리스 변환

2.2. 변환과의 관계

리스 변환은 팽창, 평행 이동과 가환하며, 회전에 대해 공변적이다.

σ_s를 스칼라 s에 의한 R^d의 팽창이라고 할 때, 다음이 성립한다.

:$\backslash sigma\_s^*\; (R\_jf)\; =\; R\_j(\backslash sigma\_x^*f).$

τ_a를 벡터 a에 따른 R^d의 평행 이동이라고 할 때, 다음이 성립한다.

:$\backslash tau\_a^*\; (R\_jf)\; =\; R\_j(\backslash tau\_a^*f).$

ρ를 R^d에서의 회전이라고 할 때, 다음이 성립한다.

:$\backslash rho^*\; R\_j\; [(\backslash rho^\{-1\})^*f]\; =\; \backslash sum\_\{k=1\}^d\; \backslash rho\_\{jk\}\; R\_kf.$

2.3. 특징

리스 변환은 다음과 같은 세 가지 주요 특징을 갖는다.

* 팽창 및 평행 이동과의 가환성: 리스 변환은 팽창 및 평행 이동과 가환한다. 즉, 함수에 팽창 또는 평행 이동을 적용한 후 리스 변환을 하는 것과, 리스 변환을 먼저 하고 팽창 또는 평행 이동을 하는 것은 결과가 같다.
* 회전에 대한 공변성: 리스 변환은 회전에 대해 공변적이다. 즉, 함수를 회전시킨 후 리스 변환을 한 결과는, 리스 변환을 먼저 하고 함수를 회전시킨 결과와 특정 관계를 갖는다.
* 특징: L²(R^d)에서 L²(R^d)로의 유계 선형 연산자의 d-튜플 T가 모든 팽창 및 평행 이동과 가환하고 회전에 대해 공변하면, 어떤 상수 c에 대해, T = cR이다.

좀 더 자세히 설명하면 다음과 같다.

σ_s를 스칼라 s에 의한 R^d의 팽창이라고 하고, τ_a를 벡터 a를 따라 R^d에서 평행 이동이라고 하자. ρ를 R^d에서 회전이라고 하자.

* 팽창과의 가환성:
:$\backslash sigma\_s^*\; (R\_jf)\; =\; R\_j(\backslash sigma\_x^*f)$
* 평행 이동과의 가환성:
:$\backslash tau\_a^*\; (R\_jf)\; =\; R\_j(\backslash tau\_a^*f)$
* 회전에 대한 공변성:
:$\backslash rho^*\; R\_j\; [(\backslash rho^\{-1\})^*f]\; =\; \backslash sum\_\{k=1\}^d\; \backslash rho\_\{jk\}\; R\_kf.$

3. 라플라시안과의 관계

리스 변환은 라플라시안과 밀접하게 관련되어 있다. 함수 f의 리스 변환은 라플라시안(Δ)을 이용하여 정의되며, 이를 통해 함수의 헤세 행렬 정보를 복원할 수 있다.

u가 슈바르츠 함수일 때, 다음 식이 성립한다.

:$R\_iR\_j(\backslash Delta\; u)\; =\; -\backslash frac\{\backslash partial^2u\}\{\backslash partial\; x\_i\backslash partial\; x\_j\}$

하지만 이 등식은 일반적으로 분포 (수학)의 의미에서는 참이 아니며, 어떤 다항식 P_ij에 대해 다음과 같이 표현될 수 있다.

:$\backslash frac\{\backslash partial^2u\}\{\backslash partial\; x\_i\backslash partial\; x\_j\}\; =\; -R\_iR\_j\backslash Delta\; u\; +\; P\_\{ij\}(x)$

3.1. 편도함수와의 관계

대략적으로, \(f\)의 리스 변환은 다음 방정식의 해의 첫 번째 편도함수를 제공한다.

:\({\(-\Delta)^{\frac{1}{2}} u = f}\)

여기서 \(\Delta\)는 라플라시안이다. 따라서 \(f\)의 리스 변환은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:\({\(R f = \nabla (-\Delta)^{-\frac{1}{2}}f\)}\)

특히 다음이 성립해야 한다.

:\({\(R_iR_j\Delta u = -\frac{\partial^2u}{\partial x_i\partial x_j}\)}

따라서 리스 변환은 라플라시안만 알고 있어도 함수의 전체 헤세 행렬에 대한 정보를 복구하는 방법을 제공한다.

이제 이것을 더 정확하게 설명하겠다. \(u\)가 슈바르츠 함수라고 가정하자. 그러면 푸리에 승수의 명시적 형태에 의해 다음이 성립한다.

:\({\(R_iR_j(\Delta u) = -\frac{\partial^2u}{\partial x_i\partial x_j}\)}

이 항등식은 일반적으로 분포 (수학)의 의미에서 참이 아니다. 예를 들어, \(u\)가 \(\Delta u \in L^2 (\R^d)\)인 완전 분포인 경우, 어떤 다항식 \(P_{ij}\)에 대해 다음만 결론 내릴 수 있다.

:\({\frac{\partial^2u}{\partial x_i\partial x_j} = -R_iR_j\Delta u + P_{ij}(x)}\)

3.2. 헤세 행렬 복원

$f$의 리스 변환은 다음 방정식의 해의 첫 번째 편도함수를 제공한다.

:$\{(-\backslash Delta)^\{\backslash frac\{1\}\{2\}\}\; u\; =\; f\}$

여기서 Δ는 라플라시안이다. 따라서 $f$의 리스 변환은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:$\{R\; f\; =\; \backslash nabla\; (-\backslash Delta)^\{-\backslash frac\{1\}\{2\}\}f\}$

특히 다음이 성립해야 한다.

:$R\_iR\_j\backslash Delta\; u\; =\; -\backslash frac\{\backslash partial^2u\}\{\backslash partial\; x\_i\backslash partial\; x\_j\},$

따라서 리스 변환은 라플라시안만 알고 있어도 함수의 전체 헤세 행렬에 대한 정보를 복구하는 방법을 제공한다.

$u$가 슈바르츠 함수라고 가정하면, 푸리에 승수의 명시적 형태에 의해 다음이 성립한다.

:$R\_iR\_j(\backslash Delta\; u)\; =\; -\backslash frac\{\backslash partial^2u\}\{\backslash partial\; x\_i\backslash partial\; x\_j\}.$

이 항등식은 일반적으로 분포 (수학)의 의미에서 참이 아니다. 예를 들어, $u$가 $\backslash Delta\; u\; \backslash in\; L^2\; (\backslash R^d)$인 완전 분포인 경우 다음만 결론 내릴 수 있다.

:$\backslash frac\{\backslash partial^2u\}\{\backslash partial\; x\_i\backslash partial\; x\_j\}\; =\; -R\_iR\_j\backslash Delta\; u\; +\; P\_\{ij\}(x)$

어떤 다항식 $P\_\{ij\}$에 대해.

3.3. 분포 의미에서의 등식

이 등식은 일반적으로 분포 (수학)의 의미에서 참이 아니다. 예를 들어, u가 $\backslash Delta\; u\; \backslash in\; L^2\; (\backslash R^d)$인 완전 분포인 경우 다음을 결론 내릴 수 있다.

:$\backslash frac\{\backslash partial^2u\}\{\backslash partial\; x\_i\backslash partial\; x\_j\}\; =\; -R\_iR\_j\backslash Delta\; u\; +\; P\_\{ij\}(x)$

여기서 $P\_\{ij\}$는 어떤 다항식이다.