교점
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1. 개요
교점은 집합론에서 두 집합 모두에 속하는 원소들의 집합을 의미하며, 기하학에서는 둘 이상의 도형이 만나는 점이나 부분을 가리킨다. 집합 A와 B의 교집합은 A ∩ B로 표기하며, ∩ 기호는 헤르만 그라스만에 의해 처음 사용되었고, 주세페 페아노에 의해 교집합을 나타내는 기호로 정립되었다. 예를 들어, 집합 {1, 2, 3}과 {2, 3, 4}의 교집합은 {2, 3}이다.
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| 교점 | |
|---|---|
| 기하학적 개념 | |
| 정의 | 두 개 이상의 도형이 공유하는 점 |
| 종류 | 직선의 교점 곡선의 교점 평면의 교선 입체 도형의 교점 또는 교선 |
| 계산 | |
| 직선의 교점 계산 | 두 직선의 방정식 연립을 통해 해를 구함 |
| 곡선의 교점 계산 | 두 곡선의 방정식 연립을 통해 해를 구함 |
| 평면의 교선 계산 | 두 평면의 방정식 연립을 통해 직선의 방정식을 구함 |
| 활용 | |
| 수학 | 방정식의 해, 그래프 분석 |
| 물리학 | 힘의 평형, 렌즈의 초점 |
| 공학 | 회로 설계, 로봇 제어 |
| 컴퓨터 과학 | 컴퓨터 그래픽스, 충돌 감지 |
| 관련 개념 | |
| 교집합 | 집합론에서의 공통 원소 |
| 접점 | 곡선과 직선이 한 점에서 만나는 경우 |
| 특이점 | 함수가 정의되지 않거나 미분 불가능한 점 |
2. 집합론
집합론에서 두 집합의 교집합은 두 집합 모두에 속하는 원소들로 이루어진 집합이다. 예를 들어, 숫자 5는 소수의 집합과 짝수의 집합의 교집합에 포함되지 않는데, 5는 소수이지만 짝수는 아니기 때문이다. 반면, 2는 유일한 짝수 소수이므로 이 두 집합의 교집합에 속한다.
2. 1. 정의
두 집합 A와 B의 교집합은 A와 B 모두에 있는 원소들의 집합이다. 형식적으로 다음과 같이 표현한다.: A ∩ B = { x : x ∈ A 이고 x ∈ B }[1]
예를 들어, A = {1, 3, 5, 7}이고 B = {1, 2, 4, 6}이면, A ∩ B = {1}이다. 더 복잡한 예시(무한 집합 포함)는 다음과 같다.
: A = { x : x는 짝수 정수이다}
: B = { x : x는 3으로 나누어 떨어지는 정수이다}
: A ∩ B = {6, 12, 18, …}
또 다른 예로, 숫자 5는 소수의 집합 {2, 3, 5, 7, 11, …}과 짝수의 집합 {2, 4, 6, 8, 10, …}의 교집합에 ''포함되지 않는다''. 왜냐하면 5는 소수이지만 짝수가 아니기 때문이다. 실제로, 숫자 2는 이 두 집합의 교집합에 있는 유일한 숫자이다. 이 경우, 교집합은 수학적 의미를 가지는데, 숫자 2는 유일한 짝수 소수이기 때문이다.
2. 2. 예시
예를 들어, A = {1, 3, 5, 7}이고 B = {1, 2, 4, 6}이면, A ∩ B = {1}이다. 더 복잡한 예시(무한 집합 포함)는 다음과 같다.
- A = { x: x는 짝수 정수이다 }
- B = { x: x는 3으로 나누어 떨어지는 정수이다 }
- A ∩ B = {6, 12, 18, ...}
또 다른 예로, 수 5는 소수의 집합 {2, 3, 5, 7, 11, … }과 짝수의 집합 {2, 4, 6, 8, 10, … }의 교집합에 '포함되지' 않는다. 왜냐하면 5는 소수이지만 짝수가 아니기 때문이다. 사실, 수 2는 이 두 집합의 교집합에 있는 유일한 수이다. 이 경우, 교집합은 수학적 의미를 가진다. 즉, 수 2는 유일한 짝수 소수이다.[1]
2. 3. 표기법
헤르만 그라스만은 1844년 《Die Ausdehnungslehre》에서 교집합 기호(∩)를 일반적인 연산 기호로 처음 사용하였다. 이후 주세페 페아노(1858–1932)가 1888년 《Calcolo geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann》에서 교집합을 나타내는 기호로 사용했다.[2][3]페아노는 1908년 저서 《Formulario mathematico》에서 두 개 이상의 집합의 일반적인 교집합과 합집합을 위한 큰 기호를 만들었다.[4][5]
3. 기하학
기하학에서 '''교점'''은 둘 이상의 직선, 곡선, 평면 등이 서로 만나는 점이다.[1] 예를 들어, 도로에서 두 개 이상의 길이 만나는 지점을 교점으로 볼 수 있다.
3. 1. 교점
기하학에서 두 개 이상의 도형(선, 면, 곡선 등)이 만나는 점 또는 부분을 말한다.참조
[1]
서적
Basic Set Theory
https://books.google[...]
American Mathematical Soc.
2002-01-01
[2]
서적
Calcolo geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann: preceduto dalle operazioni della logica deduttiva
https://books.google[...]
Fratelli Bocca
1888-01-01
[3]
서적
A History of Mathematical Notations
https://books.google[...]
Cosimo, Inc.
2007-01-01
[4]
서적
Formulario mathematico, tomo V
Edizione cremonese (Facsimile-Reprint at Rome, 1960)
1908-01-01
[5]
웹사이트
Earliest Uses of Symbols of Set Theory and Logic
http://www.math.hawa[...]
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