교집합

1. 개요

교집합은 두 개 이상의 집합에 공통으로 속하는 원소들의 집합을 의미한다. 기호 "∩"를 사용하여 나타내며, 예를 들어 집합 {1, 2}와 {2, 3}의 교집합은 {2}이다. 서로소 집합은 공통 원소가 없어 교집합이 공집합인 경우를 말하며, 교집합은 결합, 교환 법칙이 성립하고, 합집합에 대해 분배된다. 빈 집합족의 교집합은 전체 집합이 되며, 공리적 집합론에서 교집합의 존재성과 유일성이 보장된다.

2. 정의와 예시

두 집합 A, B의 교집합은 A ∩ B로 표기하며, A에도 속하고 B에도 속하는 원소들의 집합이다. 즉, 다음과 같이 표현할 수 있다.

:$A\; \backslash cap\; B\; =\; \backslash \{x\; :\; x\; \backslash in\; A\backslash text\{\; and\; \}x\; \backslash in\; B\backslash \}$

다음은 교집합의 예시이다.

* 집합 {1, 2, 3}과 {2, 3, 4}의 교집합은 {2, 3}이다.
* 2의 배수(짝수)와 3의 배수의 집합의 교집합은 6의 배수의 집합이다.
* P = {1, 3, 5, 7, 9} (10 이하의 홀수 집합), Q = {2, 3, 5, 7} (10 이하의 소수 집합)이라고 할 때, P ∩ Q = {3, 5, 7}이다.
* 실수로 이루어진 열린 구간족 M = {(0, 1 + 1/n) | n은 1 이상의 자연수}의 교집합은 반열린 구간 (0, 1]이다.

:$\backslash bigcap\; \backslash mathbf\{M\}$
= \bigcap_{n=1}^{\infty} \left(0,\, 1 + \frac{1}{n}\right)
= (0, 1].

2.1. 서로소 집합

두 집합 A, B에 공통 원소가 없을 때, 두 집합은 서로소라고 하며, 교집합은 공집합(Ø)이 된다. 예를 들어, {1, 2}와 {3, 4}는 서로소이다. A와 B가 서로소라는 것은 A가 B와 만나지 않는다는 의미이다. 다시 말해, 공통 원소가 없다는 것이다. A와 B의 교집합이 공집합일 때, A와 B는 서로소이다.

3. 여럿의 교집합

여러 집합의 교집합은 그들 모두에 동시에 속하는 원소들로 이루어진 집합이다. 유한 개의 집합뿐만 아니라, 무한 개의 집합, 또는 임의의 집합족에 대해서도 교집합을 정의할 수 있다.

여러 개의 집합 A, B, C, D, E의 교집합은 `A ∩ B ∩ C ∩ D ∩ E`와 같이 나타낸다.

각각의 집합에 첨수를 부여해 대형 연산자를 통해 나타내는 방법도 있다. 예를 들어

: `bigcap_{i = 1}^5 A_i,qquad bigcap_{i = 1}^{infty} B_i,qquad bigcap_{i in I} C_i`

는 각각 `A1`, `A2`, `A3`, `A4`, `A5`의 교집합, `B1`, `B2`, ...의 교집합, `Cᵢ` (i ∈ I, I는 첨수집합, I ≠ Ø)의 교집합을 나타낸다. 이때

: `x in bigcap_{i in I} C_i Longleftrightarrow forall iin I, x in C_i`

가 성립한다.

집합을 원소로 갖는, 공집합이 아닌 집합의 교집합 `bigcap` (임의의 교집합)는 `mathcal{A}`의 모든 원소에 동시에 속하는 대상으로 이루어진 집합이다. 즉,

: `x in bigcap mathcal{A} iff forall A in mathcal{A}, x in A`

가장 일반적인 개념은 임의의 집합들의 모임의 교집합이다. 만약 `M`이 그 원소가 집합인 집합이라면, `x`는 `M`의 교집합의 원소이며, 다음 조건이 충족될 때에만 해당된다. 즉, `M`의 모든 원소 `A`에 대해, `x`는 `A`의 원소이다. 기호로 표현하면 다음과 같다.

: `( x in bigcap_{A in M} A ) Leftrightarrow ( forall A in M, x in A ).`

인덱스 집합 `I`가 자연수 집합인 경우, 무한 곱과 유사한 표기법을 볼 수 있다.

: `bigcap_{i=1}^{infty} A_i.`

형식이 어려울 때는 `A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ ⋯`로 쓸 수도 있다.

유한 개의 집합 `M1, … Mk`의 교집합은

: `M_1 cap M_2 cap cdots cap M_k`

는 그 모두에 공통으로 포함되는 원소의 전체이다. 집합의 교차는 결합적이므로, 유한 개의 집합의 교차는

: `bigcap_{n=1}^k M_n = M_1 cap M_2 cap dotsb cap M_k`

로 나타낸다.

집합의 (공이 아닌) 족

: `mathfrak{M} = { M_{lambda} }_{lambda in Lambda}`

에 대해, 그 교차를 집합족에 속하는 모든 집합에 속하는 원소, 즉

: 모든 `λ ∈ Λ`에 대해 `x ∈ M<sub>λ</sub>`

가 되는 `x`의 전체라고 정의하고

: `bigcap mathfrak{M},quad bigcap_{Minmathfrak{M}}M, quad bigcap_{lambda in Lambda} M_{lambda}`

등으로 나타낸다. 특히 집합 수열 `M}`의 교차(가산 교차)의 경우에는

: `bigcap_{n=1}^infty M_n = M_1 cap M_2 cap M_3 cdots = M_1cap(M_2cap(M_3capcdots))`

와 같이 쓰기도 한다.

주어진 집합족의 공통 부분이 공집합이 될 때, 즉 모든 집합에 공통으로 포함되는 원소가 하나도 존재하지 않을 때, 그 집합족은 교차하지 않는다(disjoint)고 한다. 또한, 어떤 두 집합을 취하더라도 교차하지 않을 때, 그 집합족은 쌍마다 교차하지 않는다(pairwise disjoint)고 한다. disjoint는 아니지만 pairwise disjoint인 집합족이 존재한다.

4. 성질

교집합은 결합 법칙을 만족한다. 즉, 모든 집합 $A,\; B,\; C$에 대해 다음이 성립한다.

:$$A\; \backslash cap\; (B\; \backslash cap\; C)\; =\; (A\; \backslash cap\; B)\; \backslash cap\; C$$

따라서 괄호를 생략해도 되며, 위의 식은 모두 $A\; \backslash cap\; B\; \backslash cap\; C$로 쓸 수 있다. 교집합은 교환 법칙도 만족한다. 즉, 모든 집합 $A$와 $B$에 대해 다음이 성립한다.

:$$A\; \backslash cap\; B\; =\; B\; \backslash cap\; A$$

어떤 집합과 공집합의 교집합은 공집합이다. 즉, 모든 집합 $A$에 대해 다음이 성립한다.

:$$A\; \backslash cap\; \backslash varnothing\; =\; \backslash varnothing$$

또한, 교집합은 멱등 법칙을 만족한다. 즉, 모든 집합 $A$에 대해 $A\; \backslash cap\; A\; =\; A$가 성립한다. 이러한 성질들은 논리 곱의 성질과 유사하다.

교집합은 분배 법칙에 따라 합집합에 대해 분배되며, 합집합은 교집합에 대해 분배된다. 즉, 모든 집합 $A,\; B,\; C$에 대해 다음이 성립한다.

:$$\backslash begin\{align\}$$
A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \\
A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)
\end{align}

전체 집합 $U$에서, $A$의 여집합 $A^c$는 $A$에 속하지 않는 $U$의 모든 원소의 집합으로 정의된다. $A$와 $B$의 교집합은 드 모르간의 법칙에 따라 여집합들의 합집합의 여집합으로 표현할 수 있다.

:$$A\; \backslash cap\; B\; =\; \backslash left(A^\{c\}\; \backslash cup\; B^\{c\}\backslash right)^c$$

5. 표기법 및 용어

교집합은 항 사이에 "∩" 기호를 사용하여 표기하며, 이는 중위 표기법이다. 예를 들면 다음과 같다.

* $\backslash \{1,2,3\backslash \}\backslash cap\backslash \{2,3,4\backslash \}=\backslash \{2,3\backslash \}$
* $\backslash \{1,2,3\backslash \}\backslash cap\backslash \{4,5,6\backslash \}=\backslash varnothing$
* $\backslash Z\backslash cap\backslash N=\backslash N$
* $\backslash \{x\backslash in\backslash R:x^2=1\backslash \}\backslash cap\backslash N=\backslash \{1\backslash \}$

두 개 이상의 집합의 교집합(일반화된 교집합)은 시그마 표기법과 유사하게 $\backslash bigcap\_\{i=1\}^n\; A\_i$와 같이 표기할 수 있다.

6. 공집합과의 교집합 (영교집합)

ZF에서는 빈 집합족의 교집합은 정의되지 않지만, 전체 집합을 가정하면 빈 집합족의 교집합은 전체 집합이 된다. 형식 이론 등에서는 빈 집합족의 교집합을 정의하기도 한다.

표준 집합론(ZF)에서는 전체 집합이 존재하지 않기 때문에, 빈 집합족의 교집합은 일반적으로 정의되지 않는다. 그러나 전체 집합 U를 고정하고 그 부분 집합만을 고려하는 경우, 빈 집합족의 교집합은 U 전체가 된다. 이는 빈 집합족의 경우, U의 모든 원소 x에 대해 x가 A에 속한다는 조건이 항상 참(공허한 진리)이 되기 때문이다.

7. 공리적 집합론

선택공리를 더하거나 더하지 않은 체르멜로-프렝켈 집합론에서, 집합들의 교집합은 분류 공리꼴에 따라 그 존재성이, 확장 공리에 따라 그 유일성이 보장된다. 예를 들어, 두 집합 A와 B의 교집합은

:$\backslash forall\; x\backslash ,\; (x\; \backslash in\; C\; \backslash iff\; (x\; \backslash in\; A\; \backslash land\; x\; \backslash in\; B))$

를 만족하는 유일한 집합 C로 정의된다. 공집합이 아닌 집합족의 교집합은

:$\backslash forall\; x\backslash ,\; (x\; \backslash in\; C\; \backslash iff\; (x\; \backslash in\; A\_0\; \backslash land\; \backslash forall\; A\; \backslash in\; \backslash mathcal\{A\}\backslash ,\; (x\; \backslash in\; A)))$

를 만족하는 유일한 집합 C로 정의된다. 여기서 A₀은의 어떤 원소이며, 이에 대한 선택은 정의에 영향을 주지 않는다.