뉴턴 유체

2. 정의

흐르는 액체나 기체는 주변 유체로부터 힘을 받는데, 여기에는 점성 응력이 포함된다.^[5] 이 점성 응력은 유체가 시간이 지남에 따라 점진적으로 변형되게 한다. 뉴턴 유체는 이러한 점성 응력과 속도 기울기 간의 관계가 특정 방정식을 따르는 유체를 말한다.

점성 응력 텐서 $\backslash tau$와 속도 벡터장 $v$의 기울기 $\backslash nabla\; v$는 선택된 좌표계를 기준으로 3×3 행렬로 표현될 수 있다. 뉴턴 유체는 이러한 행렬이 다음 방정식으로 관련되어 있는 유체이다.

:$\backslash boldsymbol\{\backslash tau\}\; =\; \backslash boldsymbol\{\backslash mu\}\; (\backslash nabla\; v)$

여기서 $\backslash mu$는 유체의 속도나 응력 상태에 의존하지 않는 고정된 4차 텐서(3×3×3×3)이다.

이 구성 방정식은 '''뉴턴 점성 법칙'''이라고도 한다.

점성이란 유체를 움직일 때 저항력이 작용하는 성질을 말한다. 유체의 점성은 유체 내부의 마찰에 의해 발생하므로, 이 저항력을 "마찰 응력"이라고 부른다.

기본적으로 마찰 응력은 유체-유체 간 또는 유체-물체 간의 속도 기울기 (속도의 변화율)에 비례하여 커진다는 것이 알려져 있다.

직교 좌표에 의한 공간을 가정하고, 그곳에 유체에 의한 흐름이 존재한다고 할 때, 유체와 유체 (또는 유체와 물체)는 그 사이에 있는 면을 경계로 힘 (응력)을 서로 미치며, 면에 수직인 방향 (법선 방향)의 단위 면적당 작용하는 힘이 압력이며, 면에 평행한 방향 (접선 방향)의 단위 면적당 작용하는 힘을 '''접선 응력''' 또는 '''전단 응력'''이라고 한다.

흐르는 유체의 점성률을 $\backslash mu$ (Pa·s), 유체의 속도를 $u$ (m/s), 유체-유체 간 또는 유체-물체 간의 거리를 $y$ (m)라고 하면, 접선 응력 $\backslash tau$ (Pa)는 다음과 같다.

:$\backslash tau\; =\; \backslash mu\; \{\backslash partial\; u\; \backslash over\; \{\backslash partial\; y\}\}$

이때, $\{\backslash partial\; u\; \backslash over\; \{\backslash partial\; y\}\}$ (1/s)를 이 유체의 '''전단 속도'''라고 한다. 뉴턴 유체에서는 점성률 $\backslash mu$ 가 전단 속도에 의존하지 않고 항상 상수로 나타낸다.

더 일반적으로, 위 식은 텐서 표기되어 다음과 같다.

:$\backslash begin\{align\}$

&\tau = -\mu S,\\

&S_{ij} = 2 \partial_{(i} v_{j)} = \frac{\partial v_i}{\partial x_j} + \frac{\partial v_j}{\partial x_i}

\end{align}

여기서 $\backslash tau$는 압력 텐서, $S\_\{ij\}$는 변형률 텐서이다.

2. 1. 비압축성 등방성 사례

• $\backslash tau$는 유체 내의 전단 응력("피부 항력")이고,
• $\backslash mu$는 유체의 동점성인 비례 상수 스칼라이며,
• $\backslash frac\{du\}\{dy\}$는 x 방향을 따라 정렬된 유속 성분 u의 x에 수직인 y 방향의 미분이다.

• $\backslash tau\_\{xy\}$는 유체 내의 전단 응력("피부 항력")이고,
• $\backslash frac\{\backslash partial\; u\}\{\backslash partial\; y\}$는 x 방향을 따라 정렬된 유속 성분 u의 y 방향의 편미분이다.
• $\backslash frac\{\backslash partial\; v\}\{\backslash partial\; x\}$는 y 방향을 따라 정렬된 유속 성분 v의 x 방향의 편미분이다.

• $x\_j$는 $j$번째 공간 좌표이고,
• $v\_i$는 축 $i$ 방향의 유체 속도이며,
• $\backslash tau\_\{ij\}$는 축 $i$에 수직인 유체 요소의 면에 작용하는 응력의 $j$번째 성분이다. 이것은 전단 응력 텐서의 ij-번째 성분이다.

2. 2. 일반 압축 사례

• 응력은 갈릴레이 불변이다. 즉, 유동 속도에 직접 의존하지 않고, 유동 속도의 공간 미분에만 의존한다.
• 편차 응력은 변형률 텐서의 변화율에 대해 선형이다.
• 유체는 등방성으로 가정한다. 헬름홀츠 분해에 의해 두 개의 스칼라 Lamé 매개변수, 제2 점성 $\backslash lambda$ 및 동점성 $\backslash mu$로 표현될 수 있다.

2. 3. 이방성 유체

3. 뉴턴의 점성 법칙

뉴턴의 점성 법칙은 유체 내부 마찰에 의해 발생하는 저항력(마찰 응력)이 유체 간 또는 유체-물체 간 속도 기울기에 비례한다는 법칙이다. 점성이란 유체를 움직일 때 저항력이 작용하는 성질을 말한다. 유체의 점성은 유체 내부 마찰에 의해 발생하므로, 이 저항력을 "마찰 응력"이라고 한다.^[5]

흐르는 유체의 점성률을 μ^영어 (Pa·s), 유체의 속도를 u^영어 (m/s), 유체-유체 간 또는 유체-물체 간 거리를 y^영어 (m)라고 하면, 접선 응력 τ^영어 (Pa)는 다음과 같다.

:τ^영어 = μ^영어∂u/^영어∂y^영어

이때, ∂u/^영어∂y^영어 (1/s)를 이 유체의 전단 속도라고 한다. 뉴턴 유체에서는 점성률 μ^영어가 전단 속도에 의존하지 않고 항상 상수로 나타낸다.

비압축성 유체이고 등방성인 뉴턴 유체가 '''x 방향으로만 층류'''인 경우(즉, 유체의 점성이 등방성인 경우), 전단 응력은 다음 구성 방정식으로 변형률과 관련된다.

:$$\backslash tau\; =\; \backslash mu\; \backslash frac\{du\}\{dy\}$$

• $\backslash tau$는 유체 내 전단 응력("피부 항력")
• $\backslash mu$는 유체의 동점성인 비례 상수 스칼라
• $\backslash frac\{du\}\{dy\}$는 x 방향을 따라 정렬된 유속 성분 u의 x에 수직인 y 방향 미분

일반적인 텐서 표기법을 사용하면 다음과 같다.

:$\backslash begin\{align\}$

&\tau = -\mu S,\\

&S_{ij} = 2 \partial_{(i} v_{j)} = \frac{\partial v_i}{\partial x_j} + \frac{\partial v_j}{\partial x_i}

\end{align}

여기서 τ^영어는 압력 텐서, S_ij^영어는 변형률 텐서이다.

3. 1. 거듭제곱 법칙 모형

오스트발트-드 웰 관계식

멱법칙 모델은 뉴턴 유체와 비뉴턴 유체의 거동을 나타내는 데 사용되며, 전단 응력을 변형률 속도의 함수로 측정한다.

멱법칙 모델에 대한 전단 응력, 변형률 속도 및 속도 기울기 사이의 관계는 다음과 같다.

:$$\backslash tau\_\{xy\}\; =\; -m\backslash left|\; \backslash dot\{\backslash gamma\}\; \backslash right|^\{n-1\}\; \backslash frac\{dv\_x\}\{dy\},$$

여기서

• $\backslash left|\; \backslash dot\{\backslash gamma\}\; \backslash right|^\{n-1\}$는 변형률 속도의 절댓값을 (''n''−1) 제곱한 값이다.
• $\backslash frac\{dv\_x\}\{dy\}$는 속도 기울기이다.
• ''n''은 멱법칙 지수이다.

조건	유체 종류
n < 1	유사 소성 유체
n = 1	뉴턴 유체
n > 1	딜레이턴트 유체