디리클레 급수

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1. 개요

디리클레 급수는 복소수 s에 대한 무한 급수의 한 종류로, 수론적 함수 a(n)을 사용하여 ∑ a(n)n⁻ˢ 형태로 나타낸다. 이는 형식적 디리클레 급수의 환을 형성하며, 덧셈과 곱셈 연산이 정의된다. 디리클레 급수는 복소수 변수 s의 함수로 간주되며, 수렴의 가로좌표, 절대 수렴 좌표, 균등 수렴 좌표를 갖는다. 리만 제타 함수, 뫼비우스 함수, 오일러 피 함수 등 다양한 수론적 함수를 표현하는 데 사용되며, 오일러 곱, 적분 표현, 생성 함수와의 관계 등 다양한 표현 방식을 가진다. 소수 정리 증명, 수론적 함수의 평균값 연구 등 정수론 분야에 응용된다.

디리클레 급수

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예시
5. 오일러 곱
6. 다른 표현
- 6.1. 적분 표현
- 6.2. 생성 함수와의 관계
7. 응용

2. 정의

디리클레 급수(Dirichlet級數, Dirichlet series^영어)는 다음과 같은 형태의 무한 급수이다.

: $F(s) =\sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)}{n^s}$

여기서 $s$ 는 복소수이고, $f(n)$ 은 수론적 함수이다.

리만 제타 함수는 디리클레 급수의 한 예로, 다음과 같이 정의된다.
: $\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}$

리만 제타 함수의 역수는 다음의 디리클레 급수로 표현할 수 있다.
: $\frac{1}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n^s}$

여기서 $\mu(n)$ 은 뫼비우스 함수이다. 또한, 제타 함수의 로그는 다음과 같이 표현할 수 있다.
: $\log \zeta(s)=\sum_{n=2}^\infty \frac{\Lambda(n)}{\log(n)}\,\frac{1}{n^s}$

여기서 $\Lambda(n)$ 은 망골트 함수이다. 제타 함수의 로그도함수(Logarithmic derivative)를 디리클레 급수로 표현하면 다음과 같다.
: $\frac {\zeta^\prime(s)}{\zeta(s)} = -\sum_{n=1}^\infty \frac{\Lambda(n)}{n^s}$

디리클레 급수의 미분은 다음과 같이 표현된다.
: $F'(s) = -\sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)\log(n)}{n^s}$

3. 성질

디리클레 급수는 덧셈과 곱셈에 대해 닫혀 있으며, 환의 구조를 이룬다.

두 디리클레 급수 f^영어(s) = ∑_n=1^∞(a_n/n^s), g^영어(s) = ∑_n=1^∞(b_n/n^s)의 합은 다음과 같이 정의된다.
:f^영어(s) + g^영어(s) = ∑_n=1^∞((a_n + b_n)/n^s)

두 디리클레 급수의 곱은 디리클레 합성곱으로, 다음과 같이 정의된다.
:f^영어(s)g^영어(s) = ∑_n=1^∞(c_n/n^s), 여기서 c_n = ∑_{k|n, k≥1}a_kb_n/k

계수가 환 R의 원소로 구성된 디리클레 급수 전체는 환을 이룬다. 만약 환 R이 가환이면, 디리클레 급수 환도 가환이다.

f(α)와 g(α)가 특정 복소수 α에서 수렴하더라도, 그 곱 f(s)g(s)는 s = α에서 반드시 수렴하지는 않는다. 예를 들어, 두 디리클레 급수 f^영어(s) = g^영어(s) = ∑_n=1^∞((-1)ⁿ/n^s)는 각각 수렴축이 0이지만, 그 곱 h(s) = f(s)g(s)의 수렴축은 1이다. 따라서 f^영어(1/2)와 g^영어(1/2)는 수렴하지만, h(1/2)는 수렴하지 않는다.

3.1. 수렴성

디리클레 급수의 수렴성은 복소수 s의 실수부 Re(s) 값에 따라 결정된다. 수렴 좌표(abscissa of convergence) $\scriptstyle\sigma_c$ 가 존재하여, Re(s) > $\scriptstyle\sigma_c$ 이면 급수는 수렴하고, Re(s) < $\scriptstyle\sigma_c$ 이면 발산한다.

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{\log n}
*

\textstyle s_n = \sum_{k=1}^na_k

가 수렴하는 경우:

\sigma_c = \limsup_{n\to\infty}\frac{\log|a_n + a_{n+1} + \cdots|}{\log n}

|
*

\textstyle s_n = \sum_{k=1}^n|a_k|

가 발산하는 경우:

\sigma_a = \limsup_{n\to\infty}\frac{\log s_n}{\log n}

\textstyle s_n = \sum_{k=1}^n|a_k|

가 수렴하는 경우:

\sigma_a = \limsup_{n\to\infty}\frac{\log(|a_n| + |a_{n+1}| + \cdots)}{\log n}

\sigma_u = \limsup_{n\to\infty}\frac{\log T_n}{\log n}

(

T_n = \!\!\!\!\sup_{-\infty)

3.2. 해석적 성질

복소수열 $\{a_n\}_{n\in \N}$ 이 주어졌을 때, 다음의 값을

: $f(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n^s}$

복소수 변수 s의 함수로 생각할 수 있다. 이 급수가 수렴하는 경우, f는 해당 열린 반평면에서 해석 함수이다.

일반적으로 $\sigma$ 는 디리클레 급수의 수렴 가로좌표이며, $\Re(s) > \sigma$ 에 대해 수렴하고 $\Re(s) < \sigma$ 에 대해 발산한다.

디리클레 급수는 $\scriptstyle\operatorname{Re}\ s > \sigma$ 에서 수렴하면 $\scriptstyle\operatorname{Re}\ s > \sigma$ 에서 정칙이다. 또한, $f(s)$ 의 미분은

: $f^{(k)}(s) = (-1)^k\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n\log^k n}{n^s}$

로 주어진다.

즉, 다음과 같이 주어진 디리클레 급수가 있다고 하자.

: $F(s) =\sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)}{n^s}$

이 경우 디리클레 급수의 미분은 다음과 같이 표현된다.

: $F'(s) = -\sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)\log(n)}{n^s}$

3.3. 대수적 성질

디리클레 급수는 덧셈과 곱셈에 대해 닫혀 있으며, 이는 환(ring)의 구조를 이룬다.

두 디리클레 급수
:f^영어(s) = ∑_n=1^∞(a_n/n^s), g^영어(s) = ∑_n=1^∞(b_n/n^s)
의 합은 다음과 같이 정의된다.
:f^영어(s) + g^영어(s) = ∑_n=1^∞((a_n + b_n)/n^s)

두 디리클레 급수의 곱은 디리클레 합성곱으로, 다음과 같이 정의된다.
:f^영어(s)g^영어(s) = ∑_n=1^∞(c_n/n^s), 여기서 c_n = ∑_{k|n, k≥1}a_kb_n/k

계수가 환 R의 원소로 구성된 디리클레 급수 전체는 환을 이룬다. 만약 환 R이 가환이면, 디리클레 급수 환도 가환이다.

두 디리클레 급수의 수렴성에 대해, f(α)와 g(α)가 특정 복소수 α에서 수렴하더라도, 그 곱 f(s)g(s)는 s = α에서 반드시 수렴하지는 않는다. 예를 들어, 두 디리클레 급수 f^영어(s) = g^영어(s) = ∑_n=1^∞((-1)ⁿ/n^s)는 각각 수렴축이 0이지만, 그 곱 h(s) = f(s)g(s)의 수렴축은 1이다. 따라서 f^영어(1/2)와 g^영어(1/2)는 수렴하지만, h(1/2)는 수렴하지 않는다.

4. 예시

디리클레 급수의 예시로는 리만 제타 함수, 뫼비우스 함수, 오일러 피 함수, 약수 함수 등이 있다.

* 리만 제타 함수 관련

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	수렴 좌표 ( $\scriptstyle\sigma_c$ )	절대수렴 좌표 ( $\scriptstyle\sigma_a$ )	균등 수렴 좌표 ( $\scriptstyle\sigma_u$ )
정의	Re(s) > $\scriptstyle\sigma_c$ 인 복소수 s에 대해 디리클레 급수는 수렴하며, Re(s) < $\scriptstyle\sigma_c$ 인 복소수 s에 대해서는 발산한다.	\sum_{n=1}^{\infty}\frac{>a_n\|}{n^s}의 수렴 여부로 결정된다.	$f(s) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^s}$ 가 균등 수렴하는 영역을 결정한다.
관계	수렴축 위의 점에서의 수렴, 발산 여부는 디리클레 급수에 따라 다르다. (예: 리만 제타 함수 $\zeta(s)$ 의 수렴축은 1이지만, s=1에서는 발산한다.)	$\scriptstyle 0 \le \sigma_a - \sigma_c\le 1$ 이 성립한다.	$\sigma_c\le\sigma_u\le\sigma_a$ 이며, $\scriptstyle 0 \le \sigma_u - \sigma_c\le 1/2$ 가 성립한다.
구하는 방법

식	설명
$\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}$	리만 제타 함수 정의
$\frac{1}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n^s}$	리만 제타 함수의 역수
$\log \zeta(s)=\sum_{n=2}^\infty \frac{\Lambda(n)}{\log(n)}\,\frac{1}{n^s}$	리만 제타 함수의 로그 (여기서 $\Lambda(n)$ 은 망골트 함수)
$\frac {\zeta^\prime(s)}{\zeta(s)} = -\sum_{n=1}^\infty \frac{\Lambda(n)}{n^s}$	리만 제타 함수의 로그도함수

* 뫼비우스 함수 관련

:

\frac{1}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n^s}

* 오일러 피 함수 관련

:

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\varphi(n)}{n^s} = \frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)}

* 약수 함수 관련

:

\zeta^2(s) =\sum_{n=1}^\infty \frac{d(n)}{n^s}

요르단 함수 J_k는 다음과 같이 표현된다.

:

\frac{\zeta(s-k)}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{J_k(n)}{n^s}

리우빌 함수 λ(n)가 주어지면, 다음이 성립한다.

:

\frac{\zeta(2s)}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\lambda(n)}{n^s}.

라마누잔 합을 포함하는 예시는 다음과 같다.

:

\frac{\sigma_{1-s}(m)}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{c_n(m)}{n^s}.

4.1. 리만 제타 함수

리만 제타 함수는 가장 유명한 디리클레 급수의 예시이며, 다음과 같이 정의된다.

: $\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}$

이는 정수론에서 핵심적인 역할을 하며, 특히 소수 정리 증명에 사용된다.

리만 제타 함수의 역수는 뫼비우스 함수 $\mu(n)$ 를 이용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

: $\frac{1}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n^s}$

리만 제타 함수의 로그는 망골트 함수 $\Lambda(n)$ 을 이용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

: $\log \zeta(s)=\sum_{n=2}^\infty \frac{\Lambda(n)}{\log(n)}\,\frac{1}{n^s}$

또한, 제타 함수의 로그도함수(Logarithmic derivative)는 다음과 같다.

: $\frac {\zeta^\prime(s)}{\zeta(s)} = -\sum_{n=1}^\infty \frac{\Lambda(n)}{n^s}.$

이 식은 소수 정리를 증명하는 과정에서 쓰인다.

--

리만 제타 함수는 오일러 곱 공식에 영감을 주었다. 각 자연수는 소수의 거듭제곱으로 유일하게 분해되므로, 다음과 같은 식이 성립한다.

: $\zeta(s) = \prod_{p\text{ 소수}} \frac{1}{1-p^{-s}}$

4.2. 뫼비우스 함수

뫼비우스 함수 μ(n)에 대해 다음이 성립한다.

: $\frac{1}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n^s}$

여기서 $\zeta(s)$ 는 리만 제타 함수이다. 이 급수와 다른 많은 급수는 알려진 급수에 뫼비우스 반전과 디리클레 컨볼루션을 적용하여 얻을 수 있다. 예를 들어, 디리클레 문자 $\chi(n)$ 가 주어지면, 다음이 성립한다.

: $\frac 1 {L(\chi,s)}=\sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)\chi(n)}{n^s}$

여기서 $L(\chi, s)$ 는 디리클레 L-함수이다.

소수 오메가 함수와 뫼비우스 함수와 관련된 다음 공식도 성립한다.

: $\frac{\zeta(s)}{\zeta(2s)} = \sum_{n=1}^\infty \frac$

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{n^s} \equiv \sum_{n=1}^\infty \frac{\mu^2(n)}{n^s}.

4.3. 오일러 피 함수

: $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\varphi(n)}{n^s} = \frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)}$

여기서 $\varphi(n)$ 는 오일러 피 함수이다.

4.4. 약수 함수

약수 함수^한국어 d(n) = σ₀(n)와 관련된 디리클레 급수는 다음과 같다.

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식	설명
$\zeta^2(s) =\sum_{n=1}^\infty \frac{d(n)}{n^s}$	약수 함수 d(n)에 대한 식이다.
$\frac{\zeta^3(s)}{\zeta(2s)} =\sum_{n=1}^\infty \frac{d(n^2)}{n^s}$	d(n²)에 대한 식이다.
$\frac{\zeta^4(s)}{\zeta(2s)} =\sum_{n=1}^\infty \frac{d(n)^2}{n^s}$	d(n)²에 대한 식이다.

약수 합 함수 σ_a(n)와 관련된 디리클레 급수는 다음과 같다.

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식	설명
$\zeta(s) \zeta(s-a)=\sum_{n=1}^\infty \frac{\sigma_{a}(n)}{n^s}$	일반적인 약수 함수 σ_a(n)에 대한 식이다.
$\frac{\zeta(s)\zeta(s-a)\zeta(s-2a)}{\zeta(2s-2a)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\sigma_a(n^2)}{n^s}$	σ_a(n²)에 대한 식이다.
$\frac{\zeta(s)\zeta(s-a)\zeta(s-b)\zeta(s-a-b)}{\zeta(2s-a-b)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\sigma_a(n)\sigma_b(n)}{n^s}$	σ_a(n)σ_b(n)에 대한 식이다.

이 외에도 뫼비우스 함수, 오일러 피 함수, 요르단 함수 등 다양한 수론적 함수들이 디리클레 급수와 관련되어 있다.

5. 오일러 곱

multiplicative function^영어 f(n)^영어에 대한 디리클레 급수는 다음과 같은 오일러 곱(Euler product)으로 표현될 수 있다.

: $f(s) = \!\!\prod_{p;\operatorname{prime}}\left(1+\frac{a(p)}{p^s}+\frac{a(p^2)}{p^{2s}}+\cdots \right)$

완전 곱셈적 함수의 경우, 오일러 곱은 더 간단한 형태로 표현된다.

: $f(s) = \!\!\prod_{p;\operatorname{prime}}\frac{1}{1-a(p)/p^s}$

6. 다른 표현

리만 제타 함수는 다음과 같은 식으로 표현되는 가장 유명한 디리클레 급수의 예시이다.

: $\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty \frac 1 {n^s},$

이는 해석적 연속(s = 1에서 단순 극을 제외)을 통해 복소수로 확장할 수 있다.

$f$ 가 모든 자연수 $n$ 에 대해 실수 값을 갖는 경우, 디리클레 급수 $F$ 의 실수부와 허수부는 $s \equiv \sigma + it$ 로 표기할 때 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $\begin{align}\Re[F(s)] & = \sum_{n \geq 1} \frac{~f(n)\,\cos(t \log n)~}{n^{\sigma}} \\\Im[F(s)] & = \sum_{n \geq 1} \frac{~f(n)\,\sin(t \log n)~}{n^{\sigma}}\,.\end{align}$

각 자연수는 소수의 거듭제곱으로 고유하게 분해되므로, 오일러 곱 공식에 영감을 준 조합론적 측면을 다음과 같이 표현할 수 있다.

: $\begin{align}\zeta(s) &= \mathfrak{D}^{\N}_{\operatorname{id}}(s) = \prod_{p\text{ 소수}} \mathfrak{D}^{\{p^n : n \in \N\}}_{\operatorname{id}}(s) = \prod_{p\text{ 소수}} \sum_{n \in \N} \mathfrak{D}^{\{p^n\}}_{\operatorname{id}}(s) \\&= \prod_{p\text{ 소수}} \sum_{n \in \N} \frac{1}{(p^n)^s} = \prod_{p\text{ 소수}} \sum_{n \in \N} \left(\frac{1}{p^s}\right)^n = \prod_{p\text{ 소수}} \frac{1}{1-p^{-s}}\end{align}$

뫼비우스 함수 $\mu(n)$ 를 사용하면 다음과 같은 표현도 가능하다.

: $\frac{1}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n^s}$

디리클레 문자 $\chi(n)$ 가 주어지면, 디리클레 L-함수 $L(\chi, s)$ 를 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

: $\frac 1 {L(\chi,s)}=\sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)\chi(n)}{n^s}$

산술 함수 $f$ 가 디리클레 역 함수 $f^{-1}(n)$ 을 갖는 경우, 역 함수의 DGF는 $F$ 의 역수로 주어진다.

: $\sum_{n \geq 1} \frac{f^{-1}(n)}{n^s} = \left(\sum_{n \geq 1} \frac{f(n)}{n^s}\right)^{-1}.$

오일러 피 함수 $\varphi(n)$ , 요르단 함수 $J_k$ , 약수 함수 $\sigma_a(n)$ 등을 이용한 다양한 표현도 가능하다.

: $\frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\varphi(n)}{n^s}$

: $\frac{\zeta(s-k)}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{J_k(n)}{n^s}$

: $\begin{align}& \zeta(s) \zeta(s-a)=\sum_{n=1}^\infty \frac{\sigma_{a}(n)}{n^s} \\[6pt]& \frac{\zeta(s)\zeta(s-a)\zeta(s-2a)}{\zeta(2s-2a)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\sigma_a(n^2)}{n^s} \\[6pt]& \frac{\zeta(s)\zeta(s-a)\zeta(s-b)\zeta(s-a-b)}{\zeta(2s-a-b)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\sigma_a(n)\sigma_b(n)}{n^s}\end{align}$

약수 함수 $d = \sigma_0$ 에 대한 특수화는 다음과 같다.

: $\begin{align}\zeta^2(s) & =\sum_{n=1}^\infty \frac{d(n)}{n^s} \\[6pt]\frac{\zeta^3(s)}{\zeta(2s)} & =\sum_{n=1}^\infty \frac{d(n^2)}{n^s} \\[6pt]\frac{\zeta^4(s)}{\zeta(2s)} & =\sum_{n=1}^\infty \frac{d(n)^2}{n^s}.\end{align}$

폰 망골트 함수 $\Lambda(n)$ 을 사용하면 제타 함수의 로그와 로그 미분은 다음과 같이 표현된다.

: $\log \zeta(s)=\sum_{n=2}^\infty \frac{\Lambda(n)}{\log(n)}\frac{1}{n^s}, \qquad \Re(s) > 1.$

: $-\zeta'(s) = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{\log(n)}{n^s}, \qquad \Re(s) > 1.$

: $\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} = -\sum_{n=1}^\infty \frac{\Lambda(n)}{n^s}.$

리우빌 함수 $\lambda(n)$ 이 주어지면, 다음이 성립한다.

: $\frac{\zeta(2s)}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\lambda(n)}{n^s}.$

라마누잔 합을 사용하면 다음과 같다.

: $\frac{\sigma_{1-s}(m)}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{c_n(m)}{n^s}.$

뫼비우스 함수와 소수 오메가 함수를 사용하면 다음과 같다.

: $\frac{\zeta(s)}{\zeta(2s)} = \sum_{n=1}^\infty \frac$

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{n^s} \equiv \sum_{n=1}^\infty \frac{\mu^2(n)}{n^s}.
:

\frac{\zeta^2(s)}{\zeta(2s)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{\omega(n)}}{n^s}.

소수 제타 함수는 다음과 같이 표현된다.

:

P(s) := \sum_{p\text{ 소수}} p^{-s} = \sum_{n \geq 1} \frac{\mu(n)}{n} \log \zeta(ns).

가법 함수

f

에 해당하는 디리클레 급수 DGF는 여기에서 소수 오메가 함수

\omega(n)

및

\Omega(n)

에 대해 주어지며,

\Re(s) > 1

인 모든 복소수

s

에 대해 리만 제타 함수와 소수 제타 함수의 곱으로 표현된다.

:

\sum_{n \geq 1} \frac{\omega(n)}{n^s} = \zeta(s) \cdot P(s), \Re(s) > 1.

f

가 모든

\Re(s) > \sigma_{a,f}

에 대해 DGF

F

가 절대적으로 수렴하는 곱셈 함수이고,

p

가 임의의 소수이면, 다음이 성립한다.

:

\left(1+f(p) p^{-s}\right) \times \sum_{n \geq 1} \frac{f(n) \mu(n)}{n^s} = \left(1-f(p) p^{-s}\right) \times \sum_{n \geq 1} \frac{f(n) \mu(n) \mu(\gcd(p, n))}{n^s}, \forall \Re(s) > \sigma_{a,f},

여기서

\mu(n)

은 뫼비우스 함수이다.

GCD 입력에서 평가된 산술

f

의 합 함수를 생성하는 디리클레 급수 항등식은 다음과 같다.

:

\sum_{n \geq 1} \left(\sum_{k=1}^n f(\gcd(k, n))\right) \frac{1}{n^s} = \frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)} \times \sum_{n \geq 1} \frac{f(n)}{n^s}, \forall \Re(s) > \sigma_{a,f} + 1.

뫼비우스 반전으로 관련되는 두 산술 함수

f

와

g

의 DGF 간의 공식은 다음과 같다.

g(n) = (f \ast 1)(n)

인 경우, 뫼비우스 반전에 의해

f(n) = (g \ast \mu)(n)

을 갖는다. 따라서

F

와

G

가 각각

f

와

g

의 두 DGF인 경우, 다음 공식을 사용하여 이 두 DGF를 관련시킬 수 있다.

:

F(s) = \frac{G(s)}{\zeta(s)}, \Re(s) > \max(\sigma_{a,f}, \sigma_{a,g}).

디리클레 급수의 지수에 대한 공식은 다음과 같다. 만약

F(s) = \exp(G(s))

가

f(1) \neq 0

인 어떤 산술

f

의 DGF라면, DGF

G

는 다음과 같은 합으로 표현된다.

:

G(s) = \log(f(1)) + \sum_{n \geq 2} \frac{(f^{\prime} \ast f^{-1})(n)}{\log(n) \cdot n^s},

여기서

f^{-1}(n)

은

f

의 디리클레 역이고,

f

의 산술 도함수는 모든 자연수

n \geq 2

에 대해

f^{\prime}(n) = \log(n) \cdot f(n)

의 공식으로 주어집니다.

6.1. 적분 표현

디리클레 급수는 멜린 변환(Mellin transform) 등을 사용하여 적분 형태로 표현할 수 있다.

* 메린 변환:

디리클레 급수
: $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^s}$
에 대해, 멱급수 $F(z)$ 를
: $F(z) = \sum_{n=1}^{\infty}a_nz^n$
로 정의한다.

이때, $f(s)$ 가 절대 수렴하는 영역 내에서
: $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^s} = \frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^{\infty}F(e^{-t})t^{s-1}dt$
가 성립한다.

* 플라크만(Flagman)에 의한 적분 표현:

디리클레 급수
: $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^s}$
에 대해, $\scriptstyle A(x) = \sum_{n\le x}a_n$ 로 둔다.
만약
: $\lim_{x\to\infty}\frac{A(x)}{x^s} = 0$
이라면
: $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^s} = s\int_1^{\infty}\frac{A(x)}{x^{1+s}}dx$
가 성립한다. (단, 양변 중 적어도 한쪽은 수렴해야 한다.)

* 라플라스-스틸체스 변환:

디리클레 급수
: $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^s}$
에 대해, $\scriptstyle B(t) = \sum_{n\le e^t}a_n$ 로 둔다. 이때
: $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^s} = \int_0^{\infty}e^{-ts}dB(t)$
가 성립한다.

6.2. 생성 함수와의 관계

디리클레 급수는 수열의 생성 함수와 밀접하게 관련되어 있다. 어떤 수열의 디리클레 급수는 그 수열의 각 항에 n의 -s승을 곱한 급수 형태로 나타낼 수 있다.

만약 산술 함수 f^영어가 디리클레 역 함수 $f^{-1}(n)$ 을 갖는다면, 즉, f와 역 함수의 디리클레 컨볼루션이 곱셈 항등식 $\sum_{d|n} f(d) f^{-1}(n/d) = \delta_{n,1}$ 을 갖는 역 함수가 존재한다면, 역 함수의 DGF는 F의 역수로 주어진다.

: $\sum_{n \geq 1} \frac{f^{-1}(n)}{n^s} = \left(\sum_{n \geq 1} \frac{f(n)}{n^s}\right)^{-1}.$

또한, 역 메린 변환은 s로 나뉜 디리클레 급수에 의해 페론 공식에 의해 주어진다.

$F(z) := \sum_{n \geq 0} f_n z^n$ 이 수열 $\{f_n\}_{n \geq 0}$ 의 (형식적인) 일반 생성 함수인 경우, 생성 함수 수열 $\{f_n z^n\}_{n \geq 0}$ 의 디리클레 급수에 대한 적분 표현은 다음과 같다.

: $\sum_{n \geq 0} \frac{f_n z^n}{(n+1)^s} = \frac{(-1)^{s-1}}{(s-1)!} \int_0^1 \log^{s-1}(t) F(tz) \, dt,\ s \geq 1.$

만약 f가 대응하는 DGF F를 갖는 산술 함수이고, f의 가법 함수가 다음과 같이 정의된다면,

: $S_f(x) := \begin{cases} \sum_{n \leq x} f(n), & x \geq 1; \\ 0, & 0 < x < 1, \end{cases}$

F는 $-s$ 에서의 가법 함수의 멜린 변환으로 표현할 수 있다. 즉, 다음이 성립한다.

: $F(s) = s \cdot \int_1^{\infty} \frac{S_f(x)}{x^{s+1}} dx, \Re(s) > \sigma_{a,f}.$

7. 응용

디리클레 급수

: $F(s) = -\sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)\log(n)}{n^s}$

는 리만 제타 함수에 적용될 수 있다. 실수부가 1보다 클 때, 리만 제타 함수의 정의는 디리클레 급수로 표현되며, 그 미분은 다음과 같다.

: $\zeta'(s) = -\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\log n}{n^s}$

산술의 기본정리에 의해 다음 등식이 성립한다.

: $\sum_{d|n}\Lambda(d) = \log n$

여기서 $\Lambda(n)$ 은 망골트 함수이다. 두 급수를 곱하면 다음 등식이 성립한다.

: $\frac {\zeta^\prime(s)}{\zeta(s)} = -\sum_{n=1}^\infty \frac{\Lambda(n)}{n^s}.$

이 식은 소수 정리 증명에 사용된다.

디리클레 급수

에서

$\lim_{n\to\infty}a_n = \alpha$

이면, $f(s)$ 는 $\scriptstyle\operatorname{Re}\ s >1$ 에서 수렴하고,

$\lim_{s\to1+0}(s-1)f(s) = \alpha$

가 성립한다. 즉, $f(s)$ 는 $s=1$ 에서 1위의 극점을 가지며, 잔류수는 α이다.

반대로, 디리클레 급수의 계수가 음이 아닌 실수이고, 수렴축이 1이며, $s=1$ 을 제외하고 $\scriptstyle\operatorname{Re}\ s = 1$ 근방까지 정칙적으로 해석적 연속이 가능하다고 가정한다. 또한 $s=1$ 에서 1위의 극점을 가지며, 잔류수를 α라고 하면,

$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}\sum_{n\le x}a_n = \alpha$

가 성립한다.