교집합

3. 여럿의 교집합

여러 집합의 교집합은 그들 모두에 동시에 속하는 원소들로 이루어진 집합이다. 유한 개의 집합뿐만 아니라, 무한 개의 집합, 또는 임의의 집합족에 대해서도 교집합을 정의할 수 있다.

여러 개의 집합 ''A'', ''B'', ''C'', ''D'', ''E''의 교집합은 `A ∩ B ∩ C ∩ D ∩ E`와 같이 나타낸다.

각각의 집합에 첨수를 부여해 대형 연산자를 통해 나타내는 방법도 있다. 예를 들어

: `bigcap_{i = 1}^5 A_i,qquad bigcap_{i = 1}^{infty} B_i,qquad bigcap_{i in I} C_i`

는 각각 `A1`, `A2`, `A3`, `A4`, `A5`의 교집합, `B1`, `B2`, ...의 교집합, `Cᵢ` (''i'' ∈ ''I'', ''I''는 첨수집합, ''I'' ≠ Ø)의 교집합을 나타낸다. 이때

: `x in bigcap_{i in I} C_i Longleftrightarrow forall iin I, x in C_i`

가 성립한다.

집합을 원소로 갖는, 공집합이 아닌 집합의 교집합 `bigcap` (임의의 교집합)는 `mathcal{A}`의 모든 원소에 동시에 속하는 대상으로 이루어진 집합이다. 즉,

: `x in bigcap mathcal{A} iff forall A in mathcal{A}, x in A`

가장 일반적인 개념은 임의의 집합들의 모임의 교집합이다. 만약 `M`이 그 원소가 집합인 집합이라면, `x`는 `M`의 교집합의 원소이며, 다음 조건이 충족될 때에만 해당된다. 즉, `M`의 모든 원소 `A`에 대해, `x`는 `A`의 원소이다. 기호로 표현하면 다음과 같다.

: `( x in bigcap_{A in M} A ) Leftrightarrow ( forall A in M, x in A ).`

인덱스 집합 `I`가 자연수 집합인 경우, 무한 곱과 유사한 표기법을 볼 수 있다.

: `bigcap_{i=1}^{infty} A_i.`

형식이 어려울 때는 `A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ ⋯`로 쓸 수도 있다.

유한 개의 집합 `M1, … Mk`의 교집합은

: `M_1 cap M_2 cap cdots cap M_k`

는 그 모두에 공통으로 포함되는 원소의 전체이다. 집합의 교차는 결합적이므로, 유한 개의 집합의 교차는

: `bigcap_{n=1}^k M_n = M_1 cap M_2 cap dotsb cap M_k`

로 나타낸다.

집합의 (공이 아닌) 족

: `mathfrak{M} = { M_{lambda} }_{lambda in Lambda}`

에 대해, 그 교차를 집합족에 속하는 모든 집합에 속하는 원소, 즉

: 모든 `λ ∈ Λ`에 대해 `x ∈ M<sub>λ</sub>`

가 되는 `x`의 전체라고 정의하고

: `bigcap mathfrak{M},quad bigcap_{Minmathfrak{M}}M, quad bigcap_{lambda in Lambda} M_{lambda}`

등으로 나타낸다. 특히 집합 수열 `M}`의 교차(가산 교차)의 경우에는

: `bigcap_{n=1}^infty M_n = M_1 cap M_2 cap M_3 cdots = M_1cap(M_2cap(M_3capcdots))`

와 같이 쓰기도 한다.^[9]

주어진 집합족의 공통 부분이 공집합이 될 때, 즉 모든 집합에 공통으로 포함되는 원소가 하나도 존재하지 않을 때, 그 집합족은 '''교차하지 않는다'''(disjoint)고 한다. 또한, 어떤 두 집합을 취하더라도 교차하지 않을 때, 그 집합족은 쌍마다 교차하지 않는다(pairwise disjoint)고 한다. disjoint는 아니지만 pairwise disjoint인 집합족이 존재한다.

4. 성질

교집합은 결합 법칙을 만족한다. 즉, 모든 집합 $A,\; B,\; C$에 대해 다음이 성립한다.

:$$A\; \backslash cap\; (B\; \backslash cap\; C)\; =\; (A\; \backslash cap\; B)\; \backslash cap\; C$$

따라서 괄호를 생략해도 되며, 위의 식은 모두 $A\; \backslash cap\; B\; \backslash cap\; C$로 쓸 수 있다. 교집합은 교환 법칙도 만족한다. 즉, 모든 집합 $A$와 $B$에 대해 다음이 성립한다.

:$$A\; \backslash cap\; B\; =\; B\; \backslash cap\; A$$

어떤 집합과 공집합의 교집합은 공집합이다. 즉, 모든 집합 $A$에 대해 다음이 성립한다.

:$$A\; \backslash cap\; \backslash varnothing\; =\; \backslash varnothing$$

또한, 교집합은 멱등 법칙을 만족한다. 즉, 모든 집합 $A$에 대해 $A\; \backslash cap\; A\; =\; A$가 성립한다. 이러한 성질들은 논리 곱의 성질과 유사하다.

교집합은 분배 법칙에 따라 합집합에 대해 분배되며, 합집합은 교집합에 대해 분배된다. 즉, 모든 집합 $A,\; B,\; C$에 대해 다음이 성립한다.

:$$\backslash begin\{align\}$$

A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \\

A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)

\end{align}

전체 집합 $U$에서, $A$의 여집합 $A^c$는 $A$에 속하지 않는 $U$의 모든 원소의 집합으로 정의된다. $A$와 $B$의 교집합은 드 모르간의 법칙에 따라 여집합들의 합집합의 여집합으로 표현할 수 있다.

:$$A\; \backslash cap\; B\; =\; \backslash left(A^\{c\}\; \backslash cup\; B^\{c\}\backslash right)^c$$

5. 표기법 및 용어

교집합은 항 사이에 "∩" 기호를 사용하여 표기하며, 이는 중위 표기법이다. 예를 들면 다음과 같다.

• $\backslash \{1,2,3\backslash \}\backslash cap\backslash \{2,3,4\backslash \}=\backslash \{2,3\backslash \}$
• $\backslash \{1,2,3\backslash \}\backslash cap\backslash \{4,5,6\backslash \}=\backslash varnothing$
• $\backslash Z\backslash cap\backslash N=\backslash N$
• $\backslash \{x\backslash in\backslash R:x^2=1\backslash \}\backslash cap\backslash N=\backslash \{1\backslash \}$

6. 공집합과의 교집합 (영교집합)

ZF에서는 빈 집합족의 교집합은 정의되지 않지만, 전체 집합을 가정하면 빈 집합족의 교집합은 전체 집합이 된다.^[4] 형식 이론 등에서는 빈 집합족의 교집합을 정의하기도 한다.^[10]

표준 집합론(ZF)에서는 전체 집합이 존재하지 않기 때문에, 빈 집합족의 교집합은 일반적으로 정의되지 않는다. 그러나 전체 집합 ''U''를 고정하고 그 부분 집합만을 고려하는 경우, 빈 집합족의 교집합은 ''U'' 전체가 된다. 이는 빈 집합족의 경우, ''U''의 모든 원소 ''x''에 대해 ''x''가 ''A''에 속한다는 조건이 항상 참(공허한 진리)이 되기 때문이다.

7. 공리적 집합론

선택공리를 더하거나 더하지 않은 체르멜로-프렝켈 집합론에서, 집합들의 교집합은 분류 공리꼴에 따라 그 존재성이, 확장 공리에 따라 그 유일성이 보장된다. 예를 들어, 두 집합 ''A''와 ''B''의 교집합은

:$\backslash forall\; x\backslash ,\; (x\; \backslash in\; C\; \backslash iff\; (x\; \backslash in\; A\; \backslash land\; x\; \backslash in\; B))$

를 만족하는 유일한 집합 ''C''로 정의된다. 공집합이 아닌 집합족의 교집합은

:$\backslash forall\; x\backslash ,\; (x\; \backslash in\; C\; \backslash iff\; (x\; \backslash in\; A\_0\; \backslash land\; \backslash forall\; A\; \backslash in\; \backslash mathcal\{A\}\backslash ,\; (x\; \backslash in\; A)))$

를 만족하는 유일한 집합 ''C''로 정의된다. 여기서 ''A''₀은의 어떤 원소이며, 이에 대한 선택은 정의에 영향을 주지 않는다.

참조

_[1] 웹사이트 Intersection of Sets https://web.archive.[...] 2020-09-04
_[2] 웹사이트 Stats: Probability Rules http://people.richla[...] People.richland.edu 2012-05-08
_[3] 웹사이트 Set Operations {{!}} Union {{!}} Intersection {{!}} Complement {{!}} Difference {{!}} Mutually Exclusive {{!}} Partitions {{!}} De Morgan's Law {{!}} Distributive Law {{!}} Cartesian Product https://www.probabil[...] 2020-09-04
_[4] 서적 An introduction to Banach space theory Springer-Verlag
_[5] 서적 数の概念 岩波書店 1949-08-20
_[6] 문서 集合の代数学
_[7] 서적 A History of Mathematical Notations https://books.google[...] Dover
_[8] 간행물
_[9] 문서 集合が非増大列 {{math|''M''{{sub|1}} ⊃ ''M''{{sub|2}} ⊃ …}} をなすとき、それらの共通部分は[[逆極限]]を用いて $\backslash textstyle\; \backslash varprojlim\; M\_n$ と書くこともできる。
_[10] 서적 An introduction to Banach space theory Springer-Verlag