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폴리감마 함수

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목차

1. 개요

폴리감마 함수는 감마 함수의 미분으로 정의되는 특수한 함수이다. 폴리감마 함수는 디감마 함수, 트리감마 함수, 테트라감마 함수 등으로 불리며, 복소 평면에서 해석적 성질을 갖는다. 주요 성질로는 점화식, 상반 공식, 곱셈 정리가 있으며, 급수 표현, 적분 표현, 점근 전개 등을 통해 나타낼 수 있다. 또한, 큐-폴리감마 함수와 같은 변형된 형태도 존재한다. 폴리감마 함수는 특수한 값들을 가지며, 오일러-마스케로니 상수, 조화수, 리만 제타 함수 등과 관련된다.

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2. 정의

감마 함수의 로그 미분으로 정의되는 폴리감마 함수(polygamma function) \psi_{n}(z)는 다음과 같다.

:\psi_n(z) = {d^{n+1}\over{d z^{n+1}} }\ln \Gamma(z) = {d^{n}\over{d z^{n}} } = {d^{n}\over{d z^{n}} } \psi_0(z)

여기서 \psi_0(z)은 \psi^{(0)}(z)으로도 표기하며, 폴리감마 함수 중 첫 번째 함수인 디감마 함수이다.

디감마 함수는 감마 함수의 미분으로 정의된다.


  • \psi_{n}(z)에서 n=0인 경우:
  • : \psi_{0}(z) = \psi(z)
  • \psi_{n}(z)에서 n=1인 경우:
  • : \psi_{1}(z)


감마 함수 Γ(''z'')에 대해,

:

\psi^{(n)}(z)

= \frac{d^{n+1}}{dz^{n+1}} \ln{\Gamma(z)} = \frac{d^n}{dz^n} \psi(z)



로 정의되는 함수를 '''폴리감마 함수'''라고 부른다.

ψ(''z''), ψ(1)(''z''), ψ(2)(''z''), ψ(3)(''z''), ψ(4)(''z'')는 각각 '''디'''-, '''트리'''-, '''테트라'''-, '''펜타'''-, '''헥사''' -'''감마 함수'''라고 불린다.

폴리감마 함수 ψ(''n'')(''z'')는 ''z'' = 0, −1, −2, ... 에서 ''n'' + 1 차 극점을 가지며, 그 점들을 제외한 모든 복소 평면에서는 해석적이다.

실수 x에 대한 ψ(n)(x). 주황색은 디감마 함수, 노란색은 트리감마 함수, 녹색은 테트라감마 함수, 빨간색은 펜타감마 함수, 파란색은 헥사감마 함수를 나타낸다.


복소 평면 상에서의 디감마 함수 ψ(z).


복소 평면 상에서의 트리감마 함수 ψ(1)(z).


복소 평면 상에서의 테트라감마 함수 ψ(2)(z).


복소 평면 상에서의 펜타감마 함수 ψ(3)(z).

3. 주요 성질

감마 함수의 로그 미분에서 시작하여, 폴리감마 함수는 다음과 같은 주요 성질들을 가진다.[1]


  • m > 0에서 감마 함수의 미분은 다음과 같이 표현된다.

:\Gamma'(m+1) = m!\cdot\left( - \gamma + \sum_{k=1}^m \frac{1}{k} \right)

  • z ≠ 0, -1, -2, -3, ... 일 때, 폴리감마 함수는 다음과 같은 급수로 나타낼 수 있다.

:

\psi(z) = -\gamma -\sum_{n=0}^{\infty} \biggl (

\frac{1}{z+n} - \frac{1}{n+1} \biggr )



:

\psi^{(n)}(z) = (-1)^{n+1} n! \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(z+k)^{n+1}}

\qquad (n = 1,2,3, \cdots)


  • |z| < 1 인 영역에서 z = 0 일 때, 테일러 급수를 통해 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

\psi(z+1) = -\gamma +\sum_{k=2}^{\infty} (-1)^k

\zeta(k) z^{k-1}



:

\psi^{(n)}(z+1) = (-1)^{n+1} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}

(n+k-1)! \zeta(n+k) z^{k-1} }{(k-1)!}

\qquad (n = 1,2,3, \cdots)


  • Re z > 0 일 때, 폴리감마 함수는 다음과 같은 적분 표현을 갖는다.

:

\psi(z) = -\gamma+ \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-t}-e^{-zt}}{1-e^{-t}} dt



:

\psi^{(n)}(z) = (-1)^{n+1} \int_{0}^{\infty} \frac{t^ne^{-zt}}{1-e^{-t}} dt

\quad (n=1,2,\cdots)


  • z → ∞ (|arg z| < π)일 때, 폴리감마 함수는 다음과 같은 점근 전개를 가진다.

:

\psi(z) \sim \ln{z}- \frac{1}{2z}- \sum_{n=1}^{\infty} \frac{B_{2n}}{2nz^{2n}}



:

\psi^{(n)}(z) \sim (-1)^{(n-1)} \left( \frac{(n-1)!}{z^n}

+ \frac{n!}{2z^{n+1}}+ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{B_{2k}(2k+n-1)!}{(2k)!z^{2k+n}} \right )

\quad (n=1,2,\cdots)

3. 1. 점화식

폴리감마 함수는 다음과 같은 점화식을 만족한다.[1]

:\psi^{(m)}(z+1)= \psi^{(m)}(z) + \frac{(-1)^m\,m!}{z^{m+1}}

이는 양의 정수 인수에 대해 고려하면 자연수의 거듭제곱의 역수의 합을 나타낸다.[1]

:\frac{\psi^{(m)}(n)}{(-1)^{m+1}\,m!} = \zeta(1+m) - \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k^{m+1}} = \sum_{k=n}^\infty \frac{1}{k^{m+1}} \qquad m \ge 1

그리고[1]

:\psi^{(0)}(n) = -\gamma\ + \sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k}

여기서 \gamma는 오일러-마스케로니 상수이다. 로그 감마 함수와 마찬가지로, 폴리감마 함수는 \mathbb{N}의 영역에서 점화 관계와 주어진 함수 값(예: ''ψ''(''m'')(1))에 의해서만 양의 실수로 유일하게 일반화될 수 있다. 단, \mathbb{R}^{+}에서 엄격한 단조성의 추가 조건이 필요한 ''m'' = 0인 경우는 제외한다. 이는 \mathbb{R}^{+}에서 엄격한 로그 볼록성이 추가로 요구되는 감마 함수에 대한 보어-몰레럽 정리의 결과이다. ''m'' = 0의 경우, ''ψ''(0)은 무한대에서 정규화될 수 없기 때문에(역수의 합이 수렴하지 않음) 다르게 처리해야 한다.[1]

3. 2. 상반 공식

Reflection formula영어

:(-1)^m \psi^{(m)} (1-z) - \psi^{(m)} (z) = \pi \frac{\mathrm{d}^m}{\mathrm{d} z^m} \cot{\pi z} = \pi^{m+1} \frac{P_m(\cos{\pi z})}{\sin^{m+1}(\pi z)}

여기서 P_m은 정수 계수를 가지고 최고차항 계수가 (-1)^m \lceil 2^{m-1} \rceil이며, 차수가 |m-1|인 홀수 또는 짝수 다항식이다. 이들은 다음의 재귀 방정식을 따른다.

:\begin{align} P_0(x) &= x \\ P_{m+1}(x) &= - \left( (m+1)xP_m(x)+\left(1-x^2\right)P'_m(x)\right).\end{align}

감마 함수의 상반 공식에 대해, 로그 미분을 취함으로써 다음 관계식을 유도할 수 있다.

:

(-1)^n\psi^{(n)}(1-z) - \psi^{(n)}(z) = \pi \frac{d^n}{dz^n} \operatorname{cot} \pi z



단, \cot \pi z는 코탄젠트 함수를 나타낸다.

3. 3. 곱셈 정리

곱셈 정리는 다음과 같다.[1]

:k^{m+1} \psi^{(m)}(kz) = \sum_{n=0}^{k-1} \psi^{(m)}\left(z+\frac{n}{k}\right)\qquad m \ge 1

디감마 함수에 대하여,

:k \psi^{(0)}(kz) = k\ln{k} + \sum_{n=0}^{k-1}

\psi^{(0)}\left(z+\frac{n}{k}\right)

이다.[1]

3. 4. 부등식

쌍곡선 코탄젠트는 다음 부등식을 만족한다.

:\frac{t}{2}\operatorname{coth}\frac{t}{2} \ge 1,

이는 다음 함수가

:\frac{t^m}{1 - e^{-t}} - \left(t^{m-1} + \frac{t^m}{2}\right)

모든 m \ge 1 및 t \ge 0에 대해 음수가 아님을 의미한다. 따라서 이 함수의 라플라스 변환은 완전히 단조롭다. 위의 적분 표현에 의해, 다음 식이

:(-1)^{m+1}\psi^{(m)}(x) - \left(\frac{(m-1)!}{x^m} + \frac{m!}{2x^{m+1}}\right)

완전히 단조롭다고 결론 내릴 수 있다. 볼록성 부등식 e^t \ge 1 + t는 다음 식이

:\left(t^{m-1} + t^m\right) - \frac{t^m}{1 - e^{-t}}

모든 m \ge 1 및 t \ge 0에 대해 음수가 아님을 의미하므로, 유사한 라플라스 변환 논증은 다음 식이 완전 단조성을 가짐을 보여준다.

:\left(\frac{(m-1)!}{x^m} + \frac{m!}{x^{m+1}}\right) - (-1)^{m+1}\psi^{(m)}(x).

따라서 모든 m \ge 1 및 x > 0에 대해, 다음 부등식이 성립한다.

:\frac{(m-1)!}{x^m} + \frac{m!}{2x^{m+1}} \le (-1)^{m+1}\psi^{(m)}(x) \le \frac{(m-1)!}{x^m} + \frac{m!}{x^{m+1}}.[1]

4. 표현

감마 함수의 미분은 폴리감마 함수(polygamma function) \psi_{n}(z)로 주어지며, \psi_0(z)은 \psi^{(0)}(z)으로도 표기한다. 이것은 폴리감마 함수 중 첫번째 함수인 디감마 함수이다.

:\psi_n(z) = {d^{n+1}\over{d z^{n+1}} }\ln \Gamma(z) = {d^{n}\over{d z^{n}} } = {d^{n}\over{d z^{n}} } \psi_0(z)

:\Gamma(z)=\lim_{n\to\infty}\frac{n^zn!}{\displaystyle\prod_{k=0}^n (z+k)} \!\;

:\Gamma(z)={1 \over z}\prod_{k=1}^{\infty} }

:\therefore \;\Gamma'(z)=\psi_0(z) \Gamma(z)

:\psi_0(z)=\psi(z) =


  • - \Gamma' (1)= \gamma = - \psi_0(1)

:\gamma = \lim_{n\to\infty } \left(\sum_{k=1}^n {1 \over k} - \ln n \right)=\sum_{m=2}^{\infty} (-1)^m {{\zeta(m)}\over{m} }\;\; (\gamma \;오일러-마스케로니 상수, \zeta \;리만 제타 함수)

:\psi^{(0)}(z) = - \sum_{k=0}^\infty { {1} \over {(z+k)} }

:\psi^{(0)}(1) = - \sum_{k=0}^\infty { {1} \over {(1+k)} }

:\Gamma(1)=1

: \;\Gamma'(1)=\psi_0(1)
:\psi^{(n)}(z) = (-1)^{n+1}\, n!\, \zeta (n+1,z)

* 오렌지색: 디감마 함수

  • 노란색: 트리감마 함수
  • 녹색: 테트라감마 함수
  • 빨강: 펜타감마 함수
  • 파랑: 헥사감마 함수]]


4. 1. 급수 표현

m이 정수이고 z가 음이 아닌 정수가 아닌 복소수일 때, 폴리감마 함수는 다음과 같은 급수 표현을 갖는다.[1]

:\psi^{(m)}(z) = (-1)^{m+1}\, m! \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(z+k)^{m+1}}

이는 후르비츠 제타 함수를 사용하여 다음과 같이 더 간결하게 표현할 수 있다.

:\psi^{(m)}(z) = (-1)^{m+1}\, m!\, \zeta (m+1,z)

슐뢰밀히에 따르면, 폴리감마 함수에 대한 다음 급수 표현이 가능하다.

:\frac{1}{\Gamma(z)} = z e^{\gamma z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right) e^{-\frac{z}{n}}

이는 바이어슈트라스 인수분해 정리의 결과이다. 따라서 감마 함수는 다음과 같이 정의할 수 있다.

:\Gamma(z) = \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^\frac{z}{n}

감마 함수의 자연 로그는 다음과 같이 표현된다.

:\ln \Gamma(z) = -\gamma z - \ln(z) + \sum_{k=1}^\infty \left( \frac{z}{k} - \ln\left(1 + \frac{z}{k}\right) \right)

따라서 폴리감마 함수는 다음과 같은 합 표현을 갖는다.

:\psi^{(n)}(z) = \frac{\mathrm{d}^{n+1}}{\mathrm{d}z^{n+1}}\ln \Gamma(z) = -\gamma \delta_{n0} - \frac{(-1)^n n!}{z^{n+1}} + \sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{1}{k} \delta_{n0} - \frac{(-1)^n n!}{(k+z)^{n+1}}\right)

여기서 δn0는 크로네커 델타이다.

또한, 레르흐 초월 함수는 다음과 같이 폴리감마 함수로 표현될 수 있다.

:\Phi(-1, m+1, z)=\frac1{(-2)^{m+1}m!}\left(\psi^{(m)}\left(\frac{z}{2}\right)-\psi^{(m)}\left(\frac{z+1}{2}\right)\right)

''z'' ≠ 0, -1, -2, -3...일 때, 폴리감마 함수는 다음과 같은 급수로 표현된다.

:

\psi(z) = -\gamma -\sum_{n=0}^{\infty} \biggl (

\frac{1}{z+n} - \frac{1}{n+1} \biggr )



:

\psi^{(n)}(z) = (-1)^{n+1} n! \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(z+k)^{n+1}}

\qquad (n = 1,2,3, \cdots)



|''z''| < 1인 영역에서 ''z'' = 0에서의 테일러 전개를 통해 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

\psi(z+1) = -\gamma +\sum_{k=2}^{\infty} (-1)^k

\zeta(k) z^{k-1}



:

\psi^{(n)}(z+1) = (-1)^{n+1} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}

(n+k-1)! \zeta(n+k) z^{k-1} }{(k-1)!}

\qquad (n = 1,2,3, \cdots)



여기서 γ = 0.5772...는 오일러-마스케로니 상수이고, ''ζ''(''n'')은 리만 제타 함수이다.

4. 2. 적분 표현

Re영어 z > 0일 때, 폴리감마 함수는 다음과 같은 적분 표현을 갖는다.

:\begin{align}

\psi^{(m)}(z)

&= (-1)^{m+1}\int_0^\infty \frac{t^m e^{-zt}}{1-e^{-t}}\,\mathrm{d}t \\

&= -\int_0^1 \frac{t^{z-1}}{1-t}(\ln t)^m\,\mathrm{d}t\\

&= (-1)^{m+1}m!\zeta(m+1,z)

\end{align}

여기서 \zeta(s,q)는 후르비츠 제타 함수이다.

이는 폴리감마 함수를 \frac{(-1)^{m+1}t^m}{1-e^{-t}}의 라플라스 변환으로 나타낸다. 베른슈타인의 단조 함수 정리에 따르면, m>0이고 x가 실수이고 음수가 아닐 때, (-1)^{m+1} \psi^{(m)}(x)는 완전 단조 함수이다.

위 공식에서 m=0으로 설정하면 디감마 함수의 적분 표현이 나오지 않는다. 디감마 함수는 가우스에 의해 제시된 적분 표현을 가지는데, 이는 위 m=0의 경우와 유사하지만, \frac{e^{-t}}{t}라는 추가 항이 있다.

:

\psi(z) = -\gamma+ \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-t}-e^{-zt}}{1-e^{-t}} dt



:

\psi^{(n)}(z) = (-1)^{n+1} \int_{0}^{\infty} \frac{t^ne^{-zt}}{1-e^{-t}} dt

\quad (n=1,2,\cdots)


4. 3. 점근 전개

베르누이 수(B)에 대해,

: \psi_1(z) = \frac{1}{z} + \frac{1}{2z^2} + \sum_{k=1}^{\infty}\frac{B_{2k}}{z^{2k+1}} = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{B_k}{z^{k+1}}

이러한 발산 급수는 큰 인수에 대해 특정 수치적 최소 정밀도를 갖는 근사값을 빠르게 얻는 데 사용할 수 있다.[2]

: \psi^{(m)}(z) \sim (-1)^{m+1}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(k+m-1)!}{k!}\frac{B_k}{z^{k+m}} \qquad m \ge 1

그리고

: \psi^{(0)}(z) \sim \ln(z) - \sum_{k=1}^\infty \frac{B_k}{k z^k}

여기서 2nd Bernoulli numbers|2종 베르누이 수영어를 선택했다. ''z'' → ∞ (|arg''z'' | < π)일 때, 폴리감마 함수는 다음의 점근 전개를 가진다.

:\psi(z) \sim \ln{z}- \frac{1}{2z}- \sum_{n=1}^{\infty} \frac{B_{2n}}{2nz^{2n}}

:\psi^{(n)}(z) \sim (-1)^{(n-1)} \left( \frac{(n-1)!}{z^n} + \frac{n!}{2z^{n+1}}+ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{B_{2k}(2k+n-1)!}{(2k)!z^{2k+n}} \right ) \quad (n=1,2,\cdots)

단, ''B2k''는 베르누이 수이다.

5. 특수값

폴리감마 함수는 m=1일 때 다음 값을 갖는다.


  • \psi(1) = -\gamma
  • \psi^{(n)}(1) = (-1)^{n+1} n! \zeta(n+1) \quad (n=1,2,\cdots)


폴리감마 함수는 m≧2의 양의 정수일 때 다음 값을 갖는다.

  • \psi(m) = -\gamma + \sum_{k=1}^{m-1}\frac{1}{k} = -\gamma + H_{m-1} \qquad (m = 2,3,4, \cdots)
  • \psi^{(n)}(m) = (-1)^n n! \left \{ -\zeta(n+1) + \sum_{k=1}^{m-1}\frac{1}{k^{n+1}} \right \} \qquad (n = 1,2,3, \cdots,m = 2,3,4, \cdots)


단, γ는 오일러-마스케로니 상수, ''Hm-1''는 조화수를 나타낸다.

6. 큐-폴리감마 함수 (q-Polygamma Function)

큐-폴리감마 함수는 폴리감마 함수의 큐-아날로그이다.

:\psi_{q}^{(n)} (z)= }

:\psi_q(z) = \;\;\; , z>0


  • 큐 감마함수(q gamma function)

:f(x+1) = f(x)

:q \in \left( 0,1 \right) 구간

:f(1) =1

:\log f(x) ,x>0

:f(x)= \Gamma_q (x)

:\therefore \Gamma_q(z)= (1-q)^{1-z}\;\;\; 큐-포흐하머 기호\; (q;q)\infty

참조

[1] 논문 The polygamma function psi^k(x) for x=1/4 and x=3/4
[2] 논문 Structural relations of harmonic sums and Mellin transforms up to weight w=5


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