약해 (수학)

\partial^{\alpha_1} \partial^{\alpha_2} \cdots \partial^{\alpha_n} \left[a_{\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n}(x) \varphi(x) \right]

로 주어지며, ''P''(''x'', ∂)의 형식적 수반이다.

수

:$(-1)^$

= (-1)^{\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n}

가 생기는 이유는, 미분 방정식의 각 항에 대한 모든 편도함수를 ''u''에서 $\backslash varphi$로 옮기기 위해 ''α''₁ + ''α''₂ + ... + ''α''_''n''번의 부분 적분이 필요하기 때문이며, 그 각 부분 적분 한 번마다 −1을 곱할 필요가 있기 때문이다.

요약하면, 원래 (강) 문제가 열린 집합 ''W'' 상의 |''α''|번 미분 가능한 함수 ''u''로

:$P(x,\; \backslash partial)u(x)\; =\; 0\; \backslash mbox\{\; for\; all\; \}\; x\; \backslash in\; W$

을 만족하는 것 (이른바 '''강해''')을 찾는 문제일 때, 어떤 적분 가능한 함수 ''u''가 '''약해'''라는 것은, ''W''에 콤팩트한 지지 집합을 가진 모든 매끄러운 함수 $\backslash varphi$에 대해

:$\backslash int\_W\; u(x)\; Q(x,\; \backslash partial)\; \backslash varphi\; (x)\backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}\; x\; =\; 0$

이 성립하는 것을 말한다.

4. 1. 선형 미분 연산자

''u''에 대한 미분 방정식을 풀 때, 시험 함수 $\backslash varphi$를 사용하여 다시 작성할 수 있다. 이는 부분 적분을 통해 ''u''의 모든 도함수가 $\backslash varphi$로 "전송"되어 ''u''의 도함수가 없는 방정식을 생성한다. 이 새로운 방정식은 반드시 미분 가능할 필요는 없는 해를 포함하도록 원래 방정식을 일반화한다.

이 접근 방식은 '''R'''^''n''의 열린 집합 ''W''에서 다음과 같은 형태의 선형 미분 연산자에 대해 작동한다.

:$P(x,\; \backslash partial)u(x)=\backslash sum\; a\_\{\backslash alpha\_1,\; \backslash alpha\_2,\; \backslash dots,\; \backslash alpha\_n\}(x)\; \backslash ,\; \backslash partial^\{\backslash alpha\_1\}\backslash partial^\{\backslash alpha\_2\}\backslash cdots\; \backslash partial^\{\backslash alpha\_n\}\; u(x),$

여기서 다중 지수 는 '''N'''^''n''의 일부 유한 집합에 걸쳐 변동하며 계수 $a\_\{\backslash alpha\_1,\; \backslash alpha\_2,\; \backslash dots,\; \backslash alpha\_n\}$는 '''R'''^''n''에서 ''x''의 충분히 매끄러운 함수이다.

미분 방정식 는 컴팩트 지지체를 갖는 매끄러운 시험 함수 $\backslash varphi$를 곱하고 부분 적분한 후 다음과 같이 쓸 수 있다.

:$\backslash int\_W\; u(x)\; Q(x,\; \backslash partial)\; \backslash varphi\; (x)\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}\; x=0$

여기서 미분 연산자 ''Q''(''x'', ''∂'')는 다음 공식으로 주어지며, 의 '''형식적 수반'''이다.

:$Q(x,\; \backslash partial)\backslash varphi\; (x)\; =\; \backslash sum\; (-1)^$

\partial^{\alpha_1} \partial^{\alpha_2} \cdots \partial^{\alpha_n} \left[a_{\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n}(x) \varphi(x) \right].

다음 숫자

:$(-1)^$

= (-1)^{\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n}

는 미분 방정식의 각 항에서 모든 편도함수를 ''u''에서 $\backslash varphi$로 전송하기 위해 ''α''₁ + ''α''₂ + ⋯ + ''α''_''n'' 부분 적분이 필요하고 각 부분 적분은 −1을 곱해야 하기 때문에 나타난다.

요약하면, 원래 (강한) 문제는 열린 집합 ''W''에서 정의된 번 미분 가능한 함수 ''u''를 찾아

:$P(x,\; \backslash partial)u(x)\; =\; 0\; \backslash text\{\; for\; all\; \}\; x\; \backslash in\; W$

(소위 '''강한 해''')를 만족시키는 것이었다면, 적분 가능한 함수 ''u''는

:$\backslash int\_W\; u(x)\backslash ,\; Q(x,\; \backslash partial)\; \backslash varphi\; (x)\backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}\; x\; =\; 0$

가 ''W''에서 컴팩트 지지체를 갖는 모든 매끄러운 함수 $\backslash varphi$에 대해 성립하면 '''약한 해'''라고 한다.

4. 2. 약한 해의 정의

''u''에 대한 미분 방정식을 풀 때, 시험 함수 $\backslash varphi$를 사용하여 방정식을 다시 작성할 수 있다. 이 과정에서 ''u''의 모든 도함수는 부분 적분을 통해 $\backslash varphi$로 "전송"되어, ''u''의 도함수가 없는 방정식이 만들어진다. 이렇게 만들어진 새로운 방정식은 원래 방정식을 일반화하여 반드시 미분 가능할 필요는 없는 해를 포함한다.

'''R'''^''n''의 열린 집합 ''W''에서 다음과 같은 선형 미분 연산자를 고려한다.

:$P(x,\; \backslash partial)u(x)=\backslash sum\; a\_\{\backslash alpha\_1,\; \backslash alpha\_2,\; \backslash dots,\; \backslash alpha\_n\}(x)\; \backslash ,\; \backslash partial^\{\backslash alpha\_1\}\backslash partial^\{\backslash alpha\_2\}\backslash cdots\; \backslash partial^\{\backslash alpha\_n\}\; u(x)$

여기서 다중 지수 는 '''N'''^''n''의 일부 유한 집합에 걸쳐 변동하며, 계수 $a\_\{\backslash alpha\_1,\; \backslash alpha\_2,\; \backslash dots,\; \backslash alpha\_n\}$는 '''R'''^''n''에서 ''x''의 충분히 매끄러운 함수이다.

미분 방정식 는 컴팩트 지지체를 갖는 매끄러운 시험 함수 $\backslash varphi$를 곱하고 부분 적분하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

:$\backslash int\_W\; u(x)\; Q(x,\; \backslash partial)\; \backslash varphi\; (x)\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}\; x=0$

여기서 미분 연산자 ''Q''(''x'', ''∂'')는 다음 공식으로 주어진다.

:$Q(x,\; \backslash partial)\backslash varphi\; (x)\; =\; \backslash sum\; (-1)^$

\partial^{\alpha_1} \partial^{\alpha_2} \cdots \partial^{\alpha_n} \left[a_{\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n}(x) \varphi(x) \right]

이때, $(-1)^$

= (-1)^{\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n}는 미분 방정식의 각 항에서 모든 편도함수를 ''u''에서 $\backslash varphi$로 전송하기 위해 ''α''₁ + ''α''₂ + ⋯ + ''α''_''n''번 부분 적분이 필요하고, 각 부분 적분은 −1을 곱해야 하기 때문에 나타난다. 미분 연산자 는 의 '''형식적 수반'''이다.

요약하면, 열린 집합 ''W''에서 정의된 번 미분 가능한 함수 ''u''를 찾아 $P(x,\; \backslash partial)u(x)\; =\; 0\; \backslash text\{\; for\; all\; \}\; x\; \backslash in\; W$를 만족시키는 '''강한 해''' 대신, 다음 적분 방정식을 만족하는 적분 가능한 함수 ''u''를 '''약한 해'''라고 정의한다.

:$\backslash int\_W\; u(x)\backslash ,\; Q(x,\; \backslash partial)\; \backslash varphi\; (x)\backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}\; x\; =\; 0$

이 방정식은 ''W''에서 컴팩트 지지체를 갖는 모든 매끄러운 함수 $\backslash varphi$에 대해 성립해야 한다.

5. 다른 종류의 약한 해

쌍곡형 계통의 경우, 분포를 기반으로 하는 약한 해의 개념은 유일성을 보장하지 않으므로, 엔트로피 조건 또는 기타 선택 기준을 추가해야 한다. 해밀턴-야코비 방정식과 같은 완전 비선형 편미분 방정식에서는 점성 해라고 하는 약한 해의 매우 다른 정의가 있다. 초함수에 기반한 약해의 개념은 종종 불충분하게 된다. 쌍곡형 시스템의 경우, 초함수에 기반한 약해의 개념으로는 유일성이 보장되지 않으므로, 이를 보장하기 위해 엔트로피 조건이나 다른 선택 기준이 필요하게 된다.

5. 1. 쌍곡형 방정식과 엔트로피 조건

쌍곡형 계통의 경우, 분포 기반 약한 해는 유일성을 보장하지 않으므로, 엔트로피 조건과 같은 추가적인 조건이 필요하다. 해밀턴-야코비 방정식과 같은 완전 비선형 편미분 방정식에서는 점성 해라고 하는 약한 해의 매우 다른 정의가 있다. 초함수에 기반한 약해의 개념은 종종 불충분하게 된다. 쌍곡형 시스템의 경우, 초함수에 기반한 약해의 개념으로는 유일성이 보장되지 않으므로, 이를 보장하기 위해 엔트로피 조건이나 다른 선택 기준이 필요하게 된다.

5. 2. 해밀턴-야코비 방정식과 점성 해

쌍곡형 계통의 경우, 분포를 기반으로 하는 약한 해의 개념은 유일성을 보장하지 않으므로, 엔트로피 조건 또는 기타 선택 기준을 추가해야 한다. 해밀턴-야코비 방정식과 같은 완전 비선형 편미분 방정식에서는 점성 해라고 하는 약한 해의 매우 다른 정의가 있다.

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