니븐 상수

1. 개요

니븐 상수는 리만 제타 함수의 특수한 값들을 지칭한다. 리만 제타 함수는 음의 정수에서 베르누이 수와 관련되며, 특히 ζ(-1) = -1/12와 ζ(0) = -1/2는 카시미르 효과 계산에 사용된다. 양의 정수에서 ζ(1)은 발산하는 조화 급수이며, ζ(2)는 바젤 문제로 π²/6이며, ζ(3)은 아페리 상수로 알려져 있다.

2. 리만 제타 함수의 특수 값

다음은 리만 제타 함수의 특수 값들이다.

:$\backslash zeta(\{-1\})\; =-\{1\backslash over12\}$
:$\backslash zeta(\{0\})\; =-\{1\backslash over2\}$
:$\backslash zeta\backslash left(\backslash right)\; \backslash approx\; -1.4603545....$
:$\backslash zeta(1)=\; 1+\{1\backslash over2\}+\{1\backslash over3\}+....=\; \backslash infty$
:$\backslash zeta\backslash left(\backslash right)\; \backslash approx\; 2.612....$
:$\backslash zeta(\{2\})\; =\; \{\backslash pi^2\; \backslash over\{6\}\}=1.645....$
:$\backslash zeta(\{3\})\; =\; 1.202....$

2.1. 음의 정수

음의 정수에서 리만 제타 함수 값은 베르누이 수와 관련이 있다.

:$\backslash zeta(\{-1\})\; =-\{1\backslash over12\}$
:$\backslash zeta(\{0\})\; =-\{1\backslash over2\}$

이 값은 물리학에서 카시미르 효과를 계산하는 데 사용된다.

2.1.1. -1

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이 값은 물리학에서 카시미르 효과를 계산하는 데 사용된다.

2.2. 0

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다음은 리만 제타 함수(ζ)의 값들이다.

:$\backslash zeta(\{-1\})\; =-\{1\backslash over12\}$
:$\backslash zeta(\{0\})\; =-\{1\backslash over2\}$
:$\backslash zeta\backslash left(\backslash right)\; \backslash approx\; -1.4603545....\; (OEIS\; A059750)$
:$\backslash zeta(1)=\; 1+\{1\backslash over2\}+\{1\backslash over3\}+....=\; \backslash infty$
:$\backslash zeta\backslash left(\backslash right)\; \backslash approx\; 2.612....\; (OEIS\; A078434)$
:$\backslash zeta(\{2\})\; =\; \{\backslash pi^2\; \backslash over\{6\}\}=1.645....\; (OEIS\; A013661)$
:$\backslash zeta(\{3\})\; =\; 1.202....\; (OEIS\; A002117)$

2.3. 양의 정수

ζ(-1) = -1/12
ζ(0) = -1/2
:$\backslash zeta\backslash left(\backslash right)\; \backslash approx\; -1.4603545....$(OEIS A059750)
ζ(1) = 1 + 1/2 + 1/3 + .... = ∞
이 값은 조화급수로, 발산한다.
:$\backslash zeta\backslash left(\backslash right)\; \backslash approx\; 2.612....$ (OEIS A078434)
ζ(2) = π²/6 = 1.645.... (OEIS A013661)
이 값은 바젤 문제로 알려져 있으며, 오일러에 의해 처음 증명되었다.
ζ(3) = 1.202.... (OEIS A002117)는 아페리 상수로 알려져 있으며, 무리수임이 증명되었다.

2.3.1. 1

이 값은 조화급수로, 발산한다.

2.3.2. 2

이 값은 바젤 문제로 알려져 있으며, 오일러에 의해 처음 증명되었다.
:$\backslash zeta(\{2\})\; =\; \{\backslash pi^2\; \backslash over\{6\}\}=1.645....\; (OEIS\; A013661)$

2.3.3. 3

$\backslash zeta(3)\; =\; 1.202....$ (OEIS A002117)는 아페리 상수로 알려져 있으며, 무리수임이 증명되었다.

2.4. 분수

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*$\backslash zeta\backslash left(\backslash right)\; \backslash approx\; -1.4603545....\; (OEIS\; A059750)$
*$\backslash zeta\backslash left(\backslash right)\; \backslash approx\; 2.612....\; (OEIS\; A078434)$
*$\backslash zeta(\{-1\})\; =-\{1\backslash over12\}$
*$\backslash zeta(\{0\})\; =-\{1\backslash over2\}$
*$\backslash zeta(1)=\; 1+\{1\backslash over2\}+\{1\backslash over3\}+....=\; \backslash infty$
*$\backslash zeta(\{2\})\; =\; \{\backslash pi^2\; \backslash over\{6\}\}=1.645....\; (OEIS\; A013661)$
*$\backslash zeta(\{3\})\; =\; 1.202....\; (OEIS\; A002117)$

2.4.1. 1/2

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*$\backslash zeta\backslash left(\backslash right)\; \backslash approx\; -1.4603545....\; (OEIS\; A059750)$

2.4.2. 3/2

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:$\backslash zeta\backslash left(\backslash right)\; \backslash approx\; 2.612....\; (OEIS\; A078434)$

3. 한국 수학계의 연구 동향