라마누잔 타우 함수

1. 개요

라마누잔 타우 함수는 데데킨트 에타 함수를 이용하여 정의되며, 라마누잔의 계산식을 통해 표현할 수 있다. 이 함수는 곱셈적 성질을 가지며, 특정 점화식을 만족한다. 라마누잔은 타우 함수에 대한 세 가지 성질을 제시했지만 증명하지 못했고, 이 중 세 번째 성질은 라마누잔 추측으로 불리며 델리뉴에 의해 증명되었다. 타우 함수는 여러 합동 관계를 만족하며, 레머 추측은 모든 n에 대해 타우 함수 값이 0이 아니라는 추측이다. 라마누잔의 L-함수는 타우 함수를 이용하여 정의되며, 정수론, 모듈러 형식 이론, 대수기하학 등 다양한 분야에 응용된다.

2. 정의 및 표현

2.1. 데데킨트 에타 함수를 이용한 정의

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데데킨트 에타 함수를 이용한 정의는 다음과 같다.

:$\backslash sum\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\; \backslash tau(n)\; x^n=\; \backslash eta(\backslash tau)^\{24\}=\backslash Delta(\backslash tau)$
:$x=\; e^\{2\backslash pi\; i\; \backslash tau\}$
여기서 $\backslash eta(\backslash tau)$는 데데킨트 에타 함수이다.

2.2. 라마누잔의 계산식

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라마누잔의 계산식은 다음과 같다.

:$\backslash tau(n)(n-1)\; =\backslash sum\_\{k=1\}^\{b\_n\}\; (-1)^\{k+1\}(2k+1)\backslash left(\; n-1-9K\backslash right)\backslash tau\; \backslash left(\; n-K\backslash right)$

:$b\_n\; =\; \{\{\; \backslash sqrt\{8n+1\}\; -1\; \}\backslash over2\}$
:$K\; =\; \{\{k(k+1)\}\backslash over2\}$
따라서,
:$\backslash tau(n)(n-1)\; =\backslash sum\_\{k=1\}^\{\{\; \backslash sqrt\{8n+1\}\; -1\; \}\backslash over2\}\; (-1)^\{k+1\}(2k+1)\backslash left(\; n-1-\{9\backslash over2\}k(k+1)\backslash right)\backslash tau\; \backslash left(\; n-\{1\; \backslash over\; 2\}k(k+1)\backslash right)$

3. 기본 성질

3.1. 값

타우 함수는 홀수 제곱수(중심 팔각형수)에 대해 계산하면 홀수가 나오지만, 다른 모든 수에 대해서는 짝수가 나온다.

3.2. 곱셈적 성질

3.3. 점화식

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Ramanujan^영어 타우 함수는 다음 점화식을 만족한다.

:$\backslash tau(n)(n-1)\; =\backslash sum\_\{k=1\}^\{b\_n\}\; (-1)^\{k+1\}(2k+1)\backslash left(\; n-1-9K\backslash right)\backslash tau\; \backslash left(\; n-K\backslash right)$

:$b\_n\; =\; \{\{\; \backslash sqrt\{8n+1\}\; -1\; \}\backslash over2\}$
:$K\; =\; \{\{k(k+1)\}\backslash over2\}$

따라서,

:$\backslash tau(n)(n-1)\; =\backslash sum\_\{k=1\}^\{\{\; \backslash sqrt\{8n+1\}\; -1\; \}\backslash over2\}\; (-1)^\{k+1\}(2k+1)\backslash left(\; n-1-\{9\backslash over2\}k(k+1)\backslash right)\backslash tau\; \backslash left(\; n-\{1\; \backslash over\; 2\}k(k+1)\backslash right)$

4. 라마누잔 추측

라마누잔은 1916년에 다음과 같은 τ(n)의 세 가지 성질을 관찰했지만 증명하지는 못했다.

* gcd(m,n) = 1일 때 τ(mn) = τ(m)τ(n) (이는 τ(n)이 곱셈 함수임을 의미한다.)
* p가 소수이고 r > 0일 때 τ(p^{r + 1}) = τ(p)τ(p^r) − p¹¹ τ(p^{r − 1}).
* 모든 소수 p에 대해 |τ(p)| ≤ 2p^11/2.

처음 두 가지 성질은 1917년에 모델에 의해 증명되었고, 세 번째 성질은 라마누잔 추측이라고 불리며, 1974년 들리뉴가 베유 추측 증명의 결과로 증명했다. 그는 이를 쿠가-사토 다양체에 적용하여 유도했다.

4.1. 라마누잔 추측 (증명됨)

라마누잔은 1916년에 다음과 같은 τ(n)의 세 가지 성질을 관찰했지만 증명하지는 못했다.

* gcd(m,n) = 1일 때 τ(mn) = τ(m)τ(n) (이는 τ(n)이 곱셈 함수임을 의미한다.)
* p가 소수이고 r > 0일 때 τ(p^{r + 1}) = τ(p)τ(p^r) − p¹¹ τ(p^{r − 1}).
* 모든 소수 p에 대해 |τ(p)| ≤ 2p^11/2.

처음 두 가지 성질은 1917년에 모델에 의해 증명되었고, 세 번째 성질은 라마누잔 추측이라고 불리며, 1974년 들리뉴가 베유 추측 증명의 결과로 증명했다. 그는 이를 쿠가-사토 다양체에 적용하여 유도했다.

4.2. 라마누잔-피터슨 추측 (베유 추측의 일부로 증명됨)

5. 합동 관계

k ∈ ℤ 및 n ∈ ℤ_>0에 대해, 약수 함수 σ_k(n)는 n의 약수의 k제곱의 합이다. 타우 함수는 여러 합동 관계를 만족하며, 그 중 다수는 σ_k(n)로 표현될 수 있다. 다음은 그 중 일부이다.

* τ(n) ≡ σ₁₁(n) mod 2¹¹ (n ≡ 1 mod 8인 경우)
* τ(n) ≡ 1217 σ₁₁(n) mod 2¹³ (n ≡ 3 mod 8인 경우)
* τ(n) ≡ 1537 σ₁₁(n) mod 2¹² (n ≡ 5 mod 8인 경우)
* τ(n) ≡ 705 σ₁₁(n) mod 2¹⁴ (n ≡ 7 mod 8인 경우)
* τ(n) ≡ n^-610σ₁₂₃₁(n) mod 3⁶ (n ≡ 1 mod 3인 경우)
* τ(n) ≡ n^-610σ₁₂₃₁(n) mod 3⁷ (n ≡ 2 mod 3인 경우)
* τ(n) ≡ n^-30σ₇₁(n) mod 5³ (n ≢ 0 mod 5인 경우)
* τ(n) ≡ nσ₉(n) mod 7 (n ≡ 0, 1, 2, 4 mod 7인 경우)
* τ(n) ≡ nσ₉(n) mod 7² (n ≡ 3, 5, 6 mod 7인 경우)
* τ(n) ≡ σ₁₁(n) mod 691

소수 p ≠ 23에 대해, 다음이 성립한다.

* τ(p) ≡ 0 mod 23 ( (p/23) = -1 인 경우)
* τ(p) ≡ σ₁₁(p) mod 23² (p가 a² + 23b² 형태인 경우)
* τ(p) ≡ -1 mod 23 (그 외의 경우)

6. 레머 추측

레머 추측은 모든 에 대해 라마누잔 타우 함수 가 0이 아니라는 추측이다. 데릭 레머(Lehmer)는 1947년에 이 추측을 제기했으며, 이 214928639999까지의 값에 대해 이 추측이 참임을 확인했다.

인 소수 는 10¹⁰까지 2, 3, 5, 7, 2411, 7758337633뿐이다.

다음 표는 레머 추측이 성립하는 값의 변화를 보여준다.

일반적으로, 가중치 의 정수 새로운 형태 에 대해 푸리에 계수 가 정수이고, 가 복소수 곱셈을 갖지 않는 경우, 거의 모든 소수 에 대해 가 성립하는지가 연구되고 있다. 인 소수 는 무한히 많다는 엘키스(Elkies)의 정리가 있으나, 인 무한히 많은 소수 가 존재하는지는 알려져 있지 않다.

7. 라마누잔의 L-함수

라마누잔의 L-함수는 다음과 같이 정의된다.

:$L(s)=\backslash sum\_\{n\backslash ge\; 1\}\backslash frac\{\backslash tau\; (n)\}\{n^s\}$

만약 $\backslash Re\; s>6$이고, 그 외의 경우에는 해석적 연속을 통해 정의된다. 다음의 함수 방정식을 만족한다.

:$\backslash frac\{L(s)\backslash Gamma\; (s)\}\{(2\backslash pi)^s\}=\backslash frac\{L(12-s)\backslash Gamma(12-s)\}\{(2\backslash pi)^\{12-s\}\},\backslash quad\; s\backslash notin\backslash mathbb\{Z\}\_0^-,\; \backslash ,12-s\backslash notin\backslash mathbb\{Z\}\_0^\{-\}$

그리고 다음의 오일러 곱을 갖는다.

:$L(s)=\backslash prod\_\{p\backslash ,\backslash text\{소수\}\}\backslash frac\{1\}\{1-\backslash tau\; (p)p^\{-s\}+p^\{11-2s\}\},\backslash quad\; \backslash Re\; s>7.$

라마누잔은 $L$의 모든 비자명 영점들이 실수부 $6$을 갖는다고 추측했다.

8. 응용 및 중요성

8.1. 정수론 연구

8.2. 모듈러 형식 이론

8.3. 대수기하학과의 연관성

9. 추가 정보

9.1. 명시적 공식

더글러스 니버(Douglas Niebur)는 1975년에 라마누잔 타우 함수에 대한 명시적인 공식을 증명했다.

:$\backslash tau(n)=n^4\backslash sigma(n)-24\backslash sum\_\{i=1\}^\{n-1\}i^2(35i^2-52in+18n^2)\backslash sigma(i)\backslash sigma(n-i).$

여기서 $\backslash sigma(n)$는 $n$의 양의 약수의 합을 나타낸다.

9.2. τ(n)에 대한 추측 (일반화된 경우)

가 가중치 의 정수 새로운 형태이고 푸리에 계수 가 정수라고 가정할 때, 가 복소수 곱셈을 갖지 않는 경우 거의 모든 소수 에 대해 가 성립하는지에 대한 문제가 제기된다. 대부분의 소수는 이 속성을 가지며, 따라서 'ordinary'라고 불린다.

Deligne와 Serre의 갈루아 표현에 대한 연구 발전에도 불구하고, 이 와 서로 소인 경우 는 결정되지만, 를 계산하는 방법은 불분명하다. 이와 관련하여 알려진 유일한 정리는 모듈러 타원 곡선에 대한 Elkies의 결과로, 인 무한히 많은 소수 가 존재함을 보장한다.

복소수 곱셈이 아닌 의 가중치가 2보다 큰 경우, 인 무한히 많은 소수 가 존재하는지는 알려져 있지 않다. 또한 인 무한히 많은 가 존재하는지도 알려져 있지 않다. 일부 연구자들은 인 무한히 많은 가 존재하는지에 대해 의문을 제기하기도 한다.

이러한 의문에 대한 증거로, 라마누잔의 (가중치 12의 경우)가 제시된다. 방정식 의 10¹⁰까지의 유일한 해는 2, 3, 5, 7, 2411, 이다.

는 모든 에 대해 라고 추측했으며, 이는 Lehmer의 추측으로 알려져 있다. Lehmer는 이 까지 이 추측을 확인했다. 다음 표는 이 조건이 모든 에 대해 성립하는 의 연속적으로 더 큰 값을 찾는 데 대한 진전을 요약한다.