 전체

2. 정의

지수 적분 함수는 실수 및 복소수 영역에서 여러 가지 형태로 정의된다. 핵심은 적분 경로 및 분지 절단(branch cut)을 어떻게 설정하는지에 따라 달라진다.^[1] 실수 영역과 복소수 영역에서의 정의는 각각 하위 섹션을 참고하면 된다.

2. 1. 실수 영역에서의 정의

0이 아닌 실수

x

에 대하여, '''지수 적분 함수'''

\operatorname{Ei}(x)

는 코시 주요값을 이용하여 다음과 같이 정의된다.^[1]

:

\operatorname{Ei}(x) = -\operatorname{p.\!v.}\int_{-x}^{\infty}\frac{e^{-t}}{t}\,\operatorname{d}\!t = \operatorname{p.\!v.}\int_{-\infty}^{x}\frac{e^{t}}{t}\,\operatorname{d}\!t

이 함수는 초등 함수가 아님이 리쉬 알고리즘에 의해 증명되었다.

이후 내용에서는

\operatorname(x)

로 나타낸다.

:

\begin{align}\operatorname(x) &= \lim_{\epsilon\to+0}\left(-\int_{-x}^{-\epsilon}\frac{e^{-t}}{t}\,\operatorname{d}\!t-\int_{\epsilon}^{\infty}\frac{e^{-t}}{t}\,\operatorname{d}\!t\right)\quad &(x>0)\\\operatorname(x) &= -\int_{-x}^{\infty}\frac{e^{-t}}{t}\,\operatorname{d}\!t\quad &(x<0)\end{align}

2. 2. 복소수 영역에서의 정의

임의의 복소수

x

에 대하여 이 함수를 해석적 연속으로 정의할 수 있다. 그러나 이 경우 음의 실수에서 분지절단이 생긴다.^[1] 복소수

z

에 대한 지수 적분

\operatorname{Ei}(z)

는 다음과 같이 정의된다.

:

\operatorname{Ei}(z) = -\pi i + \int_{-\infty-0i}^{1-0i}\frac{e^{t}}{t}\,\operatorname{d}\!t + \int_{1}^{z}\frac{e^{t}}{t}\,\operatorname{d}\!t

이것은 다중값 함수이지만, 음의 실수축에서 분지 절단을 수행하고 양의 실수축에서 실수값을 취하도록 한다.^[18]^[19] (문헌에 따라 정의가 다르다)

:

\operatorname{Ei}(x\pm 0i) = \operatorname{Ei}^{real}(x)\pm\pi i \quad(x<0), \quad \operatorname{Ei}(x) = \operatorname{Ei}^{real}(x) \quad(x>0)

3. 성질

지수 적분 함수 $\operatorname{Ei}(z)$ 는 음의 실수에서 분지절단을 갖고, 다른 곳에서는 정칙함수이다. 다음 함수는 전해석 함수이다.

: $\operatorname{Ei}(z)-\ln z$

부분 적분을 사용하면 다음 공식을 얻을 수 있다.^[5]

: $\operatorname{Ei}(z) = \frac{e^{z}} {z} \left (\sum _{k=0}^{n} \frac{k!} {z^{k}} + e_{n}(z)\right), \quad e_{n}(z) \equiv (n + 1)!\ ze^{-z}\int _{ -\infty }^{z} \frac{e^{t}} {t^{n+2}}\,dt$

고정된 $z$ 에 대해, 오차항 $|e_n(z)|$ 의 절댓값은 감소하다가 증가한다. 최솟값은 $n\sim |z|$ 에서 발생하며, 이 때 $\vert e_{n}(z)\vert \leq \sqrt{\frac{2\pi } {\vert z\vert }}e^{-\vert z\vert }$ 이다.

복소 함수 $\operatorname{Ein}(z)$ 는 다음과 같이 정의된다.

: $\operatorname{Ein}(z) = \int_{0}^{z} \frac{1-e^{-t}}{t}\,\operatorname{d}\!t$

이는 복소 평면 전체에서 정칙이며, 오일러-마스케로니 상수 $\gamma$ 에 대해 다음이 성립한다.

: $\operatorname{Ein}(z) - E_1(z) - \log z = \gamma$

$E_1(z)$ 와 $\operatorname{Ei}(z)$ 는 다음과 같이 표현할 수 있다.

: $\begin{align}E_1(z) &= -\gamma-\log z+\operatorname{Ein}(z) \\\operatorname{Ei}(z) &= \gamma+\log z-\operatorname{Ein}(-z)\end{align}$

이 표현을 통해 지수 적분 함수의 다가성(多價性) 문제를 복소 로그 함수 $\log z$ 에 가둘 수 있다.

지수 적분 함수는 합류 초월기하 함수와 밀접하게 관련되어 있으며, 다음과 같이 표현할 수 있다.

: $E_1(z)=e^{-z}U(1,1,z)$

또한, 로그 적분 함수 li(''x'')와는 다음 공식으로 관련되어 있다.^[1]

: $\operatorname{li}(e^x) = \operatorname{Ei}(x)$ (단, $x$ 는 0이 아닌 실수)

일반화된 지수 적분 함수는 상부 불완전 감마 함수의 특수한 경우로 표현할 수 있다.^[8]

: $E_n(x) =x^{n-1}\Gamma(1-n,x).$

3. 1. 수렴 급수

오일러-마스케로니 상수 (

\gamma

)를 포함하는 지수 적분 함수의 테일러 급수는 다음과 같이 표현될 수 있다.^[2]

:

E_1(z) = -\gamma - \ln z - \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-z)^k}{k\; k!} \qquad (\left| \operatorname{Arg}(z) \right| < \pi)

이 급수는 모든 복소수

z

에 대해 수렴하며, 음의 실수축을 따라 절단선을 갖는 복소 로그의 일반적인 값을 사용한다. 이 공식은 0과 2.5 사이의 실수

x

에 대한 부동 소수점 연산을 사용하여

E_1(x)

를 계산하는 데 사용될 수 있다.

x > 2.5

의 경우 파국적 소거로 인해 결과가 부정확하다.

스리니바사 라마누잔은 더 빠르게 수렴하는 급수를 발견했다.

:

{\rm Ei} (x) = \gamma + \ln x + \exp{(x/2)} \sum_{n=1}^\infty \frac{ (-1)^{n-1} x^n} {n! \, 2^{n-1}} \sum_{k=0}^{\lfloor (n-1)/2 \rfloor} \frac{1}{2k+1}

3. 2. 점근 급수 (발산 급수)

불행하게도, 위의 급수는 큰 모듈러스의 인수에 대해 수렴 속도가 느리다. 예를 들어, E₁(10)에 대해 유효 숫자 3자리까지 정확한 답을 얻으려면 40개 이상의 항이 필요하다.^[3] 그러나 x의 양의 값에 대해, 부분 적분을 통해

x e^x E_1(x)

를 적분하여 얻을 수 있는 발산 급수 근사가 있다:^[4]

:

E_1(x)=\frac{\exp(-x)} x \left(\sum_{n=0}^{N-1} \frac{n!}{(-x)^n} +O(N!x^{-N}) \right)

위 근사의 상대 오차는 잘린 합의 항의 수인

N

의 다양한 값에 대해 그림 오른쪽에 표시된다(

N=1

은 빨간색,

N=5

는 분홍색).

잘린 합에서 서로 다른 수 $~N~$ 개의 항에 대한 점근 근사의 상대 오차

z|^영어의 절댓값이 충분히 클 때 E₁|^영어은 다음과 같이 근사할 수 있다.

:

E_1(z) = -e^{-z}\left\{\sum_{k=1}^{n}(k-1)!\left(-\frac{1}{z}\right)^k + O\left(\frac{1}{z^{n+1}}\right)\right\}

우변은

n \to \infty

에서 발산하므로 적당한 항에서 잘라서 사용한다.

3. 3. 초등 함수와의 관계

E_1

은 인수가 클 때는 음의 지수 함수처럼, 인수가 작을 때는 로그 함수처럼 동작한다. 인수가 양의 실수일 경우,

E_1

은 다음과 같이 초등 함수에 의해 범위를 제한할 수 있다.^[6]

:

\frac 1 2 e^{-x}\,\ln\!\left( 1+\frac 2 x \right)< E_1(x) < e^{-x}\,\ln\!\left( 1+\frac 1 x \right)\qquad x>0

이 부등식의 왼쪽 부분은 왼쪽 그래프에서 파란색으로 표시되어 있으며, 중앙 부분

E_1(x)

는 검은색으로, 오른쪽 부분은 빨간색으로 표시되어 있다.

3. 4. Ein 함수를 이용한 표현

\operatorname{Ein}

은 다음과 같이 정의되는 전해석 함수이다.^[7]

:

\operatorname{Ein}(z)= \int_0^z (1-e^{-t})\frac{dt}{t}= \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}z^k}{k\; k!}

이를 이용하면, 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

E_1(z) \,=\, -\gamma-\ln z + {\rm Ein}(z)\qquad \left| \operatorname{Arg}(z) \right| < \pi

:

\operatorname{Ei}(x) \,=\, \gamma+\ln{x} - \operatorname{Ein}(-x)\qquad x \neq 0

여기서

\gamma

는 오일러-마스케로니 상수이다.

\operatorname{Ein}(z)

는 복소평면 전체에서 정칙이며,

E_1(z)

와

\operatorname{Ei}(z)

는 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

\begin{align}E_1(z) &= -\gamma-\log z+\operatorname{Ein}(z) \\\operatorname{Ei}(z) &= \gamma+\log z-\operatorname{Ein}(-z)\end{align}

이 표현을 통해 지수 적분 함수의 다가성(多價性) 문제를 복소 로그 함수

\log z

에 가둘 수 있다.

3. 5. 다른 함수와의 관계

지수 적분 함수는 합류 초월기하 함수와 밀접한 관련이 있다. 쿠머 방정식은 일반적으로 합류적 초기하 함수

M(a,b,z)

및

U(a,b,z)

로 풀리지만,

a=0

및

b=1

인 경우에는 두 번째 해가

E_1(-z)

로 주어진다.

E_1(z)

는 지수 함수와 함수

U(1,1,z)

의 곱으로 표현할 수 있다.

:

E_1(z)=e^{-z}U(1,1,z)

3. 5. 1. 로그 적분 함수와의 관계

지수 적분은 다음 공식을 통해 로그 적분 함수 li(''x'')와 밀접하게 관련되어 있다.^[1]

:

\operatorname{li}(e^x) = \operatorname{Ei}(x)

여기서

x

는 0이 아닌 실수 값이다.

로그 적분은 로그 함수의 역수의 적분으로 정의되는 함수이다. 로그 적분은 소수의 분포를 나타내는 공식(소수 정리)에 나타난다.^[1]

3. 5. 2. 불완전 감마 함수와의 관계

일반화된 지수 적분 함수는 상부 불완전 감마 함수의 특수한 경우로 표현할 수 있다.^[8]

:

E_n(x) =x^{n-1}\Gamma(1-n,x).

일반화된 형태는 때때로 Misra 함수^[9]

\varphi_m(x)

라고 불리며, 다음과 같이 정의된다.

:

\varphi_m(x)=E_{-m}(x).

4. 삼각 적분

:

z

가 허수이고, 음이 아닌 실수부를 가지는 경우, 다음 공식을 사용하여 삼각 적분

\operatorname{Si}

와

\operatorname{Ci}

의 관계를 얻을 수 있다.

:

E_1(z) = \int_1^\infty\frac{e^{-tz}} t \, dt

:

E_1(ix) = i\left[ -\tfrac{1}{2}\pi + \operatorname{Si}(x)\right] - \operatorname{Ci}(x)\qquad (x > 0)

\mathrm{E}_1(ix)

의 실수부와 허수부는 오른쪽 그림에서 검정색과 빨간색 곡선으로 나타내었다.

삼각 적분 함수는 다음과 같이 정의된다.

'''사인 적분''' (sine integral^영어)은 사인 함수를 포함하는 적분에 의해 정의되는 함수이다. 피적분 함수는 비정규화 sinc 함수이다.

:

\operatorname{Si}(z)=\int_{0}^{z}\frac{\sin{t}}{t}\,\operatorname{d}\!t

:

\operatorname{si}(z)=-\int_{z}^{\infty}\frac{\sin{t}}{t}\,\operatorname{d}\!t=\operatorname{Si}(z)-\frac{\pi}{2}

'''코사인 적분''' (cosine integral^영어)은 코사인 함수를 포함하는 적분에 의해 정의되는 함수이다.

:

\operatorname{Ci}(z)=-\int_{z}^{z+\infty}\frac{\cos{t}}{t}\,\operatorname{d}\!t

복소 함수로서의 코사인 적분은 다가 함수이지만, 다음과 같이 복소 로그 함수와 정칙 함수의 합으로 나타낼 수 있다.

:

\operatorname{Ci}(z) = \gamma+\log{z}-\operatorname{Cin}(z)

:

\operatorname{Cin}(z) = \int_{0}^{z}\frac{1-\cos{t}}{t}\,\operatorname{d}\!t

임의의 복소수

z

에 대해 다음 관계가 성립한다.

:

\operatorname{Ein}(\pm iz) = \operatorname{Cin}(z)\pm i\operatorname{Si}(z)

5. 근사

지수 적분 함수는 여러 가지 방법으로 근사할 수 있다. 대표적으로 Swamee와 Ohija, Allen과 Hastings가 제안한 근사식이 있으며,^[13] 연분수 전개^[14]를 이용하거나 Barry ''et al.''^[15]이 제시한 공식을 사용할 수도 있다.

5. 1. Swamee와 Ohija의 근사

Swamee와 Ohija는 다음 근사식을 제안했다.^[13]

:

E_1(x)=(A^{-7.7}+B)^{-0.13}

여기서,

:

\begin{align}A &= \ln\left [\left (\frac{0.56146}{x}+0.65\right)(1+x)\right] \\B &= x^4e^{7.7x}(2+x)^{3.7}\end{align}

5. 2. Allen과 Hastings의 근사

Allen과 Hastings의 근사식은 다음과 같다.^[13]^[14]

:

E_1(x) = \begin{cases} - \ln x +\textbf{a}^T\textbf{x}_5,&x\leq1 \\ \frac{e^{-x}} x \frac{\textbf{b}^T \textbf{x}_3}{\textbf{c}^T\textbf{x}_3},&x\geq1 \end{cases}

여기서,

:

\begin{align}\textbf{a} & \triangleq [-0.57722, 0.99999, -0.24991, 0.05519, -0.00976, 0.00108]^T \\\textbf{b} & \triangleq[0.26777,8.63476, 18.05902, 8.57333]^T \\\textbf{c} & \triangleq[3.95850, 21.09965, 25.63296, 9.57332]^T \\\textbf{x}_k &\triangleq[x^0,x^1,\dots, x^k]^T\end{align}

5. 3. 연분수 전개

지수 적분 함수는 다음과 같은 연분수 형태로 표현될 수 있다.^[14]

:

E_1(x) = \cfrac{e^{-x}}{x+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{x+\cfrac{2}{1+\cfrac{2}{x+\cfrac{3}{\ddots}}}}}}.

5. 4. Barry 등의 근사

Barry ''et al.''의 근사식은 다음과 같다.^[15]

:

E_1(x) = \frac{e^{-x}}{G+(1-G)e^{-\frac{x}{1-G}}}\ln\left[1+\frac G x -\frac{1-G}{(h+bx)^2}\right],

여기서 각 문자의 값은 다음과 같다.

:

\begin{align}h &= \frac{1}{1+x\sqrt{x}}+\frac{h_{\infty}q}{1+q} \\q &=\frac{20}{47}x^{\sqrt{\frac{31}{26}}} \\h_{\infty} &= \frac{(1-G)(G^2-6G+12)}{3G(2-G)^2b} \\b &=\sqrt{\frac{2(1-G)}{G(2-G)}} \\G &= e^{-\gamma}\end{align}

\gamma

는 오일러-마스케로니 상수이다.

6. 지수 적분 함수의 역함수

지수 적분 함수의 역함수는 다음과 같은 멱급수 형태로 나타낼 수 있다.^[16]

: $\forall |x| < \frac{\mu}{\ln(\mu)},\quad \mathrm{Ei}^{-1}(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \frac{P_n(\ln(\mu))}{\mu^n}$

여기서 $\mu$ 는 라마누잔-졸드너 상수이고, $(P_n)$ 는 다음의 점화 관계로 정의되는 다항식 수열이다.

: $P_0(x) = x,\ P_{n+1}(x) = x(P_n'(x) - nP_n(x)).$

$n > 0$ 에 대해, $\deg P_n = n$ 이며, 다음 공식을 얻는다.

: $P_n(x) = \left.\left(\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\right)^{n-1} \left(\frac{te^x}{\mathrm{Ei}(t+x)-\mathrm{Ei}(x)}\right)^n\right|_{t=0}.$

7. 응용

지수 적분 함수는 다음과 같은 분야에서 응용된다.^[17]

선형 공급원 및 싱크가 있는 과도 상태 또는 비정상 상태 흐름에 대한 방사형 확산 방정식
단순화된 1차원 기하학에서의 중성자 수송 방정식 해

(참고: 하위 섹션에서 이미 시간 의존적 열전달, 지하수 흐름, 복사 전달은 구체적으로 다루고 있으므로, 여기서는 간단하게 언급만 함)

7. 1. 시간 의존적 열전달

시간에 따라 변하는 열전달 문제를 해결하는 데 지수 적분 함수가 사용된다.^[17]

7. 2. 지하수 흐름

대수층에서의 비평형 지하수 흐름을 분석하고 모델링하는 데 지수 적분 함수가 사용된다. 특히, Theis 해법은 지수 적분 함수를 기반으로 한다.^[17]

7. 3. 복사 전달

별과 행성 대기에서의 복사 전달 과정에 사용된다.^[17]

7. 4. 중성자 수송

원자로 등에서 중성자의 이동 및 반응을 기술하는 중성자 수송 방정식의 해를 구하는 데 지수 적분 함수가 사용된다.^[17]

참조

_[1] 서적 Abramowitz and Stegun
_[2] 서적 Abramowitz and Stegun
_[3] 서적 Bleistein and Handelsman
_[4] 서적 Bleistein and Handelsman
_[5] 간행물 Asymptotic Approximations https://doi.org/10.1[...] Springer International Publishing 2023-05-04
_[6] 서적 Abramowitz and Stegun
_[7] 서적 Abramowitz and Stegun
_[8] 서적 Abramowitz and Stegun
_[9] 기타 After Misra (1940)
_[10] 기타 Milgram (1985)
_[11] 서적 Abramowitz and Stegun
_[12] 서적 Abramowitz and Stegun
_[13] 논문 Revisit of Well Function Approximation and An Easy Graphical Curve Matching Technique for Theis' Solution 2003-05-01
_[14] 논문 Numerical evaluation of exponential integral: Theis well function approximation 1998-02-26
_[15] 논문 Approximation for the exponential integral (Theis well function) 2000-01-31
_[16] 웹사이트 Inverse function of the Exponential Integral Ei-1(x) https://math.stackex[...] 2024-04-24
_[17] 서적 Nuclear Reactor Theory Van Nostrand Reinhold Company
_[18] 웹사이트 Wolfram Mathworld: Exponential Integral http://mathworld.wol[...]
_[19] 웹사이트 SpringerLink: Integral exponential function http://eom.springer.[...]

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