라차루스 푹스

1. 개요

라차루스 푹스(Lazarus Fuchs, 1833년 ~ 1902년)는 독일의 수학자이다. 푹스는 1833년 프로이센 포즈난 근처의 모시나에서 태어나 베를린 훔볼트 대학교에서 카를 바이어슈트라스의 지도를 받았다. 그는 푹스 군, 푹스 함수, 피카르-푹스 방정식 등의 개념을 도입하고, 선형 미분 방정식 이론에 기여했다. 주요 저서로는 《선형 미분 방정식 이론에 대하여》(1901)와 《전집》(1904–1909) 등이 있다.

2. 생애

라차루스 푹스는 선형 미분 방정식 이론에 기여한 독일의 수학자이다. 푹스군, 푹스 함수, 피카르-푹스 방정식 등의 개념은 그의 이름을 따서 명명되었다.

푹스는 다음 형태의 선형 미분 방정식의 특이점에 대한 연구로 유명하다.

:$y\text{'}\text{'}+p(x)y\text{'}+q(x)y=0$

여기서 p(x)와 q(x)는 특정 점 a 주변에서 유리형 함수이며, 최대 1차 또는 2차 극점을 갖는 경우, 이 점 a를 푹시안 특이점이라고 한다. 푹스의 정리에 따르면, 이러한 조건은 특이점의 정칙성을 보장하기 위한 필요충분조건이다. 즉,

:$y\_j=\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; a\_\{j,n\}(x-x\_0)^\{n+\backslash sigma\_j\},\backslash quad\; a\_0\backslash ne0\backslash ,\backslash quad\; j=1,2.$

라는 두 개의 선형 독립 해가 존재함을 보장한다. 여기서 지수 $\backslash sigma\_j$는 미분 방정식에 의해 결정된다. 만약 $\backslash sigma\_1-\backslash sigma\_2$가 정수인 경우에는 이 공식은 수정이 필요하다.

푹스는 또한 비선형 미분 방정식
:$F\backslash left(\backslash frac\{dy\}\{dz\},y,z\backslash right)=0$
에서 움직이는 특이점이 없어지기 위한 필요충분조건인 '푹스의 조건'을 제시하였다.

2.1. 출생과 가계

1833년 프로이센 포즈난 근처의 소도시 모시나(오늘날 폴란드에 속함)에서 유대인 가정에서 태어났다. 아버지 라파엘 푹스(Rafael Fuchs^독일어)는 교사였으며, 어머니는 체칠리 카츠(Caecilie Katz^독일어)였다.

2.2. 학창 시절

1853년에 김나지움을 졸업하였다.

1854년에 베를린 훔볼트 대학교에 입학하였고, 카를 바이어슈트라스가 푹스의 재능을 눈여겨보고 직접 지도했다. 1858년 바이어슈트라스 밑에서 박사 학위를 받았다. 1859년 3월 19일 베를린의 한 김나지움 교사가 되었다. 1860년 반유대주의를 피해 에른스트 쿠머와 카를 바이어슈트라스의 권고로 유대교에서 루터교로 개종하였다.

2.3. 교육 활동

1859년 3월 19일에 베를린의 한 김나지움 교사가 되었다. 1869년 2월 3일에 그라이프스발트 대학교 교수가 되었다. 1874년 1월 23일, 괴팅겐 대학교로 이전하였고, 1875년에는 하이델베르크 대학교로 이전하였다. 1884년에 에른스트 쿠머가 은퇴하자, 쿠머를 대신하여 베를린 훔볼트 대학교 교수직을 얻었고, 여기서 평생 교편을 잡았다.

2.4. 결혼과 가족

1860년에 반유대주의를 피하기 위하여 에른스트 쿠머와 카를 바이어슈트라스의 권고에 따라 유대교에서 루터교로 개종하였다. 1868년에 마리 안데르스(Marie Anders^독일어, 1849~1917)와 결혼하여 4남 2녀를 두었다. 자녀 가운데 아들 막시밀리안 에른스트 리하르트 푹스(Maximilian Ernst Richard Fuchs^독일어, 1873~1873)는 수학자가 되었으며, 딸 클라라(Clara^독일어, 1869~1954)는 수학자 루트비히 슐레징거(Ludwig Schlesinger^독일어, 1864~1933)와 결혼하였다.

2.5. 사망

1902년 4월 26일에 베를린에서 사망하였다. 베를린의 옛 성 마태 공동묘지(Alter Sankt-Matthäus-Kirchhof^독일어)에 매장되었다.

3. 연구 업적

라차루스 푹스는 선형 및 비선형 미분 방정식 이론에 중요한 기여를 했다.

선형 미분 방정식 분야에서는 푹스형 미분 방정식과 푹스의 정리를 통해 정칙 특이점의 개념을 정립했다. 선형 미분 방정식 $y$+p(x)y'+q(x)y=0의 특이점 a에서 p와 q''가 유형이며, 각각 최대 1차 또는 2차 극점을 가지면 푹스형이라고 부른다. 푹스의 정리는 이러한 조건이 특이점의 정칙성에 대한 필요충분조건임을 보여준다. 푹스는 푹스 군, 푹스 함수, 피카르-푹스 방정식 등의 개념을 도입하였다.

비선형 미분 방정식 분야에서는 $F\backslash left(\backslash frac\{dy\}\{dz\},y,z\backslash right)=0$에서 움직이는 특이점이 없어지기 위한 필요충분조건을 제시하였다.

3.1. 선형 미분 방정식 이론

선형 미분 방정식
:$y$+p(x)y'+q(x)y=0
의 특이점 a에서 p와 q''가 유형이며, 각각 최대 1차 또는 2차 극점을 가지면, 푹스형이라고 부른다.

Fuchs's theorem^영어에 따르면, 이 조건은 특이점의 regular singular point^영어에 대한 필요충분조건이다. 즉,
:$y\_j=\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; a\_\{j,n\}(x-x\_0)^\{n+\backslash sigma\_j\},\backslash quad\; a\_0\backslash ne0\backslash ,\backslash quad\; j=1,2.$
라는 두 개의 선형 독립 해가 존재하기 위한 필요충분조건이다. 여기서, 지수 $\backslash sigma\_j$는 미분 방정식으로 결정할 수 있다. $\backslash sigma\_1-\backslash sigma\_2$가 정수인 경우에는 이 공식은 수정해야 한다.

푹스는 Fuchsian group^영어, 푹스 함수, Picard–Fuchs equation^영어 등의 개념을 도입하였다.

3.2. 비선형 미분 방정식

푹스의 조건은 비선형 미분 방정식
:$F\backslash left(\backslash frac\{dy\}\{dz\},y,z\backslash right)=0$
에서 움직이는 특이점이 없어지기 위한 필요충분조건이다.

4. 저서

* Über Funktionen zweier Variabeln, welche durch Umkehrung der Integrale zweier gegebener Funktionen entstehen^독일어, 괴팅겐, 1881.
* Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen^독일어, 베를린, 1901.
* 전집 (편집: 리하르트 푹스 및 루트비히 슐레징어. 3권. 베를린, 1904–1909).