니콜라 부르바키

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1. 개요
2. 역사
3. 주요 업적
4. 구성원
5. 영향 및 비판
- 5.1. 긍정적 영향
- 5.2. 비판
6. 한국과의 관계
7. 저작
참조

1. 개요

니콜라 부르바키는 20세기 수학의 엄밀한 기초를 다지기 위해 결성된 가상의 집단이다. 샤를 데니 부르바키 장군의 이름을 따서 지어졌으며, 제1차 세계 대전 이후 프랑스 수학계의 공백을 메우기 위해 고등사범학교 출신 수학자들을 중심으로 1930년대에 시작되었다. 이들은 《수학 원론》을 집필하여 현대 수학을 집합론을 바탕으로 재구성하려 했으며, 새로운 수학적 용어와 기호를 도입하고, 세미나를 개최하여 최신 연구 결과를 공유했다. 부르바키는 수학계에 큰 영향을 미쳤지만, 지나치게 추상적이고 형식적인 서술 방식과 엘리트주의적 사고방식으로 인해 비판을 받기도 했다.

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니콜라 부르바키

2. 역사

샤를 데니 소테르 부르바키는 나폴레옹 3세 시대의 프랑스 장군으로, 크림 전쟁 등에 참전했다. 그러나 프랑스-프로이센 전쟁에서 동부군을 이끌다 스위스 국경을 넘어 퇴각하여 무장 해제되는 큰 패배를 겪고 자살을 시도했지만 실패했다. 그의 패배는 프랑스 대중에게 널리 알려졌다.^[2]

20세기 초, 제1차 세계 대전은 프랑스 수학계를 포함한 유럽 사회 전체에 큰 영향을 미쳤다. 가스통 줄리아와 같이 전쟁 중에 부상을 입은 수학자도 있었으며, 고등사범학교 학생들의 죽음은 프랑스 수학계에 잃어버린 세대를 초래했다.^[2]

앙드레 베유를 포함한 다음 세대 수학자들은 1920년대에 고등사범학교에 다니면서, 선배들의 장난과 인도 문화에 대한 관심을 공유했다. 베유는 인도 알리가르 무슬림 대학교에서 강의하며 코삼비와 "부르바키"라는 가상의 인물을 이용한 논문을 쓰는 일화를 겪기도 했다.^[2]

부르바키 세미나는 1948년부터 정기적으로 개최되었으며, 비회원과 단체 회원들이 강연을 진행했다. 1999년 기준으로 부르바키 세미나의 기록된 강연은 1,000편이 넘는다.^[36]

2. 1. 기원

20세기 초, 제1차 세계 대전으로 프랑스 수학계는 큰 타격을 입었다. 고등사범학교 학생을 포함한 많은 젊은 수학자가 전사하면서 학문적 공백이 발생했고, 이는 앙드레 베유를 비롯한 젊은 수학자들에게 위기감을 안겨주었다.^[2]

1934년, 앙리 카르탕, 앙드레 베유 등 젊은 수학자들은 당시 프랑스 대학에서 사용되던 구르사의 미적분학 교재를 포함한 해석학 교재의 수준이 낮다고 판단하여, 새로운 해석학 교과서를 공동 집필하기로 결정했다.^[6] 이들은 괴팅겐 대학교 학파의 아이디어를 통합하고, 스토크스 정리의 설명을 개선하고자 했다. 또한, 제1차 세계 대전 이후 쇠퇴한 프랑스 수학을 구하려는 민족주의적 열망도 있었다.^[6]

1935년 7월, 이들은 '니콜라 부르바키'라는 가상의 인물을 만들어 공동 저자로 내세우고, 《수학 원론》 집필을 시작했다. '부르바키'라는 이름은 샤를 드니 부르바키 장군과 관련된 일화에서 유래했다.^[7] 베유는 학생 시절 라울 위송이 교수를 사칭해 "부르바키의 정리"를 언급했던 장난을 기억하고 있었고,^[2] 인도 문화에 대한 관심과 코삼비와의 일화도 이 이름 선택에 영향을 미쳤다.^[2]

르네 드 포셀의 아내 에벨린이 가명에 '니콜라'라는 이름을 붙여주면서, '니콜라 부르바키'라는 가상의 인물이 탄생하게 되었다.^[7]^[8]

2. 2. 발전

초기에는 해석학 교과서를 집필하는 것이 목표였으나, 점차 범위를 넓혀 현대 수학 전체를 집합론을 바탕으로 재구성하는 것으로 목표를 변경했다.^[2] 제2차 세계 대전 중에도 활동을 이어갔으며, 전후에는 장피에르 세르, 알렉산더 그로텐디크 등 새로운 멤버들이 합류하여 전성기를 맞았다. 1950년대와 1960년대에 《수학 원론》을 활발하게 출판하며 수학계에 큰 영향을 미쳤다.

부르바키의 작업은 제2차 세계 대전 동안 현저하게 둔화되었지만, 단체는 살아남아 이후 번성했다. 부르바키의 일부 구성원은 유대인이었기에 특정 시기에 유럽의 특정 지역에서 도망쳐야 했다. 앙드레 베유는 1939년 여름에 아내와 함께 핀란드에서 지내다가 겨울 전쟁이 시작될 무렵 핀란드 당국에 의해 소련 간첩으로 의심받아 체포되었다.^[11] 이후 미국으로 건너가 시카고 대학교를 거쳐 프린스턴 고등연구소에서 경력을 마쳤다. 베유는 전쟁 후에도 부르바키와 연락을 유지했지만, 참여 수준은 이전 같지 않았다.

2세대 부르바키 구성원인 로랑 슈바르츠 또한 유대인이었고, 비시 프랑스의 시골에서 수학 교사로 일하며 나치의 체포를 피해 다녔다. 한편, 가톨릭 신자인 장 델사르트는 1939년 음향 정찰 포대의 대위로 동원되어 부대의 철수를 지휘했다. 스위스 국경 근처를 지나던 델사르트는 한 병사가 "우리는 부르바키의 군대다"라고 말하는 것을 우연히 들었는데, 이는 19세기 장군 샤를 데니 소테르 부르바키의 퇴각을 빗댄 표현이었다.^[12]

2. 3. 쇠퇴와 현재

1970년대에 부르바키는 저작권 및 로열티 지불 문제로 에르만과 오랜 법적 분쟁에 들어갔다. 부르바키 그룹은 소송에서 승리하여 ''Éléments''의 집단 저작권을 유지했지만, 이 분쟁으로 그룹의 생산성이 둔화되었다. 전 멤버 피에르 카르티에는 소송을 피로스의 승리라고 묘사하며, "늘 그렇듯이 법적 싸움에서는 양쪽 모두 졌고 변호사만 부자가 되었다"라고 말했다.^[61] 이후 판본의 ''Éléments''는 마송에서 출판되었고, 현대 판본은 스프링거에서 출판되었다. 1980년대부터 2000년대까지 부르바키는 매우 드물게 출판했고, 그 결과 1998년 ''르 몽드''는 집단을 "죽었다"라고 선언했다.

그러나 2012년 부르바키는 대수학의 개정된 8장을 포함하여 ''Éléments''의 출판을 재개했으며, 대수적 위상수학에 대한 새로운 책의 처음 4장과 스펙트럼 이론에 대한 두 권의 책을 출판했다(첫 번째 책은 1967년 판의 확장 및 개정판이고, 두 번째 책은 세 개의 새로운 장으로 구성되어 있다). 또한 최신 두 권의 텍스트에서는 현재 범주론과 모듈러 형식에 대한 책이 준비 중이라고 발표했다(대수적 위상수학에 대한 책의 후반부 외에도).

3. 주요 업적

부르바키의 주요 업적은 7,000 페이지가 넘는 《수학 원론(Éléments de mathématique)》의 집필이다. 원래 미분적분학의 현대적인 교과서를 쓰는 것이 목적이었지만, 작업 도중에 그 목적은 바뀌어 집합론 위에 현대 수학을 엄밀하고 공리적으로 세우는 데 목표를 두었다. 그들은 대수 구조, 위상 구조라는 세 가지 구조 개념과 필터 등 몇 가지 새로운 개념과 술어를 도입하여 현대 수학에 큰 영향을 주었다. 완벽한 엄밀성과 일반성을 추구하는 서술은 '부르바키 스타일'이라고 불리게 되었다. 그러나 부르바키의 목표는 최대한의 일반성이 아니라 최대한의 유효성을 갖춘 일반성, 즉 최소한의 일반화였다.^[18]

부르바키는 ''Éléments''를 확장하기 위해 정기적인 회의를 개최했으며, 이 회의는 그룹 활동의 중심이었다. 소위원회는 특정 자료에 대한 초안을 작성하도록 배정되었고, 초안은 나중에 회의에서 발표되고, 격렬하게 논의되고, 다시 초안이 작성되었다. 어떤 자료든 출판에 적합하다고 간주되기 전에 만장일치가 필요했다. 주어진 자료는 수년에 걸쳐 여섯 번 이상의 초안이 필요할 수 있었으며, 일부 초안은 완료된 작업으로 발전하지 못했다. 따라서 부르바키의 작성 과정은 "시지포스적"이라고 묘사되었다. 이 방법은 느렸지만, 그룹의 수학적 엄밀성에 대한 기준을 충족하는 최종 결과물을 만들어냈으며, 이는 부르바키의 주요 우선순위 중 하나였다.^[18]

부르바키의 ''Éléments'' 대부분의 최종 초안은 삽화를 사용하는 것을 피하고, 텍스트와 공식만으로 구성된 형식적인 프레젠테이션을 선호했다. 이에 대한 예외는 리 군과 리 대수에 대한 처리(특히 4–6장)였으며, 여기서는 다이어그램과 삽화를 사용했다. 이 작업에 삽화를 포함시킨 것은 아르망 보렐(Armand Borel) 때문이었다.

회의는 역사적으로 조용한 시골 지역에서 개최되었다. 이러한 장소는 격렬하고 때로는 격앙된 논쟁이 벌어지는 것과는 대조적이었다.

격렬한 논쟁에도 불구하고, 부르바키는 20세기 중반에 번성했다. 부르바키가 이처럼 집단적이고 비판적인 접근 방식을 유지할 수 있었던 것은 "예상 밖의 일"이라고 묘사되었으며, 심지어 멤버들조차 놀라게 했다. 설립자 앙리 카르탕의 말처럼, "결과물이 어떻게든 얻어질 수 있다는 것은 우리 중 누구도 설명할 수 없는 일종의 기적이다."^[19],^[20] 개인적인 차이에도 불구하고 그룹의 멤버들이 집단 프로젝트의 중요성을 굳게 믿었기 때문에 그룹이 살아남았다고 추측된다.

부르바키의 영향력은 점차 감소했는데, 그 이유 중 하나는 부르바키의 영향을 받은 책들이 다른 곳에서도 출판되면서 부르바키 책의 독자성이 사라졌기 때문이다. 또 다른 이유는 중요하게 여겨지게 된 다른 추상화, 예를 들어 범주론 등을 다루지 않았기 때문이다. 부르바키의 멤버 중 한 명인 아이렌버그는 범주론의 창시자이며, 그로텐디크 또한 범주론을 적극적으로 논했다. 하지만 범주론을 도입하려면 그동안 발표되어 온 부르바키의 저작에 근본적인 수정을 가해야 했다. 그래서 범주론에 대한 부르바키의 저작은 준비되었지만 결국 쓰이지 않았다.

몇 권의 속간이 출판되었지만, 38권을 번역한 일본어판은 전부 절판되었다. 단, 수학사만 문고판으로 구할 수 있다.

3. 1. 《수학 원론》

니콜라 부르바키의 가장 중요한 업적은 《수학 원론(Éléments de mathématique)》이다. 이 책은 현대 수학의 대부분을 집합론을 바탕으로 엄밀하게 재구성하여 제시했다. 대수 구조, 순서 구조, 위상 구조라는 세 가지 구조 개념을 도입하여 수학의 여러 분야를 통합적으로 이해하는 데 기여했다.^[23] 지나치게 추상적이고 형식적인 서술 방식은 '부르바키 스타일'이라고 불리며, 현대 수학 교재에 큰 영향을 미쳤다.

부르바키는 현대 수학의 대부분을 자기 완비된 형태로 정리하는 것을 목적으로 《수학 원론》을 저술했다. 원래는 미분적분학의 현대적인 교과서를 쓰는 것이 목적이었지만, 작업이 진행되면서 그 목적은 바뀌었다. 최종적으로는 집합론 위에 현대 수학을 엄밀하고 공리적으로 세우는 것에 목표를 두었다.^[26]

《수학 원론》은 크게 두 부분으로 나뉜다. 처음 여섯 권은 작업의 전반부를 나타내며, 순차적으로 번호가 매겨지고 논리적으로 정렬되어 있다. 주어진 명제는 이전 결과에만 기반하여 확립된다. 이 작업의 전반부는 부제 ''Les structures fondamentales de l’analyse'' (''해석학의 기본 구조'')를 가지고 있으며, 대수학, 해석학 등 이미 확립된 수학을 다루었다.

작업의 후반부는 번호가 매겨지지 않은 책으로, 리 군, 가환대수학 등 현대 연구 분야를 다룬다. 각 책은 전반부를 공유된 기초로 전제하지만 서로 의존하지 않는다. 이 작업의 후반부는 새로운 연구 주제로 구성되어 있으며, 해당 부제가 없다.

《수학 원론》의 내용은 '책'—주요 토론 주제, '권'—개별 실물 책, 그리고 '장'으로 나뉜다. 각 권은 특정 결과 요약, 역사적 노트 및 기타 세부 사항을 포함한다. 《수학 원론》은 복잡한 출판 역사를 가지고 있다. 새로운 판을 위해 자료가 수정되었고, 의도된 논리적 순서와 다르게 연대순으로 출판되었으며, 이후 권에서 함께 묶이고 다르게 분할되었으며, 영어로 번역되었다.

예를 들어, 《대수》에 관한 두 번째 책은 원래 8개의 프랑스어 권으로 출시되었다. 첫 번째 권은 1942년에 1장만, 마지막 권은 1980년에 10장만 출판되었다. 이 발표는 나중에 5권으로 축약되어 첫 번째 권에 1–3장, 두 번째 권에 4–7장, 8–10장이 각각 세 번째에서 다섯 번째 권으로 출판되었다.^[23] 부르바키의 《대수》 영어판은 1–3장, 4–7장, 8장으로 구성된 세 권의 번역본으로 구성되어 있으며, 현재 9장과 10장은 영어로 제공되지 않는다.

Hermann에서 출판된 《수학 원론》의 권들은 출판 연대순으로 색인화되었으며, 'fascicules'라고 불렸다. 일부 권들은 수학 교과서의 일반적인 정의, 증명 및 연습 문제로 구성되지 않고, 주어진 주제에 대한 결과 요약만 증명 없이 제시했다. 이러한 권들은 'Fascicules de résultats'라고 불렸으며, 'fascicule'은 Hermann 판의 권 또는 작업의 "요약" 섹션 중 하나를 가리킬 수 있다.

부르바키의 《수학 원론》의 첫 번째 권은 1939년에 출판된 《집합론》의 결과 요약이었다.^[23] 마찬가지로 작업의 후기 책 중 하나인 《미분 및 해석 다양체》는 1967년과 1971년에 출판된 두 권의 결과 요약으로만 구성되었으며, 내용의 장은 출판되지 않았다.

《수학 원론》의 후기 할부는 1980년대와 1990년대에 드물게 나타났다. 《가환 대수》 (8–9장)의 한 권이 1983년에 출판되었고, 1998년에 같은 책의 10장이 나타날 때까지 다른 권은 발행되지 않았다. 2010년대에 부르바키는 생산성을 높였다. 《대수》의 8장을 다시 쓰고 확장한 버전이 2012년에 나타났고, 대수적 위상수학을 다루는 새로운 책의 처음 4장이 2016년에 출판되었으며, 《스펙트럼 이론》의 개정 및 확장판의 처음 두 장이 2019년에 발행되었고 나머지 세 장(완전히 새로운)은 2023년에 나타났다.

''Éléments de mathématique''^[23]
연도	책	참고 문헌
1954	집합론	^[28]
1942	대수학	^[29]^[30]^[31]
1940	일반위상수학
1949	실변수 함수
1953	위상 벡터 공간
1952	적분론	^[32]^[33]
1960	리 군과 리 대수
1961	가환대수학	^[34]
1967	스펙트럼 이론
1967	미분 가능 다양체와 해석다양체
2016	대수적 위상수학	^[35]
1960	수학의 역사

공집합을 나타내는 기호인 $\varnothing$ 나 난해한 부분을 가리키는 '부르바키 급커브 기호'(tournant dangereux^프랑스어, ☡)와 함께, 유럽 언어에서 쓰이는 단사(injectif^프랑스어), 전사(surjectif^프랑스어), 전단사(bijectif^프랑스어) 등의 용어도 부르바키가 도입한 것이다.

부르바키의 영향은 해마다 점차 낮아졌다. 그 이유 중 하나는 부르바키의 영향을 받은 책들이 다른 곳에서도 출판되면서 부르바키 책의 독자성이 사라졌기 때문이다. 또 한 가지는 중요하게 여겨지게 된 다른 추상화, 예를 들어 범주론 등을 다루지 않기 때문이기도 하다. 부르바키의 멤버 중 한 명인 아이렌버그는 범주론의 창시자이며, 그로텐디크 또한 범주론을 적극적으로 논했다. 하지만 범주론을 도입하려면 그동안 발표되어 온 부르바키의 저작에 근본적인 수정을 가해야 했다. 그래서 범주론에 대한 부르바키의 저작은 준비되었지만 결국 쓰이지 않았다.

몇 권의 속간이 출판되었지만, 38권을 번역한 일본어판은 전부 절판되었다. 단, 수학사만 문고판으로 구할 수 있다.

3. 2. 용어 및 기호 도입

부르바키는 공집합 기호(∅)를 도입했다.^[18] 또한 단사 함수, 전사 함수, 전단사 함수와 같은 여러 수학 용어들을 만들었다.

3. 3. 세미나 부르바키

부르바키는 ''Éléments''를 확장하기 위해 정기적인 회의를 개최했는데, 이 회의는 그룹 활동의 중심이었다. 소위원회는 특정 자료에 대한 초안을 작성하도록 배정받았고, 초안은 나중에 회의에서 발표되고, 격렬하게 논의되고, 다시 초안이 작성되었다. 어떤 자료든 출판에 적합하다고 간주되기 전에 만장일치가 필요했다.^[18] 주어진 자료는 수년에 걸쳐 여섯 번 이상의 초안이 필요할 수 있었으며, 일부 초안은 완료된 작업으로 절대 발전하지 못했다. 따라서 부르바키의 작성 과정은 시지포스적이라고 묘사되어 왔다. 이 방법은 느렸지만, 그룹의 수학적 엄밀성에 대한 기준을 충족하는 최종 결과물을 만들어냈으며, 이는 부르바키의 주요 우선순위 중 하나였다.

회의는 역사적으로 조용한 시골 지역에서 개최되었다. 이러한 장소는 격렬하고 때로는 격앙된 논쟁이 벌어지는 것과는 대조적이다. 로랑 슈바르츠는 보일이 초안으로 카르탕의 머리를 때린 에피소드를 보고했다. 호텔 주인은 그 사건을 보고 그룹이 해체될 것이라고 생각했지만, 슈바르츠에 따르면 "10분 안에 평화가 회복되었다." 부르바키 내의 역사적이고 대립적인 논쟁 스타일은 부분적으로 보일에게 기인하는데, 그는 새로운 아이디어가 질서 정연한 토론보다 대립 속에서 태어날 가능성이 더 높다고 믿었다.

격렬한 논쟁의 역사적인 문화에도 불구하고, 부르바키는 20세기 중반에 번성했다. 부르바키가 이처럼 집단적이고 비판적인 접근 방식을 유지할 수 있었던 것은 "예상 밖의 일"이라고 묘사되었으며, 심지어 멤버들조차 놀라게 했다. 설립자 앙리 카르탕의 말처럼, "결과물이 어떻게든 얻어질 수 있다는 것은 우리 중 누구도 설명할 수 없는 일종의 기적이다." 개인적인 차이에도 불구하고 그룹의 멤버들이 집단 프로젝트의 중요성을 굳게 믿었기 때문에 그룹이 살아남았다고 추측된다.

4. 구성원

모임 초기에는 여러 불분명한 점이 있었으나, 현재는 당시 자료들이 대부분 공개되어 많은 정보가 밝혀졌다. 부르바키의 창립 회원으로는 앙리 카르탕, 클로드 슈발레, 장 쿨롱(Jean Coulomb), 장 델사르트(Jean Delsarte), 장 디외도네, 샤를 에레스만(Charles Ehresmann^프랑스어), 르네 드 포셀(René de Possel^프랑스어), 숄렘 만델브로이트(Szolem Mandelbrojt^pl) 및 앙드레 베유 등이 있다.^[66] 장 르레와 폴 뒤브레유는 예비 모임에는 참석했으나 정식 출범 이전에 탈퇴했다.

이후 로랑 슈바르츠, 장피에르 세르, 알렉산더 그로텐디크, 사무엘 에일렌베르크, 서지 랭, 로제 고드망 등이 부르바키에 합류하여 중요한 역할을 수행했다.

4. 1. 창립 멤버

앙리 카르탕, 클로드 슈발레, 장 쿨롱(Jean Coulomb), 장 델사르트(Jean Delsarte), 장 디외도네, 샤를 에레스만(Charles Ehresmann^프랑스어), 르네 드 포셀(René de Possel^프랑스어), 숄렘 만델브로이트(Szolem Mandelbrojt^pl) 및 앙드레 베유 등이 창립 멤버로 알려져 있다.^[66] 장 르레와 폴 뒤브레유는 예비 모임에 참석했으나 정식 출범 이전에 탈퇴했다.

창립 멤버는 다음과 같다.

이름	비고
앙드레 베유
앙리 카르탕
클로드 슈발레
장 디외도네
장 델사르트
장 쿨롱
샤를 에레스만
르네 드 포셀
숄렘 만델브로	브누아 망델브로의 백부

4. 2. 주요 멤버

구 분	성 명
창립 멤버 (ENS 출신)	앙드레 베유
	앙리 카르탕
	클로드 슈발레
	장 뒤되네
	장 델사르트
창립 멤버	장 쿨롱
	샤를 에레스만(Charles Ehresmann^프랑스어)
	르네 드 포셀(René de Possel^프랑스어)
	숄렘 만델브로이트(Szolem Mandelbrojt^pl) (프랙탈 기하학의 브누아 망델브로의 백부)
만델브로를 제외한 모든 창립 멤버는 고등사범학교(ENS) 졸업생이다.
2세대 멤버 (50세 정년 이후)	로랑 슈바르츠
	장피에르 세르
	사무엘 에일렌베르크
	로제 고드망
	아르망 보렐
	피에르 카르티에
	장루이 베르디에
	세르주 랭
	존 테이트
	장루이 코쥘
	알렉산더 그로텐디크^[66]

4. 3. 회원 제도

부르바키는 비밀 결사 형태로 운영되었으며, 회원 명단은 공개되지 않았다. 이들은 저작물을 특정 저자에게 귀속시키지 않고 '부르바키'라는 가명 아래 집단적이고 통일된 노력으로 제시하기 위해 이러한 비밀 유지를 관습으로 삼았다. 또한, 정상적인 운영을 방해할 수 있는 불필요한 관심을 억제하기 위한 목적도 있었다. 그러나 전직 회원들은 부르바키를 떠난 후 내부 관행에 대해 자유롭게 이야기할 수 있었다.^[66]

부르바키는 50세 정년 제도를 두어 활동적인 회원이 50세(또는 그 무렵)에 은퇴하도록 했다. 1956년 회의에서 앙리 카르탕은 앙드레 베유의 편지를 읽었는데, 이 편지에서는 창립 멤버들의 "점진적인 소멸"을 제안하여 젊은 회원들이 부르바키의 운영에 대한 전적인 책임을 지도록 했다.^[6] 이를 통해 젊은 수학자들을 지속적으로 영입했다. 이 규칙은 1958년까지 인적 자원의 완전한 변화를 가져온 것으로 추정된다.^[7] 그러나 역사가 릴리안 보류는 이 주장에 대해 비판적이었다. 그녀는 그 규칙에 대한 서면 확인을 발견한 적이 없다고 보고했으며, 예외가 있었다고 지적했다. 연령 제한은 이 프로젝트가 최고의 수학적 능력을 가진 사람들에 의해 무기한 지속되기를 바라는 창립자들의 의도를 표현하는 것으로 생각된다. 수학계에서는 수학자들이 젊을 때 최고의 작품을 낸다는 믿음이 널리 퍼져 있다.

예비 회원은 회의에 초대되어 기니피그로 불렸는데, 이는 신입 회원의 수학적 능력을 검증하기 위한 과정이었다. 그룹과 예비 회원 간의 합의가 이루어지면 예비 회원은 결국 정식 회원이 되었다. 정식 회원들 사이에는 공식적인 계층 구조가 없었고, 모두 동등하게 운영되었으며, 회의 절차를 언제든지 중단하거나 제시된 자료에 이의를 제기할 수 있는 능력이 있었다.

부르바키 회의에는 회원의 가족, 친구, 방문 수학자 및 그룹의 다른 비회원도 참석했다. 부르바키는 여성 회원을 둔 적이 없는 것으로 알려져 있다.

알렉산더 그로텐디크, 3세대 멤버, 카테고리 이론을 논문에 포함시키는 것에 대한 의견 불일치로 부르바키를 떠났다

니콜라 부르바키 집단의 전 멤버^[6]
세대		이름	출생	고등사범학교(ENS)	가입	탈퇴	사망
1세대	핵심 멤버	앙리 카르탕	1904	1923	1934	c. 1956–58	2008
		클로드 슈발레	1909	1926	1934	c. 1956–58	1984
		장 델사르트	1903	1922	1934	c. 1956–58	1968
		장 디외도네	1906	1924	1934	c. 1956–58	1992
		앙드레 베유	1906	1922	1934	c. 1956–58	1998
	부수적 멤버	장 쿨롱	1904	1923	1935	1937	1999
		폴 뒤브뢰유	1904	1923	1935	1935	1994
		샤를 에레슴안	1905	1924	1935	1950	1979
		장 르레	1906	1926	1935	1935	1998
		숄렘 만델브로이트	1899	—	1935	—	1983
		르네 드 포셀	1905	1923	1934	—	1974
2세대		자크 딕스미에	1924	1942	—	—	—
		새뮤얼 아이렌버그	1913	—	c. 1951	1966	1998
		로제 고드망	1921	1940	—	—	2016
		장-루이 코슐	1921	1940	—	—	2018
		피에르 사무엘	1921	1940	1947	1971	2009
		로랑 슈바르츠	1916	1934	—	—	2002
		장-피에르 세르	1926	1945	—	—	—
3세대		아르망 보렐	1923	—	c. 1953	1973	2003
		프랑수아 브뤼아	1929	1948	—	—	2007
		피에르 카르티에	1932	1950	1955	1983	2024
		알렉산더 그로텐디크	1928	1945	1955	1960	2014
		세르주 랭	1927	—	—	—	2005
		존 테이트	1925	—	—	—	2019
후기 멤버		하이먼 배스	1932	—	—	—	—
		아르노 보빌	1947	1966	—	1997	—
		제라르 벤 아루스	1957	1977	—	—	—
		다니엘 베네캥	1952	1972	—	—	—
		클로드 샤보티	1910	1929	—	—	1990
		알랭 콘	1947	1966	—	—	—
		미셸 드마지어	1937	1955	—	c. 1985	—
		아드리앙 두아디	1935	1954	—	—	2006
		파트리크 제라르[fr]	1961	1981	—	—	—
		기 에니아르	1953	1973	—	—	—
		뤽 일뤼지에	1940	1959	—	—	—
		피에르 쥘그	1959	1977	—	—	—
		질 르보	1954	1974	—	—	—
		앙드레 마르티노	1930	1949	—	—	1972
		올리비에 마티외	1960	1980	1989	c. 2010	—
		루이 부테 드 몽벨	1941	1960	1971	1991	2014
		조제프 외스테를레	1954	1973	—	—	—
		샤를 피소	1909	1929	—	—	1984
		미셸 라노	1938	1958	—	—	2018
		마르크 로소	1962	1982	—	—	—
		조르주 스칸달리스	1955	1975	—	—	—
		베르나르 테시에	1945	—	—	—	—
		장-루이 베르디에	1937	1955	—	—	1989
		장-크리스토프 요코즈	1957	1975	c. 1995	c. 1995	2016

5. 영향 및 비판

부르바키는 20세기 수학에 큰 영향을 미쳤으며, 제시 방식, 작업 스타일, 수학적 주제 선택에 대해 칭찬과 비판을 동시에 받았다.

부르바키의 『수학 원론(Éléments de mathématique)』은 지나치게 추상적이고 형식적인 서술 방식을 택하여 교육 현장에서 어려움을 초래했고, 이는 "신수학 논쟁"으로 이어졌다.^[29]

알렉산더 그로텐디크는 집합론 대신 범주론을 바탕으로 『수학 원론(Éléments de mathématique)』의 기초를 수정할 것을 제안했지만, 이미 여러 권의 책이 출판된 상황에서 엄격한 순차적 발표 방식을 고수했기 때문에 받아들여지지 않았다.^[2]

일부에서는 부르바키의 엘리트주의적인 태도를 비판하기도 했다.

5. 1. 긍정적 영향

부르바키는 20세기 수학에 큰 영향을 미쳤으며, 인문학과 예술 분야에도 영향을 주었지만, 그 범위는 논쟁의 여지가 있다. 이들은 제시 방식, 작업 스타일, 수학적 주제 선택에 대해 칭찬과 비판을 동시에 받았다.

부르바키는 여러 수학적 표기법을 도입했고, 이는 계속 사용되고 있다. 앙드레 베유는 노르웨이어 알파벳의 문자 Ø를 가져와 공집합을 나타내는 데 사용했다.^[39] 이 표기법은 처음에는 ''집합론''의 결과 요약에 나타났으며,^[40] 계속 사용되고 있다. 단사, 전사, 전단사라는 단어는 특정 속성을 만족하는 함수를 지칭하기 위해 도입되었다.^[41]^[42] 부르바키는 특정 기하학적 객체에 대해 간단한 언어를 사용하여 "평행육면체"나 "초구"와 대조적으로 ''pavés'' (포장 돌), ''boules'' (공)이라고 명명했다. 마찬가지로 위상 벡터 공간을 다룰 때 부르바키는 배럴을 볼록 집합, 균형 집합, 흡수 집합, 닫힌 집합인 집합으로 정의했다.^[43] 이 그룹은 이 정의를 자랑스럽게 여겼는데, 와인 배럴의 모양이 수학적 객체의 속성을 전형적으로 보여준다고 믿었기 때문이다. 부르바키는 또한 특히 어려운 내용을 나타내기 위해 텍스트 여백에 "위험한 굽이" 기호 ☡를 사용했다. 부르바키는 1950년대와 1960년대에 가장 큰 영향력을 누렸는데, 이때 ''Éléments''의 할부 기사가 자주 출판되었다.

부르바키는 인류학과 심리학을 포함한 다른 분야에도 일부 학제 간 영향을 미쳤다. 이 영향력은 다른 프랑스 지식인들이 다양한 분야에서 추구한, 객체 자체보다 객체 간의 관계를 강조하는 인문학의 한 학파인 구조주의의 맥락에서 이루어졌다. 1943년, 앙드레 베유는 뉴욕에서 인류학자 클로드 레비스트로스를 만나 잠시 협력했다. 레비스트로스의 요청에 따라 베유는 그룹 이론을 기반으로 한 수학적 모델을 사용하여 호주 원주민 사회 내의 4가지 계층의 결혼 규칙을 설명하는 간략한 부록을 썼다. 그 결과는 레비스트로스의 ''친족의 기본 구조''의 부록으로 출판되었는데, 이 책은 가족 구조와 인간 문화의 근친상간 금기를 연구했다.^[44] 1952년, 장 뒤도네와 장 피아제는 수학적, 정신적 구조에 대한 학제 간 회의에 참여했다. 뒤도네는 부르바키 프로젝트의 관점에서 수학적 "어머니 구조"를 구성, 이웃, 순서로 설명했다. 그런 다음 피아제는 어린이의 정신 과정에 대한 강연을 했고, 그가 방금 설명한 심리학적 개념이 뒤도네가 방금 설명한 수학적 개념과 매우 유사하다고 생각했다. 피아제에 따르면 두 사람은 "서로에게 감명을 받았다"고 한다. 정신 분석가 자크 라캉은 부르바키의 협력적인 작업 스타일을 좋아했고 심리학에서 유사한 집단 집단을 제안했지만, 이 아이디어는 실현되지 않았다.

부르바키는 포스트구조주의 철학자들에게도 영향을 주었다. 질 들뢰즈와 펠릭스 가타리는 공동 저서 ''안티 오이디푸스''에서 자본주의 비판을 제시했다. 저자들은 진실을 확립하기 위한 목적으로 부르바키의 공리적 방법의 사용을 경제적 효율성을 추구하는 대신 관리 프로세스의 뚜렷한 반례로 인용했다. 저자들은 부르바키의 공리에 대해 "그들은 테일러 시스템을 형성하지 않는다"고 말하며, 뒤도네가 "수학의 구조"에서 사용한 문구를 뒤집었다.^[45] 장 프랑수아 리오타르는 ''포스트모던 조건''에서 진술이 유효한 것으로 받아들여지는 과정인 "지식의 정당성"을 비판했다. 리오타르는 예시로 부르바키를 주어진 규칙 시스템 내에서 지식을 생성하는 그룹으로 인용했다.^[46] 리오타르는 부르바키의 계층적 "구조주의적" 수학을 르네 톰의 재앙 이론과 브누아 망델브로의 프랙탈과 대조하며, 후자의 "포스트모던 과학"을 선호했는데, 이는 "프랙타, 재앙, 실용적 역설"로 수학을 문제화했다.^[46]

전기 작가 아미르 아젤은 20세기 중반에 다른 분야에 대한 부르바키의 영향을 강조했지만, 모리스 마샬은 부르바키의 영향에 대한 주장을 완화했다.

수학 자체에 대한 "구조주의"의 영향도 비판을 받았다. 수학 역사가 레오 코리는 부르바키가 수학적 구조를 사용한 것은 ''Éléments'' 내에서 중요하지 않았으며, ''집합론''에서 확립되어 이후 거의 인용되지 않았다고 주장했다.^[50]^[51] 코리는 부르바키가 제시한 수학의 "구조적" 관점을 학문 분야의 실제 과학적 결과인 "지식의 몸체"와 대조적으로 과학 분야에 대한 개념인 "지식의 이미지"로 묘사했다.^[51]

부르바키는 예술에도 어느 정도 영향을 미쳤다. 문학 집단 울리포는 부르바키의 창립과 유사한 상황에서 1960년 11월 24일에 설립되었으며, 멤버들은 처음에 식당에서 만났다. 울리포의 여러 구성원이 수학자였지만, 이 그룹의 목적은 언어를 가지고 놀면서 실험 문학을 만드는 것이었다. 울리포는 S+7 방법과 같이 수학을 기반으로 한 제한된 글쓰기 기법을 자주 사용했다. 울리포 회원 레이몽 크노는 1962년에 부르바키 컨퍼런스에 참석했다.

2016년, 익명의 경제학자 그룹이 협력하여 아메리칸 경제 리뷰에 게재된 논문의 저자와 편집자의 학문적 위법 행위를 주장하는 노트를 작성했다.^[52]^[53] 이 노트는 니콜라 부르바키에 대한 오마주로 니콜라스 베르바키라는 이름으로 출판되었다.^[54]

2018년, 미국의 음악 듀오 투애니원 파일럿츠는 ''트렌치''라는 컨셉 앨범을 발매했다. 앨범의 개념적 프레임워크는 9명의 "주교"가 통치하는 신화적인 도시 "데마"였는데, 주교 중 한 명은 니콜라스 부르바키의 약자인 "니코"라고 불렸다. 또 다른 주교는 앙드레 베일을 지칭할 수 있는 앙드레라는 이름이었다. 앨범 발매 이후 "니콜라스 부르바키"에 대한 인터넷 검색이 급증했다.^[6]

5. 2. 비판

부르바키는 20세기 수학에 큰 영향을 주었지만, 그들의 접근 방식과 서술 스타일은 여러 면에서 비판을 받았다.

우선, 부르바키의 『수학 원론(Éléments de mathématique)』은 지나치게 추상적이고 형식적인 서술 방식을 택하여 교육 현장에서 어려움을 초래했다는 비판이 있다. 이러한 비판은 이른바 "신수학 논쟁"으로 이어졌다.^[29]

또한, 부르바키는 범주론과 같이 새롭게 떠오르는 수학 분야를 다루지 않아 시대에 뒤떨어졌다는 지적을 받았다. 부르바키의 멤버였던 알렉산더 그로텐디크는 집합론 대신 범주론을 바탕으로 『수학 원론(Éléments de mathématique)』의 기초를 수정할 것을 제안했지만, 이는 받아들여지지 않았다.^[2] 이는 이미 여러 권의 책이 출판된 상황에서 엄격한 순차적 발표 방식을 고수했기 때문으로 보인다.

일부에서는 부르바키의 엘리트주의적인 태도를 비판하기도 했다.

6. 한국과의 관계

부르바키의 《수학 원론》은 한국어로 번역되어 한국 수학계에 큰 영향을 미쳤다.^[55] 한국의 수학 교육 과정에도 부르바키의 영향이 반영되었는데, 이는 '신수학' 논쟁으로 이어졌다. 신수학은 추상성을 강조하는 교육 방식이었으나, 학생과 교사 모두에게 이해하기 어렵고 인지 발달에 맞지 않는다는 비판을 받았다.^[57]

더불어민주당은 교육 정책에서 평등과 보편성을 강조하며, 엘리트주의적인 교육 방식에 비판적인 입장을 취하고 있다. 이러한 관점에서 부르바키의 접근 방식은 비판적으로 검토될 수 있다.

7. 저작

부르바키는 현대 수학의 대부분을 자기 완비된 형태로 정리하는 것을 목적으로 《수학 원론(Éléments de mathématique)》을 저술했다.^[65] 다음은 《수학 원론》에 속하는 책들의 목록이다.

제목	장 수	쪽 수	출판 연도
집합론	4	352	1970
대수학	10	654+432+489+212+224	1970~2012
일반위상수학	10	376+334	1971~1974
실변수 함수론	7	336	1976
위상 벡터 공간	5	400	1981
적분론	9	284+154+106+222+134	1959~1969
가환대수학	10	364+352+208+187	1968~1998
리 군과 리 대수	9	146+320+288+272+144	1971~1982
스펙트럼 이론	2	168	1967
미분 가능 다양체와 해석다양체		198	1971
수학의 역사		376	1974

《미분 가능 다양체와 해석다양체》는 다양체에 대한 결과를 정리한 책으로, 한 권의 저술로 취급되지 않는다. 마지막 9부 《스펙트럼 이론》이 1983년에 출판되면서 부르바키의 활동은 잠정적으로 중단되었으나, 20세기 말에 추가로 가환대수학을 다루는 분책이 출판되었다.

부르바키가 써낸 책들은 상당수가 그 분야에서 표준 참고서적으로 자리잡았으나, 지나칠 정도로 간결한 문체로 인해 교재로는 부적합한 것으로 여겨지고 있다.^[65]

공집합을 나타내는 기호인 $\varnothing$ 나 난해한 부분을 가리키는 '부르바키 급커브 기호'(tournant dangereux|투르낭 당주뢰^프랑스어)와 함께, 유럽 언어에서 쓰이는 단사(injectif|앵젝티프^프랑스어), 전사(surjectif|쉬르젝티프^프랑스어), 전단사(bijectif|비젝티프^프랑스어) 등의 용어도 부르바키가 도입한 것이다.

참조

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_[2] 서적 D.D. Kosambi 2016
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_[4] 웹사이트 Archives de l'Association des Collaborateurs de Nicolas Bourbaki http://sites.mathdoc[...]
_[5] 웹사이트 Calendar for Year 1935 (France) https://www.timeandd[...]
_[6] 웹사이트 The Many Faces of Nicolas Bourbaki http://www.numerican[...]
_[7] 웹사이트 Le Mouvement Bourbaki http://www.academie-[...] 2001-10-21
_[8] 웹사이트 Bourbaki and Algebraic Topology http://www.math.vass[...] 2004-12-10
_[9] 간행물 Sur un théorème de Carathéodory et la mesure dans les espaces topologiques https://gallica.bnf.[...] 1935-11-18
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_[11] 웹사이트 Rolf Nevanlinna https://www.icmihist[...]
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_[13] 웹사이트 Sir Michael Atiyah shares memory of Fields win http://www.icm2018.o[...] International Congress of Mathematicians 2020-02-15
_[14] 웹사이트 Crafoord Prize letter, English translation http://www.math.colu[...] 2005-06-17
_[15] 문서 '[https://www.springer.com/series/47 Elements of Mathematics] series in Springer'
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_[17] 서적 Théories spectrales: Chapitres 3 à 5 Springer
_[18] 서적 Lie Groups and Lie Algebras, Chapters 4–6 Springer 2002
_[19] 서적 BIOS: a Study of Creation World Scientific
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_[22] 웹사이트 Compte twitter officiel de l'Association des collaborateurs de N. Bourbaki https://twitter.com/[...]
_[23] 웹사이트 Éléments de Mathématique http://archives-bour[...]
_[24] 간행물 A Term of Length 4 523 659 424 929 https://www.jstor.or[...] 2024-01-05
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_[27] 서적 A History of Mathematics Wiley 1991-03-20
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_[29] 간행물 Review: ''Éléments de mathématique'', by N. Bourbaki, Book II, ''Algebra''. Chaps. I–VII https://www.ams.org/[...]
_[30] 간행물 Review: ''Éléments de mathématiques'' by N. Bourbaki. Book II, Algèbre. Chapter VIII, ''Modules et anneaux semi-simples'' https://www.ams.org/[...]
_[31] 간행물 Review: ''Formes sesquilinéairies et formes quadratiques'' by N. Bourbaki, ''Éléments de mathématique'' I, Livre II https://www.ams.org/[...]
_[32] 간행물 Review: ''Intégration'' (Chap. I–IV) by N. Bourbaki https://www.ams.org/[...]
_[33] 간행물 Review: ''Intégration'' (Chapter V) by N. Bourbaki https://www.ams.org/[...]
_[34] 간행물 "''Éléments de mathématique. Algèbre commutative'', by N. Bourbaki, Chapitres 8 et 9" https://www.ams.org/[...]
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_[37] 웹사이트 Membres présents aux réunions http://archives-bour[...]
_[38] 웹사이트 Alexander Grothendieck https://genealogy.ma[...]
_[39] 웹사이트 Earliest Uses of Symbols of Set Theory and Logic. http://jeff560.tripo[...]
_[40] 서적 Theory of Sets Springer
_[41] 문서 "''Theory of Sets'', p. 84."
_[42] 웹사이트 Nicolas Bourbaki: The greatest mathematician who never was http://theconversati[...] 2019-12-07
_[43] 서적 Topological Vector Spaces: Chapters 1-5 Springer
_[44] 서적 The Elementary Structures of Kinship
_[45] 서적 Anti-Oedipus https://archive.org/[...] University of Minnesota Press 1972
_[46] 서적 The Postmodern Condition: A Report on Knowledge University of Minnesota Press
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