나비에-스토크스 존재성과 매끄러움

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1. 개요
2. 나비에-스토크스 방정식
3. 밀레니엄 문제: 해의 존재성과 매끄러움
- 3.1. 전체 공간 문제
  - 3.1.1. 전제 조건 및 증가 조건
  - 3.1.2. 전체 공간에서의 예상
- 3.2. 주기적 경계 조건 문제
  - 3.2.1. 전제 조건
  - 3.2.2. 주기적인 경우의 문제
4. 부분적인 결과
5. 대한민국과 나비에-스토크스 방정식
6. 대중 문화 속 나비에-스토크스 방정식
참조

1. 개요

나비에-스토크스 존재성과 매끄러움은 유체 운동을 설명하는 나비에-스토크스 방정식의 해가 항상 존재하고 매끄러운지를 묻는 수학의 난제이다. 이 문제는 3차원 공간에서 비압축성 유체의 경우, 해의 전역적인 존재성과 매끄러움을 증명하거나, 그렇지 않음을 보이는 것이다. 이 문제는 밀레니엄 문제 중 하나로, 아직까지 해결되지 않았다. 2차원 문제의 경우, 해의 존재성과 매끄러움이 증명되었지만, 3차원 문제에서는 초기 조건에 따라 유한 시간 내에 매끄러운 해가 존재하지만, 그 이후의 거동은 알려져 있지 않다.

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2. 나비에-스토크스 방정식

나비에-스토크스 방정식은 수학 및 물리학에서 유체의 운동을 기술하는 비선형 편미분 방정식 시스템이다. 이 방정식은 뉴턴의 제2법칙을 유체에 적용한 것으로, 점성을 가진 뉴턴 유체의 힘을 압력, 점성 응력, 외부 체적력의 합으로 모델링한다.^[2]

나비에-스토크스 방정식은 비선형 편미분 방정식으로, 그 항들이 단순한 선형 관계를 가지지 않는다. 이러한 비선형성은 충격파와 같은 복잡한 유체 현상을 설명할 수 있게 해주지만, 방정식을 풀기 어렵게 만드는 요인이기도 하다. 주로 다음과 같은 항에서 비선형성이 나타난다.

$(\mathbf{v}\cdot\nabla ) \mathbf{v}$ 항: 유체 자체의 속도로 인한 가속도를 나타내며, 두 속도 벡터의 곱을 포함하여 비선형이다.
$-\frac{1}{\rho}\nabla p$ 항: 압력 항으로, 밀도와 압력 기울기에 의존하며 압력에 대해 비선형이다.

이러한 비선형성 때문에, 나비에-스토크스 방정식은 해석적으로 풀기 매우 어렵다. 대부분의 경우 유한 차분법, 유한 요소법, 스펙트럼 방법과 같은 수치해석적 방법을 사용하여 근사해를 구한다. 방정식의 구체적인 형태와 그 의미에 대해서는 #방정식의 형태에서 더 자세히 설명하고 있다.

2. 1. 방정식의 형태

3차원 비압축성, 균질 유체의 경우 나비에-스토크스 방정식은 다음과 같다.^[2]

:

\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + ( \mathbf{v}\cdot\nabla ) \mathbf{v} = -\frac{1}{\rho}\nabla p + \nu\Delta \mathbf{v} +\mathbf{f}(\boldsymbol{x},t)

여기서 각 항은 다음과 같은 의미를 갖는다.

$\mathbf{v}(\boldsymbol{x},t)$ : 유체의 속도를 나타내는 3차원 벡터장이다.
$p(\boldsymbol{x},t)$ : 유체의 압력을 나타낸다.^[2]
$\nu>0$ : 동점성 계수를 나타낸다.
$\mathbf{f}(\boldsymbol{x},t)$ : 외부 체적력을 나타낸다.
$\nabla$ : 기울기 연산자이다.
$\displaystyle \Delta$ : 라플라시안 연산자로, $\nabla\cdot\nabla$ 또는 $\nabla^2$ 로도 표시된다.

이는 벡터 방정식이므로, 3개의 스칼라 방정식으로 표현할 수 있다. 속도와 외부 힘의 좌표를 다음과 같이 표현하면,

:

\mathbf{v}(\boldsymbol{x},t)=\big(\,v_1(\boldsymbol{x},t),\,v_2(\boldsymbol{x},t),\,v_3(\boldsymbol{x},t)\,\big)\,,\qquad \mathbf{f}(\boldsymbol{x},t)=\big(\,f_1(\boldsymbol{x},t),\,f_2(\boldsymbol{x},t),\,f_3(\boldsymbol{x},t)\,\big)

각

i=1,2,3

에 대해 다음과 같은 스칼라 나비에-스토크스 방정식을 얻을 수 있다.

:

\frac{\partial v_i}{\partial t} +\sum_{j=1}^{3}\frac{\partial v_i}{\partial x_j}v_j= -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x_i} + \nu\sum_{j=1}^{3}\frac{\partial^2 v_i}{\partial x_j^2} +f_i(\boldsymbol{x},t).

이 방정식에서 미지수는 속도

\mathbf{v}(\boldsymbol{x},t)

와 압력

p(\boldsymbol{x},t)

이다. 3차원에서는 3개의 방정식과 4개의 미지수(3개의 스칼라 속도와 압력)가 존재하므로, 방정식이 하나 더 필요하다. 이 추가 방정식은 유체의 질량 보존을 설명하는 비압축성 유체에 대한 연속 방정식이다.

:

\nabla\cdot \mathbf{v} = 0.

이 방정식으로 인해 나비에-스토크스 방정식의 해는 솔레노이드 ("발산이 없는") 함수 집합에서 찾게 된다. 균질 매체의 이러한 흐름의 경우 밀도와 점성은 상수이다.

나비에-스토크스 방정식은 방정식의 항이 서로 간단한 선형 관계를 갖지 않기 때문에 비선형이다.

2. 2. 비선형성

나비에-스토크스 방정식은 방정식 내 항들이 단순한 선형 관계를 가지지 않는 비선형이기 때문에, 기존의 선형 기법을 사용하여 방정식을 풀 수 없다.^[2] 이러한 비선형성은 충격파 형성 및 기타 복잡한 흐름 패턴을 포함한 광범위한 유체 역학 현상을 설명할 수 있게 해주지만, 동시에 방정식을 풀기 어렵게 만드는 원인이 된다.

나비에-스토크스 방정식의 비선형성은 유체 자체의 속도로 인한 유체의 가속도를 나타내는

(\mathbf{v}\cdot\nabla ) \mathbf{v}

항에서 비롯된다. 이 항은 두 개의 속도 벡터의 곱을 포함하기 때문에 비선형이며, 결과적인 가속도는 두 벡터의 크기와 방향에 모두 의존한다.

나비에-스토크스 방정식에서 비선형성을 유발하는 또 다른 요인은 압력 항

-\frac{1}{\rho}\nabla p

이다. 유체의 압력은 밀도와 압력의 기울기에 따라 달라지며, 이 항은 압력에 대해 비선형이다.

2. 3. 수치해석적 방법

나비에-스토크스 방정식을 풀기 위한 수치해석적 방법에는 여러 가지가 있다. 대표적인 방법으로는 유한 차분법, 유한 요소법, 스펙트럼 방법 등이 있다. 이러한 방법들은 방정식을 이산화하여 컴퓨터를 통해 해를 구할 수 있도록 한다.
유한 차분법 (Finite Difference Method, FDM)유한 차분법은 미분 방정식을 풀기 위해 사용되는 가장 오래되고 잘 알려진 방법 중 하나이다. 이 방법은 도함수를 유한 차분으로 근사하여 방정식을 대수 방정식 시스템으로 변환한다. 예를 들어, 2차원 유체 흐름 문제를 해결하기 위해 다음과 같은 단계를 거친다.

1. 시간 간격을 더 작은 시간 단계로 나눈다.

2. 각 시간 단계에서 도함수를 유한 차분 공식을 사용하여 근사한다.

3. 이 근사를 통해 시간 단계를 반복하며 각 단계에서 값을 계산한다.
유한 요소법 (Finite Element Method, FEM)유한 요소법은 복잡한 형상의 영역에서 발생하는 문제를 해결하는 데 특히 유용하다. 이 방법은 전체 영역을 더 작은 요소로 나누고, 각 요소에 대해 해를 근사하는 함수를 정의한다. 이 함수들을 나비에-스토크스 방정식에 대입하면 상미분 방정식 시스템을 얻을 수 있다.
스펙트럼 방법 (Spectral Method)스펙트럼 방법은 주기 함수를 사용하여 해를 근사하는 방법이다. 이 방법은 높은 정확도를 제공하지만, 복잡한 형상의 문제에는 적용하기 어렵다.

이러한 수치해석적 방법들은 각각 장단점을 가지고 있으며, 문제의 특성과 요구되는 정확도에 따라 적절한 방법을 선택해야 한다.

3. 밀레니엄 문제: 해의 존재성과 매끄러움

클레이 수학 연구소는 3차원 나비에-스토크스 방정식의 해의 존재성과 매끄러움 문제를 밀레니엄 문제 중 하나로 선정하였다.^[1] 이 문제는 다음과 같이 두 가지 설정으로 나뉜다.

전체 공간 문제: $\mathbb{R}^3$ 공간에서 정의되며, 초기 조건과 해의 성장 거동에 대한 추가 조건이 필요하다.
주기적 경계 조건 문제: 3차원 토러스 $\mathbb{T}^3 = \mathbb{R}^3 / \mathbb{Z}^3 $에서 정의되며, 무한대에서의 문제를 다루지 않는다.

각 문제에 대해 다음과 같은 상반된 두 가지 가설이 제시되었다.

(A) 해의 존재성과 매끄러움: 외력이 없을 때($\mathbf{f}(x,t)\equiv 0$), 주어진 초기 조건에 대해 나비에-스토크스 방정식의 매끄럽고 전역적으로 정의된 해(속도 벡터와 압력)가 존재한다.
(B) 해의 붕괴: 나비에-스토크스 방정식의 해가 존재하지 않는 초기 조건과 외력이 존재한다.

3. 1. 전체 공간 문제

나비에-스토크스 존재성과 매끄러움 문제에는 두 가지 다른 설정이 있다. 원래 문제는 전체 공간 $ \mathbb{R}^3 $에서 정의되며, 초기 조건과 해의 성장 거동에 대한 추가 조건이 필요하다. 무한대에서의 문제를 배제하기 위해 나비에-스토크스 방정식을 주기적인 틀 안에서 설정할 수 있는데, 이는 더 이상 전체 공간 $ \mathbb{R}^3 $에서 작동하는 것이 아니라 3차원 토러스 $ \mathbb{T}^3 = \mathbb{R}^3 / \mathbb{Z}^3 $에서 작동함을 의미한다. 각 경우는 별도로 다룬다.

3. 1. 1. 전제 조건 및 증가 조건

초기 조건 \$\mathbf{v}_0(x)\$는 모든 다중 지표 \$\alpha\$(다중 지표 표기법)와 모든 \$K>0\$에 대해 매끄러운 함수이며, 다음과 같은 상수 \$C=C(\alpha,K)>0\$가 존재한다.

:\$\vert \partial^\alpha \mathbf{v_0}(x)\vert\le \frac{C}{(1+\vert x\vert)^K}\\qquad\$ 모든 \$\qquad x\in\mathbb{R}^3\$ 에 대해

외부 힘 \$\mathbf{f}(x,t)\$ 역시 매끄러운 함수로 가정하며, 매우 유사한 부등식을 만족한다(이제 다중 지표는 시간 도함수도 포함한다).

:\$\vert \partial^\alpha \mathbf{f}(x,t)\vert\le \frac{C}{(1+\vert x\vert + t)^K}\\qquad\$ 모든 \$\qquad (x,t)\in\mathbb{R}^3\times[0,\infty)\$ 에 대해

물리적으로 합리적인 조건에서 기대되는 해의 유형은 \$\vert x\vert\to\infty\$로 갈수록 커지지 않는 매끄러운 함수이다. 보다 정확하게는 다음과 같은 가정이 이루어진다.

1. \$\mathbf{v}(x,t)\in C^\infty(\mathbb{R}^3\times[0,\infty)),\qquad p(x,t)\in C^\infty(\mathbb{R}^3\times[0,\infty))\$

2. 모든 \$t\ge 0\$ 에 대해 \\(\int_{\mathbb{R}^3} \vert \mathbf{v}(x,t)\vert^2 \, dx
조건 1은 함수가 매끄럽고 전역적으로 정의됨을 의미하며, 조건 2는 해의 운동 에너지가 전역적으로 제한됨을 의미한다.

3. 1. 2. 전체 공간에서의 예상

클레이 수학 연구소가 선정한 Millennium Prize Problems^영어 중 하나인 나비에-스토크스 방정식 문제에 대한 상반된 두 가지 가설은 다음과 같다.^[1]
(A) 해의 존재성과 매끄러움외력

\mathbf{f}(x,t)\equiv 0

일 때, 주어진 초기 조건

\mathbf{v}_0(x)

에 대해 나비에-스토크스 방정식의 매끄럽고 전역적으로 정의된 해, 즉 속도 벡터

\mathbf{v}(x,t)

와 압력

p(x,t)

가 존재한다.
(B) 해의 붕괴(blow-up)초기 조건

\mathbf{v}_0(x)

와 외력

\mathbf{f}(x,t)

에 대해, 나비에-스토크스 방정식의 해

\mathbf{v}(x,t)

와

p(x,t)

가 존재하지 않는 경우가 있다.

3. 2. 주기적 경계 조건 문제

나비에-스토크스 존재성과 매끄러움 문제에는 전체 공간

\mathbb{R}^3

에서 정의되는 경우와 3차원 토러스

\mathbb{T}^3

에서 정의되는 주기적 경계 조건 문제, 두 가지 설정이 있다. 주기적 경계 조건 문제는 무한대에서의 문제를 고려하지 않기 위해 도입되었다.^[1]

3. 2. 1. 전제 조건

이제 탐구하는 함수들은 공간 변수에 대해 주기 1의 주기를 가진다. 더 정확하게는,

e_i

를 ''i'' 방향의 단위 벡터라고 하면 다음과 같다.

:

e_1=(1,0,0)\,,\qquad e_2=(0,1,0)\,,\qquad e_3=(0,0,1)

그러면

\mathbf{v}(x,t)

는 모든

i=1,2,3

에 대해 다음을 만족하면 공간 변수에서 주기적이다.

: 모든

(x,t) \in \mathbb{R}^3\times[0,\infty)

에 대해,

\mathbf{v}(x+e_i,t)=\mathbf{v}(x,t)

이는 mod 1 좌표를 고려하는 것이다. 이를 통해 전체 공간

\mathbb{R}^3

에서 작업하는 대신 몫 공간

\mathbb{R}^3/\mathbb{Z}^3

에서 작업할 수 있으며, 이는 3차원 토러스가 된다.

:

\mathbb{T}^3=\{(\theta_1,\theta_2,\theta_3): 0\le \theta_i<2\pi\,,\quad i=1,2,3\}.

이제 초기 조건

\mathbf{v}_0(x)

는 매끄럽고 발산이 없는 함수로 가정하고, 외부 힘

\mathbf{f}(x,t)

는 또한 매끄러운 함수로 가정한다. 물리적으로 관련된 해는 다음 조건을 만족한다.

3.

\mathbf{v}(x,t)\in C^\infty(\mathbb{T}^3\times[0,\infty)),\qquad p(x,t)\in C^\infty(\mathbb{T}^3\times[0,\infty))

4. 모든

t\ge 0\,.

에 대해

\int_{\mathbb{T}^3} \vert \mathbf{v}(x,t)\vert^2 \, dx 를 만족하는 상수 E\in (0,\infty) 가 존재한다.

조건 3은 함수가 매끄럽고 전역적으로 정의됨을 의미하고, 조건 4는 해의 운동 에너지가 전역적으로 경계가 있음을 의미한다.

3. 2. 2. 주기적인 경우의 문제

\mathbf{f}(x,t) \equiv 0

으로 둔다. 위에 언급한 전제 조건을 만족하는 초기 조건

\mathbf{v}_0(x)

에 대해, 매끄럽고 전역적으로 정의된 나비에-스토크스 방정식의 해가 존재한다. 즉, 속도 벡터

\mathbf{v}(x,t)

와 압력

p(x,t)

가 존재하여 위의 조건 3과 4를 만족한다.

위의 조건 3과 4를 만족하는 해

\mathbf{v}(x,t)

와

p(x,t)

가 존재하지 않는 초기 조건

\mathbf{v}_0(x)

와 외력

\mathbf{f}(x,t)

가 존재한다.

4. 부분적인 결과

2차원에서는 올가 라젠스카야가 전역적으로 매끄러운 강해(strong solution)의 존재를 증명했다.^[3]
1934년 장 르레는 약해(weak solution)의 존재성을 증명했다.^[4]
3차원 문제에서는 유한 시간 동안 전역적으로 매끄러운 해가 존재한다. 초기 속도가 충분히 작으면, 나비에-스토크스 방정식에 매끄럽고 전역적으로 정의된 해가 존재한다.^[1] 초기 속도 $\mathbf{v}_0(x)$ 가 주어지면 유한 시간 ''T'' 동안 나비에-스토크스 방정식이 매끄러운 해를 갖지만, "블로우업 시간" ''T'' 이후에도 해가 존재하는지는 알려져 있지 않다.^[1]
2016년 테렌스 타오는 3차원 나비에-스토크스 방정식의 평균 버전에 대한 유한 시간 블로우업 결과를 발표했다. 그는 이 결과가 실제 방정식의 전역 정규성 문제에 대한 "초임계 장벽"을 공식화한다고 언급했다.^[5]

4. 1. 2차원 문제

올가 라젠스카야는 2차원 나비에-스토크스 방정식에서 전역적으로 매끄러운 강해(strong solution)가 존재함을 증명했다.^[3] 1934년 장 르레는 평균값에서 방정식을 만족하는 약해(weak solution)가 존재함을 증명했다.^[4]

4. 2. 약한 해

1934년 장 르레는 나비에-스토크스 방정식에 대해 점별로가 아닌 평균값에서 방정식을 만족하는 약한 해의 존재를 증명했다.^[4]

4. 3. 3차원 문제의 어려움

3차원 문제에서 유한 시간 동안은 전역적으로 매끄러운 해가 존재한다. 초기 속도가 충분히 작으면, 나비에-스토크스 방정식에 매끄럽고 전역적으로 정의된 해가 존재한다.^[1] 초기 속도

\mathbf{v}_0(x)

가 주어지면

\mathbb{R}^3\times(0,T)

에서 나비에-스토크스 방정식이 매끄러운 해

\mathbf{v}(x,t)

와

p(x,t)

를 갖는 유한 시간 ''T''가 존재하며, 이 ''T''는

\mathbf{v}_0(x)

에 의존한다. 그 "블로우업 시간" ''T'' 이후에도 해가 존재하는지는 알려져 있지 않다.^[1] 만약 폭발하는 해가 존재한다면, 그 이후의 거동은 알려지지 않았다.

1934년 장 르레는 점별로가 아닌 평균값에서 방정식을 만족하는 소위 약해의 존재를 나비에-스토크스 방정식에 대해 증명했다.^[4]

테렌스 타오는 2016년에 3차원 나비에-스토크스 방정식의 평균 버전에 대한 유한 시간 블로우업 결과를 발표했다. 그는 이 결과가 실제 나비에-스토크스 방정식의 전역 정규성 문제에 대한 "초임계 장벽"을 공식화한다고 쓰고 있으며, 증명 방법이 실제 방정식에 대한 블로우업을 확립할 수 있는 가능한 경로를 암시한다고 주장한다.^[5]

5. 대한민국과 나비에-스토크스 방정식

나비에-스토크스 방정식과 관련된 대한민국의 연구는 주로 공학 및 응용수학 분야에서 활발하게 진행되고 있다. 특히, 전산 유체 역학(CFD)을 활용한 다양한 공학적 문제 해결에 초점이 맞춰져 있다. 예를 들어, 선박 설계, 항공기 개발, 자동차 연비 개선 등 다양한 산업 분야에서 나비에-스토크스 방정식의 해를 구하는 연구가 진행되고 있다.

하지만, 순수 수학 분야에서의 나비에-스토크스 방정식의 존재성과 매끄러움 문제에 대한 연구는 상대적으로 미흡한 상황이다. 이는 밀레니엄 문제 중 하나로, 난이도가 매우 높고 해결에 오랜 시간이 걸리기 때문으로 보인다. 그럼에도 불구하고, 일부 수학자들은 이 문제에 대한 도전을 계속하고 있으며, 국제적인 협력을 통해 연구 성과를 공유하고 있다.

나비에-스토크스 방정식의 해가 항상 존재하고 매끄러운지 증명하는 것은 유체 역학의 발전에 매우 중요한 의미를 가진다. 이 문제가 해결된다면, 유체 현상에 대한 이해가 더욱 깊어지고, 다양한 공학적 문제 해결에 새로운 돌파구를 마련할 수 있을 것으로 기대된다.

6. 대중 문화 속 나비에-스토크스 방정식

나비에-스토크스 방정식은 허구에서 드문 수학적 재능을 나타내는 데 사용되어 왔다. 2014년에 출판된 소설 ''수학자의 시바''는 명망 있는 가상의 수학자 라첼라 카르노코비치를 다루는데, 그녀는 학계에 항의하기 위해 나비에-스토크스 방정식의 증명을 무덤까지 가져간다.^[6]^[7] 2017년 영화 기프트는 밀레니엄 문제들을 언급하며, 7살 소녀와 그녀의 사망한 수학자 어머니가 나비에-스토크스 문제를 풀 가능성을 다루었다.^[8]

참조

_[1] 웹사이트 Official statement of the problem https://www.claymath[...] Clay Mathematics Institute
_[2] 문서
_[3] 서적 The Mathematical Theory of Viscous Incompressible Flows Gordon and Breach, Science Publishers
_[4] 논문 Sur le mouvement d'un liquide visqueux emplissant l'espace
_[5] 논문 Finite time blowup for an averaged three-dimensional Navier–Stokes equation
_[6] 논문 The Mathematician's Shiva https://www.ams.org/[...] 2017-10
_[7] 웹사이트 MathFiction: The Mathematician's Shiva (Stuart Rojstaczer) http://kasmana.peopl[...] 2018-09-11
_[8] 웹사이트 Chris Evans raises a young math prodigy in the clever but overly calculating 'Gifted' http://www.latimes.c[...] 2018-09-11
_[9] 기타 Official statement of the problem http://www.claymath.[...] Clay Mathematics Institute
_[10] 문서
_[11] 간행물 The Mathematical Theory of Viscous Incompressible Flows Gordon and Breach
_[12] 간행물 Sur le mouvement d'un liquide visqueux emplissant l'espace
_[13] 기타 Finite time blowup for an averaged three-dimensional Navier-Stokes equation http://terrytao.word[...]

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