공간 (수학)

1. 본문

수학에서 "공간(space)"은 일반적으로 특정 구조가 부여된 집합을 의미합니다. 즉, 집합의 원소들 사이에 어떤 관계나 연산이 정의된 것을 말합니다.
다양한 공간의 예시

• 위상 공간 (Topological Space): 집합에 개집합(open set)이라는 구조를 부여하여, 점들 간의 근접성(nearness)이나 연속성(continuity)을 다룰 수 있게 합니다. 위상수학은 이러한 위상 공간의 성질을 연구하는 분야입니다.
• 벡터 공간 (Vector Space): 벡터 공간은 벡터들 간의 덧셈과 스칼라 곱셈이 정의된 공간입니다. 선형대수학에서 주로 다루며, 선형 변환(linear transformation) 등을 통해 공간의 구조를 분석합니다.
• 유클리드 공간 (Euclidean Space): 우리가 흔히 생각하는 2차원 평면이나 3차원 공간을 일반화한 것입니다. 점들 사이의 거리, 각도 등을 측정할 수 있습니다.
• 확률 공간 (Probability Space): 확률 이론에서 사용되는 공간으로, 표본 공간, 사건, 확률 측도로 구성됩니다.
• 노름 공간(Normed Vector Space): 벡터의 크기(norm)가 정의된 벡터 공간입니다.

• 집합 (Set): 단순히 원소들의 모임입니다. 원소들 간의 관계나 연산은 정의되지 않습니다.
• 공간 (Space): 집합에 추가적인 구조(관계, 연산 등)가 부여된 것입니다.
• 생성 (Span): 집합의 원소들에 특정 연산을 적용하여 만들 수 있는 모든 원소의 집합입니다.

• 수학에서 공간은 매우 추상적인 개념이며, 물리학에서의 공간과는 다를 수 있습니다. 물리학적 공간은 물질이 존재하거나 비어있는 장소를 의미하지만, 수학에서는 추상적인 구조물로서 다뤄집니다.
• 수학의 많은 분야가 특정한 공간 위에서 정의됩니다. 예를 들어, 미분기하학은 미분 가능한 다양체(differentiable manifold)라는 공간을, 함수해석학은 함수 공간(function space)을 연구합니다.
• 현대 수학에서는 다양한 유형의 공간을 사용하지만, '공간' 자체를 엄밀하게 정의하지는 않습니다.