바젤 문제

1. 개요

바젤 문제는 1644년 피에트로 멩골리가 제기한 '제곱수의 역수 합'에 대한 문제로, 레온하르트 오일러가 1735년에 처음으로 해를 구했다. 이 문제는 다음과 같이 정의된다. $\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infin\; \backslash frac\{1\}\{n^2\}$ 오일러는 사인 함수의 테일러 급수와 바이어슈트라스 곱 정리를 이용하여 바젤 문제의 해가 $\backslash frac\{\backslash pi^2\}\{6\}$임을 증명했다. 이 문제는 리만 제타 함수와 관련이 있으며, 다양한 표현과 증명 방법이 존재한다.

2. 역사

1644년에 피에트로 멩골리/Pietro Mengoli^{이탈리아어}가 "제곱수의 역수 전체의 합은 수렴하는가? 만약 수렴한다면 그 값은 얼마인가?"라는 문제를 제기했다. 이 문제는 여러 수학자들이 해결하려 했으며, 그중 야코프 베르누이는 1689년에 이 문제에 도전했지만 해결하지 못했다.

레온하르트 오일러는 1735년에 이 문제를 제곱수에 국한하지 않고, 자연수의 짝수 거듭제곱의 역수 합에 대해 일반화된 형식으로 해결했다. 베른하르트 리만은 이 아이디어를 활용하여 제타 함수를 정의하고, 그 성질을 연구하는 데 기여했다(1859년 논문 "주어진 수보다 작은 소수의 개수에 관하여").

제곱수의 역수 합은
:$\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infin\; \backslash frac\{1\}\{n^2\}\; =\backslash lim\_\{n\backslash to\; \backslash infty\}\; \backslash left(\; \backslash frac\{1\}\{1^2\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{2^2\}\; +\backslash cdots\; +\backslash frac\{1\}\{n^2\}\; \backslash right)$
로 나타낼 수 있다. 이는 제타 함수
:$\backslash zeta\; (s)=\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \{n^\{-s\}\}$
의 s = 2에서의 값 ζ(2)이기도 하다. 그 값은 π²/6 (= 1.644934…)이다(는 원주율). 오일러 곱에 따르면
:$\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infin\; \backslash frac\{1\}\{n^2\}\; =\; \backslash prod\_\{p\backslash text\{:\; prime\}\}\; \backslash frac\{1\}\{1-p^\{-2\}\}\; =\backslash frac\{1\})^2\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{1\})^2\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{1\})^2\}\; \backslash cdot\; \backslash cdots$
가 된다.

3. 오일러의 풀이

오일러는 사인 함수의 테일러 급수와 바이어슈트라스 곱 정리를 이용하여 바젤 문제의 해를 구했다.

오일러는 다음과 같은 과정을 통해 바젤 문제의 무한 급수의 수렴값이 $\backslash frac\{\backslash pi^2\}\{6\}\backslash ,$임을 도출해 내었다.

원래의 풀이는 엄밀하지 못한 방법이었으나, 약 100년 후 카를 바이어슈트라스가 바이어슈트라스 곱 정리를 통해 오일러의 증명이 타당함을 보였다.

먼저, 사인 함수의 테일러 급수를 생각하면
:$\backslash begin\{align\}$
\sin x = \sum_{k=0}^\infin \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} x^{2k+1} = x - {\frac{x^3}{3!}} + {\frac{x^5}{5!}} - {\frac{x^7}{7!}} + \cdots
\\ \Rightarrow \frac{\sin x}{x} = \sum_{k=0}^{\infin} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} x^{2k} = 1 - {\frac{x^2}{3!}} + {\frac{x^4}{5!}} - {\frac{x^6}{7!}} + \cdots
\\ \end{align}

$\backslash frac\{\backslash sin\; x\}\{x\}\; =\; 0$는 $x\; =\; n\backslash pi\; (n\backslash in\backslash mathbb\{Z\}-\backslash \{0\backslash \})$ 가 이 방정식의 근이 되므로

$\backslash frac\{\backslash sin\; x\}\{x\}$는 적당한 상수 $A$ 에 대하여 바이어슈트라스의 곱정리에 따라 다음과 같이 인수분해할 수 있다. (오일러는 이 부분에서 엄밀하지 못한 가정을 사용하였다.)
:
A \prod_{n\in\mathbb{Z}-\{0\}} (1 - \frac{x}{n\pi}) =
A (1 - \frac{x}{ \pi})(1 + \frac{x}{ \pi})(1 - \frac{x}{2\pi})(1 + \frac{x}{2\pi})\cdots
\\ & = A \prod_{n = 1}^\infin (1 - \frac{x^2}{n^2 \pi^2}) =
A (1-\frac{x^2}{\pi^2})(1-\frac{x^2}{4\pi^2})(1-\frac{x^2}{9\pi^2})\cdots
\\ \end{alignat}

여기서 양변에 극한을 취함으로써 $A$ 의 값을 알 수 있다.
:$\backslash begin\{alignat\}\{3\}$
& \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} =
\lim_{x \rightarrow 0} A \prod_{n = 1}^\infin (1 - \frac{x^2}{n^2 \pi^2})
\\ & \Longrightarrow\ 1 = A\ (\prod_{n = 1}^\infin 1)
\\ & \Longrightarrow\ A = 1
\\ \end{alignat} $$\backslash therefore\; \backslash frac\{\backslash sin\; x\}\{x\}\; =$$
\prod_{n = 1}^\infin (1 - \frac{x^2}{n^2 \pi^2}) =
(1-\frac{x^2}{\pi^2})(1-\frac{x^2}{4\pi^2})(1-\frac{x^2}{9\pi^2})\cdots

이제 우리는 $\backslash frac\{\backslash sin\; x\}\{x\}$ 에 관한 두 개의 식을 이용해 다음과 같은 항등식을 도출할 수 있다.
:$\backslash sum\_\{k=0\}^\{\backslash infin\}\; \backslash frac\{(-1)^k\}\{(2k+1)!\}\; x^\{2k\}\; =$
\prod_{n = 1}^\infin (1 - \frac{x^2}{n^2 \pi^2})

위 식에서 이차항을 비교하면
:$\backslash begin\{align\}$
-\frac{1}{3!} = \sum_{n = 1}^\infin (-\frac{1}{n^2 \pi^2})
\\ \Longrightarrow -\frac{1}{6} = -\frac{1}{\pi^2} \sum_{n=1}^\infin \frac{1}{n^2}
\\ \end{align}
:

적절한 변형을 통해 우리가 원하는 결론을 얻을 수 있다.
:$\backslash therefore\backslash \; \backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infin\; \backslash frac\{1\}\{n^2\}\; =\; \backslash frac\{\backslash pi^2\}\{6\}.$
오일러의 원래 $\backslash pi^2/6$ 값 유도는 본질적으로 유한 다항식에 대한 관찰을 확장하고 이러한 속성이 무한 급수에도 적용된다고 가정했다.

물론, 오일러의 원래 추론에는 정당성이 필요하다 (100년 후, 카를 바이어슈트라스는 바이어슈트라스 인수분해 정리를 사용하여 사인 함수를 무한 곱으로 표현한 오일러의 표현이 유효함을 증명했다). 그러나 정당성이 없더라도, 단순히 올바른 값을 얻음으로써 그는 급수의 부분 합에 대해 수치적으로 확인할 수 있었다. 그가 관찰한 일치는 그에게 수학계에 자신의 결과를 발표할 충분한 확신을 주었다.

오일러의 주장을 따라가기 위해, 삼각 함수의 테일러 급수 전개를 상기해 보자.
$$\backslash sin\; x\; =\; x\; -\; \backslash frac\{x^3\}\{3!\}\; +\; \backslash frac\{x^5\}\{5!\}\; -\; \backslash frac\{x^7\}\{7!\}\; +\; \backslash cdots$$
$x$로 나누면
$$\backslash frac\{\backslash sin\; x\}\{x\}\; =\; 1\; -\; \backslash frac\{x^2\}\{3!\}\; +\; \backslash frac\{x^4\}\{5!\}\; -\; \backslash frac\{x^6\}\{7!\}\; +\; \backslash cdots\; .$$

바이어슈트라스 인수분해 정리는 오른쪽 변이 유한 다항식과 마찬가지로 근에 의해 주어진 선형 인수의 곱임을 보여준다. 오일러는 이것을 무한 차수 다항식을 근을 사용하여 전개하는 발견법으로 가정했지만, 사실 일반 $P(x)$에 대해 항상 참인 것은 아니다. 이 인수분해는 방정식을 다음과 같이 전개한다.
$$\backslash begin\{align\}$$
\frac{\sin x}{x} &= \left(1 - \frac{x}{\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{\pi}\right)\left(1 - \frac{x}{2\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{2\pi}\right)\left(1 - \frac{x}{3\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{3\pi}\right) \cdots \\
&= \left(1 - \frac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1 - \frac{x^2}{4\pi^2}\right)\left(1 - \frac{x^2}{9\pi^2}\right) \cdots
\end{align}

만약 우리가 이 곱을 형식적으로 곱하고 모든 항을 수집한다면 (뉴턴 항등식에 의해 그렇게 할 수 있다), 귀납법에 의해 의 계수는 다음과 같음을 알 수 있다.
$$-\backslash left(\backslash frac\{1\}\{\backslash pi^2\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{4\backslash pi^2\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{9\backslash pi^2\}\; +\; \backslash cdots\; \backslash right)\; =\; -\backslash frac\{1\}\{\backslash pi^2\}\backslash sum\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\backslash frac\{1\}\{n^2\}.$$

그러나 의 원래 무한 급수 전개로부터, 의 계수는 . 이 두 계수는 같아야 한다. 따라서,
$$-\backslash frac\{1\}\{6\}\; =\; -\backslash frac\{1\}\{\backslash pi^2\}\backslash sum\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\backslash frac\{1\}\{n^2\}.$$

이 방정식의 양변에 −²를 곱하면 양의 제곱 정수의 역수의 합이 나온다.
$$\backslash sum\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\backslash frac\{1\}\{n^2\}\; =\; \backslash frac\{\backslash pi^2\}\{6\}.$$

$\backslash zeta(2)$를 계산하는 이 방법은 하빌의 감마 책에 자세히 설명되어 있으며, 이 책은 많은 제타 함수 및 로그 관련 급수와 적분뿐만 아니라 오일러-마스케로니 상수와 관련된 역사적 관점을 자세히 설명하고 있다.
정규화된 sinc 함수 $\backslash text\{sinc\}(x)=\backslash frac\{\backslash sin\; (\backslash pi\; x)\}\{\backslash pi\; x\}$는 다음과 같은 무한 곱으로 표현되는 바이어슈트라스 인수분해가 가능하다.
$$\backslash frac\{\backslash sin\; (\backslash pi\; x)\}\{\backslash pi\; x\}\; =\; \backslash prod\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash left(1-\backslash frac\{x^2\}\{n^2\}\backslash right).$$

무한 곱은 해석 함수이므로, 양변에 자연 로그를 취하고 미분하면 다음을 얻는다.
$$\backslash frac\{\backslash pi\; \backslash cos\; (\backslash pi\; x)\}\{\backslash sin\; (\backslash pi\; x)\}-\backslash frac\{1\}\{x\}=-\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\{2x\}\{n^2-x^2\}$$

(균등 수렴에 의해 미분과 무한 급수의 교환이 허용된다). 방정식을 $2x$로 나누고 재정리하면 다음을 얻는다.
$$\backslash frac\{1\}\{2x^2\}-\backslash frac\{\backslash pi\; \backslash cot\; (\backslash pi\; x)\}\{2x\}=\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\{1\}\{n^2-x^2\}.$$

변수를 변경한다($x=-it$):
$$-\backslash frac\{1\}\{2t^2\}+\backslash frac\{\backslash pi\; \backslash cot\; (-\backslash pi\; it)\}\{2it\}=\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\{1\}\{n^2+t^2\}.$$

오일러 공식을 사용하여 다음을 유도할 수 있다.
$$\backslash frac\{\backslash pi\; \backslash cot\; (-\backslash pi\; i\; t)\}\{2it\}=\backslash frac\{\backslash pi\}\{2it\}\backslash frac\{i\backslash left(e^\{2\backslash pi\; t\}+1\backslash right)\}\{e^\{2\backslash pi\; t\}-1\}=\backslash frac\{\backslash pi\}\{2t\}+\backslash frac\{\backslash pi\}\{t\backslash left(e^\{2\backslash pi\; t\}\; -\; 1\backslash right)\}.$$
또는 해당 쌍곡선 함수를 사용하여
$$\backslash frac\{\backslash pi\; \backslash cot\; (-\backslash pi\; i\; t)\}\{2it\}=\backslash frac\{\backslash pi\}\{2t\}\{i\backslash cot\; (\backslash pi\; i\; t)\}=\backslash frac\{\backslash pi\}\{2t\}\backslash coth(\backslash pi\; t).$$

그런 다음
$$\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\{1\}\{n^2+t^2\}=\backslash frac\{\backslash pi\; \backslash left(te^\{2\backslash pi\; t\}+t\backslash right)-e^\{2\backslash pi\; t\}+1\}\{2\backslash left(t^2\; e^\{2\backslash pi\; t\}-t^2\backslash right)\}=-\backslash frac\{1\}\{2t^2\}\; +\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2t\}\; \backslash coth(\backslash pi\; t).$$

이제 $t$가 0에 접근할 때의 극한을 취하고 로피탈의 정리를 세 번 사용한다. $\backslash lim\_\{t\backslash to\backslash infty\}\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; 1/(n^2+1/t^2)$에 적용된 타너리 정리에 의해, $\backslash lim\_\{t\backslash to\; 0\}\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; 1/(n^2+t^2)=\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; 1/n^2$가 되도록 극한과 무한 급수의 교환이 가능하며, 로피탈의 정리에 의해

&=\lim_{t\to 0}\frac{\pi^3 te^{2\pi t}}{2\pi \left(\pi t^2 e^{2\pi t}+2te^{2\pi t} \right)+e^{2\pi t}-1}\\[6pt]
&=\lim_{t\to 0}\frac{\pi^2 (2\pi t+1)}{4\pi^2 t^2+12\pi t+6}\\[6pt]
&=\frac{\pi^2}{6}.\end{align}
오일러는 의 매클로린 급수를 이용하여 해를 구하는 방법을 고안했다. 먼저 를
:$\backslash sin\; x=\backslash frac\{x^1\}\{1!\}\; -\backslash frac\{x^3\}\{3!\}\; +\backslash frac\{x^5\}\{5!\}\; -\backslash frac\{x^7\}\{7!\}\; +\backslash cdots$
로 전개한다. 이 양변을 로 나누면
:$(1)\backslash qquad\backslash frac\{\backslash sin\; x\}\{x\}\; =\backslash frac\{1\}\{1!\}\; -\backslash frac\{x^2\}\{3!\}\; +\backslash frac\{x^4\}\{5!\}\; -\backslash frac\{x^6\}\{7!\}\; +\backslash cdots$
가 된다. 좌변은 정확히 (은 양의 정수)일 때 이므로 우변을 형식적으로 다음과 같이 "인수분해"할 수 있다.
:$\backslash frac\{\backslash sin\; x\}\{x\}\; =\backslash left(\; 1-\backslash frac\{x\}\{1\backslash pi\}\; \backslash right)\; \backslash left(\; 1+\backslash frac\{x\}\{1\backslash pi\}\; \backslash right)\; \backslash left(\; 1-\backslash frac\{x\}\{2\backslash pi\}\; \backslash right)\; \backslash left(\; 1+\backslash frac\{x\}\{2\backslash pi\}\; \backslash right)\; \backslash left(\; 1-\backslash frac\{x\}\{3\backslash pi\}\; \backslash right)\; \backslash left(\; 1+\backslash frac\{x\}\{3\backslash pi\}\; \backslash right)\; \backslash cdots.$
인접한 두 항을 곱하면
:$(2)\backslash qquad\backslash frac\{\backslash sin\; x\}\{x\}\; =\; \backslash left(1\; -\; \backslash frac\{x^2\}\{1^2\; \backslash pi^2\}\backslash right)\; \backslash left(1\; -\; \backslash frac\{x^2\}\{2^2\; \backslash pi^2\}\backslash right)\; \backslash left(\; 1-\backslash frac\{x^2\}\{3^2\; \backslash pi^2\}\; \backslash right)\; \backslash cdots.$
(1)과 (2)의 우변의 의 계수는
:$(1)\backslash colon-\backslash frac\{1\}\{3!\}\; =-\backslash frac\{1\}\{6\},$
:$(2)\backslash colon-\backslash left(\; \backslash frac\{1\}\{1^2\; \backslash pi^2\}\; +\backslash frac\{1\}\{2^2\; \backslash pi^2\}\; +\backslash frac\{1\}\{3^2\; \backslash pi^2\}\; +\backslash cdots\; \backslash right)\; =-\backslash frac\{1\}\{\backslash pi^2\}\; \backslash sum\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{1\}\{n^2\}$
이다. 이것들은 같아야 하므로
:$-\backslash frac\{1\}\{\backslash pi^2\}\backslash sum\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\backslash frac\{1\}\{n^2\}\; =\; -\; \backslash frac\{1\}\{6\}$
이다. 그러므로 구하는 급수의 값은
:$\backslash sum\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\backslash frac\{1\}\{n^\{2\}\}\; =\; \backslash frac\{\backslash pi^2\}\{6\}$
이다. 또한 오일러는 일반적으로 번째 베르누이 수를 라고 하면
:$\backslash sum\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{1\}\{n^\{2k\}\}\; =(-1)^\{k+1\}\; \backslash frac\{B\_\{2k\}(2\backslash pi)^\{2k\}\}\{2(2k)!\}$
가 성립한다는 것을 보였다.

3.1. 사인 함수의 테일러 급수 전개

오일러는 사인 함수의 테일러 급수를 이용하여 바젤 문제의 해를 구했다. 사인 함수의 테일러 급수는 다음과 같다.

:$\backslash sin\; x\; =\; x\; -\; \{\backslash frac\{x^3\}\{3!\}\}\; +\; \{\backslash frac\{x^5\}\{5!\}\}\; -\; \{\backslash frac\{x^7\}\{7!\}\}\; +\; \backslash cdots$

양변을 x로 나누면 다음과 같다.

:$\backslash frac\{\backslash sin\; x\}\{x\}\; =\; 1\; -\; \{\backslash frac\{x^2\}\{3!\}\}\; +\; \{\backslash frac\{x^4\}\{5!\}\}\; -\; \{\backslash frac\{x^6\}\{7!\}\}\; +\; \backslash cdots$

이는 $\backslash frac\{\backslash pi^2\}\{6\}$으로 수렴한다.

3.2. 바이어슈트라스 곱 정리

오일러는 바젤 문제의 무한 급수의 수렴값이 $\backslash frac\{\backslash pi^2\}\{6\}\backslash ,$임을 보였다. 원래의 풀이는 엄밀하지 못했으나, 약 100년 후 카를 바이어슈트라스가 바이어슈트라스 곱 정리를 통해 오일러의 증명이 타당함을 보였다.

사인 함수를 테일러 급수로 나타내면 다음과 같다.
:$\backslash sin\; x\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infin\; \backslash frac\{(-1)^k\}\{(2k+1)!\}\; x^\{2k+1\}\; =\; x\; -\; \{\backslash frac\{x^3\}\{3!\}\}\; +\; \{\backslash frac\{x^5\}\{5!\}\}\; -\; \{\backslash frac\{x^7\}\{7!\}\}\; +\; \backslash cdots$
양변을 x로 나누면,
:$\backslash frac\{\backslash sin\; x\}\{x\}\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^\{\backslash infin\}\; \backslash frac\{(-1)^k\}\{(2k+1)!\}\; x^\{2k\}\; =\; 1\; -\; \{\backslash frac\{x^2\}\{3!\}\}\; +\; \{\backslash frac\{x^4\}\{5!\}\}\; -\; \{\backslash frac\{x^6\}\{7!\}\}\; +\; \backslash cdots$

$\backslash frac\{\backslash sin\; x\}\{x\}\; =\; 0$는 $x\; =\; n\backslash pi\; (n\backslash in\backslash mathbb\{Z\}-\backslash \{0\backslash \})$ 가 이 방정식의 근이 되므로, 바이어슈트라스 곱 정리에 따라 다음과 같이 인수분해할 수 있다.
:$\backslash frac\{\backslash sin\; x\}\{x\}\; =\; A\; \backslash prod\_\{n\backslash in\backslash mathbb\{Z\}-\backslash \{0\backslash \}\}\; (1\; -\; \backslash frac\{x\}\{n\backslash pi\})\; =\; A\; (1\; -\; \backslash frac\{x\}\{\; \backslash pi\})(1\; +\; \backslash frac\{x\}\{\; \backslash pi\})(1\; -\; \backslash frac\{x\}\{2\backslash pi\})(1\; +\; \backslash frac\{x\}\{2\backslash pi\})\backslash cdots\; =\; A\; \backslash prod\_\{n\; =\; 1\}^\backslash infin\; (1\; -\; \backslash frac\{x^2\}\{n^2\; \backslash pi^2\})$

여기서 A는 상수이다. 양변에 극한을 취하면,
:$\backslash lim\_\{x\; \backslash rightarrow\; 0\}\; \backslash frac\{\backslash sin\; x\}\{x\}\; =\; \backslash lim\_\{x\; \backslash rightarrow\; 0\}\; A\; \backslash prod\_\{n\; =\; 1\}^\backslash infin\; (1\; -\; \backslash frac\{x^2\}\{n^2\; \backslash pi^2\})\; \backslash Longrightarrow\; 1\; =\; A\backslash \; (\backslash prod\_\{n\; =\; 1\}^\backslash infin\; 1)\; \backslash Longrightarrow\; A\; =\; 1$
따라서,
:$\backslash frac\{\backslash sin\; x\}\{x\}\; =\; \backslash prod\_\{n\; =\; 1\}^\backslash infin\; (1\; -\; \backslash frac\{x^2\}\{n^2\; \backslash pi^2\})\; =\; (1-\backslash frac\{x^2\}\{\backslash pi^2\})(1-\backslash frac\{x^2\}\{4\backslash pi^2\})(1-\backslash frac\{x^2\}\{9\backslash pi^2\})\backslash cdots$

$\backslash frac\{\backslash sin\; x\}\{x\}$ 에 관한 두 개의 식을 이용해 항등식을 도출하고, 이차항을 비교하면
:$\backslash sum\_\{k=0\}^\{\backslash infin\}\; \backslash frac\{(-1)^k\}\{(2k+1)!\}\; x^\{2k\}\; =\; \backslash prod\_\{n\; =\; 1\}^\backslash infin\; (1\; -\; \backslash frac\{x^2\}\{n^2\; \backslash pi^2\})$
:$-\backslash frac\{1\}\{3!\}\; =\; \backslash sum\_\{n\; =\; 1\}^\backslash infin\; (-\backslash frac\{1\}\{n^2\; \backslash pi^2\})\; \backslash Longrightarrow\; -\backslash frac\{1\}\{6\}\; =\; -\backslash frac\{1\}\{\backslash pi^2\}\; \backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infin\; \backslash frac\{1\}\{n^2\}$
결론적으로,
:$\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infin\; \backslash frac\{1\}\{n^2\}\; =\; \backslash frac\{\backslash pi^2\}\{6\}.$이다.

3.3. 이차항 비교

오일러가 유도한 두 식에서 x²의 계수를 비교하면 다음과 같다.

:$\backslash begin\{align\}$
-\frac{1}{3!} = \sum_{n = 1}^\infin (-\frac{1}{n^2 \pi^2})
\\ \Longrightarrow -\frac{1}{6} = -\frac{1}{\pi^2} \sum_{n=1}^\infin \frac{1}{n^2}
\\ \end{align}

따라서 다음을 얻을 수 있다.

:$\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infin\; \backslash frac\{1\}\{n^2\}\; =\; \backslash frac\{\backslash pi^2\}\{6\}.$

3.4. 오일러의 접근법을 이용한 바젤 문제의 일반화

오일러는 $\backslash sum\_\{k=1\}^\backslash infin\; \backslash frac\{1\}\{k^\{2n\}\}\; =\; \backslash frac\{(-1)^\{n-1\}\; (2\backslash pi)^\{2n\}\}\{2\backslash cdot(2n)!\}B\_\{2n\}$ 공식을 유도했다. 여기서 $B\_n$은 베르누이 수이다. 이 공식은 리만 제타 함수를 사용하여 0 이상의 짝수에 대한 함수값을 구하는 데 사용될 수 있다: $\backslash zeta(2n)\; =\; \backslash frac\{(-1)^\{n-1\}\; (2\backslash pi)^\{2n\}\}\{2\backslash cdot(2n)!\}B\_\{2n\}$.

오일러는 유한 다항식에 대한 관찰을 무한 급수로 확장하여 결과를 얻었으며, 이는 100년 후 카를 바이어슈트라스가 바이어슈트라스 인수분해 정리를 통해 사인 함수의 무한 곱 표현이 유효함을 증명함으로써 정당화되었다.

오일러는 삼각 함수의 테일러 급수 전개, 즉 $\backslash frac\{\backslash sin\; x\}\{x\}\; =\; 1\; -\; \backslash frac\{x^2\}\{3!\}\; +\; \backslash frac\{x^4\}\{5!\}\; -\; \backslash frac\{x^6\}\{7!\}\; +\; \backslash cdots$를 사용했다. 바이어슈트라스 인수분해 정리에 따르면, 이 식은 $\backslash frac\{\backslash sin\; x\}\{x\}\; =\; \backslash left(1\; -\; \backslash frac\{x^2\}\{\backslash pi^2\}\backslash right)\backslash left(1\; -\; \backslash frac\{x^2\}\{4\backslash pi^2\}\backslash right)\backslash left(1\; -\; \backslash frac\{x^2\}\{9\backslash pi^2\}\backslash right)\; \backslash cdots$와 같이 인수분해될 수 있다. 이 곱을 전개하고 $x^2$ 항을 수집하면, $-\backslash left(\backslash frac\{1\}\{\backslash pi^2\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{4\backslash pi^2\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{9\backslash pi^2\}\; +\; \backslash cdots\; \backslash right)\; =\; -\backslash frac\{1\}\{\backslash pi^2\}\backslash sum\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\backslash frac\{1\}\{n^2\}$를 얻는다.

원래 무한 급수 전개에서 $x^2$의 계수는 $-\backslash frac\{1\}\{6\}$이므로, $-\backslash frac\{1\}\{6\}\; =\; -\backslash frac\{1\}\{\backslash pi^2\}\backslash sum\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\backslash frac\{1\}\{n^2\}$이다. 양변에 $-\backslash pi^2$를 곱하면 $\backslash sum\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\backslash frac\{1\}\{n^2\}\; =\; \backslash frac\{\backslash pi^2\}\{6\}$을 얻는다.

기본 대칭 다항식에서 얻은 공식을 사용하여 짝수 제타 상수에 대한 일반적인 공식을 유도할 수 있다. 즉, $\backslash zeta(2n)\; =\; \backslash frac\{(-1)^\{n-1\}\; (2\backslash pi)^\{2n\}\}\{2\; \backslash cdot\; (2n)!\}\; B\_\{2n\}$이다. 뉴턴 항등식을 통해, $\backslash zeta(2k)$는 유리수와 $\backslash pi^\{2k\}$의 곱으로 표현될 수 있다. $\backslash pi$가 초월수이므로, $\backslash zeta(2k)$는 모든 $k\; \backslash geq\; 1$에 대해 초월수이다.

부분 적분과 파세발의 항등식을 이용하여 $\backslash zeta(2j)$에 대한 공식을 확장할 수 있다.

4. 리만 제타 함수와의 관계

오일러는 급수를 리만 제타 함수로 일반화하여 0 이상의 짝수에 대하여 수렴값을 닫힌 형식으로 구할 수 있는 방법을 제시하였다.

:$$
\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} =
\frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s}\cdots.

오일러는 제타 함수의 급수가 소수에 대하여 다음과 같은 곱으로도 표현될 수 있음을 발견하였다.

:$$
\zeta(s) =
\prod_{p} \frac{1}{1-p^{-s}}=
\frac{1}{1-2^{-s}}\cdot\frac{1}{1-3^{-s}}\cdot\frac{1}{1-5^{-s}}\cdot\frac{1}{1-7^{-s}} \cdots \frac{1}{1-p^{-s}} \cdots


따라서 제타 함수는 오일러의 곱셈 공식으로 표현 가능하다.

:$$
\zeta(s) =
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} =
\prod_{p} \frac{1}{1-p^{-s}}


이에 따라, $\backslash zeta(2k)$는 항상 $\backslash pi^\{2k\}$의 유리수 배수이다. $\backslash pi$와 그 정수 거듭제곱이 초월수이므로, $\backslash zeta(2k)$는 무리수이며, 모든 $k\; \backslash geq\; 1$에 대해 초월수이다. 이와 대조적으로, 아페리 상수 $\backslash zeta(3)$을 포함한 홀수 인덱스 제타 상수의 성질은 거의 알려져 있지 않다.

리만 제타 함수 ζ(s)^영어는 소수 분포와의 관계 때문에 수학에서 가장 중요한 함수 중 하나이다. 제타 함수는 실수부가 1보다 큰 모든 복소수 s^영어에 대해 다음 공식으로 정의된다.

:$$\backslash zeta(s)\; =\; \backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\{1\}\{n^s\}.$$

바젤 문제는 제타 함수에서 s = 2^영어를 대입한 특수한 경우로, 모든 양의 정수의 제곱의 역수의 합과 같다.

:$$\backslash zeta(2)\; =\; \backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\{1\}\{n^2\}$$
= \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6} \approx 1.644934.

이 급수의 수렴성은 적분 판정법 또는 부등식을 통해 증명할 수 있다.

:$$\backslash begin\{align\}$$
\sum_{n=1}^N \frac{1}{n^2} & < 1 + \sum_{n=2}^N \frac{1}{n(n-1)} \\
& = 1 + \sum_{n=2}^N \left( \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} \right) \\
& = 1 + 1 - \frac{1}{N} \;{\stackrel{N \to \infty}{\longrightarrow}}\; 2.
\end{align}

무한 합은 음수 항을 포함하지 않으므로 0과 2 사이의 값으로 수렴해야 한다. s^영어가 양의 짝수 정수일 때마다 ζ(s)^영어는 베르누이 수에 관한 표현을 가진다. s = 2n^영어일 때:

:$$\backslash zeta(2n)\; =\; \backslash frac\{(2\backslash pi)^\{2n\}(-1)^\{n+1\}B\_\{2n\}\}\{2\backslash cdot(2n)!\}.$$

5. 다른 증명 방법

5.1. 푸리에 급수를 이용한 증명

파르세발의 항등식을 사용하여 함수 f/f^영어(x) = x (함수 f(x) = x에 적용)을 통해 얻을 수 있다.

:$$\backslash sum\_\{n=-\backslash infty\}^\backslash infty\; |c\_n|^2\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\backslash pi\}\backslash int\_\{-\backslash pi\}^\backslash pi\; x^2\; \backslash ,\; dx,$$

여기서

:$$\backslash begin\{align\}$$
c_n &= \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi x e^{-inx} \, dx \\[4pt]
&= \frac{n\pi \cos(n\pi)-\sin(n\pi)}{\pi n^2} i \\[4pt]
&= \frac{\cos(n\pi)}{n} i \\[4pt]
&= \frac{(-1)^n}{n} i
\end{align}

n ≠ 0일때, c₀ = 0 이다. 따라서,

:$$|c\_n|^2\; =\; \backslash begin\{cases\}$$
\dfrac{1}{n^2}, & \text{for } n \neq 0, \\
0, & \text{for } n = 0,
\end{cases}


그리고

:$$\backslash sum\_\{n=-\backslash infty\}^\backslash infty\; |c\_n|^2\; =\; 2\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\{1\}\{n^2\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\backslash pi\}\; \backslash int\_\{-\backslash pi\}^\backslash pi\; x^2\; \backslash ,\; dx.$$

결론적으로,

:$$\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\{1\}\{n^2\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{4\backslash pi\}\backslash int\_\{-\backslash pi\}^\backslash pi\; x^2\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash frac\{\backslash pi^2\}\{6\}$$

이다.

포물선을 푸리에 급수로 나타내는 방법을 사용하여 증명할 수 있다.
:$f(x)=\backslash frac\{x^2\}\{4\}\; \backslash quad\; (-\backslash pi\; \backslash le\; x\; \backslash le\; \backslash pi)$

이 우함수는 코사인 함수로 전개할 수 있다.

:$\backslash frac\{x^2\}\{4\}\; =\; \backslash frac\{a\_0\}\{2\}\; +\; \backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; a\_n\; \backslash cos\; nx.$

여기서

:$a\_0=\backslash frac\{1\}\{\backslash pi\}\; \backslash int\_\{-\backslash pi\}^\{\backslash pi\}\; \backslash frac\{x^2\}\{4\}\backslash ,dx=\backslash frac\{\{\backslash pi\}^2\}\{6\}$

이며, a_n (n ≥ 1)은

:$\backslash frac\{1\}\{\backslash pi\}\; \backslash int\_\{-\backslash pi\}^\{\backslash pi\}\; \backslash frac\{x^2\}\{4\}\; \backslash cos\; nx\backslash ,dx=\backslash frac\{(-1)^n\}\{n^2\}$

이다. 그러므로 f(x)의 푸리에 급수는

:$$
f(x)=\frac{\pi^2}{12} +\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2} \cos nx


이며, 양변에 x = π를 대입하면

:$\backslash frac\{\{\backslash pi\}^2\}\{4\}\; =\backslash frac\{\{\backslash pi\}^2\}\{12\}\; +\backslash sum\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{1\}\{n^2\}$

이 된다. 따라서 바젤 문제의 해

:$\backslash sum\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{1\}\{n^2\}\; =\; \backslash frac\{\{\backslash pi\}^2\}\{6\}$

을 얻을 수 있다.

5.2. 파르세발 항등식을 이용한 증명

파르세발의 항등식을 사용하여 함수 f(x)/f(x)^영어 = x 에 적용하면 다음을 얻을 수 있다.

:$\backslash sum\_\{n=-\backslash infty\}^\backslash infty\; |c\_n|^2\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\backslash pi\}\backslash int\_\{-\backslash pi\}^\backslash pi\; x^2\; \backslash ,\; dx,$

여기서

:$\backslash begin\{align\}$
c_n &= \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi x e^{-inx} \, dx \\[4pt]
&= \frac{n\pi \cos(n\pi)-\sin(n\pi)}{\pi n^2} i \\[4pt]
&= \frac{\cos(n\pi)}{n} i \\[4pt]
&= \frac{(-1)^n}{n} i
\end{align}

n ≠ 0일 때, c₀ = 0이다. 따라서,

:$|c\_n|^2\; =\; \backslash begin\{cases\}$
\dfrac{1}{n^2}, & \text{for } n \neq 0, \\
0, & \text{for } n = 0,
\end{cases}


그리고

:$\backslash sum\_\{n=-\backslash infty\}^\backslash infty\; |c\_n|^2\; =\; 2\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\{1\}\{n^2\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\backslash pi\}\; \backslash int\_\{-\backslash pi\}^\backslash pi\; x^2\; \backslash ,\; dx.$

결론적으로,

:$\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\{1\}\{n^2\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{4\backslash pi\}\backslash int\_\{-\backslash pi\}^\backslash pi\; x^2\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash frac\{\backslash pi^2\}\{6\}$

이다.

(0, 1)에서 정의된 L² 주기 함수의 공간 $L^2\_\{\backslash operatorname\{per\}\}(0,\; 1)$ (즉, 제곱 적분 가능 함수이면서 주기적인 함수들의 부분 공간)에 대한 완전 정규 직교 기저가 주어지면 $\backslash \{e\_i\backslash \}\_\{i=-\backslash infty\}^\{\backslash infty\}$로 표시할 때, 파세발의 항등식은 다음과 같다.

:$\backslash |x\backslash |^2\; =\; \backslash sum\_\{i=-\backslash infty\}^\{\backslash infty\}\; |\backslash langle\; e\_i,\; x\backslash rangle|^2,$

여기서 $\backslash |x\backslash |\; :=\; \backslash sqrt\{\backslash langle\; x,x\backslash rangle\}$는 다음처럼 주어진 이 힐베르트 공간 상의 내적을 사용하여 정의된다.

:$\backslash langle\; f,\; g\backslash rangle\; =\; \backslash int\_0^1\; f(x)\; \backslash overline\{g(x)\}\; \backslash ,\; dx,\backslash \; f,g\; \backslash in\; L^2\_\{\backslash operatorname\{per\}\}(0,\; 1).$

$e\_k\; \backslash equiv\; e\_k(\backslash vartheta)\; :=\; \backslash exp(2\backslash pi\backslash imath\; k\; \backslash vartheta)$로 정의되는 이 공간의 정규 직교 기저를 고려할 수 있으며, $\backslash langle\; e\_k,e\_j\backslash rangle\; =\; \backslash int\_0^1\; e^\{2\backslash pi\backslash imath\; (k-j)\; \backslash vartheta\}\; \backslash ,\; d\backslash vartheta\; =\; \backslash delta\_\{k,j\}$가 된다. 그러면 $f(\backslash vartheta)\; :=\; \backslash vartheta$로 놓으면 다음 두 가지를 계산할 수 있다.

:$$
\begin{align}
\|f\|^2 & = \int_0^1 \vartheta^2 \, d\vartheta = \frac{1}{3} \\
\langle f, e_k\rangle & = \int_0^1 \vartheta e^{-2\pi\imath k\vartheta} \, d\vartheta = \Biggl\{\begin{array}{ll} \frac{1}{2}, & k = 0 \\ -\frac{1}{2\pi\imath k} & k \neq 0, \end{array}
\end{align}


각각 기본 미적분학과 부분 적분법을 통해서 계산된다. 마지막으로, 위의 형식으로 표현된 파세발의 항등식을 통해 다음을 얻는다.

:$$
\begin{align}
\|f\|^2 = \frac{1}{3} & = \sum_{\stackrel{k=-\infty}{k \neq 0}}^{\infty} \frac{1}{(2\pi k)^2}+ \frac{1}{4}
= 2 \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2\pi k)^2}+ \frac{1}{4} \\
& \implies \frac{\pi^2}{6} = \frac{2 \pi^2}{3} - \frac{\pi^2}{2} = \zeta(2).
\end{align}

5.3. 적분 기호 아래에서의 미분 (라이프니츠 규칙)

적분 기호 아래에서의 미분 기술을 프리타스에 의한 적분에 적용하여 초등 미적분학으로 결과를 증명할 수 있다.

$I(\backslash alpha)\; =\; \backslash int\_0^\backslash infty\; \backslash ln\backslash left(1+\backslash alpha\; e^\{-x\}+e^\{-2x\}\backslash right)dx.$

적분 함수의 원시 함수는 초등 함수로 표현될 수 없지만, $\backslash alpha$에 대해 미분하면 다음과 같다.

$\backslash frac\{dI\}\{d\backslash alpha\}\; =\; \backslash int\_0^\backslash infty\; \backslash frac\{e^\{-x\}\}\{1+\backslash alpha\; e^\{-x\}+e^\{-2x\}\}dx,$

이는 $u=e^\{-x\}$를 대입하고 부분 분수로 분해하여 적분할 수 있다. $-2\backslash leq\backslash alpha\backslash leq\; 2$ 범위에서 정적분은 다음과 같이 축소된다.

$\backslash frac\{dI\}\{d\backslash alpha\}\; =\; \backslash frac\{2\}\{\backslash sqrt\{4-\backslash alpha^2\}\}\backslash left[\backslash arctan\backslash left(\backslash frac\{\backslash alpha+2\}\{\backslash sqrt\{4-\backslash alpha^2\}\}\backslash right)-\backslash arctan\backslash left(\backslash frac\{\backslash alpha\}\{\backslash sqrt\{4-\backslash alpha^2\}\}\backslash right)\backslash right].$

이 표현은 아크탄젠트 덧셈 공식을 사용하여 단순화할 수 있으며, 삼각 치환을 통해 $\backslash alpha$에 대해 적분하면 다음과 같다.

$I(\backslash alpha)\; =\; -\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash arccos\backslash left(\backslash frac\{\backslash alpha\}\{2\}\backslash right)^2\; +\; c.$

적분 상수 $c$는 두 개의 다른 $I(\backslash alpha)$ 값이 $I(2)\; =\; 4I(0)$ 와 같이 관련되어 있음을 알면 결정할 수 있다.
$I(2)$를 계산할 때 $1+2e^\{-x\}+e^\{-2x\}\; =\; (1+e^\{-x\})^2$을 인수분해하고 로그 지수의 항등식과 치환 $u=x/2$을 사용하여 $I(0)$의 관점에서 표현할 수 있기 때문이다. 이를 통해 $c\; =\; \backslash frac\{\backslash pi^2\}\{6\}$을 결정할 수 있으며, 다음이 따른다.

$I(-2)\; =\; 2\backslash int\_0^\backslash infty\; \backslash ln(1-e^\{-x\})dx\; =\; -\backslash frac\{\backslash pi^2\}\{3\}.$

이 최종 적분은 자연 로그를 테일러 급수로 확장하여 평가할 수 있다.

$\backslash int\_0^\backslash infty\; \backslash ln(1-e^\{-x\})dx\; =\; -\; \backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash int\_0^\backslash infty\; \backslash frac\{e^\{-nx\}\}\{n\}dx\; =\; -\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\backslash frac\{1\}\{n^2\}.$

마지막 두 항등식은 다음을 의미한다.

$\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\backslash frac\{1\}\{n^2\}\; =\; \backslash frac\{\backslash pi^2\}\{6\}.$

5.4. 코시의 증명

이 증명은 오귀스탱 루이 코시 (Cours d'Analyse, 1821, Note VIII)에 따른 것이다. 1954년 아키바 얄롬과 이삭 얄롬의 저서 "초등적 해설의 비초등적 문제"에 실렸고, 1982년 유레카 저널에 존 스콜스에게 귀속되어 게재되었으나, 스콜스는 피터 스위너턴-다이어에게서 배웠다고 주장하며, 1960년대 후반 케임브리지 대학교에서 널리 알려진 지식이라고 주장한다.

증명의 핵심은 부분합
:$\backslash sum\_\{k=1\}^m\; \backslash frac\{1\}\{k^2\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{1^2\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{2^2\}\; +\; \backslash cdots\; +\; \backslash frac\{1\}\{m^2\}$
을 이 무한대로 갈 때 으로 수렴하는 두 식으로 묶는 것이다. 이 두 식은 코탄젠트와 코시컨트 함수 관련 항등식에서 유도되며, 이 항등식은 드 무아브르의 공식에서 유도된다.

0 < x < 인 실수 x와 양의 홀수 정수 n에 대해, 드 무아브르 공식과 코탄젠트 함수 정의로부터 다음을 얻는다.
:$\backslash frac\{\backslash cos\; (nx)\; +\; i\; \backslash sin\; (nx)\}\{\backslash sin^n\; x\}\; =\; (\backslash cot\; x\; +\; i)^n.$
이항 정리를 이용하고, 두 식을 결합해 허수 부분을 같게 하면 다음 항등식을 얻는다.
:$\backslash frac\{\backslash sin\; (nx)\}\{\backslash sin^n\; x\}\; =\; \backslash Bigg(\; \{n\; \backslash choose\; 1\}\; \backslash cot^\{n\; -\; 1\}\; x\; -\; \{n\; \backslash choose\; 3\}\; \backslash cot^\{n\; -\; 3\}\; x\; \backslash pm\; \backslash cdots\; \backslash Bigg).$

이 항등식에서 양의 정수 을 고정하고, , ()을 대입하면, 은 의 배수이므로 이다. 따라서,
:$0\; =\; \{\{2m\; +\; 1\}\; \backslash choose\; 1\}\; \backslash cot^\{2m\}\; x\_r\; -\; \{\{2m\; +\; 1\}\; \backslash choose\; 3\}\; \backslash cot^\{2m\; -\; 2\}\; x\_r\; \backslash pm\; \backslash cdots\; +\; (-1)^m$
이다.

는 (0, ) 내 서로 다른 숫자이고, 는 이 구간에서 단사 함수이므로, 는 r = 1, 2, ..., m에 대해 서로 다르다. 이 m개의 숫자는 다음 m차 다항식의 근이다.
:$p(t)\; =\; \{\{2m\; +\; 1\}\; \backslash choose\; 1\}t^m\; -\; \{\{2m\; +\; 1\}\; \backslash choose\; 3\}t^\{m\; -\; 1\}\; \backslash pm\; \backslash cdots\; +\; (-1)^m.$

비에타의 공식에 의해 근의 합은
:$\backslash cot\; ^2\; x\_1\; +\; \backslash cot\; ^2\; x\_2\; +\; \backslash cdots\; +\; \backslash cot\; ^2\; x\_m\; =\; \backslash frac\{\backslash binom\{2m\; +\; 1\}3\}\; \{\backslash binom\{2m\; +\; 1\}1\}\; =\; \backslash frac\{2m(2m\; -\; 1)\}6$
이다. 삼각 항등식 목록의 을 대입하면,
:$\backslash csc\; ^2\; x\_1\; +\; \backslash csc\; ^2\; x\_2\; +\; \backslash cdots\; +\; \backslash csc\; ^2\; x\_m\; =\; \backslash frac\{2m(2m\; -\; 1)\}6\; +\; m\; =\; \backslash frac\{2m(2m\; +\; 2)\}6$
이다.

부등식 을 이용하고, 각 에 대해 부등식을 더하고 위 두 항등식을 이용하면,
:
을 얻는다. 으로 곱하면,
:
이 된다.

이 무한대로 접근할 때 좌변과 우변은 각각 에 접근하므로, 조임 정리에 의해
:$\backslash zeta(2)\; =\; \backslash sum\_\{k=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\{1\}\{k^2\}\; =$
\lim_{m \to \infty}\left(\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \cdots + \frac{1}{m^2}\right) = \frac{\pi ^2}{6}
이 성립하여 증명이 완료된다.

6.

6.1. 기하학적 증명

바젤 문제는 무한 반경의 원으로 실선을 볼 수 있다는 통찰력을 사용하여 유클리드 기하학으로 증명할 수 있다. 완전히 엄밀하지는 않지만 직관적인 개략적인 설명은 다음과 같다.

정수 $N$을 선택하고, 둘레가 $2N$인 원 위에 $N$개의 등간격 점을 찍는다. 원의 반지름은 $N/\backslash pi$이고 두 점 사이의 각 원호의 길이는 $2$이다. 점들을 $P\_\{1..N\}$이라고 부른다. 원 위에 있는 또 다른 일반적인 점 $Q$를 잡는데, 이 점은 두 연속적인 점 사이의 호의 분수 에 위치한다 (일반성을 잃지 않고 $P\_1$과 $P\_2$라고 하자).

$Q$와 각 $P\_\{1..N\}$ 점을 연결하는 모든 현을 그린 후, 모든 현의 길이의 역제곱의 합을 계산하고, 이를 $sisc$라고 부른다. 증명은 고정된 $\backslash alpha$에 대해 $sisc$가 $N$에 의존하지 않는다는 사실에 의존한다. 직관적으로, $N$이 증가함에 따라 현의 수가 증가하지만, 그들의 길이도 증가하므로(원 크기가 커짐에 따라) 역제곱은 감소한다.

특히, $\backslash alpha\; =\; 1/2$인 경우, 즉 $Q$는 두 연속적인 $P$ 사이의 호의 중간점이다. 그러면 $sisc$는 $N=1$인 경우, 즉 하나의 $P$만 있고 원의 반대편에 하나의 $Q$가 있는 경우에서 쉽게 찾을 수 있다. 그러면 현은 원의 지름이며 길이는 $2/\backslash pi$이다. 따라서 $sisc$는 $\backslash pi^2/4$이다.

$N$이 무한대로 가면 원은 실선에 접근한다. 원점을 $Q$에 설정하면, 점 $P\_\{1..N\}$은 홀수 정수 위치(양수 및 음수)에 위치하게 된다. 왜냐하면 호는 $Q$에서 $P\_1$까지 길이가 1이고, 그 이후부터는 2이기 때문이다. 따라서 바젤 문제의 이 변형을 얻을 수 있다.

:$$\backslash sum\_\{z=-\backslash infty\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{1\}\{(2z-1)^2\}\; =\; \backslash frac\{\backslash pi^2\}\{4\}$$

여기에서 약간의 대수학을 사용하여 원래 공식을 복구할 수 있다.

:$$\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\{1\}\{n^2\}\; =\; \backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\{1\}\{(2n-1)^2\}\; +\; \backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\{1\}\{(2n)^2\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash sum\_\{z=-\backslash infty\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{1\}\{(2z-1)^2\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{4\}\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\{1\}\{n^2\}$$

즉,

:$$\backslash frac\{3\}\{4\}\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\{1\}\{n^2\}\; =\; \backslash frac\{\backslash pi^2\}\{8\}$$

또는

:$$\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\{1\}\{n^2\}\; =\; \backslash frac\{\backslash pi^2\}\{6\}$$.

$sisc$가 $N$에 의존하지 않는다는 것은, 제한적인 경우, 즉 $N\; =\; 2^n$인 경우 유클리드 기하학으로 쉽게 증명할 수 있는데, 이는 여전히 극한 논리를 적용할 수 있게 한다. 증명은 $n$에 대한 수학적 귀납법에 의해 진행되며, 역 피타고라스 정리를 사용한다.

:$$\backslash frac\{1\}\{a^2\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{b^2\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{h^2\}$$

여기서 $a$와 $b$는 직각 삼각형의 밑변이고, $h$는 높이이다.

$n=0$인 기본 사례에는 현이 1개만 있다. $\backslash alpha\; =\; 1/2$인 경우, 위에서 언급했듯이 지름에 해당하며 $sisc$는 $\backslash pi^2/4$이다. 이제 반지름이 $2^n/\backslash pi$이고 중심이 $O$인 원에 $2^n$개의 점이 있고, 반지름이 $2^\{n+1\}/\backslash pi$이고 중심이 $R$인 원에 $2^\{n+1\}$개의 점이 있다고 가정해 보자. 귀납 단계는 이 두 원이 주어진 $\backslash alpha$에 대해 동일한 $sisc$를 갖는다는 것을 보여주는 것으로 구성된다.

먼저 두 원이 점 $Q$를 공유하도록 그린다. $R$이 더 작은 원 위에 있다는 것을 주목하자. 그런 다음, $2^\{n+1\}$이 항상 짝수이고, 간단한 기하학적 논증은 지름으로 각 쌍을 연결하여 더 큰 원 위에 있는 반대편 점의 쌍 $P\_1$과 $P\_2$를 선택할 수 있음을 보여준다. 또한, 각 쌍에 대해, 한 점은 원의 "아래쪽" 반쪽($Q$에 더 가까움)에 있고, 다른 점은 "위쪽" 반쪽에 있을 것이다.

더 큰 원의 지름 $P\_1P\_2$는 더 작은 원을 $R$과 다른 점 $P$에서 자른다. 그런 다음 다음과 같은 고려 사항을 할 수 있다.

* $P\_1\; \backslash widehat\{Q\}\; P\_2$는 직각이다. 왜냐하면 $P\_1P\_2$가 지름이기 때문이다.
* $Q\; \backslash widehat\{P\}\; R$은 직각이다. 왜냐하면 $QR$이 지름이기 때문이다.
* $Q\; \backslash widehat\{R\}\; P\_2\; =\; Q\; \backslash widehat\{R\}\; P$는 원주각의 정리에 따라 $Q\; \backslash widehat\{O\}\; P$의 절반이다.
* 따라서 호 $QP$는 호 $QP\_2$와 같다. 다시 반지름이 절반이기 때문이다.
* 현 $QP$는 직각 삼각형 $QP\_1P\_2$의 높이이므로, 역 피타고라스 정리에 따르면

:$$\backslash frac\{1\}\{\backslash overline\{QP\}^2\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash overline\{QP\_1\}^2\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{\backslash overline\{QP\_2\}^2\}$$

따라서 더 큰 원 위의 점의 절반(아래쪽 반쪽에 있는 점)에 대해, $Q$로부터 동일한 호 거리를 갖는 더 작은 원 위의 대응되는 점이 있다(더 작은 원의 원주는 더 큰 원의 원주의 절반이므로, $R$에 더 가까운 마지막 두 점도 호 거리가 2여야 한다). 반대로, 더 작은 원 위에 있는 각 $2^n$개의 점에 대해, 우리는 더 큰 원 위에 점의 쌍을 만들 수 있으며, 이 모든 점은 등거리에 있으며 $Q$로부터 동일한 호 거리를 갖는다.

또한 더 큰 원의 총 $sisc$는 더 작은 원의 $sisc$와 동일하다. 왜냐하면 더 큰 원의 각 점 쌍은 더 작은 원의 해당 점과 동일한 역제곱 합을 갖기 때문이다.

7. 여러 표현

리만 제타 함수에서 $s\; =\; 2$일 때의 특수한 경우를 참조하라. 이 상수와 관련된 다른 특별한 항등식과 표현은 아래에 나타나 있다.

; 급수 표현

다음은 상수의 급수 표현이다.

$$\backslash begin\{align\}$$
\zeta(2) &= 3 \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2 \binom{2k}{k}} \\[6pt]
&= \sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty \frac{(i-1)! (j-1)!}{(i+j)!}.
\end{align}

또한 ζ(2)에 대한 BBP 형식 급수 전개가 있다.

; 적분 표현

다음은 ζ(2)의 적분 표현이다.

$$\backslash begin\{align\}$$
\zeta(2) & = -\int_0^1 \frac{\log x}{1-x} \, dx \\[6pt]
& = \int_0^{\infty} \frac{x}{e^x-1} \, dx \\[6pt]
& = \int_0^1 \frac{(\log x)^2}{(1+x)^2} \, dx \\[6pt]
& = 2 + 2\int_1^{\infty} \frac{\lfloor x \rfloor -x}{x^3} \, dx \\[6pt]
& = \exp\left(2 \int_2^{\infty} \frac{\pi(x)}{x(x^2-1)} \,dx\right) \\[6pt]
& = \int_0^1 \int_0^1 \frac{dx \, dy}{1-xy} \\[6pt]
& = \frac{4}{3} \int_0^1 \int_0^1 \frac{dx \, dy}{1-(xy)^2} \\[6pt]
& = \int_0^1 \int_0^1 \frac{1-x}{1-xy} \, dx \, dy + \frac{2}{3}.
\end{align}

; 연분수 표현

반 데르 포르턴의 논문 아페리 상수의 무리수 증명에서, 저자는 아페리 상수의 단순 연분수와 바젤 상수의 연분수 사이의 유사성을 언급했다.

$\backslash frac\{\backslash zeta(2)\}\{5\}\; =\; \backslash cfrac\{1\}\{\backslash widetilde\{v\}\_1\; -\; \backslash cfrac\{1^4\}\{\backslash widetilde\{v\}\_2-\backslash cfrac\{2^4\}\{\backslash widetilde\{v\}\_3-\backslash cfrac\{3^4\}\{\backslash widetilde\{v\}\_4-\backslash ddots\}\}\}\},$

여기서 $\backslash widetilde\{v\}\_n\; =\; 11n^2-11n+3\; \backslash mapsto\; \backslash \{3,25,69,135,\backslash ldots\backslash \}$이다. 이와 유사한 형태의 다른 연분수는 다음과 같다.

$\backslash frac\{\backslash zeta(2)\}\{2\}\; =\; \backslash cfrac\{1\}\{v\_1\; -\; \backslash cfrac\{1^4\}\{v\_2-\backslash cfrac\{2^4\}\{v\_3-\backslash cfrac\{3^4\}\{v\_4-\backslash ddots\}\}\}\},$

여기서 $v\_n\; =\; 2n-1\; \backslash mapsto\; \backslash \{1,3,5,7,9,\backslash ldots\backslash \}$이다.

7.1. 급수 표현

다음은 상수의 급수 표현이다.
$$\backslash begin\{align\}$$
\zeta(2) &= 3 \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2 \binom{2k}{k}} \\[6pt]
&= \sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty \frac{(i-1)! (j-1)!}{(i+j)!}.
\end{align}
또한 ζ(2)에 대한 BBP 형식 급수 전개가 있다.

7.2. 적분 표현

다음은 ζ(2)의 적분 표현이다.

$$\backslash begin\{align\}$$
\zeta(2) & = -\int_0^1 \frac{\log x}{1-x} \, dx \\[6pt]
& = \int_0^{\infty} \frac{x}{e^x-1} \, dx \\[6pt]
& = \int_0^1 \frac{(\log x)^2}{(1+x)^2} \, dx \\[6pt]
& = 2 + 2\int_1^{\infty} \frac{\lfloor x \rfloor -x}{x^3} \, dx \\[6pt]
& = \exp\left(2 \int_2^{\infty} \frac{\pi(x)}{x(x^2-1)} \,dx\right) \\[6pt]
& = \int_0^1 \int_0^1 \frac{dx \, dy}{1-xy} \\[6pt]
& = \frac{4}{3} \int_0^1 \int_0^1 \frac{dx \, dy}{1-(xy)^2} \\[6pt]
& = \int_0^1 \int_0^1 \frac{1-x}{1-xy} \, dx \, dy + \frac{2}{3}.
\end{align}

7.3. 연분수 표현

반 데르 포르턴의 논문 아페리 상수의 무리수 증명에서, 저자는 아페리 상수의 단순 연분수와 바젤 상수의 연분수 사이의 유사성을 언급했다.

$\backslash frac\{\backslash zeta(2)\}\{5\}\; =\; \backslash cfrac\{1\}\{\backslash widetilde\{v\}\_1\; -\; \backslash cfrac\{1^4\}\{\backslash widetilde\{v\}\_2-\backslash cfrac\{2^4\}\{\backslash widetilde\{v\}\_3-\backslash cfrac\{3^4\}\{\backslash widetilde\{v\}\_4-\backslash ddots\}\}\}\},$

여기서 $\backslash widetilde\{v\}\_n\; =\; 11n^2-11n+3\; \backslash mapsto\; \backslash \{3,25,69,135,\backslash ldots\backslash \}$이다. 이와 유사한 형태의 다른 연분수는 다음과 같다.

$\backslash frac\{\backslash zeta(2)\}\{2\}\; =\; \backslash cfrac\{1\}\{v\_1\; -\; \backslash cfrac\{1^4\}\{v\_2-\backslash cfrac\{2^4\}\{v\_3-\backslash cfrac\{3^4\}\{v\_4-\backslash ddots\}\}\}\},$

여기서 $v\_n\; =\; 2n-1\; \backslash mapsto\; \backslash \{1,3,5,7,9,\backslash ldots\backslash \}$이다.