다르시의 법칙

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1. 개요

다르시의 법칙은 다공성 매질을 통과하는 유체의 흐름을 설명하는 경험적 법칙으로, 앙리 다르시에 의해 실험적으로 밝혀졌다. 이 법칙은 푸리에의 법칙, 옴의 법칙, 피크의 법칙과 유사하며, 대수층을 통한 물의 흐름 분석, 석유 저류층 내 유체의 다상 흐름 등 다양한 분야에 적용된다. 다르시의 법칙은 유체의 점성, 흐르는 거리, 압력 차이 간의 비례 관계를 나타내며, 모리스 머스캣에 의해 점성을 고려하여 정교하게 다듬어졌다. 이 법칙은 지하수 유동 방정식의 기초가 되며, 레이놀즈 수가 낮은 층류 흐름에 유효하다. 포르히하이머 방정식, 브링크만 방정식, 클린켄버그 효과 등 확장된 형태도 존재하며, 수리지질학, 석유 공학, 환경 공학 등 다양한 분야에서 활용된다.

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다르시의 법칙

2. 역사

다르시의 법칙은 앙리 다르시가 실험을 통해 처음으로 밝혀낸 법칙이다. 이후 나비에-스토크스 방정식을 균질화하는 방법을 통해 유도되기도 하였다.^[2]^[3] 이는 열전도 분야의 푸리에의 법칙, 전기 회로 분야의 옴의 법칙, 그리고 확산 이론의 피크의 법칙과 유사하다. 다르시의 법칙은 대수층을 통한 물의 흐름을 분석하는 데 사용될 수 있으며, 질량 보존의 법칙과 함께 지하수 유동 방정식으로 단순화되어 수리지질학의 기본적인 관계 중 하나로 다루어진다.

이후 모리스 머스캣은 다르시의 방정식을 단상 유동에 대한 점성을 포함시켜 정교하게 다듬었다.^[4] 머스캣은 동료인 와이코프와 보세트의 실험 결과를 바탕으로 다르시의 법칙을 석유 저류층의 다공성 매질 내 물, 석유, 가스의 다상 유동을 다루도록 일반화했다.

2. 1. 앙리 다르시의 실험 (1856)

다르시의 법칙은 처음에는 다르시에 의해 실험적으로 밝혀졌지만, 이후 나비에-스토크스 방정식을 균질화하는 방법을 통해 유도되었다.^[2]^[3] 이는 열전도 분야의 푸리에의 법칙, 전기 회로 분야의 옴의 법칙, 그리고 확산 이론의 피크의 법칙과 유사하다.

다르시의 법칙은 대수층을 통한 물의 흐름 분석에 적용된다. 질량 보존의 법칙과 함께 지하수 유동 방정식으로 단순화되며, 이는 수리지질학의 기본적인 관계 중 하나이다.

모리스 머스캣은 다르시의 방정식을 단상 유동에 대한 점성을 포함시켜 정교하게 다듬었다.^[4] 점성 유체는 덜 점성인 유체보다 다공성 매질을 통과하기 어렵다는 점을 고려하면, 이러한 변화는 석유 산업 연구자들에게 적합했다. 머스캣은 동료인 와이코프와 보세트의 실험 결과를 바탕으로 다르시의 법칙을 석유 저류층의 다공성 매질 내 물, 석유, 가스의 다상 유동을 다루도록 일반화했다. 머스캣 등에 의한 일반화된 다상 유동 방정식은 오늘날까지 저류층 공학의 분석적 토대를 제공한다.

2. 2. 머스캣의 일반화 (1937)

모리스 머스캣은 다르시의 방정식을 단상 유동에 대한 점성을 포함시켜 정교하게 다듬었다.^[4] 점성 유체는 덜 점성인 유체보다 다공성 매질을 통과하기 어렵다는 것을 이해할 수 있다. 이러한 변화는 석유 산업 연구자들에게 적합하게 만들었다. 머스캣은 동료인 와이코프와 보세트의 실험 결과를 바탕으로 다르시의 법칙을 석유 저류층의 다공성 매질 내 물, 석유, 가스의 다상 유동을 다루도록 일반화했다. 머스캣 등에 의한 일반화된 다상 유동 방정식은 오늘날까지 존재하는 저류층 공학의 분석적 토대를 제공한다.

3. 정의 및 설명

다르시의 법칙은 다공성 매질을 통과하는 유체의 흐름을 설명하는 중요한 개념으로, 유체의 유량, 점성, 흐르는 거리, 압력 차이 간의 관계를 나타낸다. 이 법칙은 앙리 다르시에 의해 처음 실험적으로 밝혀졌으며, 이후 나비에-스토크스 방정식을 균질화하여 유도되었다.^[2]^[3]

모리스 머스캣은 다르시의 방정식을 단상 유동뿐만 아니라 다상 유동에도 적용할 수 있도록 정교화하여, 석유 저류층과 같이 다양한 유체가 섞여 흐르는 현상을 설명하는 데 기여했다.^[4]

다르시의 법칙은 대수층을 통한 물의 흐름 분석, 지하수 유동 방정식 등 수리지질학의 기본적인 관계를 이해하는 데 활용된다. 일반적으로 레이놀즈 수가 1 미만인 느리고 점성이 있는 흐름에 유효하며, 실험적으로는 레이놀즈 수가 10까지인 경우에도 적용 가능하다는 것이 밝혀졌다.

3. 1. 다르시의 법칙 (Darcy's Law)

다르시의 법칙은 다공성 매질을 통과하는 유체의 단위 시간당 유량과 유체의 점성, 유체가 흐르는 거리와 그에 따르는 압력 차이 사이의 비례 관계를 의미한다.

:

Q=-K\frac{p_b-p_a}{L} A = KIA = vA

유량

Q

(단위는 [길이]³[시간]^-1. 예: cm³/s)는 매질의 투과율(투수 계수,

K

), 물이 흐르는 매질의 내부 단면적(

A

)과 유체가 흐르는 두 점간 압력 차이(

p_b-p_a

혹은 수두 차이)의 곱을 유체가 흐르는 길이(

L

)로 나눈 것과 같다. I는 동수경사이다.^[21] 음의 기호는 압력이 낮아지는 방향으로 유체가 흐른다는 것을 의미한다. 여기서 투수계수는 유체의 점성, 매질의 특성(흙 입자의 크기(유효입경)와 모양, 배열 상태, 포화도, 간극비 등)과 관련되어 정해지는 값이다.

다르시의 법칙은 처음 다르시에 의해 실험적으로 밝혀졌지만, 이후 나비에-스토크스 방정식을 균질화 방법을 통해 유도되었다.^[2]^[3] 이는 열전도 분야의 푸리에의 법칙, 전기 회로 분야의 옴의 법칙, 그리고 확산 이론의 피크의 법칙과 유사하다.

다르시의 법칙의 한 가지 적용 분야는 대수층을 통한 물의 흐름 분석이다. 다르시의 법칙은 질량 보존의 법칙과 함께 지하수 유동 방정식으로 단순화되며, 이는 수리지질학의 기본적인 관계 중 하나이다.

모리스 머스캣은 처음으로^[4] 다르시의 방정식을 단상 유동에 대한 점성을 포함시켜 정교하게 다듬었다. 점성 유체는 덜 점성인 유체보다 다공성 매질을 통과하기 어렵다는 것을 이해할 수 있다. 이러한 변화는 석유 산업 연구자들에게 적합하게 만들었다. 머스캣은 동료인 와이코프와 보세트의 실험 결과를 바탕으로 다르시의 법칙을 석유 저류층의 다공성 매질 내 물, 석유, 가스의 다상 유동을 다루도록 일반화했다. 머스캣 등에 의한 일반화된 다상 유동 방정식은 오늘날까지 존재하는 저류층 공학의 분석적 토대를 제공한다.

중력이 없을 때, 모리스 머스캣이 정제한 다르시의 법칙은 균질하게 투과성 있는 매질에서 체적 유량

Q

와 압력 강하

\Delta p

사이의 간단한 비례 관계를 나타낸다. 이 비례 상수

k

는 매질의 투과율

\mu

, 유체의 동적 점성

L

, 압력 강하가 계산되는 주어진 거리, 그리고 단면적

A

와 관련이 있으며, 다음과 같은 형태로 나타낸다.

:

Q = \frac {k A}{\mu L} \Delta p

다음 비율은 다르시의 법칙 수력 저항으로 정의될 수 있다.

:

R = \frac {\mu L}{k A}

다르시의 법칙은 다음과 같은 국소 형태로 일반화될 수 있다.

:

\mathbf q = - \frac {k}{\mu} \nabla p

여기서

\nabla p

는 수력 경사이고

\mathbf q

는 체적 플럭스이며, 표면 속도라고도 한다.

다음 비율은 다르시의 법칙 수리전도도로 생각할 수 있다.

:

\sigma = \frac k \mu

(덜 일반적인) 적분 형태에서, 체적 플럭스와 압력 경사는 다음과 같은 비율에 해당한다.

:

q = \frac Q A

:

\nabla p= \frac {\Delta p} L

.

이방성 다공성 매질의 경우 투과율은 2차 텐서이며, 텐서 표기법에서 더 일반적인 법칙은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

q_i = - \frac {k_{ij}} \mu \partial_j p

다르시 플럭스 또는 다르시 속도라고도 하는 양

\mathbf q

는 유체가 기공을 통과하여 이동하는 속도가 아니다. 이것은 비배출량 또는 단위 면적당 플럭스이다. 유속 (

\mathbf u

)는 다음 방정식으로 공극률 (

\varphi

)에 의해 플럭스 (

\mathbf q

)와 관련된다.

:

\mathbf q= \varphi \, \mathbf u.

단상(유체) 흐름에 대한 다르시의 구성 방정식은 절대 투과율 (단상 투과율)에 대한 정의 방정식이다.

오른쪽 다이어그램을 참조하면, 유속은 SI 단위

\mathrm{(m/s)}

이고, 공극률

\varphi

는 무차원수이므로, 다르시 플럭스

\mathbf q

또는 단위 면적당 배출량도 단위

\mathrm{(m/s)}

로 정의된다. 투과율

k

는 단위

\mathrm{(m^2)}

로, 동적 점성

\mu

는 단위

\mathrm{(Pa \cdot s)}

로, 그리고 수력 경사는 단위

\mathrm{(Pa/m)}

로 정의된다.

적분 형태에서 총 압력 강하

\Delta p = p_b - p_a

는 단위

\mathrm{(Pa)}

이고,

L

은 시료의 길이는 단위

\mathrm{(m)}

이며, 다르시의 체적 유량

Q

또는 배출량도 단위

\mathrm{(m^3/s)}

로 정의되며, 단면적

A

는 단위

\mathrm{(m^2)}

로 정의된다. 이러한 매개변수 중 일부는 아래의 대체 정의에 사용된다. 유체가 높은 압력 영역에서 낮은 압력 영역으로 흐른다는 표준 물리학적 관례에 따라 플럭스의 정의에 음수 부호가 사용된다. 유입구와 유출구가 다른 고도에 있는 경우 수두를 고려해야 한다. 압력 변화가 음수이면 흐름은 양의

x

방향으로 흐른다. 절대 투과율에 대한 여러 구성 방정식이 제안되었으며, 가장 유명한 방정식은 코제니 방정식 (또는 코제니-카르만 방정식)이다.

정적 유체 압력에 대한 관계(스테빈의 법칙)는 다음과 같다.

:

p = \rho g h

따라서 적분 형태를 다음과 같은 방정식으로 나타낼 수도 있다.

:

Q = \frac{k A g}{\nu L} \, {\Delta h}

여기서

\nu

는 동점성 계수이다.

따라서 해당하는 수리전도도는 다음과 같다.

:

K = \frac{k\rho g}{\mu}=\frac{k g}{\nu}.

다르시의 법칙은 대수층에서 흐르는 지하수가 나타내는 다음과 같은 몇 가지 친숙한 특성을 요약한다.

거리에 걸쳐 압력 경사가 없으면 흐름이 발생하지 않는다(이것은 유체정역학적 조건이다).
압력 경사가 있으면 높은 압력에서 낮은 압력으로 흐름이 발생한다(경사가 증가하는 방향과 반대 방향 — 따라서 다르시의 법칙에 음수 부호가 있다).
압력 경사가 클수록(동일한 형성 물질을 통해) 배출량이 증가한다.
유체의 배출량은 동일한 압력 경사가 두 경우 모두에 존재하더라도 다양한 형성 물질(또는 심지어 동일한 물질을 통해 다른 방향으로)을 통과할 때 종종 다를 것이다.

다르시의 법칙과 질량 보존을 기반으로 하는 정상 상태 지하수 흐름 방정식의 사용을 그래픽으로 설명하는 예는 댐 아래로 흐르는 지하수의 양을 정량화하기 위한 흐름망의 구성에 있다.

다르시의 법칙은 느리고 점성 흐름에만 유효하다. 그러나 대부분의 지하수 흐름 사례는 이 범주에 속한다. 일반적으로 레이놀즈 수가 1 미만인 모든 흐름은 분명히 층류이며 다르시의 법칙을 적용하는 것이 유효하다. 실험 테스트는 10까지의 레이놀즈 수를 갖는 흐름 체제가 지하수 흐름의 경우와 같이 여전히 다르시안일 수 있음을 보여주었다. 다공성 매체 흐름에 대한 레이놀즈 수(무차원 매개변수)는 일반적으로 다음과 같이 표현된다.

:

\mathrm{Re} = \frac{q d }{\nu}\,,

여기서

\nu

는 물의 동점성 계수이고,

q

는 비배출량(공극 속도가 아님 — 시간당 길이 단위),

d

는 다공성 매질의 대표적인 입자 직경이다(표준 선택은

d_{30}

이며, 이는 체를 사용한 입도 분석에서 30% 통과 크기이다 — 길이 단위).

다르시의 법칙은 다음과 같이 매우 일반적인 형태로 표현될 수 있다.

:

\mathbf{q}=-K\nabla h

여기서 '''q'''는 매질의 특정 지점에서 유체의 체적 유속 벡터, ''h''는 총 수두, ''K''는 해당 지점에서의 수리 전도도 텐서이다. 수리 전도도는 종종 스칼라로 근사될 수 있다. (정전기학의 옴의 법칙과 유사함을 주목하라. 유속 벡터는 전류 밀도와, 수두는 전압과, 수리 전도도는 전기 전도도와 유사하다.)

3. 2. 다르시 속도와 실제 유속

공극률 ''n''과 공극비 ''e''로 실제 유속 v_a를 나타낼 수 있다. 공극률

n = \frac{V_v}{V} = \frac{A_v}{A}

이고,

A_v = nA

이므로,^[22]

:

v_a = \frac{v}{n} = \frac{v}{\frac{e}{1+e}} = \frac{1+e}{e}v

흙 시료에 다르시의 법칙을 적용한다고 할 때, 단면적 A는 흙 시료 전체 단면적이므로 이를 통해 계산한 유속 ''v''는 실제 유속 v_a(침윤속도라고도 함)와 다르다. 왜냐하면 실제로 흙 시료에서 물이 흐르는 단면적은 공극만큼의 단면적 A_v이기 때문이다. 이는 연속 방정식에 의해

Q = Av = A_v v_a

로 나타낼 수 있다.

다르시 플럭스 또는 다르시 속도라고도 하는 양

\mathbf q

는 유체가 기공을 통과하여 이동하는 속도가 아니다. 이것은 비배출량 또는 단위 면적당 플럭스이다. 유속 (

\mathbf u

)는 다음 방정식으로 공극률 (

\varphi

)에 의해 플럭스 (

\mathbf q

)와 관련된다.

:

\mathbf q= \varphi \, \mathbf u.

4. 수학적 유도

정상 상태의 점성, 크리핑, 비압축성 흐름, 즉 mathematical expression|수학적 표현^영어 인 경우, 나비에-스토크스 방정식은 스토크스 방정식으로 단순화되며, 부피 항을 무시하면 다음과 같다.

: $\mu\nabla^2 u_i -\partial_i p =0\,.$

여기서 $\mu$ 는 점성, $u_i$ 는 $i$ 방향의 속도, $p$ 는 압력이다. 점성 저항력은 속도에 선형이라고 가정하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

: $-\left(k^{-1}\right)_{ij} \mu\varphi u_j-\partial_i p=0\,.$

여기서 $\varphi$ 는 공극률이고, $k_{ij}$ 는 2차 투과율 텐서이다. 이것은 $n$ 방향의 속도를 제공한다.

: $k_{ni}\left(k^{-1}\right)_{ij} u_j= \delta_{nj} u_j = u_n = -\frac{k_{ni}}{\varphi\mu} \partial_i p\,.$

이는 $n$ 방향의 체적 유속 밀도에 대한 다르시의 법칙을 제공한다.

: $q_n=-\frac{k_{ni}}{\mu} \, \partial_i p\,.$

등방성 다공성 매질에서 투과율 텐서의 비대각 요소는 0이고 $k_{ij} = 0$ ( $i \ne j$ )이며 대각 요소는 동일하다. $k_{ii} = k$ , 일반적인 형태는 아래와 같이 얻어지며, 이를 통해 주어진 영역에서 일련의 방정식을 풀어 액체 흐름 속도를 결정할 수 있다.^[5]

: $\boldsymbol{q}=-\frac{k}{\mu} \, \boldsymbol{\nabla} p \,.$

위 방정식은 다공성 매질에서 단상 유체 흐름에 대한 지배 방정식이다.

5. 적용 조건 및 한계

다르시의 법칙은 유속이 느린 점성 흐름에 대해서만 유효하며, 대부분의 지하수 흐름에는 적용이 가능하다. 일반적으로 레이놀즈 수가 1보다 작으면 층류로 간주하여 다르시의 법칙을 적용할 수 있다. 실험에 의하면 레이놀즈 수가 약 10 정도인 흐름까지도 다르시의 법칙을 적용할 수 있다.^[20]

다공성 매질 내 흐름에서 레이놀즈 수가 약 1에서 10보다 클 경우, 관성 효과가 중요해질 수 있다. 이때 포르히하이머 항을 다르시의 법칙에 추가하여 압력 차이와 유량 데이터의 비선형적 거동을 설명할 수 있다.

: $\nabla p =-\frac{\mu}{k}q-\frac{\rho}{k_1}q^2\,,$

여기서 추가 항 $k_1$ 은 관성 투과율이며, 단위는 길이( $\mathrm{(m)}$ )이다.

사암 저류층에서는 흐름이 매우 느려 포르히하이머 방정식이 일반적으로 필요하지 않지만, 가스 생산정으로의 가스 흐름은 이를 사용할 만큼 충분히 높을 수 있다. 일부 탄산염 저류층은 많은 균열을 가지고 있으며, 다상 흐름에 대한 다르시의 방정식은 균열과 매트릭스 내의 흐름을 모두 지배하도록 일반화된다. 균열 벽의 불규칙한 표면과 높은 유량은 포르히하이머 방정식의 사용을 정당화할 수 있다.

작은 특성 치수를 가진 기체 흐름의 경우, 입자-벽 상호 작용으로 인해 추가적인 벽 마찰(크누센 마찰)이 발생한다. 점성과 크누센 마찰이 모두 존재하는 영역에서의 흐름에는 새로운 공식이 필요하다. 크누센은 작은 모세관에 대한 실험을 바탕으로 전이 영역에서의 흐름에 대한 반경험적 모델을 제시했다.^[11]^[12] 지질 및 석유화학 공학에서는 이 효과를 클린켄버그 효과라고 한다.

다르시 법칙의 전통적인 형태에 대한 또 다른 확장은 브링크만 항으로, 경계 사이의 전이 흐름을 설명하는 데 사용된다.

5. 1. 적용 조건

다르시의 법칙은 다음 조건에서 적용된다.

다공층을 구성하는 물질의 특성이 균일하고 동질이어야 한다.
대수층 내에 모관수대가 존재하지 않아야 한다.
흐름은 층류여야 한다.

다르시의 법칙은 유속이 느린 점성 흐름에 대해서만 유효한데, 대부분의 지하수 흐름에는 다르시의 법칙을 적용할 수 있다. 일반적으로 레이놀즈 수가 1보다 작은 흐름은 층류이고 다르시의 법칙을 적용할 수 있으며, 실험에 의하면 레이놀즈 수가 약 10 정도인 흐름까지도 다르시의 법칙을 적용할 수 있다.^[20]

다르시의 법칙은 층류가 퇴적물을 통과할 때 유효하다. 미세 입자 퇴적물에서는 틈새의 크기가 작기 때문에 흐름이 층류이다. 조립질 퇴적물도 유사하게 작용하지만, 매우 조립질 퇴적물에서는 흐름이 난류일 수 있다.^[17] 따라서 다르시의 법칙은 그러한 퇴적물에서는 항상 유효하지 않다. 상업용 원형 파이프를 통한 흐름의 경우, 레이놀즈 수가 2000 미만일 때는 흐름이 층류이고 4000 이상일 때는 난류이지만, 일부 퇴적물에서는 레이놀즈 수 값이 1 미만일 때 흐름이 층류인 것으로 밝혀졌다.^[18]

5. 2. 한계

다르시의 법칙은 층류가 퇴적물을 통과할 때 유효하다. 미세 입자 퇴적물에서는 틈새의 크기가 작기 때문에 흐름이 층류이다. 조립질 퇴적물도 유사하게 작용하지만, 매우 조립질 퇴적물에서는 흐름이 난류일 수 있다.^[17] 따라서 다르시의 법칙은 그러한 퇴적물에서는 항상 유효하지 않다.

상업용 원형 파이프를 통한 흐름의 경우, 레이놀즈 수가 2000 미만일 때는 흐름이 층류이고 4000 이상일 때는 난류이지만, 일부 퇴적물에서는 레이놀즈 수 값이 1 미만일 때 흐름이 층류인 것으로 밝혀졌다.^[18]

다르시의 법칙은 느리고 점성 흐름에만 유효하지만, 대부분의 지하수 흐름은 이 범주에 속한다. 일반적으로 레이놀즈 수가 1 미만인 모든 흐름은 층류이며 다르시의 법칙을 적용할 수 있다. 실험적으로 10까지의 레이놀즈 수를 갖는 흐름도 지하수 흐름의 경우처럼 다르시안일 수 있음이 밝혀졌다. 다공성 매체 흐름에 대한 레이놀즈 수(무차원 매개변수)는 일반적으로 다음과 같이 표현된다.

:

\mathrm{Re} = \frac{q d }{\nu}\,,

여기서 ν는 물의 동점성 계수이고, q는 비배출량(공극 속도가 아님 — 시간당 길이 단위), d는 다공성 매질의 대표적인 입자 직경이다(표준 선택은 d₃₀이며, 이는 체를 사용한 입도 분석에서 30% 통과 크기이다 — 길이 단위).

다공성 매질 내의 흐름에서 레이놀즈 수가 약 1에서 10보다 클 경우, 관성 효과 또한 중요해질 수 있다. 때때로 다르시의 법칙에 관성 항이 추가되는데, 이는 포르히하이머 항으로 알려져 있다. 이 항은 압력 차이 대 유량 데이터의 비선형적 거동을 설명할 수 있다.^[10]

:

\nabla p =-\frac{\mu}{k}q-\frac{\rho}{k_1}q^2\,,

추가 항 k₁은 관성 투과율로 알려져 있으며, 단위는 길이(m)이다.

사암 저류층의 중간에서의 흐름은 매우 느리기 때문에 포르히하이머 방정식은 일반적으로 필요하지 않지만, 가스 생산정으로의 가스 흐름은 이를 사용할 만큼 충분히 높을 수 있다. 이 경우, 3차원 모델의 그리드 셀이 아닌, 정에 대한 유입 성능 계산은 포르히하이머 방정식을 기반으로 한다. 이로 인해 유입 성능 공식에 추가적인 유량 의존성 스킨이 나타난다.

일부 탄산염 저류층은 많은 균열을 가지고 있으며, 다상 흐름에 대한 다르시의 방정식은 균열 내의 흐름과 매트릭스(즉, 전통적인 다공성 암석) 내의 흐름을 모두 지배하도록 일반화된다. 균열 벽의 불규칙한 표면과 균열 내의 높은 유량은 포르히하이머 방정식의 사용을 정당화할 수 있다.

작은 특성 치수(예: 매우 미세한 모래, 나노 기공 구조 등)에서 기체 흐름의 경우, 입자-벽 상호 작용이 더 빈번해져 추가적인 벽 마찰(크누센 마찰)이 발생한다. 점성과 크누센 마찰이 모두 존재하는 이 영역에서의 흐름에는 새로운 공식이 사용되어야 한다. 크누센은 작은 모세관에 대한 실험을 바탕으로 전이 영역에서의 흐름에 대한 반경험적 모델을 제시했다.^[11]^[12] 다공성 매질의 경우, 크누센 방정식은 다음과 같이 나타낼 수 있다.^[12]

:

N=-\left(\frac{k}{\mu}\frac{p_a+p_b}{2}+D_\mathrm{K}^\mathrm{eff}\right)\frac{1}{R_\mathrm{g}T}\frac{p_\mathrm{b}-p_\mathrm{a}}{L}\,,

여기서 N은 몰 플럭스, R_g는 기체 상수, T는 온도, D_K^eff는 다공성 매질의 유효 크누센 확산율이다. 이 모델은 또한 기본 원리에 기반한 이진 마찰 모델(BFM)에서 파생될 수 있다.^[13]^[14] BFM에 기반한 다공성 매질 내 전이 흐름의 미분 방정식은 다음과 같다.^[13]

:

\frac{\partial p}{\partial x}=-R_\mathrm{g}T\left(\frac{k p}{\mu}+D_\mathrm{K}\right)^{-1}N\,.

이 방정식은 모세관뿐만 아니라 다공성 매질에도 유효하다. 크누센 효과와 크누센 확산율이라는 용어는 기계공학 및 화학공학에서 더 흔하게 사용된다. 지질 및 석유화학 공학에서는 이 효과를 클린켄버그 효과라고 한다. 몰 플럭스의 정의를 사용하면, 위 방정식은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

:

\frac{\partial p}{\partial x}=-R_\mathrm{g}T\left(\frac{k p}{\mu}+D_\mathrm{K}\right)^{-1}\dfrac{p}{R_\mathrm{g}T}q\,.

이 방정식은 다음과 같은 방정식으로 재정렬할 수 있다.

:

q=-\frac{k}{\mu}\left(1+\frac{D_\mathrm{K}\mu}{k}\frac{1}{p}\right)\frac{\partial p}{\partial x}\,.

이 방정식을 기존의 다르시의 법칙과 비교하면, 새로운 공식은 다음과 같다.

:

q=-\frac{k^\mathrm{eff}}{\mu}\frac{\partial p}{\partial x}\,,

여기서

:

k^\mathrm{eff}=k\left(1+\frac{D_\mathrm{K}\mu}{k}\frac{1}{p}\right)\,.

이는 클린켄버그가 제안한 유효 투과율 공식과 동일하다.^[15]

:

k^\mathrm{eff}=k\left(1+\frac{b}{p}\right)\,.

여기서 b는 클린켄버그 매개변수로 알려져 있으며, 기체 및 다공성 매질 구조에 따라 달라진다. 위의 공식들을 비교해 보면 이를 명확히 알 수 있다. 클린켄버그 매개변수 b는 투과율, 크누센 확산율 및 점성(즉, 기체 및 다공성 매질 특성 모두)에 의존한다.

다르시 법칙의 전통적인 형태에 대한 또 다른 확장은 브링크만 항으로, 경계 사이의 전이 흐름을 설명하는 데 사용된다(1949년 브링크만에 의해 도입됨^[16]).

:

-\beta \nabla^2 q +q =-\frac{k}{\mu} \nabla p\,,

여기서 β는 유효 점성 항이다. 이 보정 항은 매질의 입자 자체가 다공성인 매질을 통한 흐름을 설명하지만, 사용하기 어렵고 일반적으로 무시된다.

6. 확장된 형태

다르시의 법칙은 더 복잡한 유체 흐름 현상을 설명하기 위해 다양한 형태로 확장되었다.

포르히하이머 방정식 (Forchheimer Equation)

레이놀즈 수가 1에서 10보다 클 때, 다공성 매질 내 흐름에서 관성 효과가 중요해진다. 이때 다르시의 법칙에 포르히하이머 항을 추가하여 압력 차이와 유량 간의 비선형적 관계를 설명한다.^[10] 관성 투과율(

k_1

)은 길이(

\mathrm{(m)}

) 단위를 가진다.

사암 저류층에서는 흐름이 느려 포르히하이머 방정식이 일반적으로 필요하지 않지만, 가스 생산정으로의 가스 흐름은 충분히 빠를 수 있다. 이 경우 정에 대한 유입 성능 계산에 포르히하이머 방정식을 사용하며, 유입 성능 공식에 추가적인 유량 의존성 스킨이 발생한다. 탄산염 저류층처럼 균열이 많은 경우에도 균열 벽의 불규칙성과 높은 유량 때문에 포르히하이머 방정식을 사용한다.

브링크만 방정식 (Brinkman Equation)

브링크만 항은 경계 사이의 전이 흐름을 설명하는 데 사용되는 다르시 법칙의 확장이다. (1949년 브링크만에 의해 도입됨^[16]) 유효 점성 항(

\beta

)을 포함하는 보정 항은 매질 입자 자체가 다공성인 경우의 흐름을 설명하지만, 일반적으로 사용하기 어렵기 때문에 무시된다.

클린켄버그 효과 (Klinkenberg Effect)

작은 특성 치수(예: 미세한 모래, 나노 기공 구조)에서 기체 흐름은 입자-벽 상호작용이 빈번해져 추가적인 벽 마찰(크누센 마찰)이 발생한다. 이 영역에서는 점성과 크누센 마찰을 모두 고려한 공식이 필요하다. 크누센은 작은 모세관 실험을 바탕으로 전이 영역 흐름에 대한 반경험적 모델을 제시했다.^[11]^[12]

다공성 매질 내 전이 흐름의 미분 방정식은 다음과 같다.

:

\frac{\partial p}{\partial x}=-R_\mathrm{g}T\left(\frac{k p}{\mu}+D_\mathrm{K}\right)^{-1}N\,.

이 방정식은 모세관과 다공성 매질 모두에 유효하다. 기계공학 및 화학공학에서는 크누센 효과와 크누센 확산율이라는 용어를 사용하고, 지질 및 석유화학 공학에서는 클린켄버그 효과라고 한다.

몰 플럭스 정의를 사용하여 방정식을 재정렬하면 다음과 같다.

:

q=-\frac{k}{\mu}\left(1+\frac{D_\mathrm{K}\mu}{k}\frac{1}{p}\right)\frac{\partial p}{\partial x}\,.

이는 클린켄버그가 제안한 유효 투과율 공식과 동일하며, 다음과 같이 표현된다.

:

k^\mathrm{eff}=k\left(1+\frac{b}{p}\right)\,.

여기서 b는 클린켄버그 매개변수로, 기체 및 다공성 매질 구조에 따라 달라지며, 투과율, 크누센 확산율, 점성에 의존한다.

6. 1. 포르히하이머 방정식 (Forchheimer Equation)

레이놀즈 수가 약 1에서 10보다 클 경우, 다공성 매질 내의 흐름에서 관성 효과 또한 중요해질 수 있다. 때때로 다르시의 법칙에 관성 항이 추가되는데, 이는 포르히하이머 항으로 알려져 있다. 이 항은 압력 차이 대 유량 데이터의 비선형적 거동을 설명할 수 있다.^[10]

추가 항

k_1

은 관성 투과율로 알려져 있으며, 단위는 길이

\mathrm{(m)}

이다.

사암 저류층의 중간에서의 흐름은 매우 느리기 때문에 포르히하이머 방정식은 일반적으로 필요하지 않지만, 가스 생산정으로의 가스 흐름은 이를 사용할 만큼 충분히 높을 수 있다. 이 경우, 3차원 모델의 그리드 셀이 아닌, 정에 대한 유입 성능 계산은 포르히하이머 방정식을 기반으로 한다. 이로 인해 유입 성능 공식에 추가적인 유량 의존성 스킨이 나타난다.

일부 탄산염 저류층은 많은 균열을 가지고 있으며, 다상 흐름에 대한 다르시의 방정식은 균열 내의 흐름과 매트릭스(즉, 전통적인 다공성 암석) 내의 흐름을 모두 지배하도록 일반화된다. 균열 벽의 불규칙한 표면과 균열 내의 높은 유량은 포르히하이머 방정식의 사용을 정당화할 수 있다.

6. 2. 브링크만 방정식 (Brinkman Equation)

다르시 법칙의 전통적인 형태에 대한 또 다른 확장은 브링크만 항으로, 경계 사이의 전이 흐름을 설명하는 데 사용된다(1949년 브링크만에 의해 도입됨^[16]).

:

-\beta \nabla^2 q +q =-\frac{k}{\mu} \nabla p\,,

여기서 는 유효 점성 항이다. 이 보정 항은 매질의 입자 자체가 다공성인 매질을 통한 흐름을 설명하지만, 사용하기 어렵고 일반적으로 무시된다.

6. 3. 클린켄버그 효과 (Klinkenberg Effect)

작은 특성 치수(예: 매우 미세한 모래, 나노 기공 구조 등)에서 기체 흐름의 경우, 입자-벽 상호 작용이 더 빈번해져 추가적인 벽 마찰(크누센 마찰)이 발생한다. 점성과 크누센 마찰이 모두 존재하는 이 영역에서의 흐름에는 새로운 공식이 사용되어야 한다. 크누센은 작은 모세관에 대한 실험을 바탕으로 전이 영역에서의 흐름에 대한 반경험적 모델을 제시했다.^[11]^[12]

다공성 매질 내 전이 흐름의 미분 방정식은 다음과 같다.

:

\frac{\partial p}{\partial x}=-R_\mathrm{g}T\left(\frac{k p}{\mu}+D_\mathrm{K}\right)^{-1}N\,.

이 방정식은 모세관뿐만 아니라 다공성 매질에도 유효하다. 크누센 효과와 크누센 확산율이라는 용어는 기계공학 및 화학공학에서 더 흔하게 사용된다. 지질 및 석유화학 공학에서는 이 효과를 클린켄버그 효과라고 한다. 몰 플럭스의 정의를 사용하면, 위 방정식은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

:

\frac{\partial p}{\partial x}=-R_\mathrm{g}T\left(\frac{k p}{\mu}+D_\mathrm{K}\right)^{-1}\dfrac{p}{R_\mathrm{g}T}q\,.

이 방정식은 다음과 같은 방정식으로 재정렬할 수 있다.

:

q=-\frac{k}{\mu}\left(1+\frac{D_\mathrm{K}\mu}{k}\frac{1}{p}\right)\frac{\partial p}{\partial x}\,.

이 방정식을 기존의 다르시의 법칙과 비교하면, 새로운 공식은 다음과 같다.

:

q=-\frac{k^\mathrm{eff}}{\mu}\frac{\partial p}{\partial x}\,,

여기서

:

k^\mathrm{eff}=k\left(1+\frac{D_\mathrm{K}\mu}{k}\frac{1}{p}\right)\,.

이는 클린켄버그가 제안한 유효 투과율 공식과 동일하다.^[15]

:

k^\mathrm{eff}=k\left(1+\frac{b}{p}\right)\,.

여기서 b는 클린켄버그 매개변수로 알려져 있으며, 기체 및 다공성 매질 구조에 따라 달라진다. 클린켄버그 매개변수 b는 투과율, 크누센 확산율 및 점성(즉, 기체 및 다공성 매질 특성 모두)에 의존한다.

7. 응용 분야

다르시의 법칙은 석유 공학에서 투과성 매체를 통한 흐름을 결정하는 데 광범위하게 사용된다. 가장 단순한 예로는 단일 유체 상과 일정한 유체 점성을 가진 1차원 균질 암석 형성에 대한 것이 있다.

머스캣 등은 다상 흐름에 대한 일반화된 다르시 방정식을 개발했다. 석유 및 가스 저류층의 다상 흐름은 포괄적인 주제이며, 다상 흐름에 대한 다르시의 법칙에서 더 자세히 다룬다.^[4]

다수의 논문에서 모카 포트에서 물이 커피 가루를 통과하여 추출되는 물리적 현상을 모델링하기 위해 다르시의 법칙을 활용했다. 2001년 Varlamov와 Balestrino의 논문을 시작으로,^[6] 2007년 Gianino의 논문,^[7] 2008년 Navarini 등의 논문,^[8] 그리고 2008년 W. King의 논문^[9] 등이 이에 해당한다. 이 논문들은 커피의 투과성을 단순화를 위해 상수로 간주하거나, 추출 과정 동안의 변화를 측정한다.

7. 1. 수리지질학

다르시의 법칙은 대수층을 통한 물의 흐름 분석에 응용된다. 다르시의 법칙은 질량 보존의 법칙과 함께 지하수 유동 방정식으로 단순화되며, 이는 수리지질학의 기본적인 관계 중 하나이다.^[2]^[3]

모리스 머스캣은 처음으로^[4] 다르시의 방정식을 단상 유동에 대한 점성을 포함시켜 정교하게 다듬었다. 점성 유체는 덜 점성인 유체보다 다공성 매질을 통과하기 어렵다는 것을 이해할 수 있다. 이러한 변화는 석유 산업 연구자들에게 적합하게 만들었다. 머스캣은 동료인 와이코프와 보세트의 실험 결과를 바탕으로 다르시의 법칙을 석유 저류층의 다공성 매질 내 물, 석유, 가스의 다상 유동을 다루도록 일반화했다. 머스캣 등에 의한 일반화된 다상 유동 방정식은 오늘날까지 존재하는 저류층 공학의 분석적 토대를 제공한다.

7. 2. 석유 공학

모리스 머스캣은 다르시의 방정식을 단상 유동에 대한 점성을 포함시켜 정교하게 다듬었다. 점성 유체는 덜 점성인 유체보다 다공성 매질을 통과하기 어렵다는 것을 이해할 수 있다. 이러한 변화는 석유 산업 연구자들에게 적합하게 만들었다. 머스캣은 동료인 와이코프와 보세트의 실험 결과를 바탕으로 다르시의 법칙을 석유 저류층의 다공성 매질 내 물, 석유, 가스의 다상 유동을 다루도록 일반화했다. 머스캣 등에 의한 일반화된 다상 유동 방정식은 오늘날까지 존재하는 저류층 공학의 분석적 토대를 제공한다.^[4]

다르시의 법칙은 석유 공학에서 투과성 매체를 통한 흐름을 결정하는 데 광범위하게 사용되는데, 가장 단순한 예는 단일 유체 상과 일정한 유체 점성을 가진 1차원 균질 암석 형성에 대한 것이다.

거의 모든 유전에는 유층 아래에 물대가 있으며, 일부 유전에는 유층 위에 가스 캡이 있다. 유전 압력이 석유 생산으로 인해 떨어지면 물은 아래에서 유층으로 흐르고, 가스는 위에서 유층으로 흐르며(가스 캡이 존재하는 경우) 유층에서 모든 유체 상의 동시 흐름과 혼화성 혼합이 발생한다. 유전 운영자는 또한 석유 생산을 개선하기 위해 물(또는 가스)을 주입할 수 있다.

따라서 석유 산업은 머스캣 등이 개발한 다상 흐름에 대한 일반화된 다르시 방정식을 사용하고 있다. 다르시의 이름은 다공성 매질 내의 흐름과 널리 연관되어 있으므로, 다상 방정식은 다상 흐름에 대한 다르시의 법칙 또는 일반화된 다르시 방정식(또는 법칙)으로 표기된다. 문맥에서 텍스트가 머스캣의 다상 방정식을 논의하고 있다고 말하는 경우 단순히 다르시 방정식(또는 법칙) 또는 흐름 방정식으로 표기된다. 석유 및 가스 저류층의 다상 흐름은 포괄적인 주제이며, 이 주제에 대한 많은 기사 중 하나는 다상 흐름에 대한 다르시의 법칙이다.^[4]

7. 3. 기타

다수의 논문에서 모카 포트에서 물이 커피 가루를 통과하여 추출되는 물리적 현상을 모델링하기 위해 다르시의 법칙을 활용했다. 2001년 Varlamov와 Balestrino의 논문을 시작으로,^[6] 2007년 Gianino의 논문,^[7] 2008년 Navarini 등의 논문,^[8] 그리고 2008년 W. King의 논문^[9] 등이 이에 해당한다. 이 논문들은 커피의 투과성을 단순화를 위해 상수로 간주하거나, 추출 과정 동안의 변화를 측정한다.

참조

_[1] 서적 Les fontaines publiques de la ville de Dijon Dalmont 1856
_[2] 논문 Flow in porous media I: A theoretical derivation of Darcy's law 1986
_[3] 논문 Henry Darcy and the making of a law https://agupubs.onli[...] 2002
_[4] 서적 Read "Memorial Tributes: Volume 14" at NAP.edu https://www.nap.edu/[...] 2011
_[5] 논문 Tailoring Porous Media For Controllable Capillary Flow https://imechanica.o[...] 2019
_[6] 논문 La fisica di un buon caffè 2001
_[7] 논문 Experimental analysis of the Italian coffee pot "moka" 2007
_[8] 논문 Experimental investigation of steam pressure coffee extraction in a stove-top coffee maker
_[9] 논문 The physics of a stove-top espresso machine 2008
_[10] 서적 Convection Heat Transfer John Wiley & Sons 1984
_[11] 서적 Diffusion in Gases and Porous Media Plenum Press 1980
_[12] 논문 Knudsen diffusivity and permeability of pemfc microporous coated gas diffusion layers for different polytetrafluoroethylene loadings https://zenodo.org/r[...] 2013
_[13] 논문 Absolute permeability and Knudsen diffusivity measurements in PEMFC gas diffusion layers and micro porous layers 2012
_[14] 논문 A modified Maxwell–Stefan model for transport through inert membranes: The binary friction model https://research.tue[...] 1996
_[15] 학회발표 The permeability of porous media to liquids and gases American Petroleum Institute 1941
_[16] 논문 A calculation of the viscous force exerted by a flowing fluid on a dense swarm of particles 1949
_[17] 논문 Numerical investigation of the possibility of macroscopic turbulence in porous media: a direct numerical simulation study 2015-02-02
_[18] 서적 Soil Mechanics and Foundation Engineering Standard Publishers 1989
_[19] 서적 Les Fontaines Publiques de la Ville de Dijon Dalmont 1856
_[20] 서적 토목기사 과년도 시리즈 수리수문학 성안당 2015
_[21] 서적 토목기사 과년도 시리즈 수리수문학 성안당 2015
_[22] 서적 토목기사 실기 세진사 2019

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