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덮개 (위상수학)

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목차

1. 개요

덮개는 집합 X의 부분 집합들의 집합족으로, 집합족의 모든 원소의 합집합이 X가 되는 것이다. 덮개는 위상수학에서 위상 공간의 덮개, 부분 덮개, 유한 덮개, 가산 덮개, 점별 유한 덮개 등 다양한 형태로 사용된다. 덮개는 콤팩트 공간, 린델뢰프 공간, 파라콤팩트 공간 등 위상 공간의 성질을 정의하는 데 활용되며, 균등 공간의 개념을 정의하고 체흐 코호몰로지 이론을 구성하는 데에도 사용된다.

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덮개 (위상수학)
정의
정의어떤 집합 X의 덮개는 X의 부분집합들의 모임으로, 이들의 합집합이 X 전체와 같음
기호X = ⋃{ Ui : i ∈ I } (여기서 Ui는 X의 부분집합, I는 지표 집합)
종류
열린 덮개 (Open Cover)위상 공간 X의 덮개 {Ui}에서 모든 Ui가 열린 집합인 경우
위상수학에서 중요한 개념
유한 덮개 (Finite Cover)덮개를 이루는 부분집합의 개수가 유한한 경우
부분 덮개 (Subcover)덮개의 부분집합으로, 전체 집합을 여전히 덮는 덮개
활용
콤팩트 공간 (Compact Space)모든 열린 덮개가 유한 부분 덮개를 갖는 공간
린델뢰프 공간 (Lindelöf Space)모든 열린 덮개가 가산 부분 덮개를 갖는 공간
관련 개념
세분 (Refinement)어떤 덮개의 각 원소가 다른 덮개의 원소의 부분집합이 되는 경우, 다른 덮개를 원래 덮개의 세분이라고 함
별 모양 덮개 (Star-finite cover)덮개의 각 원소가 유한 개의 다른 원소와만 교차하는 덮개

2. 정의

집합이나 위상 공간의 모든 원소를 포함하는 부분 집합들의 모임을 덮개라고 한다. 덮개는 집합의 덮개와 위상 공간의 덮개로 나눌 수 있다.

2. 1. 집합의 덮개

집합 X의 '''덮개'''는 X의 부분 집합들의 집합족 \mathcal C이며, \mathcal C의 모든 원소의 합집합이 X가 되는 조건을 만족한다.[3] 즉, 다음이 성립한다.

:X=\bigcup\mathcal C=\bigcup_{C\in\mathcal C}C

X의 덮개들의 집합은 다음과 같이 표기한다.

:\operatorname{Cover}(X)=\{\mathcal C\subseteq\mathcal P(X)\colon\bigcup\mathcal C=X\}

집합 X의 덮개 \mathcal C의 '''부분 덮개'''(subcover영어) \mathcal D는 \mathcal D\subseteq\mathcal C인 X의 덮개이다.

'''유한 덮개'''는 유한 집합인 덮개이다. '''가산 덮개'''는 가산 집합인 덮개이다.

집합 X의 덮개 \mathcal C\in\operatorname{Cover}(X)가 다음 조건을 만족시키면, '''점별 유한 덮개'''(點別有限-, pointwise finite cover영어)라고 한다.

  • 임의의 x\in X에 대하여, \{C\in\mathcal C\colon C\ni x\}는 유한 집합이다.


예를 들어, 다음을 살펴보자.

:(0,1) = \bigcup_{n=3}^{\infty} \left[{1\over n}, 1 - {1 \over n}\right].

따라서 집합족 \{[1/n, 1-1/n]\}_{n\in\N\setminus\{1,2\}}는 열린 구간 (0, 1)의 덮개이다.

:[0,1) \subset \bigcup_{n=1}^\infty \left(-{1\over n}, 1-{1 \over n}\right).

따라서 집합족 \{(-1/n, 1-1/n)\}_{n\in\mathbb{N}}은 반열린 구간 [0, 1)의 \mathbb{R}에서의 덮개이다.

집합 ''S''와 그 덮개 ''U'' = {''U''''i'' | ''i'' ∈ ''I''}에 대해, 첨자 집합 ''I''가 유한 집합일 경우, '''유한 덮개'''라고 한다.

2. 2. 위상 공간의 덮개

위상수학에서 집합 X가 위상 공간인 경우, X의 덮개(cover)는 합집합이 전체 공간 X가 되는 X의 부분 집합들의 모임 \{U_\alpha\}_{\alpha\in A}이다. 다시 말해, C가 X를 '덮는다'고 하거나, 집합 U_\alpha가 X를 '덮는다'고 한다.

Y가 X의 부분 공간인 경우, Y의 덮개는 합집합이 Y를 포함하는 X의 부분 집합들의 모임 C=\{U_\alpha\}_{\alpha\in A}이다. 즉, C는 다음을 만족하는 경우에 Y의 덮개이다.

:Y \subseteq \bigcup_{\alpha \in A}U_{\alpha}.

Y는 Y 자체 내의 집합 또는 상위 공간 X 내의 집합으로 덮을 수 있다.

''C''가 위상 공간 ''X''의 덮개일 때, ''C''의 부분 덮개(subcover)는 여전히 ''X''를 덮는 ''C''의 부분 집합이다.

''C''의 각 원소가 열린 집합인 경우(즉, 각 ''U''''α''가 ''T''에 포함되어 있는 경우, 여기서 ''T''는 ''X''의 위상), ''C''를 열린 덮개(open cover)라고 한다.

''X''의 덮개는 모든 ''X''의 점이 덮개 내의 유한 개의 집합과만 교차하는 근방을 갖는 경우 국소 유한(locally finite)이라고 한다. 공식적으로, ''C'' = {''U''''α''}는 다음 집합이

:\left\{ \alpha \in A : U_{\alpha} \cap N(x) \neq \varnothing \right\}

유한하게 존재하도록 하는 x \in X의 어떤 근방 ''N''(''x'')가 존재하는 경우 국소 유한이다. ''X''의 덮개는 모든 ''X''의 점이 덮개 내의 유한 개의 집합에만 포함되는 경우 점 유한(point finite)이라고 한다. 덮개는 국소 유한이면 점 유한이지만, 그 역은 반드시 성립하지 않는다.

부분 덮개를 얻는 간단한 방법은 덮개 안의 다른 집합에 포함된 집합을 생략하는 것이다. \mathcal{B}를 X의 위상 기저라고 하고, \mathcal{O}를 X의 열린 덮개라고 하면, \mathcal{A} = \{ A \in \mathcal{B} : \text{ there exists } U \in \mathcal{O} \text{ such that } A \subseteq U \}는 \mathcal{O}의 세분이다. 각 A \in \mathcal{A}에 대해, A를 포함하는 U_{A} \in \mathcal{O}를 선택하면(\mathcal{C} = \{ U_{A} \in \mathcal{O} : A \in \mathcal{A} \}는 \mathcal{O}의 부분 덮개이다. 따라서 열린 덮개의 부분 덮개의 기수는 임의의 위상 기저의 기수만큼 작을 수 있다.

집합 ''S''와 그 덮개 ''U'' = {''U''''i'' | ''i'' ∈ ''I''}에 대해 다음이 정의된다.

  • 첨자 집합 ''I''가 유한 집합일 경우, 유한 덮개(finite cover)라고 한다.


''S''를 위상 공간으로 하면, 추가로 다음이 정의된다.

  • 덮개 {''U''''i''}''i'' ∈ ''I''에서 ''U''''i''가 모두 열린 집합일 경우, 그 덮개를 열린 덮개(open cover)라고 한다.
  • 임의의 ''x'' ∈ ''S''에 대해 ''V'' ∩ ''U''''i''가 공집합이 아닌 ''i''가 유한 개가 되는 ''x''의 근방(neighborhood) ''V''가 존재한다면, 이 덮개는 국소 유한(locally finite)이라고 한다.

2. 3. 부분 덮개

집합 X의 덮개 \mathcal C의 '''부분 덮개'''(subcover영어) \mathcal D는 \mathcal D\subseteq\mathcal C인 X의 덮개이다.[3]

부분 덮개를 얻는 간단한 방법은 덮개 안의 다른 집합에 포함된 집합을 생략하는 것이다. 특히 열린 덮개를 생각해 보자. \mathcal{B}를 X의 위상 기저라고 하고, \mathcal{O}를 X의 열린 덮개라고 하자. 먼저 \mathcal{A} = \{ A \in \mathcal{B} : \text{ there exists } U \in \mathcal{O} \text{ such that } A \subseteq U \}를 취한다. 그러면 \mathcal{A}는 \mathcal{O}의 세분이다. 다음으로, 각 A \in \mathcal{A}에 대해, A를 포함하는 U_{A} \in \mathcal{O}를 선택한다(선택 공리 필요). 그러면 \mathcal{C} = \{ U_{A} \in \mathcal{O} : A \in \mathcal{A} \}는 \mathcal{O}의 부분 덮개이다. 따라서 열린 덮개의 부분 덮개의 기수는 임의의 위상 기저의 기수만큼 작을 수 있다. 따라서 특히 제2 가산성은 공간이 린델뢰프 공간임을 의미한다.

집합 ''S''와 그 덮개 ''U'' = {''U''''i'' | ''i'' ∈ ''I''}에 대해, {''V''''j'' | ''j'' ∈ ''J''}를 {''U''''i'' | ''i'' ∈ ''I''}의 '''부분 덮개'''라고 한다. 조건은 다음과 같다.

:\forall j\in J, \exist k\in I \quad \text{s.t.} \; V_j = U_k

열린 집합으로 이루어진 부분 덮개를 '''부분 열린 덮개''', 유한 덮개가 되는 부분 덮개를 '''유한 부분 덮개'''라고 한다. 마찬가지로 열린 덮개로 이루어진 유한 부분 덮개는 '''유한 부분 열린 덮개'''라고 한다.

2. 4. 세분

두 덮개 \mathcal C와 \mathcal C'가 주어졌을 때, 임의의 C'\in\mathcal C'에 대하여 C'\subseteq C\in\mathcal C가 존재하면 \mathcal C'을 \mathcal C의 '''세분'''(refinement영어)이라고 한다.[6] 이는 X의 덮개들의 집합 위에 원순서를 이룬다. 즉, 모든 \beta \in B에 대해 V_{\beta} \subseteq U_{\alpha}인 \alpha \in A가 존재하면 D = \{ V_{\beta} \}_{\beta \in B}는 C = \{ U_{\alpha} \}_{\alpha \in A}의 세분이다.

달리 말해, 모든 \beta \in B에 대해 V_{\beta} \subseteq U_{\phi(\beta)}를 만족하는 '''세분 맵''' \phi : B \to A가 존재한다. 이 맵은 예를 들어 X의 체흐 코호몰로지에서 사용된다.[1]

모든 부분 덮개는 세분이지만 그 역은 항상 성립하지는 않는다. 부분 덮개는 덮개를 이루는 집합들 가운데 일부를 생략하여 만든다. 반면에 세분은 덮개를 이루는 집합들의 부분 집합인 임의의 집합들로 만들어진다.

X의 덮개 집합에 대한 세분 관계는 추이 관계이며 반사 관계이다. 즉, 전순서이다. 그러나 X\neq\empty에 대해서는 대칭 관계가 아니다.

일반적으로, 주어진 구조의 세분은 어떤 의미에서 그것을 포함하는 다른 구조이다. 예를 들어, 구간을 분할하거나( a_0 < a_1 < \cdots < a_n의 한 세분은 a_0 < b_0 < a_1 < a_2 < \cdots < a_{n-1} < b_1 < a_n이다) 위상을 고려할 때 (유클리드 공간의 표준 위상은 자명한 위상의 세분이다) 세분이 사용된다.

세분의 또 다른 개념은 별 세분이다.

2. 4. 1. 성형 세분

X의 덮개 \mathcal C가 주어졌을 때, 부분 집합 S\subseteq X의 \mathcal C-'''별'''(star영어)은 다음과 같다.[7]

:\operatorname{star}(S,\mathcal C)=\bigcup\{C\in\mathcal C\colon C\cap S\ne\varnothing\}

덮개 \mathcal C가 주어졌을 때, \mathcal C의 '''성형 폐포'''(star closure영어)는 다음과 같다.

:\mathcal C^\star=\left\{\operatorname{star}(C,\mathcal C)\colon C\in\mathcal C\right\}

이 역시 X의 덮개를 이룬다.

두 덮개 \mathcal C, \mathcal C'가 주어졌을 때, 만약 \mathcal C'^\star\lesssim\mathcal C라면, \mathcal C'을 \mathcal C의 '''성형 세분'''(star refinement영어)이라고 한다.[6]

2. 4. 2. 무게 중심 세분

덮개 \mathcal C가 주어졌을 때, \mathcal C의 '''무게 중심 폐포'''(barycentric closure영어)

:\mathcal C^{\operatorname{b}}=\left\{\operatorname{star}(\{x\},\mathcal C)\colon x\in X\right\}

를 정의한다. 이 역시 X의 덮개를 이룬다. 두 덮개 \mathcal C, \mathcal C'가 주어졌을 때, 만약 \mathcal C'^{\operatorname{b}}\lesssim\mathcal C라면, \mathcal C'을 \mathcal C의 '''무게 중심 세분'''(-中心細分, barycentric refinement영어)이라고 한다.[6]

3. 성질

집합 ''S''와 그 덮개 ''U'' = {''U''''i'' | ''i'' ∈ ''I''}, 덮개 ''V'' = {''V''''j'' | ''j'' ∈ ''J''}가 있다고 하자. ''S''가 위상 공간일 때, 열린 덮개를 고려한다.


  • {''V''''j'' | ''j'' ∈ ''J''}가 다음 조건을 만족하면, {''U''''i'' | ''i'' ∈ ''I''}의 '''부분 덮개'''라고 한다.
  • 모든 ''j'' ∈ ''J''에 대해, ''V''''j'' = ''U''''k''인 ''k'' ∈ ''I''가 존재한다.
  • 열린 집합으로 이루어진 부분 덮개를 '''부분 열린 덮개''', 유한 덮개가 되는 부분 덮개를 '''유한 부분 덮개'''라고 한다. 마찬가지로 열린 덮개로 이루어진 유한 부분 덮개는 '''유한 부분 열린 덮개'''라고 한다.
  • {''V''''j'' | ''j'' ∈ ''J''}가 다음 조건을 만족하면, {''U''''i'' | ''i'' ∈ ''I''}의 '''세분'''이라고 한다.
  • 모든 ''j'' ∈ ''J''에 대해, ''V''''j'' ⊆ ''U''''k''인 ''k'' ∈ ''I''가 존재한다.
  • 유한 덮개가 되는 세분을 '''유한 세분'''이라고 한다. 열린 덮개의 세분을 생각할 때에는 암묵적으로 열린 집합으로 이루어진 세분이라는 것을 가정하는 경우가 많다.

3. 1. 함의 관계

집합 위의 두 덮개 \mathcal C, \mathcal C'에 대하여, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.

무게 중심 세분의 무게 중심 세분⇒성형 세분⇒무게 중심 세분⇒세분
⇑
부분 덮개


  • \mathcal C'이 \mathcal C의 부분 덮개라면 \mathcal C'은 \mathcal C의 세분이다.[6]
  • \mathcal C'이 \mathcal C의 성형 세분이라면 \mathcal C'은 \mathcal C의 무게 중심 세분이다.[6]
  • \mathcal C'이 \mathcal C의 무게 중심 세분이라면 \mathcal C'은 \mathcal C의 세분이다.[6]
  • \mathcal C'이 \mathcal C의 무게 중심 세분의 무게 중심 세분이라면 \mathcal C'은 \mathcal C의 성형 세분이다.[6][7]


모든 부분 덮개는 세분이지만 그 역은 항상 성립하지 않는다. 부분 덮개는 원래 덮개에 있는 집합으로 만들어지지만, 그 중 일부는 생략될 수 있다. 반면, 세분은 원래 덮개에 있는 집합의 부분 집합인 임의의 집합으로 만들어진다.

3. 2. 반사성

세분 관계는 원순서이지만, 성형 세분과 무게 중심 세분 관계는 일반적으로 반사 관계가 아니다.[6][7]

3. 3. 유한 집합의 덮개

크기 n인 유한 집합의 덮개의 수는 다음과 같다.[4]

:|\operatorname{Cover}(\{1,2,\dots,n\})|=\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\binom nk2^{2^{n-k}}

이는 항상 짝수인데, 이는 항상 공집합을 추가하거나 제거할 수 있기 때문이다.

덮개들의 집합 \operatorname{Cover}(X)은 부분 덮개 관계에 대하여 부분 순서 집합 (\operatorname{Cover}(X),\subseteq)을 이룬다. 그 극소 원소 가운데, 크기가 k인 것들의 수는 다음과 같다.[4]

:

\begin{align}

\left|\{\mathcal C\in \min\left(\operatorname{Cover}(\{1,2,\dots,n\}),\subseteq\right)\colon|\mathcal C|=k\}\right|

&=\sum_{i=k}^{\min\{n,2^k-1\}}\binom{2^k-k-1}{i-k}\frac{i!}{k!}\left\{{n\atop i}\right\}\\

&=\sum_{i=k}^n\binom ni(2^k-k-1)^{n-i}\left\{{i\atop k}\right\}

\end{align}



여기서 \textstyle\binom nk는 이항 계수이며, \textstyle\{{n\atop k}\}는 제2종 스털링 수이다. 그 값들은 다음과 같다.

n╲k12345678
11
211
3161
4125221
5190305651
61301341025401711
719663362177350170664201
813025305382202295112983461008149881


4. 응용

덮개 개념은 컴팩트성과 관련된 여러 위상적 성질을 정의하는 데 사용된다. 예를 들어, 어떤 위상 공간 ''X''에 대해 다음과 같이 정의할 수 있다.


  • '''컴팩트''': 모든 열린 덮개가 유한 부분 덮개를 가지는 경우 (또는 모든 열린 덮개가 유한 세분 덮개를 가지는 경우와 동치)
  • '''린델뢰프''': 모든 열린 덮개가 가산 부분 덮개를 가지는 경우 (또는 모든 열린 덮개가 가산 세분 덮개를 가지는 경우와 동치)
  • '''메타컴팩트''': 모든 열린 덮개가 점-유한 열린 세분 덮개를 가지는 경우
  • '''파라컴팩트''': 모든 열린 덮개가 국소 유한 열린 세분 덮개를 허용하는 경우


이 외에도 다양한 변형이 존재하며, 자세한 내용은 해당 문서를 참조하면 된다.

또한, 위상 공간 ''X''의 모든 열린 덮개가 점-유한 열린 세분을 가지며, 세분 안의 어떤 점도 세분 안의 ''n''+1개 이상의 집합에 포함되지 않고, ''n''이 이것이 참이 되게 하는 최솟값일 경우, ''X''는 덮개 차원이 ''n''이라고 한다.[2] 만약 이러한 최소 ''n''이 존재하지 않으면, 해당 공간은 무한 덮개 차원을 갖는다고 한다.

4. 1. 콤팩트 공간

콤팩트성과 관련된 여러 위상 공간의 개념들은 "모든 열린 덮개가 ~를 갖는다"는 형태로 정의할 수 있다.

개념정의: 모든 열린 덮개가 ~를 가진다.
콤팩트 공간유한 부분 덮개 (또는 유한 열린 세분[3])
린델뢰프 공간가산 부분 덮개
파라콤팩트 공간국소 유한 열린 세분
메조콤팩트 공간콤팩트 유한(compact finite) 열린 세분
메타콤팩트 공간점별 유한 열린 세분
직교 콤팩트 공간내부 보존(interior preserving) 열린 세분



하우스도르프 공간에서 다음 조건들은 서로 동치이다.


  • 파라콤팩트 공간이다.
  • 모든 열린 덮개는 열린 성형 세분을 갖는다.[6]
  • 모든 열린 덮개는 열린 무게 중심 세분을 갖는다.[6]


덮개의 개념은 콤팩트성과 관련된 위상적 성질을 정의하는데 사용된다. 예를 들어:

  • '''콤팩트''': 모든 열린 덮개가 유한 부분 덮개를 가지는 경우 (또는 모든 열린 덮개가 유한 세분 덮개를 가지는 경우와 동치)
  • '''린델뢰프''': 모든 열린 덮개가 가산 부분 덮개를 가지는 경우 (또는 모든 열린 덮개가 가산 세분 덮개를 가지는 경우와 동치)
  • '''메타컴팩트''': 모든 열린 덮개가 점-유한 열린 세분 덮개를 가지는 경우
  • '''파라콤팩트''': 모든 열린 덮개가 국소 유한 열린 세분 덮개를 허용하는 경우

4. 2. 균등 공간

균등 공간의 개념은 성형 세분을 통해 정의할 수 있다.

4. 3. 체흐 코호몰로지

위상 공간 위에 아벨 군 값을 갖는 층이 주어졌을 때, 열린 덮개를 사용하여 '''체흐 코호몰로지'''라는 코호몰로지 이론을 정의할 수 있다. 만약 열린 덮개가 충분히 섬세하면, 이는 층 코호몰로지와 일치한다.[1]

위상 공간 X의 덮개 C의 '''세분'''은 D의 모든 집합이 C의 어떤 집합에 포함되는 새로운 덮개 D이다. 즉,

:D = \{ V_{\beta} \}_{\beta \in B}는 모든 \beta \in B에 대해 V_{\beta} \subseteq U_{\alpha}인 \alpha \in A가 존재하는 경우 C = \{ U_{\alpha} \}_{\alpha \in A}의 세분이다.

다시 말해, 모든 \beta \in B에 대해 V_{\beta} \subseteq U_{\phi(\beta)}를 만족하는 '''세분 맵''' \phi : B \to A가 있으며, 이 맵은 X의 체흐 코호몰로지에서 사용된다.[1]

5. 예

다음에서 \mathbb{N}은 양의 정수 전체의 집합, \mathbb{R}은 실수 전체의 집합을 나타낸다.


  • (0,1) = \bigcup_{n=3}^{\infty} \left[{1\over n}, 1 - {1 \over n}\right] 이다. 따라서 집합족 \{[1/n, 1-1/n]\}_{n\in\N\setminus\{1,2\}}는 열린 구간 (0, 1)의 덮개이다.

  • [0,1) \subset \bigcup_{n=1}^\infty \left(-{1\over n}, 1-{1 \over n}\right) 이다. 따라서 집합족 \{(-1/n, 1-1/n)\}_{n\in\mathbb{N}}은 반열린 구간 [0, 1)의 \mathbb{R}에서의 덮개이다.

5. 1. 분할

집합의 집합의 분할은 항상 덮개를 이루며, 이는 부분 덮개 관계에 대하여 극소 원소이다.

5. 2. 거리 공간

거리 공간 (X,\operatorname{dist}_X)에서, 임의의 양의 실수 \epsilon>0에 대하여 덮개

:\mathcal C_\epsilon(X,d)=\{Y\subseteq X\colon\operatorname{diam}Y\le\epsilon\}

를 정의한다. 여기서

:\operatorname{diam}Y=\sup_{y,y'\in Y}\operatorname{dist}_X(y,y')\in[0,\infty]

는 거리 공간의 지름을 뜻한다. 그렇다면, 삼각 부등식에 의하여 다음이 성립한다.[7]

:\mathcal C_\epsilon\lesssim\mathcal C_{\epsilon'}\qquad\forall\epsilon'\ge\epsilon

:\mathcal C_\epsilon^{\operatorname{b}}\lesssim\mathcal C_{\epsilon'}\qquad\forall\epsilon'\ge2\epsilon

:\mathcal C_\epsilon^\star\lesssim\mathcal C_{\epsilon'}\qquad\forall\epsilon'\ge3\epsilon

이에 대하여 알렉산드르 블라디미로비치 아르한겔스키(Алекса́ндр Влади́мирович Арха́нгельскийru)는 다음과 같이 적었다.

참조

[1] 서적 Differential Forms in Algebraic Topology 1982
[2] 서적 Topology Prentice Hall
[3] 서적 Topology http://www.pearsonhi[...] Prentice Hall
[4] 저널 Minimal covers of finite sets 1973
[5] 저널 Lewis Carroll and the enumeration of minimal covers 1995-10
[6] 서적 General Topology https://archive.org/[...] Addison-Wesley 1970
[7] 서적 General topology III: paracompactness, function spaces, descriptive theory 1995


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