단조 수렴 정리 (수열)

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 단조 수열
- 2.2. 수렴과 유계성
3. 증명
4. 예
5. 일반화
참조

1. 개요

단조 수렴 정리는 실수 수열의 수렴성을 판별하는 정리로, 수열이 단조 증가 또는 단조 감소할 경우 그 수열의 극한이 상한 또는 하한과 같다는 것을 나타낸다. 즉, 실수 단조 수열이 수렴하기 위한 필요충분조건은 유계 수열인 것이다. 이 정리는 무한 거듭제곱근의 값을 구하는 예시를 통해 이해할 수 있으며, 일반화된 형태로도 적용될 수 있다.

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단조 수렴 정리 (수열)

2. 정의

실수 수열 $(a_n)_{n=0}^\infty$ 이 주어졌을 때, '''단조 수렴 정리'''에 따르면, $(a_n)_{n=0}^\infty$ 가 증가 수열이면 다음이 성립한다.

: $\lim_{n\to\infty}a_n=\sup_{n\ge 0}a_n\in(-\infty,\infty]$

마찬가지로, $(a_n)_{n=0}^\infty$ 가 감소 수열이면 다음이 성립한다.

: $\lim_{n\to\infty}a_n=\inf_{n\ge 0}a_n\in[-\infty,\infty)$

여기서 $\sup,\inf$ 는 각각 상한과 하한을 나타낸다.

이에 따라, 임의의 실수 단조 수열 $(a_n)_{n=0}^\infty$ 에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.

$(a_n)_{n=0}^\infty$ 은 ( $\mathbb R$ 에서) 수렴한다.
$(a_n)_{n=0}^\infty$ 는 유계 수열이다.

2. 1. 단조 수열

실수 수열

(a_n)_{n=0}^\infty

이 주어졌을 때,

(a_n)_{n=0}^\infty

가 증가 수열 (

a_0\le a_1\le a_2\le\cdots

)이면 다음이 성립한다.

:

\lim_{n\to\infty}a_n=\sup_{n\ge 0}a_n\in(-\infty,\infty]

마찬가지로,

(a_n)_{n=0}^\infty

가 감소 수열 (

a_0\ge a_1\ge a_2\ge\cdots

)이면 다음이 성립한다.

:

\lim_{n\to\infty}a_n=\inf_{n\ge 0}a_n\in[-\infty,\infty)

여기서

\sup,\inf

는 각각 상한과 하한을 나타낸다.

이에 따라, 임의의 실수 단조 수열

(a_n)_{n=0}^\infty

에 대하여 다음 두 조건은 서로 동치이다.

$(a_n)_{n=0}^\infty$ 은 ( $\mathbb R$ 에서) 수렴한다.
$(a_n)_{n=0}^\infty$ 는 유계 수열이다.

2. 2. 수렴과 유계성

실수 단조 수열

(a_n)_{n=0}^\infty

에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.

$(a_n)_{n=0}^\infty$ 은 ( $\mathbb R$ 에서) 수렴한다.
$(a_n)_{n=0}^\infty$ 는 유계 수열이다.

3. 증명

실수 증가 수열 $(a_n)_{n=0}^\infty$ 에 대하여, 그 상한을

: $L=\sup_{n\ge 0}a_n\in(-\infty,\infty]$

이라고 하자.

만약 $(a_n)_{n=0}^\infty$ 이 유계 수열이라면, $L<\infty$ 이다. $L$ 의 정의에 따라, 임의의 $\epsilon>0$ 에 대하여,

: $a_N>L-\epsilon$

인 $N\ge 0$ 이 존재한다. 따라서, 임의의 $n\ge N$ 에 대하여,

: $L-\epsilon$

이다. 즉,

: $\lim_{n\to\infty}a_n=L$

이 성립한다.

만약 $(a_n)_{n=0}^\infty$ 이 무계 수열이라면, $L=\infty$ 이다. 임의의 $M>0$ 에 대하여,

: $a_N>M$

인 $N\ge 0$ 이 존재하며, 임의의 $n\ge N$ 에 대하여

: $a_n\ge a_N>M$

이다. 즉,

: $\lim_{n\to\infty}a_n=\infty$

이 성립한다.

4. 예

nested radical|무한 중첩 제곱근^영어 $\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}$ 를 단조 수렴 정리를 사용하여 구해보자. 우선 이는 다음과 같은 실수 수열 $(a_n)_{n=1}^\infty$ 의 극한이다.

: $a_1=\sqrt 2$

: $a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}\qquad(n\ge 1)$

수학적 귀납법을 통해 $(a_n)_{n\in\mathbb N}$ 이 증가 수열임을 다음과 같이 보일 수 있다.

: $a_2=\sqrt{2+\sqrt 2}>\sqrt 2=a_1$

: $a_{n+1}>a_n\implies a_{n+2}=\sqrt{2+a_{n+1}}>\sqrt{2+a_n}=a_{n+1}\qquad(n\ge 1)$

또한 $(a_n)_{n\in\mathbb N}$ 은 다음에 따라 $\sqrt 2+1$ 을 상계로 가지므로, 유계 수열이다.

: $a_1=\sqrt 2<\sqrt 2+1$

: $a_n<\sqrt 2+1\implies a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}<\sqrt{2+\sqrt 2+1}<\sqrt{2+2\sqrt 2+1}=\sqrt 2+1\qquad(n\ge 1)$

단조 수렴 정리에 따라, $(a_n)_{n\in\mathbb N}$ 은 수렴한다. 이제

: $\lim_{n\to\infty}a_n=L$

이라고 하고 등식

: $a_{n+1}^2=2+a_n\qquad(n\ge 1)$

의 양변에 극한을 취하면

: $L^2=2+L$

을 얻으며, 이를 풀면 $L=-1$ 이거나 $L=2$ 임을 얻는다. 또한 $L\ge a_1>0$ 이므로,

: $\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}=L=2$

이다.

5. 일반화

실수 수열 $(a_n)_{n=0}^\infty$ 이 주어졌고, 다음 조건들을 만족시키는 양의 정수 $k>0$ 및 연속 함수 $f\colon\mathbb R^k\to\mathbb R$ 이 존재한다고 가정한다.

임의의 $1\le i\le k$ 및 $x_1,\dots,x_i,x_i',\dots,x_k,\in\mathbb R$ 에 대하여, $x_i 이면 f(x_1,\dots,x_i,\dots,x_k) 이다.$
임의의 $x\in\mathbb R$ 에 대하여, $f(x,\dots,x)=x$ 이다.
임의의 $n\ge k$ 에 대하여, $f(a_{n-1},a_{n-2},\dots,a_{n-k})\le a_n$ 이다.

이때, 다음이 성립한다.

:

\lim_{n\to\infty}a_n=\sup_{n\ge 0}\min\{a_{n-1},a_{n-2},\dots,a_{n-k}\}\in(-\infty,\infty]

^[1]

또한,

(a_n)_{n=0}^\infty

이 수렴할 필요충분조건은 유계 수열이다.

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