다르부 정리

1. 개요

다르부 정리는 심플렉틱 다양체의 국소 구조에 대한 중요한 정리이다. 이 정리는 2n차원 심플렉틱 다양체에서 심플렉틱 미분 형식 ω가 국소적으로 표준적인 형태로 표현될 수 있음을 보여준다. 즉, 다양체의 각 점 주변에 다르부 좌표계라는 좌표계를 정의하여 ω를 dx₁∧dy₁ + dx₂∧dy₂ + ... + dxₙ∧dyₙ의 형태로 나타낼 수 있다. 이 정리는 심플렉틱 기하학에 곡률에 해당하는 국소 불변량이 없음을 의미하며, 해밀턴 역학에서 일반화 좌표와 일반화 운동량으로 구성된 국소 좌표계와 관련이 있다. 다르부 정리는 심플렉틱 다양체의 부분 다양체에 대한 다르부-와인스타인 정리로 확장될 수 있으며, 리만 기하학과는 대조적인 특징을 보인다.

2. 다르부 정리의 내용

다르부 정리는 심플렉틱 다양체와 접촉 형식에서 국소 좌표계가 존재함을 보이는 정리이다.

$m$차원의 매끄러운 다양체 $M$ 위에 정의된 $p$차원의 치역을 지닌 1차 미분 형식 $\backslash theta$에 대해, 만약

:$\backslash theta\backslash wedge(d\backslash theta)^p=0$

이면, 국소적으로 $\backslash theta$는 다음과 같은 꼴을 취한다.

:$\backslash theta=dx\_1\backslash wedge\; dy\_1+dx\_2\backslash wedge\; dy\_2+\backslash cdots+dx\_p\backslash wedge\; dy\_p$.

심플렉틱 미분 형식은 정의상 닫혀 있으므로, 임의의 심플렉틱 미분 형식 $\backslash omega$는 국소적으로 $\backslash omega=d\backslash theta$의 꼴이다. 따라서 위의 정리는 이 정리의 특수한 경우이다.

1-형식에 관한 다르부의 일반적인 진술을 증명하는 현대적인 방법은 모저 트릭을 사용하는 것이다.

2.1. 심플렉틱 다양체에 대한 다르부 정리

$(M,\backslash omega)$가 $2n$차원의 심플렉틱 다양체일 때, 국소적으로 심플렉틱 미분 형식 $\backslash omega$는 다음과 같은 형태를 갖는다.

:$\backslash omega=dx\_1\backslash wedge\; dy\_1+dx\_2\backslash wedge\; dy\_2+\backslash cdots+dx\_n\backslash wedge\; dy\_n$.

즉, $M$ 안의 임의의 한 점 $x\backslash in\; M$이 주어지면, $x$를 포함하는 근방 $U\backslash ni\; x$와, 위의 식을 만족하는 국소 좌표계 $\backslash \{x\_1,\backslash dots,x\_n,y\_1,\backslash dots,y\_n\backslash \}\backslash colon\; U\backslash to\backslash mathbb\; R^\{2n\}$이 존재한다. 이러한 좌표계를 다르부 좌표계(Darboux chart^영어)라 한다.

$\backslash omega$가 $n=2m$ 차원 심플렉틱 다양체 $M$ 상의 심플렉틱 형식이라면, 각 점 $p$의 근방에서, 푸앵카레 보조정리에 의해, $\backslash mathrm\{d\}\; \backslash theta\; =\; \backslash omega$인 1-형식 $\backslash theta$가 존재한다. 국소적으로 좌표 차트 $U$가 $p$ 근방에 존재하여
: $$\backslash theta=x\_1\backslash ,\backslash mathrm\{d\}y\_1+\backslash ldots\; +\; x\_m\backslash ,\backslash mathrm\{d\}y\_m.$$이다.

이제 외미분을 취하면
: $$\backslash omega\; =\; \backslash mathrm\{d\}\; \backslash theta\; =\; \backslash mathrm\{d\}x\_1\; \backslash wedge\; \backslash mathrm\{d\}y\_1\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash mathrm\{d\}x\_m\; \backslash wedge\; \backslash mathrm\{d\}y\_m.$$이다.

다양체 $M$은 그러한 차트로 덮을 수 있다.

$z\_j=x\_j+\; i\backslash ,y\_j$로 설정하여 $\backslash mathbb\{R\}^\{2m\}$을 $\backslash mathbb\{C\}^\{m\}$과 동일시하면, $\backslash varphi:\; U\; \backslash to\; \backslash mathbb\{C\}^n$이 다르부 차트인 경우, $\backslash omega$는 $\backslash mathbb\{C\}^\{n\}$상의 표준 심플렉틱 형식 $\backslash omega\_0$의 당김으로 다음과 같이 쓸 수 있다.
:$\backslash omega\; =\; \backslash varphi^\{*\}\backslash omega\_0.\backslash ,$

2.2. 접촉 다양체에 대한 다르부 정리

다르부 정리(Darboux theorem)에 따르면, $n=2p+1$차원에서 $\backslash theta\; \backslash wedge\; \backslash left(\; \backslash mathrm\{d\}\; \backslash theta\; \backslash right)^p\; \backslash ne\; 0$이 모든 곳에서 성립한다면, $\backslash theta$는 접촉 형식이다.

$\backslash theta$를 $n$차원 다양체 $M$의 미분 1-형식으로 하고, $d\backslash theta$가 일정한 랭크 $p$를 갖는다고 가정할 때, 다음 두 가지 경우가 존재한다.

* $M$ 위에서 항상 $\backslash theta\backslash wedge\backslash left(d\backslash theta\backslash right)^p=0$이 성립하면, 국소 좌표계 $x\_1,\backslash ldots,x\_\{n-p\},y\_1,\backslash ldots,y\_p$가 존재하고, $\backslash theta=x\_1\backslash ,dy\_1+\backslash ldots+x\_p\backslash ,dy\_p$가 된다.
* $M$ 위에서 항상 $\backslash theta\backslash wedge\backslash left(d\backslash theta\backslash right)^p\backslash neq\; 0$이 성립하면, 국소 좌표계 $x\_1,\backslash ldots,x\_\{n-p\},y\_1,\backslash ldots,y\_p$가 존재하고, $\backslash theta=x\_1\backslash ,dy\_1+\backslash ldots+x\_p\backslash ,dy\_p+dx\_\{p+1\}$가 된다.

3. 다르부 정리의 증명

p=0에 대한 다르부 정리는 $\backslash theta\; \backslash wedge\; d\backslash theta\; =\; 0$인 모든 1-형식 $\backslash theta\; \backslash neq\; 0$가 어떤 좌표계 $(x\_1,\backslash ldots,x\_n)$에서 $\backslash theta\; =\; dx\_1$로 표현될 수 있음을 보장한다. 이것은 미분 형식 측면에서 프로베니우스 정리의 한 형태이다.

3.1. 프로베니우스 정리와의 관계

다르부 정리는 프로베니우스 정리의 한 형태를 미분 형식 측면에서 복구한다. $\backslash theta$가 n 차원 다양체에서 미분 1-형식이고, $\backslash mathrm\{d\}\; \backslash theta$가 상수 계수 p를 가진다고 가정하자.

만약 $\backslash mathcal\{I\}\; \backslash subset\; \backslash Omega^*(M)$가 $\backslash theta$에 의해 생성된 미분 아이디얼이라면, $\backslash theta\; \backslash wedge\; d\backslash theta\; =\; 0$은 $\backslash mathcal\{I\}\; \backslash subset\; \backslash Omega^*(M)$가 실제로 $d\; x\_1$에 의해 생성되는 좌표계 $(x\_1,\backslash ldots,x\_n)$의 존재를 함의한다.

p=0에 대한 다르부 정리는 $\backslash theta\; \backslash wedge\; d\backslash theta\; =\; 0$인 모든 1-형식 $\backslash theta\; \backslash neq\; 0$가 어떤 좌표계 $(x\_1,\backslash ldots,x\_n)$에서 $\backslash theta\; =\; dx\_1$로 표현될 수 있음을 보장한다.

다르부의 원래 증명은 p에 대한 수학적 귀납법을 사용했으며, 이는 분포 또는 미분 아이디얼의 관점에서 동등하게 제시될 수 있다.

4. 다르부-와인스타인 정리

앨런 와인스타인은 심플렉틱 다양체에 대한 다르부 정리를 근방의 부분 다양체에 대해서도 성립하도록 강화할 수 있음을 보였다.

:$M$을 두 개의 심플렉틱 형식 $\backslash omega\_1$과 $\backslash omega\_2$를 갖는 매끄러운 다양체라고 하고, $N\; \backslash subset\; M$을 닫힌 부분 다양체라고 하자. 만약 $\backslash left.\backslash omega\_1\backslash right|\_N\; =\; \backslash left.\backslash omega\_2\backslash right|\_N$이면, $M$에서 $N$의 근방 $U$와 $f^*\backslash omega\_2\; =\; \backslash omega\_1$를 만족하는 미분 동형 사상 $f\; :\; U\; \backslash to\; U$가 존재한다.

표준 다르부 정리는 $N$이 점이고 $\backslash omega\_2$가 좌표 차트에서 표준 심플렉틱 구조일 때 복구된다.

이 정리는 무한 차원 바나흐 다양체에도 적용된다.

5. 리만 기하학과의 비교

리만 다양체 $(M,g)$의 경우, 임의의 점 $x\in M$에서 계량 텐서 $g|_x$가 단위 행렬이 되는 국소 좌표계가 존재하지만, $x$를 포함하는 근방 $U$에서 계량 텐서 $g|_U$가 단위 행렬이 되게 하는 국소 좌표계는 리만 곡률이 0이 아닌 이상 일반적으로 존재하지 않는다. 따라서 다르부 정리는 심플렉틱 기하학에서는 곡률에 해당하는 개념이 존재하지 않음을 의미한다.

다르부 정리는 심플렉틱 다양체에 대해 심플렉틱 기하학에 국소 불변량이 없음을 의미하며, 주어진 점 근처에서 유효한 다르부 기저를 항상 취할 수 있다는 것이다. 이는 리만 기하학의 상황과는 현저한 대조를 이루는데, 리만 기하학에서는 곡률이 국소 불변량이며, 계량이 국소적으로 좌표 미분의 제곱의 합이 되는 것을 방해한다.

이러한 차이는 다르부 정리에 의하면 $\omega$가 $p$ 주변의 "전체 근방"에서 표준 형식을 갖도록 할 수 있다는 점에 있다. 반면 리만 기하학에서 계량은 항상 주어진 "어떤" 점에서는 표준 형식을 갖도록 할 수 있지만, 그 점 주변의 근방에서는 항상 그런 것은 아니다.

즉, 심플렉틱 기하학에는 국소 불변량이 없다. 주어진 임의의 점 근방에서 Darboux frame^영어를 취할 수 있다. 이는 리만 곡률이 국소 불변량이라는 점 때문에, 계량을 국소적으로 $dx_i$의 제곱의 합으로 쓸 수 없게 만드는 리만 기하학의 상황과는 매우 대조적이다.

다르부 정리에 따르면 $p$의 근방 내부 전체에서 $\omega$를 표준적인 형태로 쓸 수 있는 반면, 리만 기하학에서는 주어진 임의의 점에서 표준적인 형태로 쓸 수는 있지만, 그것이 점의 근방에서 항상 성립하는 것은 아니기 때문이다.

6. 의의 및 활용

다르부 정리는 심플렉틱 기하학에서 곡률에 해당하는 개념이 존재하지 않음을 의미한다.

다르부 좌표계는 국소적으로는 존재하지만, 다양체가 위상학적으로 자명하지 않은 이상 전체적으로는 존재하지 않는다. 다르부 좌표계는 해밀턴 역학에서 일반화 좌표 및 일반화 운동량으로 이루어진 국소 좌표계에 해당한다.