열팽창 계수

1. 개요

열팽창 계수는 온도 변화에 따른 물체의 치수 변화를 나타내는 물리량으로, 선팽창 계수와 체팽창 계수로 구분된다. 선팽창 계수는 길이 변화, 체팽창 계수는 부피 변화를 나타내며, 등방성 물질의 경우 체팽창 계수는 선팽창 계수의 약 3배이다. 열팽창 계수는 물질의 원자 간 결합 강도에 따라 달라지며, 일반적으로 온도에 따라 변하지만 고체나 액체에서는 온도 변화에 무관하게 거의 일정하다. 열팽창으로 인해 열응력, 열변형률, 열충격이 발생할 수 있으며, 이를 고려하여 철도 레일, 송전선, 항공기 설계 등에 적용된다. 일부 물질은 음의 열팽창을 나타내기도 하며, 최근에는 음의 열팽창률이 높은 신소재 개발도 이루어지고 있다.

2. 열팽창의 정의 및 원리

온도 변화에 따라 물체의 크기가 변하는 현상을 열팽창이라고 한다. 온도 변화 ΔT에 따른 물체의 변형률 ε은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: ε = αΔT

여기서 계수 α를 열팽창 계수라고 한다. 열팽창 계수는 온도에 따라 변하지만, 대부분의 고체나 액체에서는 일반적인 온도 범위에서 거의 일정하다고 볼 수 있다. 이 정의에서 온도 T는 열역학적 온도, 섭씨온도, 화씨온도 모두 가능하다.

기준 온도에서 ΔT만큼 온도가 변했을 때 물체의 길이는 다음과 같이 표현할 수 있다.

: l = l₀(1 + α_lΔT)

여기서 l₀는 기준 온도에서의 물체의 길이이다.

열팽창률이 다른 재료를 함께 사용하거나, 균일한 재료라도 급격한 온도 변화가 생기면 열팽창 차이 때문에 열응력이 발생한다. 이 열응력은 재료에 균열 등을 일으켜 파손시키거나, 여러 기기의 고장 원인이 되기도 한다.

2.1. 선팽창 계수

온도 변화에 따라 물체의 치수는 변형된다. 온도 변화 ΔT에 따른 물체의 변형률 ε을

: ε = αΔT

로 나타낼 때의 계수 α를 열팽창 계수라고 한다.

변형률이 수직 변형률 ε_l = Δl/l₀인 경우는

: α_l = (1/l)(dl/dT)

가 되며, 선팽창 계수(선팽창률)이라고 한다.

2.2. 체팽창 계수

변형률이 체적 변형률 ε_V^영어 = ΔV/V₀인 경우
: α_V = (1/V)(dV/dT)
가 되며, 체팽창 계수(체적 팽창률)이라고 한다. 물체가 등방성인 경우에는 두 열팽창 계수 사이에 α_V ≒ 3α_l 관계가 있다.

이때, 기준 온도에서 ΔT만큼 변화했을 때 물체의 부피는
: V = V₀(1 + α_VΔT)
로 나타낼 수 있다. 여기서 V₀는 기준 온도에서의 물체의 부피이다.

2.3. 선팽창 계수와 체팽창 계수의 관계

물체의 부피 와 길이 는 무차원 계수 를 사용하여 의 관계가 있다. 물체가 상사 변형하는 경우 를 상수로 하면 이 되므로, 체적 팽창 계수와 선팽창 계수는 다음과 같은 관계를 가진다.

:$\backslash alpha\_V\; =\backslash frac\{1\}\{V\}\backslash frac\{dV\}\{dT\}\; =\backslash frac\{3kl^2\}\{kl^3\}\backslash frac\{dl\}\{dT\}\; =\backslash frac\{3\}\{l\}\backslash frac\{dl\}\{dT\}=3\backslash alpha\_l$

즉, 체적 팽창 계수 는 선팽창 계수 의 3배와 같다.

2.4. 열팽창에 영향을 미치는 요인

열팽창 계수는 원자 간 결합의 강도에 따라 결정되는 물성이며, 재료의 녹는점과 상관관계가 있다.

어떤 온도에서 부피 변화를 수반하는 상전이를 일으키는 성질을 이용하여, 사용 온도 영역에서 선팽창이 작아지도록 한 합금(인바 또는 인바 합금)도 있다.

플루토늄이나 텅스텐산 지르코늄 등 일부 물질은 온도 상승에 따라 수축하는 음의 열팽창을 일으킨다. 가까운 예로, 물이 0℃에서 3.98℃까지의 범위에서 음팽창을 일으킨다. 최근에는 이화학연구소가 2005년에 망간 질화물을 기반으로 한 음의 열팽창률이 높은 신소재 개발에 성공했다.

3. 기체의 열팽창

기체의 경우는 부피가 아니라 밀도로 그 상태를 나타내는 경우가 많다. 부피 V의 기체의 질량이 m일 때, 밀도는 다음과 같다.
:$\backslash rho=\backslash frac\{m\}\{V\}$
열팽창은 기체의 증감이 없는 경우의 부피 변화이므로, 질량 m을 상수로 하면 다음과 같다.
:$d\backslash rho\; =-\backslash frac\{m\backslash ,\; dV\}\{V^2\}\; =-\backslash frac\{\backslash rho\backslash ,\; dV\}\{V\}$
체적팽창계수는 다음과 같다.
:$\backslash alpha\; =\backslash frac\{1\}\{V\}\backslash frac\{dV\}\{dT\}\; =\; -\backslash frac\{1\}\{\backslash rho\}\backslash frac\{d\backslash rho\}\{dT\}$
즉, 체적팽창계수 α는 밀도의 온도에 따른 변화율로도 나타낼 수 있다.

기체의 부피는 온도뿐만 아니라 압력에 의해서도 크게 변한다.
압력을 고려하는 경우의 열팽창계수는 압력을 일정하게 유지한 편미분을 사용하여 다음과 같이 정의된다.
:$\backslash alpha\; =\backslash frac\{1\}\{V\}\; \backslash left(\; \backslash frac\{\backslash partial\; V\}\{\backslash partial\; T\}\; \backslash right)\_p$
특히 이상 기체의 경우는 이상 기체 상태 방정식을 이용하면 다음과 같다.
:$\backslash alpha\; =\backslash frac\{1\}\{T\}$
여기서 T는 열역학적 온도이다.

4. 음의 열팽창

플루토늄이나 텅스텐산 지르코늄 등 일부 물질은 온도가 상승함에 따라 수축하는 음의 열팽창을 일으킨다. 가까운 예로, 물이 0°C에서 3.98°C 사이의 범위에서 음팽창을 일으킨다. 2005년 이화학연구소는 망간 질화물을 기반으로 한 음의 열팽창률이 높은 신소재 개발에 성공했다.

5. 주요 물질의 열팽창 계수

주요 물질의 열팽창 계수는 선팽창 계수와 체팽창 계수로 나뉜다. 선팽창 계수는 고체 물질의 길이가 온도 변화에 따라 변하는 정도를 나타내며, 체팽창 계수는 액체나 기체의 부피가 온도 변화에 따라 변하는 정도를 나타낸다.

5.1. 주요 물질의 선팽창 계수 (×10^-6/K)

5.2. 주요 물질의 체팽창 계수 (×10^-4/K)

6. 열응력

온도 변화에 따라 자유롭게 열팽창(혹은 수축)이 일어나야 하는데, 이것이 구속될 경우 물체 내부에 응력이 발생한다. 이를 열응력이라고 하며, 이때 발생하는 변형률을 열변형률이라고 한다.

선팽창 계수 α^영어, 영률 E^영어인 막대가 양 끝이 고정되어 길이가 변하지 않는 상태에서 ΔT^영어만큼 온도가 변했을 때, 막대에 발생하는 열응력과 열변형률은 다음과 같이 간단하게 나타낼 수 있다.

:σ{{sub^영어 = - α^영어 E^영어 ΔT^영어
:ε{{sub^영어 = - α^영어 ΔT^영어

기계 장치를 가동할 때처럼 과도적인 상태에서는 물체가 급격하게 가열되거나 냉각되어 큰 온도 분포가 발생할 수 있다. 이때 발생하는 열응력을 비정상 열응력이라고 하며, 특히 급격한 비정상 열응력이 발생하는 현상을 열충격이라고 한다. 열충격의 이론적 해석에는 비오 수가 사용된다.

6.1. 열응력 및 열변형률 계산

온도 변화에 따른 자유 열팽창(혹은 수축)이 구속될 경우 물체 내부에 발생하는 응력을 열응력, 변형률을 열변형률이라고 한다.

선팽창 계수 α^영어, 영률 E^영어인 막대가 양 끝이 고정되어 길이가 변하지 않는 상태에서 ΔT^영어만큼 온도 변화했을 때, 그 막대에 발생하는 열응력 σ{{sub^영어와 열변형률 ε{{sub^영어는 다음과 같다.

: σ{{sub^영어 = - α^영어 E^영어 ΔT^영어
: ε{{sub^영어 = - α^영어 ΔT^영어

6.2. 비정상 열응력 및 열충격

온도 변화에 따른 자유 열팽창(혹은 수축)이 구속될 경우 물체 내부에 발생하는 응력을 열응력, 변형률을 열변형률이라고 한다.

기계 장치가 가동될 때와 같이 과도적인 상태에서는 물체에 급격한 가열 또는 냉각이 가해져 일시적으로 큰 온도 분포가 발생하는 경우가 있다. 이러한 경우에 발생하는 열응력을 비정상 열응력이라 하며, 특히 급격한 비정상 열응력이 발생하는 현상을 열충격이라고 한다. 열충격의 이론적 해석에는 비오 수가 사용된다.

7. 열팽창을 고려한 설계 (한국 사례 중심)

대부분의 고체는 선팽창 계수가 매우 작아 일반적인 온도 변화에서 변형이 작지만, 그 변형은 물체의 길이에 비례하기 때문에 매우 긴 물체에서는 변형의 영향을 무시할 수 없다. 철도 궤도의 레일, 전주에 걸리는 송전선, 초음속으로 비행하는 항공기 등은 열팽창을 고려하여 설계해야 한다.

7.1. 철도 궤도

대부분의 고체는 열팽창 계수가 작아 일반적인 온도 변화에서는 변형이 작지만, 길이가 매우 긴 물체에서는 그 영향을 무시할 수 없다.

철도 궤도를 설치할 때 레일이 여름철에 늘어나는 것을 고려하여 레일 이음매에 틈을 만든다. 열차가 "덜컹덜컹"하는 소리를 내는 것은 이 이음매를 통과할 때 발생하는 소리이다(분기기는 제외).

7.2. 송전선

전주에 걸리는 송전선은 여름에는 배선이 처져도 안전한 고도를 확보할 수 있도록, 겨울에는 배선이 수축되어 절단되지 않도록 설계된다.

7.3. 항공기

초음속으로 비행하는 항공기는 기체가 단열압축의 영향으로 고온에 노출되기 때문에 대책이 필수적이다. 특히 마하 3을 훨씬 넘는 고속으로 비행하는 SR-71 블랙버드에서는 팽창이 현저하기 때문에, 비행 중의 기체 상태를 정상으로 하기 위해, 부품끼리 틈이 마련되어 있다. 이 때문에 지상에서는 연료류가 새어 나오는 사양이 되어 있었다. 하지만 인화점은 매우 높고, 성냥 정도로는 타지 않는다. 오일에 이르러서는 상온에서 버터 상태가 된다.