나비에-스토크스 존재성과 매끄러움

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1. 개요
2. 나비에-스토크스 방정식
3. 밀레니엄 문제: 해의 존재성과 매끄러움
- 3.1. 전체 공간 문제
  - 3.1.1. 전제 조건 및 증가 조건
  - 3.1.2. 전체 공간에서의 예상
- 3.2. 주기적 경계 조건 문제
  - 3.2.1. 전제 조건
  - 3.2.2. 주기적인 경우의 문제
4. 부분적인 결과
5. 대한민국과 나비에-스토크스 방정식
6. 대중 문화 속 나비에-스토크스 방정식
참조

1. 개요

나비에-스토크스 존재성과 매끄러움은 유체 운동을 설명하는 나비에-스토크스 방정식의 해가 항상 존재하고 매끄러운지를 묻는 수학의 난제이다. 이 문제는 3차원 공간에서 비압축성 유체의 경우, 해의 전역적인 존재성과 매끄러움을 증명하거나, 그렇지 않음을 보이는 것이다. 이 문제는 밀레니엄 문제 중 하나로, 아직까지 해결되지 않았다. 2차원 문제의 경우, 해의 존재성과 매끄러움이 증명되었지만, 3차원 문제에서는 초기 조건에 따라 유한 시간 내에 매끄러운 해가 존재하지만, 그 이후의 거동은 알려져 있지 않다.

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나비에-스토크스 존재성과 매끄러움
문제 개요
문제	나비에-스토크스 방정식의 해의 존재성과 매끄러움
분야	수학, 물리학
제안자	클레이 수학 연구소
상금	100만 미국 달러
상태	미해결
설명
내용	3차원 공간과 시간에서 초기 속도장이 주어졌을 때, 벡터 속도와 스칼라 압력장이 존재하여 모두 매끄럽고 전역적으로 정의되는 나비에-스토크스 방정식의 해가 존재하는지, 혹은 반례를 제시하는 문제

2. 나비에-스토크스 방정식

나비에-스토크스 방정식은 수학 및 물리학에서 유체의 운동을 기술하는 비선형 편미분 방정식 시스템이다. 이 방정식은 뉴턴의 제2법칙을 유체에 적용한 것으로, 점성을 가진 뉴턴 유체의 힘을 압력, 점성 응력, 외부 체적력의 합으로 모델링한다.^[2]

나비에-스토크스 방정식은 비선형 편미분 방정식으로, 그 항들이 단순한 선형 관계를 가지지 않는다. 이러한 비선형성은 충격파와 같은 복잡한 유체 현상을 설명할 수 있게 해주지만, 방정식을 풀기 어렵게 만드는 요인이기도 하다. 주로 다음과 같은 항에서 비선형성이 나타난다.

$(\mathbf{v}\cdot\nabla ) \mathbf{v}$ 항: 유체 자체의 속도로 인한 가속도를 나타내며, 두 속도 벡터의 곱을 포함하여 비선형이다.
$-\frac{1}{\rho}\nabla p$ 항: 압력 항으로, 밀도와 압력 기울기에 의존하며 압력에 대해 비선형이다.

이러한 비선형성 때문에, 나비에-스토크스 방정식은 해석적으로 풀기 매우 어렵다. 대부분의 경우 유한 차분법, 유한 요소법, 스펙트럼 방법과 같은 수치해석적 방법을 사용하여 근사해를 구한다. 방정식의 구체적인 형태와 그 의미에 대해서는 #방정식의 형태에서 더 자세히 설명하고 있다.

2. 1. 방정식의 형태

3차원 비압축성, 균질 유체의 경우 나비에-스토크스 방정식은 다음과 같다.^[2]

:

\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + ( \mathbf{v}\cdot\nabla ) \mathbf{v} = -\frac{1}{\rho}\nabla p + \nu\Delta \mathbf{v} +\mathbf{f}(\boldsymbol{x},t)

여기서 각 항은 다음과 같은 의미를 갖는다.

$\mathbf{v}(\boldsymbol{x},t)$ : 유체의 속도를 나타내는 3차원 벡터장이다.
$p(\boldsymbol{x},t)$ : 유체의 압력을 나타낸다.^[2]
$\nu>0$ : 동점성 계수를 나타낸다.
$\mathbf{f}(\boldsymbol{x},t)$ : 외부 체적력을 나타낸다.
$\nabla$ : 기울기 연산자이다.
$\displaystyle \Delta$ : 라플라시안 연산자로, $\nabla\cdot\nabla$ 또는 $\nabla^2$ 로도 표시된다.

이는 벡터 방정식이므로, 3개의 스칼라 방정식으로 표현할 수 있다. 속도와 외부 힘의 좌표를 다음과 같이 표현하면,

:

\mathbf{v}(\boldsymbol{x},t)=\big(\,v_1(\boldsymbol{x},t),\,v_2(\boldsymbol{x},t),\,v_3(\boldsymbol{x},t)\,\big)\,,\qquad \mathbf{f}(\boldsymbol{x},t)=\big(\,f_1(\boldsymbol{x},t),\,f_2(\boldsymbol{x},t),\,f_3(\boldsymbol{x},t)\,\big)

각

i=1,2,3

에 대해 다음과 같은 스칼라 나비에-스토크스 방정식을 얻을 수 있다.

:

\frac{\partial v_i}{\partial t} +\sum_{j=1}^{3}\frac{\partial v_i}{\partial x_j}v_j= -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x_i} + \nu\sum_{j=1}^{3}\frac{\partial^2 v_i}{\partial x_j^2} +f_i(\boldsymbol{x},t).

이 방정식에서 미지수는 속도

\mathbf{v}(\boldsymbol{x},t)

와 압력

p(\boldsymbol{x},t)

이다. 3차원에서는 3개의 방정식과 4개의 미지수(3개의 스칼라 속도와 압력)가 존재하므로, 방정식이 하나 더 필요하다. 이 추가 방정식은 유체의 질량 보존을 설명하는 비압축성 유체에 대한 연속 방정식이다.

:

\nabla\cdot \mathbf{v} = 0.

이 방정식으로 인해 나비에-스토크스 방정식의 해는 솔레노이드 ("발산이 없는") 함수 집합에서 찾게 된다. 균질 매체의 이러한 흐름의 경우 밀도와 점성은 상수이다.

나비에-스토크스 방정식은 방정식의 항이 서로 간단한 선형 관계를 갖지 않기 때문에 비선형이다.

2. 2. 비선형성

나비에-스토크스 방정식은 방정식 내 항들이 단순한 선형 관계를 가지지 않는 비선형이기 때문에, 기존의 선형 기법을 사용하여 방정식을 풀 수 없다.^[2] 이러한 비선형성은 충격파 형성 및 기타 복잡한 흐름 패턴을 포함한 광범위한 유체 역학 현상을 설명할 수 있게 해주지만, 동시에 방정식을 풀기 어렵게 만드는 원인이 된다.

나비에-스토크스 방정식의 비선형성은 유체 자체의 속도로 인한 유체의 가속도를 나타내는

(\mathbf{v}\cdot\nabla ) \mathbf{v}

항에서 비롯된다. 이 항은 두 개의 속도 벡터의 곱을 포함하기 때문에 비선형이며, 결과적인 가속도는 두 벡터의 크기와 방향에 모두 의존한다.

나비에-스토크스 방정식에서 비선형성을 유발하는 또 다른 요인은 압력 항

-\frac{1}{\rho}\nabla p

이다. 유체의 압력은 밀도와 압력의 기울기에 따라 달라지며, 이 항은 압력에 대해 비선형이다.

2. 3. 수치해석적 방법

나비에-스토크스 방정식을 풀기 위한 수치해석적 방법에는 여러 가지가 있다. 대표적인 방법으로는 유한 차분법, 유한 요소법, 스펙트럼 방법 등이 있다. 이러한 방법들은 방정식을 이산화하여 컴퓨터를 통해 해를 구할 수 있도록 한다.
유한 차분법 (Finite Difference Method, FDM)유한 차분법은 미분 방정식을 풀기 위해 사용되는 가장 오래되고 잘 알려진 방법 중 하나이다. 이 방법은 도함수를 유한 차분으로 근사하여 방정식을 대수 방정식 시스템으로 변환한다. 예를 들어, 2차원 유체 흐름 문제를 해결하기 위해 다음과 같은 단계를 거친다.

1. 시간 간격을 더 작은 시간 단계로 나눈다.

2. 각 시간 단계에서 도함수를 유한 차분 공식을 사용하여 근사한다.

3. 이 근사를 통해 시간 단계를 반복하며 각 단계에서 값을 계산한다.
유한 요소법 (Finite Element Method, FEM)유한 요소법은 복잡한 형상의 영역에서 발생하는 문제를 해결하는 데 특히 유용하다. 이 방법은 전체 영역을 더 작은 요소로 나누고, 각 요소에 대해 해를 근사하는 함수를 정의한다. 이 함수들을 나비에-스토크스 방정식에 대입하면 상미분 방정식 시스템을 얻을 수 있다.
스펙트럼 방법 (Spectral Method)스펙트럼 방법은 주기 함수를 사용하여 해를 근사하는 방법이다. 이 방법은 높은 정확도를 제공하지만, 복잡한 형상의 문제에는 적용하기 어렵다.

이러한 수치해석적 방법들은 각각 장단점을 가지고 있으며, 문제의 특성과 요구되는 정확도에 따라 적절한 방법을 선택해야 한다.

3. 밀레니엄 문제: 해의 존재성과 매끄러움

클레이 수학 연구소는 3차원 나비에-스토크스 방정식의 해의 존재성과 매끄러움 문제를 밀레니엄 문제 중 하나로 선정하였다.^[1] 이 문제는 다음과 같이 두 가지 설정으로 나뉜다.

전체 공간 문제: $\mathbb{R}^3$ 공간에서 정의되며, 초기 조건과 해의 성장 거동에 대한 추가 조건이 필요하다.
주기적 경계 조건 문제: 3차원 토러스 $\mathbb{T}^3 = \mathbb{R}^3 / \mathbb{Z}^3 $에서 정의되며, 무한대에서의 문제를 다루지 않는다.

각 문제에 대해 다음과 같은 상반된 두 가지 가설이 제시되었다.

(A) 해의 존재성과 매끄러움: 외력이 없을 때($\mathbf{f}(x,t)\equiv 0$), 주어진 초기 조건에 대해 나비에-스토크스 방정식의 매끄럽고 전역적으로 정의된 해(속도 벡터와 압력)가 존재한다.
(B) 해의 붕괴: 나비에-스토크스 방정식의 해가 존재하지 않는 초기 조건과 외력이 존재한다.

3. 1. 전체 공간 문제

나비에-스토크스 존재성과 매끄러움 문제에는 두 가지 다른 설정이 있다. 원래 문제는 전체 공간 $ \mathbb{R}^3 $에서 정의되며, 초기 조건과 해의 성장 거동에 대한 추가 조건이 필요하다. 무한대에서의 문제를 배제하기 위해 나비에-스토크스 방정식을 주기적인 틀 안에서 설정할 수 있는데, 이는 더 이상 전체 공간 $ \mathbb{R}^3 $에서 작동하는 것이 아니라 3차원 토러스 $ \mathbb{T}^3 = \mathbb{R}^3 / \mathbb{Z}^3 $에서 작동함을 의미한다. 각 경우는 별도로 다룬다.

3. 1. 1. 전제 조건 및 증가 조건

초기 조건 \$\mathbf{v}_0(x)\$는 모든 다중 지표 \$\alpha\$(다중 지표 표기법)와 모든 \$K>0\$에 대해 매끄러운 함수이며, 다음과 같은 상수 \$C=C(\alpha,K)>0\$가 존재한다.

:\$\vert \partial^\alpha \mathbf{v_0}(x)\vert\le \frac{C}{(1+\vert x\vert)^K}\\qquad\$ 모든 \$\qquad x\in\mathbb{R}^3\$ 에 대해

외부 힘 \$\mathbf{f}(x,t)\$ 역시 매끄러운 함수로 가정하며, 매우 유사한 부등식을 만족한다(이제 다중 지표는 시간 도함수도 포함한다).

:\$\vert \partial^\alpha \mathbf{f}(x,t)\vert\le \frac{C}{(1+\vert x\vert + t)^K}\\qquad\$ 모든 \$\qquad (x,t)\in\mathbb{R}^3\times[0,\infty)\$ 에 대해

물리적으로 합리적인 조건에서 기대되는 해의 유형은 \$\vert x\vert\to\infty\$로 갈수록 커지지 않는 매끄러운 함수이다. 보다 정확하게는 다음과 같은 가정이 이루어진다.

1. \$\mathbf{v}(x,t)\in C^\infty(\mathbb{R}^3\times[0,\infty)),\qquad p(x,t)\in C^\infty(\mathbb{R}^3\times[0,\infty))\$

2. 모든 \$t\ge 0\$ 에 대해 \\(\int_{\mathbb{R}^3} \vert \mathbf{v}(x,t)\vert^2 \, dx
조건 1은 함수가 매끄럽고 전역적으로 정의됨을 의미하며, 조건 2는 해의 운동 에너지가 전역적으로 제한됨을 의미한다.

3. 1. 2. 전체 공간에서의 예상

클레이 수학 연구소가 선정한 Millennium Prize Problems^영어 중 하나인 나비에-스토크스 방정식 문제에 대한 상반된 두 가지 가설은 다음과 같다.^[1]
(A) 해의 존재성과 매끄러움외력

\mathbf{f}(x,t)\equiv 0

일 때, 주어진 초기 조건

\mathbf{v}_0(x)

에 대해 나비에-스토크스 방정식의 매끄럽고 전역적으로 정의된 해, 즉 속도 벡터

\mathbf{v}(x,t)

와 압력

p(x,t)

가 존재한다.
(B) 해의 붕괴(blow-up)초기 조건

\mathbf{v}_0(x)

와 외력

\mathbf{f}(x,t)

에 대해, 나비에-스토크스 방정식의 해

\mathbf{v}(x,t)

와

p(x,t)

가 존재하지 않는 경우가 있다.

3. 2. 주기적 경계 조건 문제

나비에-스토크스 존재성과 매끄러움 문제에는 전체 공간

\mathbb{R}^3

에서 정의되는 경우와 3차원 토러스

\mathbb{T}^3

에서 정의되는 주기적 경계 조건 문제, 두 가지 설정이 있다. 주기적 경계 조건 문제는 무한대에서의 문제를 고려하지 않기 위해 도입되었다.^[1]

3. 2. 1. 전제 조건

이제 탐구하는 함수들은 공간 변수에 대해 주기 1의 주기를 가진다. 더 정확하게는,

e_i

를 ''i'' 방향의 단위 벡터라고 하면 다음과 같다.

:

e_1=(1,0,0)\,,\qquad e_2=(0,1,0)\,,\qquad e_3=(0,0,1)

그러면

\mathbf{v}(x,t)

는 모든

i=1,2,3

에 대해 다음을 만족하면 공간 변수에서 주기적이다.

: 모든

(x,t) \in \mathbb{R}^3\times[0,\infty)

에 대해,

\mathbf{v}(x+e_i,t)=\mathbf{v}(x,t)

이는 mod 1 좌표를 고려하는 것이다. 이를 통해 전체 공간

\mathbb{R}^3

에서 작업하는 대신 몫 공간

\mathbb{R}^3/\mathbb{Z}^3

에서 작업할 수 있으며, 이는 3차원 토러스가 된다.

:

\mathbb{T}^3=\{(\theta_1,\theta_2,\theta_3): 0\le \theta_i<2\pi\,,\quad i=1,2,3\}.

이제 초기 조건

\mathbf{v}_0(x)

는 매끄럽고 발산이 없는 함수로 가정하고, 외부 힘

\mathbf{f}(x,t)

는 또한 매끄러운 함수로 가정한다. 물리적으로 관련된 해는 다음 조건을 만족한다.

3.

\mathbf{v}(x,t)\in C^\infty(\mathbb{T}^3\times[0,\infty)),\qquad p(x,t)\in C^\infty(\mathbb{T}^3\times[0,\infty))

4. 모든

t\ge 0\,.

에 대해

\int_{\mathbb{T}^3} \vert \mathbf{v}(x,t)\vert^2 \, dx 를 만족하는 상수 E\in (0,\infty) 가 존재한다.

조건 3은 함수가 매끄럽고 전역적으로 정의됨을 의미하고, 조건 4는 해의 운동 에너지가 전역적으로 경계가 있음을 의미한다.

3. 2. 2. 주기적인 경우의 문제

\mathbf{f}(x,t) \equiv 0

으로 둔다. 위에 언급한 전제 조건을 만족하는 초기 조건

\mathbf{v}_0(x)

에 대해, 매끄럽고 전역적으로 정의된 나비에-스토크스 방정식의 해가 존재한다. 즉, 속도 벡터

\mathbf{v}(x,t)

와 압력

p(x,t)

가 존재하여 위의 조건 3과 4를 만족한다.

위의 조건 3과 4를 만족하는 해

\mathbf{v}(x,t)

와

p(x,t)

가 존재하지 않는 초기 조건

\mathbf{v}_0(x)

와 외력

\mathbf{f}(x,t)

가 존재한다.

4. 부분적인 결과

2차원에서는 올가 라젠스카야가 전역적으로 매끄러운 강해(strong solution)의 존재를 증명했다.^[3]
1934년 장 르레는 약해(weak solution)의 존재성을 증명했다.^[4]
3차원 문제에서는 유한 시간 동안 전역적으로 매끄러운 해가 존재한다. 초기 속도가 충분히 작으면, 나비에-스토크스 방정식에 매끄럽고 전역적으로 정의된 해가 존재한다.^[1] 초기 속도 $\mathbf{v}_0(x)$ 가 주어지면 유한 시간 ''T'' 동안 나비에-스토크스 방정식이 매끄러운 해를 갖지만, "블로우업 시간" ''T'' 이후에도 해가 존재하는지는 알려져 있지 않다.^[1]
2016년 테렌스 타오는 3차원 나비에-스토크스 방정식의 평균 버전에 대한 유한 시간 블로우업 결과를 발표했다. 그는 이 결과가 실제 방정식의 전역 정규성 문제에 대한 "초임계 장벽"을 공식화한다고 언급했다.^[5]

4. 1. 2차원 문제

올가 라젠스카야는 2차원 나비에-스토크스 방정식에서 전역적으로 매끄러운 강해(strong solution)가 존재함을 증명했다.^[3] 1934년 장 르레는 평균값에서 방정식을 만족하는 약해(weak solution)가 존재함을 증명했다.^[4]

4. 2. 약한 해

1934년 장 르레는 나비에-스토크스 방정식에 대해 점별로가 아닌 평균값에서 방정식을 만족하는 약한 해의 존재를 증명했다.^[4]

4. 3. 3차원 문제의 어려움

3차원 문제에서 유한 시간 동안은 전역적으로 매끄러운 해가 존재한다. 초기 속도가 충분히 작으면, 나비에-스토크스 방정식에 매끄럽고 전역적으로 정의된 해가 존재한다.^[1] 초기 속도

\mathbf{v}_0(x)

가 주어지면

\mathbb{R}^3\times(0,T)

에서 나비에-스토크스 방정식이 매끄러운 해

\mathbf{v}(x,t)

와

p(x,t)

를 갖는 유한 시간 ''T''가 존재하며, 이 ''T''는

\mathbf{v}_0(x)

에 의존한다. 그 "블로우업 시간" ''T'' 이후에도 해가 존재하는지는 알려져 있지 않다.^[1] 만약 폭발하는 해가 존재한다면, 그 이후의 거동은 알려지지 않았다.

1934년 장 르레는 점별로가 아닌 평균값에서 방정식을 만족하는 소위 약해의 존재를 나비에-스토크스 방정식에 대해 증명했다.^[4]

테렌스 타오는 2016년에 3차원 나비에-스토크스 방정식의 평균 버전에 대한 유한 시간 블로우업 결과를 발표했다. 그는 이 결과가 실제 나비에-스토크스 방정식의 전역 정규성 문제에 대한 "초임계 장벽"을 공식화한다고 쓰고 있으며, 증명 방법이 실제 방정식에 대한 블로우업을 확립할 수 있는 가능한 경로를 암시한다고 주장한다.^[5]

5. 대한민국과 나비에-스토크스 방정식

나비에-스토크스 방정식과 관련된 대한민국의 연구는 주로 공학 및 응용수학 분야에서 활발하게 진행되고 있다. 특히, 전산 유체 역학(CFD)을 활용한 다양한 공학적 문제 해결에 초점이 맞춰져 있다. 예를 들어, 선박 설계, 항공기 개발, 자동차 연비 개선 등 다양한 산업 분야에서 나비에-스토크스 방정식의 해를 구하는 연구가 진행되고 있다.

하지만, 순수 수학 분야에서의 나비에-스토크스 방정식의 존재성과 매끄러움 문제에 대한 연구는 상대적으로 미흡한 상황이다. 이는 밀레니엄 문제 중 하나로, 난이도가 매우 높고 해결에 오랜 시간이 걸리기 때문으로 보인다. 그럼에도 불구하고, 일부 수학자들은 이 문제에 대한 도전을 계속하고 있으며, 국제적인 협력을 통해 연구 성과를 공유하고 있다.

나비에-스토크스 방정식의 해가 항상 존재하고 매끄러운지 증명하는 것은 유체 역학의 발전에 매우 중요한 의미를 가진다. 이 문제가 해결된다면, 유체 현상에 대한 이해가 더욱 깊어지고, 다양한 공학적 문제 해결에 새로운 돌파구를 마련할 수 있을 것으로 기대된다.

6. 대중 문화 속 나비에-스토크스 방정식

나비에-스토크스 방정식은 허구에서 드문 수학적 재능을 나타내는 데 사용되어 왔다. 2014년에 출판된 소설 ''수학자의 시바''는 명망 있는 가상의 수학자 라첼라 카르노코비치를 다루는데, 그녀는 학계에 항의하기 위해 나비에-스토크스 방정식의 증명을 무덤까지 가져간다.^[6]^[7] 2017년 영화 기프트는 밀레니엄 문제들을 언급하며, 7살 소녀와 그녀의 사망한 수학자 어머니가 나비에-스토크스 문제를 풀 가능성을 다루었다.^[8]

참조

_[1] 웹사이트 Official statement of the problem https://www.claymath[...] Clay Mathematics Institute
_[2] 문서
_[3] 서적 The Mathematical Theory of Viscous Incompressible Flows Gordon and Breach, Science Publishers
_[4] 논문 Sur le mouvement d'un liquide visqueux emplissant l'espace
_[5] 논문 Finite time blowup for an averaged three-dimensional Navier–Stokes equation
_[6] 논문 The Mathematician's Shiva https://www.ams.org/[...] 2017-10
_[7] 웹사이트 MathFiction: The Mathematician's Shiva (Stuart Rojstaczer) http://kasmana.peopl[...] 2018-09-11
_[8] 웹사이트 Chris Evans raises a young math prodigy in the clever but overly calculating 'Gifted' http://www.latimes.c[...] 2018-09-11
_[9] 기타 Official statement of the problem http://www.claymath.[...] Clay Mathematics Institute
_[10] 문서
_[11] 간행물 The Mathematical Theory of Viscous Incompressible Flows Gordon and Breach
_[12] 간행물 Sur le mouvement d'un liquide visqueux emplissant l'espace
_[13] 기타 Finite time blowup for an averaged three-dimensional Navier-Stokes equation http://terrytao.word[...]

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