바나흐 공간

1. 개요

바나흐 공간은 완비 노름 공간으로, 벡터 공간에 노름이 정의되고 코시 수열이 공간 내에서 수렴하는 성질을 갖는다. 바나흐 공간은 닫힌 부분 공간, 몫공간, 완비화, 텐서곱 등 다양한 연산을 통해 새로운 바나흐 공간을 생성할 수 있으며, 선형 변환, 특히 유계 작용소에 대한 여러 중요한 정리가 성립한다. 힐베르트 공간, 르베그 공간, 연속 함수 공간 등 다양한 공간이 바나흐 공간의 예시이며, 이들은 함수 해석학, 미적분학, 위상수학 등 다양한 분야에서 중요한 역할을 한다.

2. 정의

$\backslash mathbb\; K$가 실수체 또는 복소수체일 때, $\backslash mathbb\; K$-노름 공간 $(X,\backslash |\backslash cdot\backslash |)$이 다음 두 조건을 만족하면 $\backslash mathbb\; K$-바나흐 공간이라고 한다. 이 두 조건은 서로 동치이다.

* (노름으로 정의한 거리 함수를 부여하면) 완비 거리 공간이다. 즉, 모든 코시 열이 수렴한다.
* 모든 절대 수렴 급수가 수렴한다. 즉, 임의의 점렬 $(v\_i)\_\{i\backslash in\backslash mathbb\; N\}\backslash subseteq\; X$에 대하여, 만약 라면, 급수 $\backslash textstyle\backslash sum\_\{i\backslash in\backslash mathbb\; N\}v\_i$ 역시 (노름으로 정의한 거리 위상에 대하여) 수렴한다.

체 $\backslash mathbb\; K$를 실수체 또는 복소수체로 국한하는 이유는 노름 공간에 완비성을 가정하려면 그 체가 완비되어야 하기 때문이다. 예를 들어, 유리수체는 완비되지 못한다.

바나흐 공간은 완비 노름 공간 $\backslash \; (X,\; \backslash |\backslash cdot\backslash |)\; ~.$이다. 노름 공간은 스칼라 체 $\backslash mathbb\{K\}$ (여기서 $\backslash \; \backslash mathbb\{K\}\backslash$는 일반적으로 $\backslash \; \backslash Reals\backslash$ 또는 $\backslash \; \backslash Complex\backslash$이다) 위의 벡터 공간 $\backslash \; X\backslash$와 노름 $\backslash \; \backslash |\backslash cdot\backslash |\; :\; X\; \backslash to\; \backslash Reals\; ~.$로 구성된 쌍이다.

모든 노름은 평행 이동 불변 거리 함수를 유도하며, 이를 모든 벡터 $\backslash \; x,\; y\; \backslash in\; X\backslash$에 대해 정의된 표준 또는 (노름) 유도 거리라고 한다.

:$$\backslash \; d(x,\; y)\; :=\; \backslash |y\; -\; x\backslash |\; =\; \backslash |x\; -\; y\backslash |\; ~.$$

이는 $X$를 거리 공간 $\backslash \; (X,\; d)\; ~.$으로 만든다.

코시 수열 $\backslash \; x\_1,\; x\_2,\; \backslash ldots\backslash$ in $\backslash \; (X,\; d)\backslash \; ,$에 대해 $\backslash \; x\; \backslash in\; X\backslash$ 가 존재하면, 노름 공간 $\backslash \; (X,\; \backslash |\backslash cdot\backslash |)\backslash$을 바나흐 공간이라 하고, 표준 거리$\backslash \; d\backslash$를 완비 거리라고 한다.

:$$\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; x\_n\; =\; x\; \backslash ;\; \backslash text\{\; in\; \}\; (X,\; d)$$

여기서 $\backslash left\backslash |x\_n\; -\; x\backslash right\backslash |\; =\; d\backslash left(x\_n,\; x\backslash right)$이므로, 이 수열의 $x$로의 수렴은 다음과 같이 동등하게 표현할 수 있다.

:$$\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; \backslash left\backslash |x\_n\; -\; x\backslash right\backslash |\; =\; 0\; \backslash ;\; \backslash text\{\; in\; \}\; \backslash Reals\; ~.$$

노름 공간 $\backslash \; (X,\; \backslash |\backslash cdot\backslash |)\backslash$의 노름 $\backslash \; \backslash |\backslash cdot\backslash |\backslash$을 $\backslash \; (X,\; \backslash |\backslash cdot\backslash |)\backslash$이 바나흐 공간일 경우 완비 노름이라고 한다.

벡터 공간 구조를 통해 코시 수열의 동작을 수렴하는 벡터의 급수의 동작과 연관시킬 수 있다. 노름 공간 $\backslash \; X\backslash$는 $\backslash \; X\backslash$에서 각 절대 수렴 급수가 $\backslash \; X\backslash$ 내부에 있는 값으로 수렴할 경우 바나흐 공간이다.

:

일반적으로 잘 알려진 두 종류의 바나흐 공간은 그 기저가 되는 선형 공간의 계수체(기초체) K가 실수체 R 또는 복소수체 C인 것으로, 각각 실 바나흐 공간 및 복소 바나흐 공간이라고 불린다.

2.1. 부분 공간

닫힌집합인 $\backslash mathbb\; K$-바나흐 공간 $V$의 부분 벡터 공간 $\backslash iota\backslash colon\; W\backslash hookrightarrow\; V$는 바나흐 공간이다.

다음 조건을 만족시키는 선형 변환 $P\backslash colon\; V\backslash to\; W$가 존재하면, $W$를 여공간을 가지는 부분 공간(complemented subspace^영어)라고 한다.
* $P$는 전사 함수이다.
* $\backslash iota\backslash circ\; P\backslash colon\; V\backslash to\; V$는 ($W$로의) 사영이다. 즉, $\backslash iota\backslash circ\; P\backslash circ\backslash iota\backslash circ\; P=\backslash iota\backslash circ\; P$이다.
* $P$는 유계 작용소이다.

여분 부분 공간은 (연속 함수의 상이므로) 항상 닫힌집합이다. 즉, 바나흐 공간의 부분 벡터 공간에 대하여 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.

:여공간을 가지는 부분 공간 ⇒ 닫힌 부분 벡터 공간 ⇒ 부분 벡터 공간

여분 부분 공간 $W\backslash subseteq\; V$가 주어졌을 때, 바나흐 공간 $V$를 다음과 같이 분해할 수 있다.
:$V=W\backslash oplus\backslash ker\; P$
그러나 이러한 $P$는 유일하지 않을 수 있다.

3. 연산

노름 공간의 집합 $(V\_i)\_\{i\backslash in\; I\}$이 주어졌을 때, 직합 $\backslash tilde\; V=\backslash bigoplus\_\{i\backslash in\; I\}V\_i$ 위에 다음과 같은 노름을 정의할 수 있다.

:$\backslash left\backslash |\backslash bigoplus\_\{i\backslash in\; I\}v\_i\backslash right\backslash |=\backslash begin\{cases\}$
\sqrt[p]{\sum_{i\in I}\|v_i\|_{V_i}^p}&p<\infty\\
\max_{i\in I}\|v_i\|_{V_i}&p=\infty
\end{cases}


만약 $I$가 유한 집합이라면, 다음 두 조건은 서로 동치이다.
* 모든 $i$에 대하여 $V\_i$가 바나흐 공간이다.
* $\backslash tilde\; V$는 바나흐 공간이다.

이 경우, $\backslash tilde\; V$의 ($p$-노름으로 정의되는) 위상은 $p$에 의존하지 않는다.

그러나 $I$가 무한 집합이라면, $V\_i$가 모두 바나흐 공간이라도 $\backslash tilde\; V$가 바나흐 공간이 아닐 수 있다. 이 경우 $\backslash tilde\; V$의 완비화 $V$를 취해야 하며, 그 결과는 일반적으로 $p\backslash in[1,\backslash infty]$에 따라 달라진다.

두 바나흐 공간 X, Y에 대해, 이들의 가군으로서의 직합 X ⊕ Y에는 자연스럽게 위상선형 공간의 구조가 들어가지만, 표준적인 노름은 존재하지 않는다. 그럼에도 불구하고 이를 바나흐 공간으로 만드는 몇 가지 동치인 노름이 존재하며, 그 중 하나로
:$\backslash |x\; \backslash oplus\; y\backslash |\; =\; \backslash bigl(\; \backslash |x\backslash |^p\; +\; \backslash |y\backslash |^p\; \backslash bigr)^\{1/\; p\},\; \backslash quad\; (1\; \backslash le\; p\; \backslash le\; \backslash infty)$
을 들 수 있다. 또한 이 구성을 일반화하여 임의 개수의 바나흐 공간에 대한 ℓ^p-직합을 정의할 수 있는데, 비영 직합 인자가 무한 개 존재하는 경우에는, 이 방법으로 얻어지는 공간은 p에 의존하여 달라진다.

힐베르트 공간의 경우 간단하고 유일한 텐서곱이 존재하지만, 바나흐 공간의 텐서곱 이론은 유일하지 않으며 복잡하다. 특히, "최대" 텐서곱인 사영 위상 텐서곱(projective topological tensor product^영어)과 "최소" 텐서곱인 단사 위상 텐서곱(injective topological tensor product^영어)이 존재한다. 이 둘은 일반적으로 서로 다르며, (힐베르트 공간의 경우) 힐베르트 텐서곱과도 다르다.

3.1. 완비화

$\backslash mathbb\{K\}$-노름 공간 $V$가 주어졌을 때, 다음 조건을 만족시키는 $\backslash mathbb\{K\}$-바나흐 공간 $\backslash bar\; V$ 및 등거리 선형 변환 $\backslash iota\backslash colon\; V\backslash to\backslash bar\; V$가 존재한다.
* 상 $\backslash iota(V)\backslash subseteq\backslash bar\; V$는 $\backslash bar\; V$의 조밀 집합이다.
또한, 이는 다음과 같은 보편 성질을 만족시킨다.
* 임의의 $\backslash mathbb\{K\}$-바나흐 공간 $W$ 및 등거리 선형 변환 $j\backslash colon\; V\backslash to\; W$에 대하여, 만약 $j(V)$가 조밀 집합이라면, $j=i\backslash circ\backslash iota$인 바나흐 공간 동형 사상(=등거리 선형 위상 동형 사상) $i\backslash colon\backslash bar\; V\backslash to\; W$가 존재한다.

$\backslash bar\; V$는 거리 공간으로서 $V$의 거리 공간 완비화와 같다. 만약 $V$가 이미 바나흐 공간이라면 $\backslash iota$는 바나흐 공간 동형 사상이다.

3.2. 부분 공간과 몫공간

$\backslash mathbb\; K$-바나흐 공간 $X$의 $\backslash mathbb\; K$-부분 벡터 공간 $Y\backslash subseteq\; X$에 노름 $\backslash |\backslash |\_X\backslash restriction\; Y$를 부여하면, 이는 노름 공간을 이룬다. 이 경우 다음 두 조건은 서로 동치이다.

* $Y$는 $\backslash mathbb\; K$-바나흐 공간이다.
* $Y$는 닫힌집합이다.

또한, 닫힌 부분 벡터 공간 $Y\backslash subseteq\; X$에 대한 몫공간 $X/Y$ 위에
:$\backslash lVert\; x+Y\backslash rVert=\backslash inf\_\{y\backslash in\; Y\}\backslash lVert\; x+y\backslash rVert$
로 노름을 정의하면, $X/Y$ 역시 $\backslash mathbb\; K$-바나흐 공간이 된다.

3.3. 상

$\backslash mathbb\; K$-바나흐 공간 $X$와 연속 열린 선형 변환 $T\backslash colon\; X\backslash to\; Y$에 대해, $T(X)$는 $\backslash mathbb\; K$-바나흐 공간이다.

3.4. 직합

$\backslash mathbb\; K$-노름 공간의 집합 $(V\_i)\_\{i\backslash in\; I\}$이 주어졌을 때, 직합 $\backslash tilde\; V=\backslash bigoplus\_\{i\backslash in\; I\}V\_i$ 위에 다음과 같은 노름을 정의할 수 있다.

:$\backslash left\backslash |\backslash bigoplus\_\{i\backslash in\; I\}v\_i\backslash right\backslash |=\backslash begin\{cases\}$
\sqrt[p]{\sum_{i\in I}\|v_i\|_{V_i}^p}&p<\infty\\
\max_{i\in I}\|v_i\|_{V_i}&p=\infty
\end{cases}


만약 $I$가 유한 집합이라면, 다음 두 조건은 서로 동치이다.
* 모든 $i$에 대하여 $V\_i$가 바나흐 공간이다.
* $\backslash tilde\; V$는 바나흐 공간이다.

이 경우, $\backslash tilde\; V$의 ($p$-노름으로 정의되는) 위상은 $p$에 의존하지 않는다.

그러나 $I$가 무한 집합이라면, $V\_i$가 모두 바나흐 공간이라도 $\backslash tilde\; V$가 바나흐 공간이 아닐 수 있다. 이 경우 $\backslash tilde\; V$의 완비화 $V$를 취해야 하며, 그 결과는 일반적으로 $p\backslash in[1,\backslash infty]$에 따라 다르다.

두 바나흐 공간 X, Y에 대해, 이들의 가군으로서의 직합 X ⊕ Y에는 자연스럽게 위상선형 공간의 구조가 들어가지만, 표준적인 노름은 존재하지 않는다. 그럼에도 불구하고 이를 바나흐 공간으로 만드는 몇 가지 동치인 노름이 존재하며, 그 중 하나로
:$\backslash |x\; \backslash oplus\; y\backslash |\; =\; \backslash bigl(\; \backslash |x\backslash |^p\; +\; \backslash |y\backslash |^p\; \backslash bigr)^\{1/\; p\},\; \backslash quad\; (1\; \backslash le\; p\; \backslash le\; \backslash infty)$
을 들 수 있다. 또한 이 구성을 일반화하여 임의 개수의 바나흐 공간에 대한 ℓ^p-직합을 정의할 수 있는데, 비영 직합 인자가 무한 개 존재하는 경우에는, 이 방법으로 얻어지는 공간은 p에 의존하여 달라진다.

3.5. 텐서곱

힐베르트 공간의 경우 간단하고 유일한 텐서곱이 존재하지만, 바나흐 공간의 텐서곱 이론은 유일하지 않으며 복잡하다. 특히, "최대" 텐서곱인 사영 위상 텐서곱(projective topological tensor product^영어)과 "최소" 텐서곱인 단사 위상 텐서곱(injective topological tensor product^영어)이 존재한다. 이 둘은 일반적으로 서로 다르며, (힐베르트 공간의 경우) 힐베르트 텐서곱과도 다르다.

4. 성질

바나흐-샤우데르 정리(열린 사상 정리)에 따르면, 두 바나흐 공간 사이의 전사 유계 작용소는 열린 함수이다. 특히, 두 바나흐 공간 사이의 전단사 선형 변환은 항상 위상 벡터 공간의 동형 사상이다.

닫힌 그래프 정리에 따르면, 두 바나흐 공간 사이의 선형 변환에 대하여 다음 세 조건은 서로 동치이다.

* 연속 함수이다.
* 유계 작용소이다.
* 닫힌 그래프를 가진다.

두 바나흐 공간 사이의 유계 작용소의 열에 대하여 균등 유계성 원리가 성립한다.

동일한 기초체 K 위의 바나흐 공간 V, W에 대해, 연속K-선형 사상 A: V → W 전체가 이루는 공간을 L(V, W)로 나타낸다. 무한 차원 공간의 경우 임의의 선형 사상이 자동으로 연속이 되는 것은 아니다. 일반적으로 노름 공간 위의 선형 사상이 연속이 되는 것과, 그것이 단위 폐구 위의 유계가 되는 것은 동치이다. 따라서 선형 공간 L(V, W)에 작용소 노름
:$\backslash |A\backslash |\; =\; \backslash sup\backslash \{\backslash |Ax\backslash |\_W\; \backslash mid\; x\backslash in\; V,\backslash \; \backslash |x\backslash |\_V\backslash le\; 1\backslash \}$
을 넣을 수 있으며, 이 노름에 관해 L(V,W)는 바나흐 공간을 이룬다.

V가 바나흐 공간이고 K를 그 기초체(실수체 R 또는 복소수체 C 중 하나)라고 하면, K는 (그 절댓값을 노름으로 하여) 그 자체로 바나흐 공간이며, V에서 K로의 연속 선형 함수의 공간 L(V, K)로서 V의 쌍대 공간(연속적 쌍대, 위상적 쌍대) V′을 정의할 수 있다. V′ 또한 (작용소 노름에 관해) 바나흐 공간이 된다. 쌍대 공간을 통해 V에 새로운 위상(약한 위상)을 정의할 수 있다.

V에서 V′′ (쌍대의 쌍대; 이중 쌍대 공간)로의 자연스러운 사상 F는
: $F(x)(f)\; :=\; f(x)\; \backslash in\; \backslash mathbb\{K\},\backslash quad\; (x\backslash in\; V,\backslash ,f\backslash in\; V\text{'})$
로 정의된다. 한-바나흐 정리의 귀결로서, 이 사상은 단사이며 등거리 변환이다. 더 나아가 이것이 전사일 때 바나흐 공간 V는 반사적 공간(재귀적, 반사적)이라고 한다.

Banach space^영어 사이의 관계는 다음과 같다.

프레셰 도함수를 통해 바나흐 공간 위에 정의된 함수의 도함수를 정의할 수 있다. 이를 통해 바나흐 공간 위에서 (비선형) 미적분학을 전개할 수 있다. 바나흐 공간에서 미분의 여러 개념을 정의할 수 있는데, 자세한 내용은 프레셰 미분과 가토 미분 문서를 참조하면 된다.

프레셰 미분은 전미분 개념을 바나흐 공간으로 확장한 것이고, 가토 미분은 방향 미분을 국소 볼록 위상 벡터 공간으로 확장한 것이다. 프레셰 미분 가능성은 가토 미분 가능성보다 더 강한 조건이며, 준미분은 방향 미분의 또 다른 일반화로, 가토 미분 가능성보다는 강하지만 프레셰 미분 가능성보다는 약한 조건이다.

4.1. 바나흐 공간 사이의 선형 변환

바나흐-샤우데르 정리(열린 사상 정리)에 따르면, 두 바나흐 공간 사이의 전사 유계 작용소는 열린 함수이다. 특히, 두 바나흐 공간 사이의 전단사 선형 변환은 항상 위상 벡터 공간의 동형 사상이다.

닫힌 그래프 정리에 따르면, 두 바나흐 공간 사이의 선형 변환에 대하여 다음 세 조건은 서로 동치이다.
* 연속 함수이다.
* 유계 작용소이다.
* 닫힌 그래프를 가진다.

즉, 두 바나흐 공간 사이의 유계 작용소에 대하여 다음이 성립한다.

두 바나흐 공간 사이의 유계 작용소의 열에 대하여 균등 유계성 원리가 성립한다.

동일한 기초체 K 위의 바나흐 공간 V, W에 대해, 연속K-선형 사상 A: V → W 전체가 이루는 공간을 L(V, W)로 나타낸다. 무한 차원 공간의 경우 임의의 선형 사상이 자동으로 연속이 되는 것은 아니다. 일반적으로 노름 공간 위의 선형 사상이 연속이 되는 것과, 그것이 단위 폐구 위의 유계가 되는 것은 동치이다. 따라서 선형 공간 L(V, W)에 작용소 노름
:$\backslash |A\backslash |\; =\; \backslash sup\backslash \{\backslash |Ax\backslash |\_W\; \backslash mid\; x\backslash in\; V,\backslash \; \backslash |x\backslash |\_V\backslash le\; 1\backslash \}$
을 넣을 수 있으며, 이 노름에 관해 L(V,W)는 바나흐 공간을 이룬다.

V가 바나흐 공간이고 K를 그 기초체(즉, 실수체 R 또는 복소수체 C 중 하나)라고 하면, K는 (그 절댓값을 노름으로 하여) 그 자체로 바나흐 공간이며, V에서 K로의 연속 선형 함수의 공간 L(V, K)로서 V의 쌍대 공간(연속적 쌍대, 위상적 쌍대) V′을 정의할 수 있다. V′ 또한 (작용소 노름에 관해) 바나흐 공간이 된다. 쌍대 공간을 통해 V에 새로운 위상(약한 위상)을 정의할 수 있다.

V에서 V′′ (쌍대의 쌍대; 이중 쌍대 공간)로의 자연스러운 사상 F는
: $F(x)(f)\; :=\; f(x)\; \backslash in\; \backslash mathbb\{K\},\backslash quad\; (x\backslash in\; V,\backslash ,f\backslash in\; V\text{'})$
로 정의된다. 한-바나흐 정리의 귀결로서, 이 사상은 단사이며 등거리 변환이다. 더 나아가 이것이 전사일 때 바나흐 공간 V는 반사적 공간(재귀적, 반사적)이라고 한다.

4.2. 함의 관계

Banach space^영어 사이의 관계는 다음과 같다.

4.3. 샤우데르 기저

벡터 공간의 (하멜) 기저나 힐베르트 공간의 정규 직교 기저와 달리, 바나흐 공간 이론에서 기저의 개념은 복잡하다. 바나흐 공간의 경우 샤우데르 기저라는 개념을 정의할 수 있지만, 샤우데르 기저를 갖지 않는 바나흐 공간이 존재하며, 또한 샤우데르 기저의 원소들의 순서가 중요하다.

바나흐 공간 $X$에서의 샤우데르 기저는 모든 벡터 $x\; \backslash in\; X$에 대해 다음을 만족하는 고유하게 정의된 스칼라 $\backslash left\backslash \{\; x\_n\; \backslash right\backslash \}\_\{n\; \backslash geq\; 0\}$가 존재하는 벡터들의 수열 $\backslash left\backslash \{\; e\_n\; \backslash right\backslash \}\_\{n\; \backslash geq\; 0\}$이다.

:$$x\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\{\backslash infty\}\; x\_n\; e\_n,\; \backslash quad\; \backslash textit\{즉,\}\; \backslash quad\; x\; =\; \backslash lim\_n\; P\_n(x),\; \backslash \; P\_n(x)\; :=\; \backslash sum\_\{k=0\}^n\; x\_k\; e\_k.$$

샤우데르 기저를 갖는 바나흐 공간은 반드시 분리 가능한데, 이는 유리수 계수를 갖는 유한 선형 결합의 가산 집합이 조밀하기 때문이다.

바나흐-슈타인하우스 정리에 의해 선형 사상 $\backslash left\backslash \{P\_n\backslash right\backslash \}$는 어떤 상수 $C$에 의해 균등하게 유계이다.
$\backslash left\backslash \{\; e\_n^*\; \backslash right\backslash \}$를 위의 전개에서 $x$의 좌표 $x\_n$을 $X$의 모든 $x$에 할당하는 좌표 함수라고 하자.
이들은 쌍직교 함수라고 불린다. 기저 벡터의 노름이 $1$일 때, 좌표 함수 $\backslash left\backslash \{e\_n^*\backslash right\backslash \}$는 $X$의 쌍대 공간에서 노름이 $\backslash ,\backslash leq\; 2\; C$이다.

대부분의 고전적인 분리 가능 공간은 명시적인 기저를 갖는다.
Haar 시스템 $\backslash left\backslash \{\; h\_n\; \backslash right\backslash \}$은 에 대한 기저이다.
삼각 시스템은 일 때 $L^p(\backslash mathbf\{T\})$에서 기저이다.
Schauder 시스템은 공간 $C([0,\; 1])$에서 기저이다.
원반 대수 $A(\backslash mathbf\{D\})$가 기저를 갖는지에 대한 질문은 Bočkarev가 1974년에 $A(\backslash mathbf\{D\})$가 Franklin 시스템에서 구성된 기저를 허용한다는 것을 보일 때까지 40년 넘게 열린 문제로 남아 있었다.

기저가 있는 바나흐 공간 $X$의 모든 벡터 $x$는 유한 차수이고 균등하게 유계인 $P\_n(x)$의 극한이므로, 공간 $X$는 유계 근사 성질을 만족한다.
Enflo에 의해 근사 성질을 만족하지 않는 첫 번째 예는 동시에 샤우데르 기저가 없는 분리 가능한 바나흐 공간의 첫 번째 예였다.

Robert C. James는 기저가 있는 바나흐 공간에서 반사성을 다음과 같이 특징지었다. 샤우데르 기저가 있는 공간 $X$는 기저가 축소적이고 유계 완비인 경우에만 반사적이다.
이 경우, 쌍직교 함수는 $X$의 쌍대 공간의 기저를 형성한다.

4.4. 바나흐 공간 위의 미적분학

프레셰 도함수를 통해 바나흐 공간 위에 정의된 함수의 도함수를 정의할 수 있다. 이를 통해 바나흐 공간 위에서 (비선형) 미적분학을 전개할 수 있다. 바나흐 공간에서 미분의 여러 개념을 정의할 수 있는데, 자세한 내용은 프레셰 미분과 가토 미분 문서를 참조하면 된다.

프레셰 미분은 전미분 개념을 바나흐 공간으로 확장한 것이고, 가토 미분은 방향 미분을 국소 볼록 위상 벡터 공간으로 확장한 것이다. 프레셰 미분 가능성은 가토 미분 가능성보다 더 강한 조건이며, 준미분은 방향 미분의 또 다른 일반화로, 가토 미분 가능성보다는 강하지만 프레셰 미분 가능성보다는 약한 조건이다.

5. 분류

분해 가능 바나흐 공간에 대해서는 다음과 같은 분류 정리가 존재한다.

5.1. L¹의 몫공간으로의 표현

모든 분해 가능 바나흐 공간은 르베그 공간 $\backslash ell^1(\backslash mathbb\; K)$의 몫공간이다. 즉, $\backslash ell^1(\backslash mathbb\; K)$에 닫힌 $\backslash mathbb\; K$-부분 벡터 공간 $M$이 존재하여, $X\backslash cong\backslash ell^1(\backslash mathbb\; K)/M$이다.

5.2. <math>\mathcal C^0</math>의 부분 공간으로의 표현

바나흐-마주르 정리(Banach-Mazur定理)에 따르면, 임의의 바나흐 공간은 어떤 콤팩트 하우스도르프 공간 위의 연속 함수 공간의 부분 공간으로 등거리 매장될 수 있다. 분해 가능 공간의 경우, 닫힌 단위 구간 위의 연속 함수 공간의 부분 공간으로 등거리 매장될 수 있다.

구체적으로, 분해 가능 실수 바나흐 공간 $V$가 주어졌을 때, 그 연속 쌍대 공간 $V\text{'}$의 단위 닫힌 공 $K=\backslash operatorname\{ball\}\_\{V\text{'}\}(0,1)$에 약한-* 위상을 부여하면, 이는 바나흐-앨러오글루 정리에 의해 콤팩트 하우스도르프 공간이 된다. 약한-* 위상의 정의에 따라, 임의의 $v\backslash in\; V$에 대하여 $f\backslash mapsto\; f(v)$는 연속 함수가 된다. 즉, $V$의 원소 $v$를 $K$위의 연속 함수 $(f\backslash mapsto\; f(x))$로 대응시키는 것은 등거리 선형 변환 $V\backslash to\backslash mathcal\; C^0(K)$를 정의한다.

만약 $V$가 추가로 분해 가능 공간이라면, $\backslash mathcal\; C^0(K,\backslash mathbb\; R)$는 $\backslash mathcal\; C^0([0,1],\backslash mathbb\; R)$의 부분 공간으로 등거리 매장할 수 있다.

5.3. 바나흐-마주르 거리

바나흐-마주르 콤팩트 공간(Banach–Mazur compactum^영어)은 유한 차원 바나흐 공간의 일종의 모듈라이 공간이다.

자연수 $n$과 $\backslash mathbb\; K\backslash in\backslash \{\backslash mathbb\; R,\backslash mathbb\; C\backslash \}$ 및 $n$차원 실수 바나흐 공간 $V$, $W$가 주어졌을 때, 그 사이의 전단사 $\backslash mathbb\; K$-선형 변환들의 공간 $\backslash operatorname\{GL\}(V,W)$을 생각할 수 있다. 이 경우, $V$와 $W$ 사이의 바나흐-마주르 거리(Banach–Mazur distance^영어)는 다음과 같다.

:$d(V,W)=\backslash ln\_\{T\backslash in\backslash operatorname\{GL\}(V,W)\}\backslash |T\backslash |\backslash |T^\{-1\}\backslash |$

여기서 $\backslash |T\backslash |$는 작용소 노름이다.

이는 삼각 부등식을 만족시킨다. $n$차원 $\backslash mathbb\; K$-바나흐 공간들의 (등거리) 동형류들의 공간은 이 거리 함수를 통해 콤팩트 거리 공간을 이룬다. 이를 바나흐-마주르 콤팩트 공간이라고 한다.

6. 예

벡터 공간 위에 노름을 부여하여 바나흐 공간을 만들 수 있다.

* 자연수 $n\backslash in\backslash mathbb\; N$에 대하여, 유한 차원 $\backslash mathbb\; K$-벡터 공간 $\backslash mathbb\; K^n$ 위에 노름
:$\backslash |(x\_1,\backslash dots,x\_n)\backslash |=\backslash sqrt\{|x\_1|^2+\backslash cdots+|x\_n|^2\}$
를 부여하면, 이는 $\backslash mathbb\; K$-바나흐 공간을 이룬다.
* 측도 공간 $(X,\backslash Sigma,\backslash mu)$ 및 확장된 실수 $1\backslash le\; p\backslash le\backslash infty$에 대하여, 르베그 공간 $\backslash operatorname\; L^p(X;\backslash mathbb\; K)$는 $\backslash mathbb\; K$-바나흐 공간을 이룬다.
* 수렴 수열 공간 \(\operatorname c(\mathbb K)\)과 영 수렴 수열 공간 \(\operatorname c_0(\mathbb K)\)은 둘 다 \(\mathbb K\)-바나흐 공간을 이룬다.
* 임의의 $\backslash mathbb\; K$-힐베르트 공간 $\backslash mathcal\; H$에 대하여,
:$\backslash |v\backslash |=\backslash sqrt\{\backslash langle\; v,v\backslash rangle\}\backslash qquad(v\backslash in\; \backslash mathcal\; H)$
로 노름을 정의하면 이는 $\backslash mathbb\; K$-바나흐 공간을 이룬다.
* 콤팩트 하우스도르프 공간 $X$가 주어지면, $X$ 위의 $\backslash mathbb\; K$값의 연속 함수들의 $\backslash mathbb\; K$-벡터 공간인 $\backslash mathcal\; C^0(X,\backslash mathbb\; K)$에 다음과 같은 노름을 부여할 수 있다.
:$\backslash |f\backslash |=\backslash max\_\{x\backslash in\; X\}|f(x)|$
이는 $\backslash mathbb\; K$-바나흐 공간을 이룬다.

6.1. 유클리드 공간

자연수 $n\backslash in\backslash mathbb\; N$에 대하여, 유한 차원 $\backslash mathbb\; K$- 벡터 공간 $\backslash mathbb\; K^n$ 위에 노름
:$\backslash |(x\_1,\backslash dots,x\_n)\backslash |=\backslash sqrt\{|x\_1|^2+\backslash cdots+|x\_n|^2\}$
를 부여하면, 이는 $\backslash mathbb\; K$-바나흐 공간을 이룬다.

n 차원 유클리드 공간 Rⁿ은 x = (x₁, ..., x_n) ∈ Rⁿ에 대해 다음으로 정의되는 모든 노름에 대해 바나흐 공간이다.

{| class="wikitable"
|-
! 노름
|-
| $\backslash lVert\; x\backslash rVert=\backslash sqrt\{|x\_1|^2+\backslash cdots+|x\_n|^2\}$
|-
| $\backslash lVert\; x\backslash rVert\_p=(|x\_1|^p+\backslash cdots+|x\_n|^p)^\{1/p\}$ (p는 1 이상의 실수. 위의 노름은 p = 2인 경우이다.)
|-
| $\backslash lVert\; x\backslash rVert\_\{\backslash infty\}=\backslash max\backslash$

6.2. 르베그 공간

측도 공간 $(X,\backslash Sigma,\backslash mu)$ 및 확장된 실수 $1\backslash le\; p\backslash le\backslash infty$에 대하여, 르베그 공간 $\backslash operatorname\; L^p(X;\backslash mathbb\; K)$는 $\backslash mathbb\; K$-바나흐 공간을 이룬다.

6.3. 수렴 수열 공간

수렴 수열 공간 \(\operatorname c(\mathbb K)\)과 영 수렴 수열 공간 \(\operatorname c_0(\mathbb K)\)은 둘 다 \(\mathbb K\)-바나흐 공간을 이룬다.

6.4. 힐베르트 공간

임의의 $\backslash mathbb\; K$-힐베르트 공간 $\backslash mathcal\; H$에 대하여,
:$\backslash |v\backslash |=\backslash sqrt\{\backslash langle\; v,v\backslash rangle\}\backslash qquad(v\backslash in\; \backslash mathcal\; H)$
로 노름을 정의하면 이는 $\backslash mathbb\; K$-바나흐 공간을 이룬다.

실수 힐베르트 공간은 내적에서 유도되는 노름에 관해 바나흐 공간이 된다. 임의의 내적에는 대응하는 노름이 수반되며(노름과 내적의 대응은 ǁvǁ² = (v,v)로 주어진다), 내적에 수반하는 노름에 관해 완비인 내적 공간은 힐베르트 공간이라고 불리므로, 임의의 힐베르트 공간은 정의에 의해 바나흐 공간이지만, 역은 반드시 참이 아니다.

바나흐 공간 V의 노름 ǁ•ǁ가 내적에 수반되는 (따라서 V가 힐베르트 공간이 되는) 필요충분 조건은, 중선 정리(평행사변형 법칙):
:$\backslash |u+v\backslash |^2\; +\; \backslash |u-v\backslash |^2\; =\; 2(\backslash |u\backslash |^2\; +\; \backslash |v\backslash |^2)$
를 임의의 u, v ∈ V에 대해 만족하는 것이다. 따라서, 예를 들어 Rⁿ이 그 위에 정의되는 "임의의" 노름에 관해 바나흐인 것과 대조적으로, 힐베르트 공간이 되는 것은 유클리드 노름에 관해서만이다. 마찬가지로 무한 차원의 경우, 예를 들어 르베그 공간 L^p는 항상 바나흐 공간이지만 힐베르트 공간이 되는 것은 p = 2인 경우에 한정된다.

바나흐 공간의 노름이 중선 정리의 등식을 만족할 때, 바나흐 공간을 힐베르트 공간으로 하는 내적은 편극 항등식(극화 형식)에 의해 주어진다. V가 실수 바나흐 공간일 때, 편극 항등식은
:$\backslash langle\; u,v\backslash rangle\; =\; \backslash frac\{1\}\{4\}\backslash ,(\backslash |u+v\backslash |^2\; -\; \backslash |u-v\backslash |^2)$
로 주어진다. 한편 V가 복소 바나흐 공간일 때, 편극 항등식은 (에르미트 내적은 제 1 변수에 관해 선형으로 하는 경우)
:$\backslash langle\; u,v\backslash rangle\; =\; \backslash frac\{1\}\{4\}\backslash ,(\backslash |u+v\backslash |^2\; -\; \backslash |u-v\backslash |^2\; +\; i(\backslash |u+iv\backslash |^2\; -\; \backslash |u-iv\backslash |^2))$
가 된다.

6.5. 연속 함수 공간

콤팩트 하우스도르프 공간 $X$가 주어지면, $X$ 위의 $\backslash mathbb\; K$값의 연속 함수들의 $\backslash mathbb\; K$-벡터 공간인 $\backslash mathcal\; C^0(X,\backslash mathbb\; K)$에 다음과 같은 노름을 부여할 수 있다.

:$\backslash |f\backslash |=\backslash max\_\{x\backslash in\; X\}|f(x)|$

이는 $\backslash mathbb\; K$-바나흐 공간을 이룬다. 점별 곱셈을 통해 이는 추가로 $\backslash mathbb\; K$-바나흐 대수를 이룬다.

유계 폐구간 I 위의 실숫값 연속 함수 전체 C(I)는 다음의 노름으로 바나흐 공간이 된다.

:$\backslash lVert\; f\backslash rVert=\backslash max\_\{x\backslash in\; I\}|f(x)|$

7. 역사

스테판 바나흐가 1922년부터 연구하였다. 이 밖에도, 한스 한과 에두아르트 헬리가 바나흐 공간 이론의 초기 연구에 기여하였다.

바나흐-마주르 정리는 스테판 바나흐와 스타니스와프 마주르가 증명하였다. 바나흐-샤우데르 정리와 그 따름정리인 닫힌 그래프 정리는 스테판 바나흐가 1929년에 발표하였고, 이듬해 율리우시 샤우데르가 개량하였다.