모듈라이 공간

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1. 개요
2. 정의
3. 기본 예시
4. 추가 예시
5. 모듈라이 공간 구성 방법
6. 물리학에서의 모듈라이 공간
참조

1. 개요

모듈라이 공간은 주어진 기하학적 분류 문제의 해를 매개변수화하는 공간이다. 섬세한 모듈라이 공간과 거친 모듈라이 공간으로 구분되며, 자기 동형 사상을 갖는 공간의 경우 모듈라이 스택을 사용하기도 한다. 모듈라이 공간은 사영 공간, 그라스만 다양체, 힐베르트 스킴 등 다양한 수학적 대상의 모듈라이를 연구하는 데 사용되며, 곡선의 모듈라이, 다양체의 모듈라이, 벡터 다발의 모듈라이 등 다양한 분야에서 연구가 진행되고 있다. 모듈라이 공간을 구성하는 방법으로는 힐베르트 스킴 또는 몫 스킴을 이용하거나, 기하 불변 이론, 변형 이론 등을 활용한다. 물리학에서는 스칼라장과 끈 배경의 모듈라이 공간을 지칭하는 데 사용되기도 한다.

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모듈라이 공간

2. 정의

스킴을 집합으로 대응시키는 함자 $F\colon\operatorname{Sch}^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Set}$ 가 주어졌다고 하자. 이 함자의 '''섬세한 모듈라이 공간'''(fine moduli space^영어) $(M,\tau)$ 은 $F$ 의 표현이다. 즉,

$M\in\operatorname{Sch}$ 은 스킴이다.
$\tau\colon F\implies\hom_{\operatorname{Sch}}(-,M)$ 는 자연 동형이다.

이는 다음과 같이 해석 할 수 있다.

함자 $F(B)$ 는 어떤 밑공간 $B$ 위에 존재할 수 있는 모든 공간족(族)들의 집합으로 생각한다.
$\tau$ 는 $B$ 위에 존재하는 공간족들이 사상 $B\to M$ 과 대응한다는 것을 의미한다. 즉, $B$ 위의 임의의 공간족은 사상 $B\to M$ 으로 인한, $M$ 위의 보편 공간족()의 당김으로 유도된다.

함자

F\colon\operatorname{Sch}^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Set}

의 '''거친 모듈라이 공간'''(coarse moduli space}})

(M,\tau)

은 다음을 만족시키는 순서쌍이다.

$M\in\operatorname{Sch}$ 은 스킴이다.
$\tau\colon F\implies\hom_{\operatorname{Sch}}(-,M)$ 는 자연 변환이다.
모든 대수적으로 닫힌 체 $K$ 에 대하여, 함수 $\tau_{\operatorname{Spec}K}\colon F(\operatorname{Spec}K)\to\hom_{\operatorname{Sch}}(\operatorname{Spec}K,M)$ 은 전단사 함수이다.
임의의 스킴 $\tilde M$ 및 자연 변환 $\tilde\tau\colon F\implies\hom_{\operatorname{Sch}}(-,\tilde M)$ 에 대하여, $\tilde\tau=\sigma\circ\tau$ 인 자연 변환 $\sigma\colon\hom_{\operatorname{Sch}}(-,M)\implies\hom_{\operatorname{Sch$ ^영어(-,\tilde M)이 존재한다.

이 밖에도, 스킴의 범주 대신 예를 들어 어떤 주어진 스킴 위의 스킴들의 범주나 다른 기하학적 범주에서도 섬세한·거친 모듈라이 공간을 정의할 수 있다.

일반적으로, 자기 동형 사상을 갖는 공간들의 공간족은 섬세한 모듈라이 공간을 가질 수 없으며, 오직 거친 모듈라이 공간만이 존재한다. 이 경우 추가 구조를 주어 자기 동형을 없애거나, 아니면 스택과 같은 대상을 사용하여야 한다.

모듈라이 공간은 기하학적 분류 문제의 해가 이루는 공간이다. 즉, 모듈라이 공간의 점은 기하학적 문제의 해에 대응한다. 여기서 다른 해가 있었을 경우, 이 해가 동형이라면(기하학적으로 동일하다면), 모듈라이 공간의 점으로는 동일한 점이 된다. 모듈라이 공간은 문제의 매개변수의 보편 공간을 제공하는 것으로 생각할 수 있다.

모듈라이 공간은 자연스러운 기하학적 위상적 성질을 갖는 경우가 많다. 모듈라이 공간의 기하학적 구조는, 두 기하학적 분류 문제의 해가 가까운지 여부에 대한 국소적인 구조를 갖는 한편, 복잡한 대역적인 구조도 갖고 있다.

θ를 0 ≤ θ < π 로 변화시키거나, 혹은 '''S'''¹ 의 몫공간으로 생각함으로써, '''P'''¹('''R''') 을 구성한다.

예를 들어, 원점을 지나는 '''R'''² 의 직선의 집합을 실사영 직선 '''P'''¹('''R''') 으로 표현할 수 있다. '''P'''¹('''R''') 을 원점을 지나는 '''R'''² 안의 직선의 모듈라이 공간으로 생각하면, (직선의 경우의) 족의 원소를 0 ≤ θ < π 로 변화시킴으로써 매개변수화할 수 있다는 것을 이해할 수 있다.

2. 1. 섬세한 모듈라이 공간 (Fine Moduli Space)

스킴을 집합으로 대응시키는 함자

F\colon\operatorname{Sch}^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Set}

가 주어졌다고 하자. 이 함자의 '''섬세한 모듈라이 공간'''(fine moduli space^영어)

(M,\tau)

은

F

의 표현이다. 즉,

$M\in\operatorname{Sch}$ 은 스킴이다.
$\tau\colon F\implies\hom_{\operatorname{Sch}}(-,M)$ 는 자연 동형이다.

이는 다음과 같이 해석 할 수 있다.

함자 $F(B)$ 는 어떤 밑공간 $B$ 위에 존재할 수 있는 모든 공간족(族)들의 집합으로 생각한다.
$\tau$ 는 $B$ 위에 존재하는 공간족들이 사상 $B\to M$ 과 대응한다는 것을 의미한다. 즉, $B$ 위의 임의의 공간족은 사상 $B\to M$ 으로 인한, $M$ 위의 보편 공간족()의 당김으로 유도된다.

일반적으로, 자기 동형 사상을 갖는 공간들의 공간족은 섬세한 모듈라이 공간을 가질 수 없으며, 오직 거친 모듈라이 공간만이 존재한다.

2. 2. 거친 모듈라이 공간 (Coarse Moduli Space)

거친 모듈라이 공간(함자]]

F\colon\operatorname{Sch}^{\operatorname{op/coarse moduli space}}) (M,\tau) 은

$M\in\operatorname{Sch}$ 은 스킴이다.
$\tau\colon F\implies\hom_{\operatorname{Sch}}(-,M)$ 는 자연 변환이다.
모든 대수적으로 닫힌 체 $K$ 에 대하여, 함수 $\tau_{\operatorname{Spec}K}\colon F(\operatorname{Spec}K)\to\hom_{\operatorname{Sch}}(\operatorname{Spec}K,M)$ 은 전단사 함수이다.
임의의 스킴 $\tilde M$ 및 자연 변환 $\tilde\tau\colon F\implies\hom_{\operatorname{Sch}}(-,\tilde M)$ 에 대하여, $\tilde\tau=\sigma\circ\tau$ 인 자연 변환 $\sigma\colon\hom_{\operatorname{Sch}}(-,M)\implies\hom_{\operatorname{Sch}}(-,\tilde M)$ 이 존재한다.

이는 섬세한 모듈라이 공간보다 약한 개념으로, 섬세한 모듈라이 공간이 존재하지 않는 경우에도 정의될 수 있다. 자기 동형 사상을 갖는 공간들의 공간족은 섬세한 모듈라이 공간을 가질 수 없으며, 오직 거친 모듈라이 공간만이 존재한다. 이 경우 추가 구조를 주어 자기 동형을 없애거나, 아니면 스택과 같은 대상을 사용하여야 한다.

거친 모듈라이 공간은 기저 공간 ''M''만 가지며, 보편 족을 갖지 않을 수 있다.

2. 3. 모듈라이 스택 (Moduli Stack)

모듈라이 스택은 자기 동형 사상을 고려하여 분류를 더욱 세분화한 개념이다. 자기 동형 사상을 갖는 공간들의 공간족은 섬세한 모듈라이 공간을 가질 수 없으며, 오직 거친 모듈라이 공간만이 존재한다. 이 경우 추가 구조를 주어 자기 동형을 없애거나, 스택을 사용하여야 한다.

스킴이나 대수적 공간으로 표현될 수 없는 경우에도, 대수적 스택의 구조를 가질 수 있다.

모듈라이 스택은 곡선의 모듈라이 공간과 같이, 자기 동형 사상을 갖는 대상들의 모듈라이 문제를 다룰 때 유용하다. 대수적 스택의 언어는 본질적으로 모듈라이 문제를 구성하는 섬유화 범주를 "공간"으로 보는 체계적인 방법을 제공하며, 많은 모듈라이 문제의 모듈라이 스택은 해당 조악한 모듈라이 공간보다 더 잘 동작한다.

3. 기본 예시

3. 1. 사영 공간 (Projective Space)과 그라스만 다양체 (Grassmannian)

실수 사영 공간 '''P'''^''n''는 원점을 지나는 '''R'''^''n''+1 내의 직선 공간을 매개변수화하는 모듈라이 공간이다.^[2]^[3] 마찬가지로, 복소 사영 공간은 원점을 지나는 '''C'''^''n''+1 내의 모든 복소 직선의 공간이다.

더 일반적으로, 체 ''F'' 위의 벡터 공간 ''V''의 그라스만 다양체 '''G'''(''k'', ''V'')는 ''V''의 모든 ''k''차원 선형 부분 공간의 모듈라이 공간이다. 어떤

K

-벡터 공간

V

에 대하여, 그라스만 다양체

G(n,V)

는

V

의 (원점을 지나는)

n

차원 부분 벡터 공간들의 모듈라이 공간이다.

n=1

인 경우, 이는 '''사영 공간'''으로 불린다.

스킴(scheme)

X

가 보편적인 사영 공간

\mathbf{P}^n_\mathbb{Z}

에 임베딩될 때, 임베딩은 선 다발

\mathcal{L} \to X

와 동시에 같은 지점에서 사라지지 않는

n+1

개의 단면

s_0,\ldots,s_n\in\Gamma(X,\mathcal{L})

에 의해 주어진다. 이는 점이 주어질 때, 연관된 점이 존재한다는 것을 의미한다. 그렇다면, 단면이 있는 두 선 다발은 동형사상

\phi:\mathcal{L} \to \mathcal{L}'

이 존재하여

\phi(s_i) = s_i'

인 경우에 동치이다. 이는 연관된 모듈라이 함자가 스킴

X

를 집합으로 보낸다는 것을 의미한다. 사영 임베딩

i:X \to \mathbb{P}^n_\mathbb{Z}

은 단면

i^*x_0,\ldots,i^*x_n

을 갖는 전역적으로 생성된 다발

i^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_\mathbb{Z}}(1)

을 제공한다. 반대로,

n+1

개의 단면으로 전역적으로 생성된 풍부한 선 다발

\mathcal{L} \to X

가 주어지면 위와 같이 임베딩이 주어진다.

3. 2. 저우 다양체 (Chow Variety)

저우 다양체

\operatorname{Chow}(d,\mathbb P^3)

는

\mathbb P^3

속의 차수

d

의 곡선들의 모듈라이 공간이다. 보다 일반적으로, 힐베르트 스킴은 사영 공간 속의 모든 닫힌 부분 스킴들을 분류하는 모듈라이 공간이다.

이는 다음과 같이 구성된다.

\mathbb P^3

에서 차수

d

의 곡선

C

를 고려하고, 곡선

C

와 교차하는

\mathbb P^3

의 모든 직선을 생각하자. 이는

\mathbb P^3

의 직선에 대한 제수인 '''G'''(2, 4)에서 차수

d

의 제수

D_C

이다.

C

가 변함에 따라

C

를

D_C

에 연관시킴으로써, 우리는 Grassmanian의 차수

d

제수의 공간의 부분 집합으로 차수

d

곡선의 매개변수 공간을 얻는다.

3. 3. 힐베르트 스킴 (Hilbert Scheme)

힐베르트 스킴 Hilb(''X'')은 모듈라이 스킴이다. Hilb(''X'')의 모든 닫힌 점은 고정된 스킴 ''X''의 닫힌 부분 스킴에 해당하며, 모든 닫힌 부분 스킴은 그러한 점으로 표현된다. 힐베르트 스킴의 간단한 예시는 사영 공간

\mathbb{P}^n

의

d

차 초곡면을 매개변수화하는 힐베르트 스킴이다. 이는 다음과 같은 사영 번들로 주어진다.

$\mathcal{Hilb}_d(\mathbb{P}^n) = \mathbb{P}(\Gamma(\mathcal{O}(d)))$

보편적인족은 다음과 같다.

$\mathcal{U} = \{ (V(f), f) : f \in \Gamma(\mathcal{O}(d)) \}$

여기서

V(f)

는

d

차 동차 다항식

f

에 대한 관련 사영 스킴이다. 저우 다양체

\operatorname{Chow}(d,\mathbb P^3)

는

\mathbb P^3

속의 차수

d

의 곡선들의 모듈라이 공간이다.

4. 추가 예시

4. 1. 곡선의 모듈라이 공간

종수가

g

인 비특이 사영 대수 곡선들의 경우, 섬세한 모듈라이 공간은 존재하지 않고 모듈라이 스택

\mathcal M_g

만이 존재한다. 여기에 안정 곡선을 추가하여 콤팩트화하면, 종수

g

의 안정 곡선들의 모듈라이 스택

\overline{\mathcal M}_g

를 얻는다. 종수

g

인 비특이 (또는 안정) 곡선들의 거친 모듈라이 공간은 존재하지만, 이는 모듈라이 스택보다 더 적은 정보를 담고 있다.

모듈라이 스택

\mathcal{M}_{g}

는 종수 ''g''의 매끄러운 사영 곡선들의 모임과 그 동형 사상을 분류한다. ''g'' > 1일 때, 이 스택은 안정적인 절점 곡선(그 동형 사상과 함께)에 해당하는 새로운 "경계" 점을 추가하여 컴팩트화할 수 있다. 곡선은 유한한 자기 동형 사상 그룹을 갖는 경우 안정적이다. 두 모듈라이 스택 모두 곡선의 보편적인 모임을 갖는다.

위의 두 스택 모두 차원이 3''g''−3이다. 낮은 종수에서는 자기 동형 사상의 매끄러운 모임의 존재를 고려하여 그 수를 빼야 한다. 종수 0인 복소 곡선은 정확히 하나, 즉 리만 구가 있으며 그 동형 사상 그룹은 PGL(2)이다. 따라서

\mathcal{M}_0

의 차원은 -3이다.

마찬가지로, 종수 1에서는 1차원 곡선 공간이 있지만, 그러한 각 곡선은 1차원 자기 동형 사상 그룹을 갖는다. 따라서 스택

\mathcal{M}_1

의 차원은 0이다. 조악한 모듈라이 공간은 종수가 g > 1인 곡선이 자기 동형 사상으로 유한 그룹만 갖기 때문에 스택과 같이 차원이 3''g''−3이다.

''n''개의 표시된 점을 고려하여 문제를 개선할 수 있다. 이러한 표시된 곡선은 표시된 점을 고정하는 곡선 자기 동형 사상의 부분 그룹이 유한한 경우 안정적이라고 한다. 매끄러운(또는 안정적인) 종수 ''g'' 곡선과 ''n''개의 표시된 점의 결과 모듈라이 스택은

\mathcal{M}_{g,n}

(또는

\overline{\mathcal{M}}_{g,n}

)으로 표시되며 차원은 3''g'' − 3 + ''n''이다.

특히 흥미로운 경우는 종수 1 곡선과 표시된 점 1개의 모듈라이 스택

\overline{\mathcal{M}}_{1,1}

이다. 이것은 타원 곡선의 스택이며, 이 스택의 번들에 대한 유리형 단면인, 많이 연구된 모듈러 형식의 자연스러운 고향이다.

4. 2. 다양체의 모듈라이

고차원에서는 대수적 다양체의 모듈라이를 구성하고 연구하기가 더 어렵다.^[4] 예를 들어, 타원 곡선의 모듈라이 공간의 고차원 아날로그는 지겔 모듈러 다양체와 같은 아벨 다양체의 모듈라이 공간이다.^[4] 이는 지겔 모듈러 형식 이론의 근본적인 문제이며, 시무라 다양체도 참고할 수 있다.

최소 모형 프로그램에서 파생된 기술을 사용하여 일반형 다양체의 모듈라이 공간은 야노스 촐라르와 니콜라스 셰퍼드-배런에 의해 구성되었으며, 현재 KSB 모듈라이 공간으로 알려져 있다.^[4]

미분 기하학과 쌍유리 기하학에서 동시에 파생된 기술을 사용하여, 파노 다양체의 모듈라이 공간의 구성은 K-안정성의 특별한 부류로 제한하여 달성되었다.^[4] 이 설정에서는 코셔 비르카르가 증명한 파노 다양체의 유계성에 대한 중요한 결과가 사용되었으며, 이를 통해 그는 2018년 필즈상을 수상했다.^[4]

칼라비-야우 다양체의 모듈라이 공간의 구성은 중요한 미해결 문제이며, K3 곡면 또는 아벨 다양체의 모듈라이 공간과 같은 특수한 경우만 이해된다.^[5]

4. 3. 벡터 다발의 모듈라이

주어진 대수다양체 ''X'' 위의 랭크 ''n'' 벡터 다발의 모듈라이 스택 Vect_''n''(''X'')의 기하학을 이해하는 것은 중요한 연구 대상이다.^[6] ''X''가 1차원 곡선이고, n이 1인 경우, 조 모듈라이 공간은 피카르 스킴이 되며, 이는 스택이 발명되기 전에 연구되었다. 다발이 랭크 1, 차수 0을 갖는 경우, 조각 모듈라이 공간 연구는 야코비 다양체 연구와 관련된다.^[6]

물리학에서, 벡터 다발의 모듈라이 수와 밀접하게 관련된 주 G-다발의 모듈라이 수는 게이지 이론에서 중요한 문제이다.

5. 모듈라이 공간 구성 방법

모듈라이 공간을 구성하는 일반적인 방법은 모듈라이 문제를 강화하여, 자기 동형 사상을 제거하거나 줄이는 것이다.

== 힐베르트 스킴 (Hilbert Scheme) 또는 몫 스킴 (Quot Scheme) ==

적절한 힐베르트 스킴 또는 몫 스킴의 부분 스킴으로 모듈라이 공간을 표현할 수 있다. 모듈라이 공간을 분류하는 비자명한 대상의 자기 동형의 존재는 상세 모듈라이 공간을 갖는 것을 불가능하게 한다. 그러나 원래 데이터에 정보를 추가하고, 추가된 정보를 통해 자기 동형만으로 동일시하는 방법을 취하여 분류하는 변형된 모듈라이 문제를 생각할 수 있다. 강성화된 정보를 잘 선택하면, 변형된 모듈라이 문제는 적절한 힐베르트 스킴이나 몫 스킴의 부분 스킴으로 기술되는 경우가 많다.

종수가 g > 2인 매끄러운 곡선을 매개변수화하는 문제를 예로 들면, 차수 d > 2g인 완비 선형계는 사영 공간 '''P'''^''d−g''의 1차원 부분 스킴과 동치이다.^[7] (어떤 조건을 만족하는) 매끄러운 곡선과 1차계는 충분히 높은 차원의 사영 공간의 힐베르트 스킴에 임베딩할 수 있으므로, 이 힐베르트 스킴 안의 궤적 H는 1차계의 요소를 변환하는 PGL(n)의 작용을 갖는다. 매끄러운 곡선의 모듈라이 공간은 따라서 사영 공간의 1차계의 군에 의한 H의 상으로 재현된다.

== 기하 불변 이론 (Geometric Invariant Theory, GIT) ==

대수적 군의 작용에 대한 몫을 취하여 모듈라이 공간을 구성하는 방법은 1965년 데이비드 멈포드가 개발한 기하학적 불변식론에서 찾을 수 있다. 종수 $g>2$인 매끄러운 곡선을 매개변수화하는 문제를 예로 들면, 차수 $d>2g$인 완비 선형계는 사영 공간 '''P'''^''d−g''의 1차원 부분 스킴과 동치이다.^[7] 매끄러운 곡선과 1차계는 충분히 높은 차원의 사영 공간의 힐베르트 스킴에 임베딩할 수 있으며, 이 힐베르트 스킴 안의 궤적 $H$는 1차계의 요소를 변환하는 PGL(n)의 작용을 갖는다. 따라서 매끄러운 곡선의 모듈라이 공간은 사영 공간의 1차계의 군에 의한 $H$의 상으로 재현된다.

또 다른 접근 방식으로는 미하일 아르틴이 제시한 방법이 있다. 이 방법은 분류된 종류의 대상에서 시작하여 그것의 변형 이론을 연구한다. 무한소를 구성하고, 예비 표현 가능 정리를 보인 후, 이것들을 형식 스킴의 기저 위의 대상에 사상한다. 그 후 알렉상드르 그로텐디크의 그로텐디크 존재 정리를 통해 완비 국소환인 기저 위의 대상을 얻고, 아르틴의 근사 정리를 통해 유한 생성 환상의 대상에 의해 근사할 수 있다. 이 후자의 환의 스펙트럼은 모듈라이 공간의 좌표 차트로 간주될 수 있다. 이러한 차트를 서로 붙여 공간을 덮지만, 스펙트럼의 합병에서 모듈라이 공간으로의 사상은 다 대 1 사상이 되기 쉽다. 따라서 동치 관계를 정의하여 대수적 공간(또는 대수적 스택)을 얻는다.

== 변형 이론 (Deformation Theory) ==

변형 이론은 분류할 대상의 변형을 연구하여 모듈라이 공간을 구성하는 방법 중 하나이다. 먼저 대상의 무한소 변형(infinitesimal deformation)을 구성하고, 전표상성 정리(prorepresentability theorem)를 이용하여 이를 형식적 기저(formal scheme) 위의 객체로 확장한다. 그 후, 알렉상드르 그로텐디크의 존재 정리(Grothendieck existence theorem)와 미하일 아르틴의 근사 정리(Artin's approximation theorem)를 이용하여 모듈라이 공간을 구성한다.

이 방법은 종수가 g > 2인 매끄러운 곡선을 매개변수화하는 문제에 적용될 수 있다. 차수가 d > 2g인 완비 선형계는 사영 공간 '''P'''^''d−g''의 1차원 부분 스킴과 동치이다.^[7] 매끄러운 곡선과 1차계는 충분히 높은 차원의 사영 공간의 힐베르트 스킴에 임베딩될 수 있으며, 이 힐베르트 스킴 안의 궤적 H는 1차계의 요소를 변환하는 PGL(n)의 작용을 갖는다. 따라서 매끄러운 곡선의 모듈라이 공간은 사영 공간의 1차계의 군에 의한 H의 상으로 표현된다.

5. 1. 힐베르트 스킴 (Hilbert Scheme) 또는 몫 스킴 (Quot Scheme)

적절한 힐베르트 스킴 또는 몫 스킴의 부분 스킴으로 모듈라이 공간을 표현할 수 있다. 모듈라이 공간을 분류하는 비자명한 대상의 자기 동형의 존재는 상세 모듈라이 공간을 갖는 것을 불가능하게 한다. 그러나 원래 데이터에 정보를 추가하고, 추가된 정보를 통해 자기 동형만으로 동일시하는 방법을 취하여 분류하는 변형된 모듈라이 문제를 생각할 수 있다. 강성화된 정보를 잘 선택하면, 변형된 모듈라이 문제는 적절한 힐베르트 스킴이나 몫 스킴의 부분 스킴으로 기술되는 경우가 많다.

종수가 g > 2인 매끄러운 곡선을 매개변수화하는 문제를 예로 들면, 차수 d > 2g인 완비 1차계(complete linear system)는 사영 공간 '''P'''^d−g의 1차원 부분 스킴과 동치이다.^[7] (어떤 조건을 만족하는) 매끄러운 곡선과 1차계는 충분히 높은 차원의 사영 공간의 힐베르트 스킴에 임베딩할 수 있으므로, 이 힐베르트 스킴 안의 궤적 H는 1차계의 요소를 변환하는 PGL(n)의 작용을 갖는다. 매끄러운 곡선의 모듈라이 공간은 따라서 사영 공간의 1차계의 군에 의한 H의 상으로 재현된다.

5. 2. 기하 불변 이론 (Geometric Invariant Theory, GIT)

대수적 군의 작용에 대한 몫을 취하여 모듈라이 공간을 구성하는 방법은 1965년 다비드 멈포드가 개발한 기하학적 불변식론에서 찾을 수 있다. 종수 $g>2$인 매끄러운 곡선을 매개변수화하는 문제를 예로 들면, 차수 $d>2g$인 완비 1차계(complete linear system)는 사영 공간 '''P'''^d−g의 1차원 부분 스킴과 동치이다.^[7] 매끄러운 곡선과 1차계는 충분히 높은 차원의 사영 공간의 힐베르트 스킴에 임베딩할 수 있으며, 이 힐베르트 스킴 안의 궤적 $H$는 1차계의 요소를 변환하는 PGL(n)의 작용을 갖는다. 따라서 매끄러운 곡선의 모듈라이 공간은 사영 공간의 1차계의 군에 의한 $H$의 상으로 재현된다.

또 다른 접근 방식으로는 미하일 아르틴이 제시한 방법이 있다. 이 방법은 분류된 종류의 대상에서 시작하여 그것의 변형 이론(deformation theory)을 연구한다. 무한소를 구성하고, 예비 표현 가능 정리를 보인 후, 이것들을 형식 스킴(formal scheme)의 기저 위의 대상에 사상한다. 그 후 알렉상드르 그로텐디크의 그로텐디크의 존재 정리(Grothendieck existence theorem)를 통해 완비 국소환인 기저 위의 대상을 얻고, 아르틴의 근사 정리(Artin's approximation theorem)를 통해 유한 생성 환상의 대상에 의해 근사할 수 있다. 이 후자의 환의 스펙트럼은 모듈라이 공간의 좌표 차트로 간주될 수 있다. 이러한 차트를 서로 붙여 공간을 덮지만, 스펙트럼의 합병에서 모듈라이 공간으로의 사상은 다 대 1 사상이 되기 쉽다. 따라서 동치 관계를 정의하여 대수적 공간(algebraic space)(또는 대수적 스택)을 얻는다.

5. 3. 변형 이론 (Deformation Theory)

변형 이론은 분류할 대상의 변형을 연구하여 모듈라이 공간을 구성하는 방법 중 하나이다. 먼저 대상의 무한소 변형(infinitesimal deformation)을 구성하고, 전표상성 정리(prorepresentability theorem)를 이용하여 이를 형식적 기저(formal scheme) 위의 객체로 확장한다. 그 후, 그로텐디크의 존재 정리(Grothendieck existence theorem)와 아르틴의 근사 정리(Artin's approximation theorem)를 이용하여 모듈라이 공간을 구성한다.

이 방법은 종수가 g > 2인 매끄러운 곡선을 매개변수화하는 문제에 적용될 수 있다. 차수가 d > 2g인 완비 1차계는 사영 공간 '''P'''^d−g의 1차원 부분 스킴과 동치이다.^[7] 매끄러운 곡선과 1차계는 충분히 높은 차원의 사영 공간의 힐베르트 스킴에 임베딩될 수 있으며, 이 힐베르트 스킴 안의 궤적 H는 1차계의 요소를 변환하는 PGL(n)의 작용을 갖는다. 따라서 매끄러운 곡선의 모듈라이 공간은 사영 공간의 1차계의 군에 의한 H의 상으로 표현된다.

6. 물리학에서의 모듈라이 공간

물리학에서 모듈라이 공간이라는 용어는 때때로 특정 스칼라장 집합의 진공 기댓값 모듈라이 공간 또는 가능한 끈 배경의 모듈라이 공간을 지칭하는 데 사용된다.

모듈라이 공간은 위상 양자장론에서 페르미 경로 적분을 사용하여 다양한 대수적 모듈라이 공간의 교차수를 계산하는 데 사용된다.

참조

_[1] 웹사이트 Moduli Spaces of Curves: Classical and Tropical https://www.ams.org/[...]
_[2] 웹사이트 Lemma 27.13.1 (01NE)—The Stacks project https://stacks.math.[...] 2020-09-12
_[3] 웹사이트 algebraic geometry - What does projective space classify? https://math.stackex[...] 2020-09-12
_[4] 서적 Moduli of varieties of general type Handbook of moduli. Vol. II 2013
_[5] 서적 Lectures on K3 surfaces Cambridge University Press 2016
_[6] 웹사이트 Algebraic Stacks and Moduli of Vector Bundles https://impa.br/wp-c[...]
_[7] 문서 完備一次系とは、コンパクトリーマン面 X 上の因子 D と線形同値な因子で効果的（正）(effective)なもの全体の集合を |D| と書き、これを因子 D の定める完備一次系と呼ぶ。

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