뒤처진 퍼텐셜

d^3\mathbf r'

:$\backslash mathbf\{A\}(\backslash mathbf\{r\},\; t)\; =\; \backslash frac\{\backslash mu\_0\}\{4\; \backslash pi\}\; \backslash int\; \backslash frac\{\backslash mathbf\{J\}(\backslash mathbf\{r\text{'}\},t\_r)\}$

d^3\mathbf r'

:$t\_r\; =\; t\; -\backslash frac$

{c}

여기서 $\backslash mathbf\{r\text{'}\}$은 원점과 원천 사이의 거리이고, $t\_r$은 '''뒤처진 시간'''(retarded time^영어)이다.

2. 2. 움직이는 점전하의 뒤처진 퍼텐셜

전하 밀도와 전류 밀도가 연속적으로 분포하는 것이 아니라 점전하가 움직이며 원천 역할을 하는 경우 로렌츠 게이지 조건 아래에서 뒤처진 스칼라 퍼텐셜$V$와 뒤처진 벡터 퍼텐셜$\backslash mathbf\; A$는 다음과 같다.^[46][47]

:$V(\backslash mathbf\; r,t)\; =\; \backslash frac1\{4\backslash pi\backslash epsilon\_0\}\backslash frac\{q\}\{|\backslash mathbf\{r-r\text{'}\}|\; -\; (\backslash mathbf\{r-r\text{'}\})\backslash cdot\; \backslash mathbf\; v/c\}$

:$\backslash mathbf\; A(\backslash mathbf\; r,t)\; =\; \backslash frac\{\backslash mu\_0\}\{4\backslash pi\}\backslash frac\{q\backslash mathbf\; v\}$

3. 로렌츠 게이지

전기장과 자기장을 발생시키는 전하 밀도와 전류 밀도가 시간에 따라 변하면, 멀리 떨어진 곳의 퍼텐셜은 과거의 전하 밀도와 전류 밀도에 의해 결정된다. 이는 상대성 이론에서 정보 전달 속도가 빛의 속도로 유한하다는 것을 반영한다.

로렌츠 게이지를 이용한 맥스웰 방정식은 다음과 같다.^[2]

:$\backslash Box\; \backslash varphi\; =\; \backslash dfrac\{\backslash rho\}\{\backslash epsilon\_0\}\; \backslash ,,\backslash quad\; \backslash Box\; \backslash mathbf\{A\}\; =\; \backslash mu\_0\backslash mathbf\{J\}$

여기서 φ('''r''', ''t'')는 전기 전위이고, '''A'''('''r''', ''t'')는 전하 밀도 ρ('''r''', ''t'') 및 전류 밀도 '''J'''('''r''', ''t'')에 대한 자기 벡터 전위이며, $\backslash Box$는 달랑베르 연산자이다.

3. 1. 시간 의존적인 장

전자기장이 시간에 따라 변하는 경우, 뒤처진 퍼텐셜은 다음과 같이 표현된다.^[3][4]

:$\backslash mathrm\backslash varphi\; (\backslash mathbf\; r\; ,\; t)\; =\; \backslash frac\{1\}\{4\backslash pi\backslash epsilon\_0\}\backslash int\; \backslash frac\{\backslash rho\; (\backslash mathbf\; r\text{'}\; ,\; t\_r)\}$

\, \mathrm{d}^3\mathbf r'

:$\backslash mathbf\; A\; (\backslash mathbf\; r\; ,\; t)\; =\; \backslash frac\{\backslash mu\_0\}\{4\backslash pi\}\backslash int\; \backslash frac\{\backslash mathbf\; J\; (\backslash mathbf\; r\text{'}\; ,\; t\_r)\}$

\, \mathrm{d}^3\mathbf r'\,.

여기서 '''r'''은 공간상의 위치 벡터이고, ''t''는 시간이며,

:$t\_r\; =\; t-\backslash frac$

{c}

는 지연 시간이고, d³'''r''''는 '''r'''을 사용하는 적분 측도이다.

φ('''r''', t)와 '''A'''('''r''', ''t'')로부터, 장 '''E'''('''r''', ''t'')와 '''B'''('''r''', ''t'')는 퍼텐셜의 정의를 사용하여 계산할 수 있다.

:$-\backslash mathbf\{E\}\; =\; \backslash nabla\backslash varphi\; +\backslash frac\{\backslash partial\backslash mathbf\{A\}\}\{\backslash partial\; t\}\backslash ,,\backslash quad\; \backslash mathbf\{B\}=\backslash nabla\backslash times\backslash mathbf\; A\backslash ,.$

이것은 제피멘코 방정식으로 이어진다.

지연 퍼텐셜^{[13][14][15][16][17][18][19][20][21][22][23][24][25][26][27][28][29][30][31][32][33][34][35]}는 진공에서 다음 식으로 주어진다.

:$$

\boldsymbol{A}_{\mathrm{ret}}(\boldsymbol{r},t) =

\dfrac{\mu_0}{4\pi} \int \dfrac{\boldsymbol{i}(\boldsymbol{s},{t}_{\mathrm{ret}})}

\cdot\mathrm{d} \boldsymbol{s}



:$$

\varphi_{\mathrm{ret}}(\boldsymbol{r},t) =

\dfrac{1}{4\pi \epsilon_0} \int \dfrac{\rho(\boldsymbol{s},{t}_{\mathrm{ret}})}

\mathrm{d} \boldsymbol{s}



여기서 d''s''는 미소 체적 요소를 나타낸다. t_ret는 지연 시간을 나타내며, 다음 식으로 주어진다.

:$t\_\{\backslash mathrm\{ret\}\}:=\; t\; -\; \backslash frac$

{c}

전자기장은 빛의 속도$$

c

로 전파된다. 빛의 속도는 유한한 속도이므로, 과거에 발생한 원인 (전류, 전하 분포)과 그로 인해 미래에 일어날 결과 (전자기파 관측) 사이에는 시간 지연이 발생한다. 지연 시간은 이 시간 지연을 표현하고 있다.

지연 퍼텐셜에 대하여,

:$\backslash boldsymbol\{B\}=\backslash operatorname\{rot\}\backslash boldsymbol\{A\}$

:$\backslash boldsymbol\{E\}=-\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash boldsymbol\{A\}\}\{\backslash partial\; t\}-\backslash operatorname\{grad\}[\backslash phi]$

를 통해 제피멘코 방정식^{[26][20][19][25]}을 유도할 수 있다.

3. 2. 시간 독립적인 장

로렌츠 게이지를 사용한 맥스웰 방정식에서 시작한다.^[2]

전자기장이 시간에 무관한 경우(정전기장과 정자장)에는 달랑베르 연산자 내 시간 미분은 0이 되며, 맥스웰 방정식은 다음과 같이 축약된다.

:$\backslash nabla^2\; \backslash varphi\; =-\backslash dfrac\{\backslash rho\}\{\backslash epsilon\_0\}\backslash ,,\backslash quad\; \backslash nabla^2\; \backslash mathbf\{A\}\; =-\; \backslash mu\_0\; \backslash mathbf\{J\}\backslash ,,$

여기서 ∇²은 라플라시안이며, 네 성분(φ 하나와 '''A''' 세 개)에서 푸아송 방정식의 형태를 취하고, 해는 다음과 같다.

:$\backslash mathrm\backslash varphi\; (\backslash mathbf\{r\})\; =\; \backslash frac\{1\}\{4\backslash pi\backslash epsilon\_0\}\backslash int\; \backslash frac\{\backslash rho\; (\backslash mathbf\; r\text{'}\; )\}$

\, \mathrm{d}^3\mathbf r'

:$\backslash mathbf\; A\; (\backslash mathbf\{r\})\; =\; \backslash frac\{\backslash mu\_0\}\{4\backslash pi\}\backslash int\; \backslash frac\{\backslash mathbf\; J\; (\backslash mathbf\; r\text{'}\; )\}$

\, \mathrm{d}^3\mathbf r'\,.

이들은 지연 퍼텐셜로부터 직접적으로 도출된다.

4. 쿨롱 게이지

쿨롱 게이지에서, 맥스웰 방정식은 다음과 같다.^[5]

:$\backslash nabla^2\; \backslash varphi\; =\; -\backslash dfrac\{\backslash rho\}\{\backslash epsilon\_0\}$

:$\backslash nabla^2\; \backslash mathbf\{A\}\; -\; \backslash dfrac\{1\}\{c^2\}\backslash dfrac\{\backslash partial^2\; \backslash mathbf\{A\}\}\{\backslash partial\; t^2\}\; =\; -\; \backslash mu\_0\; \backslash mathbf\{J\}\; +\backslash dfrac\{1\}\{c^2\}\backslash nabla\backslash left(\backslash dfrac\{\backslash partial\; \backslash varphi\}\{\backslash partial\; t\}\backslash right)$

비록 해는 위와 대조적이지만, '''A'''는 뒤처진 퍼텐셜이고 φ는 다음과 같이 ''순식간에'' 변한다.

:$\backslash varphi(\backslash mathbf\{r\},\; t)\; =\; \backslash dfrac\{1\}\{4\backslash pi\backslash epsilon\_0\}\; \backslash int\; \backslash dfrac\{\backslash rho(\backslash mathbf\{r\}\text{'},\; t)\}$

\mathrm{d}^3 \mathbf{r}'

:$\backslash mathbf\{A\}(\backslash mathbf\{r\},\; t)\; =\; \backslash dfrac\{1\}\{4\backslash pi\; \backslash varepsilon\_0\}\; \backslash nabla\; \backslash times\; \backslash int\; \backslash mathrm\{d\}^3\; \backslash mathbf\{r\text{'}\}\; \backslash int\_0^\{|\backslash mathbf\{r\}\; -\; \backslash mathbf\{r\}\text{'}|\; /\; c\}\; \backslash mathrm\{d\}\; t\_r\; \backslash dfrac\{t\_r\; \backslash mathbf\{J\}(\backslash mathbf\{r\}\text{'},\; t\; -\; t\_r)\}\{|\backslash mathbf\{r\}\; -\; \backslash mathbf\{r\}\text{'}|^3\}\; \backslash times\; (\backslash mathbf\{r\}\; -\; \backslash mathbf\{r\}\text{'})$

이것은 쿨롱 게이지의 장점과 단점을 나타낸다. 즉, φ는 전하 분포 ρ로부터 쉽게 계산할 수 있지만, '''A'''는 전류 분포 '''j'''로부터 그렇게 쉽게 계산할 수 없다. 그러나, 전위가 무한대에서 사라진다고 요구한다면, 다음과 같이 장의 관점에서 깔끔하게 표현할 수 있다.

:$\backslash varphi(\backslash mathbf\{r\},\; t)\; =\; \backslash dfrac\{1\}\{4\backslash pi\}\; \backslash int\; \backslash dfrac\{\backslash nabla\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{E\}(\backslash mathbf\{r\}\text{'},\; t)\}$

\mathrm{d}^3 \mathbf{r}'

:$\backslash mathbf\{A\}(\backslash mathbf\{r\},\; t)\; =\; \backslash dfrac\{1\}\{4\backslash pi\}\; \backslash int\; \backslash dfrac\{\backslash nabla\; \backslash times\; \backslash mathbf\{B\}(\backslash mathbf\{r\}\text{'},\; t)\}$

\mathrm{d}^3 \mathbf{r}'

5. 선형화된 중력

선형 일반 상대성 이론에서 뒤처진 퍼텐셜은 전자기학의 경우와 매우 유사하게 나타난다. 트레이스 반전 텐서 $\backslash tilde\; h\_\{\backslash mu\backslash nu\}\; =\; h\_\{\backslash mu\backslash nu\}\; -\; \backslash frac\; 1\; 2\; \backslash eta\_\{\backslash mu\backslash nu\}\; h$는 4-벡터 퍼텐셜의 역할을 하며, 조화 게이지 $\backslash tilde\; h^\{\backslash mu\backslash nu\}\{\}\_\{,\backslash mu\}\; =\; 0$는 전자기적 로렌츠 게이지를 대체하고, 장 방정식은 $\backslash Box\; \backslash tilde\; h\_\{\backslash mu\backslash nu\}\; =\; -16\backslash pi\; G\; T\_\{\backslash mu\backslash nu\}$이며, 뒤처진 파동 해는 다음과 같다.^[6]

:$$\backslash tilde\; h\_\{\backslash mu\backslash nu\}(\backslash mathbf\; r,\; t)\; =\; 4\; G\; \backslash int\; \backslash frac\{T\_\{\backslash mu\backslash nu\}(\backslash mathbf\; r\text{'},\; t\_r)\}$$

\mathrm d^3 \mathbf r'.

SI 단위를 사용하면, 차원 분석을 통해 확인할 수 있듯이 이 식은 $c^4$로 나누어야 한다.

6. 발생 및 응용

휠러-파인만 흡수체 이론(휠러-파인만 시간 대칭 이론이라고도 알려져 있음)은 뒤처진 퍼텐셜과 진보된 포텐셜의 평균을 사용한다.

중력에서 이 이론은 인공위성, 달, 행성 궤도 편차 계산에 응용된다.^[7][8][9] 또한, 100개 이상의 나선 은하 회전 곡선 이상 현상(여러 유형의)을 설명하는데, 스피처 우주 망원경의 "SPARC (Spitzer Photometry and Accurate Rotation Curves) 은하 컬렉션" 데이터가 사용되었다. 암흑 물질 가정이나 일반 상대성 이론 수정 없이 관측 결과가 설명 가능하다.^[10] 더 큰 규모에서 지연 중력 포텐셜은 가속 팽창 같은 결과를 낳으며, 이는 질량 밀도가 증가된 암흑 물질 외곽 껍질과 멀리 떨어진 천문학적 물체의 강한 중력 적색 편이를 가진 등방성이지만 균질하지 않은 우주로 이어진다.^[11]

7. 예시

전하가 직선 상에서 일정한 속도로 움직일 때의 전위는 최근 위치의 점에 대해 점 대칭을 이룬다. 전위는 운동 방향에 따라 변하지 않는다.^[12]

8. 맥스웰 방정식으로부터 지연 포텐셜 유도 (일본어판 보충)

retarded potential^{영어[13][14][15][16][17][18][19][20][21][22][23][24][25][26][27][28][29][30][31][32][33][34][35]}는 의 해 중 하나로, 다음 식으로 주어진다.

:$$

\boldsymbol{A}_{\mathrm{ret}}(\boldsymbol{r},t) =

\dfrac{\mu_0}{4\pi} \int \dfrac{\boldsymbol{i}(\boldsymbol{s},{t}_{\mathrm{ret}})}

\cdot\mathrm{d} \boldsymbol{s}



:$$

\varphi_{\mathrm{ret}}(\boldsymbol{r},t) =

\dfrac{1}{4\pi \epsilon_0} \int \dfrac{\rho(\boldsymbol{s},{t}_{\mathrm{ret}})}

\mathrm{d} \boldsymbol{s}



여기서 d''s''는 미소 체적 요소이고, t_ret는 지연 시간으로, $t\_\{\backslash mathrm\{ret\}\}:=\; t\; -\; \backslash frac$

{c}와 같이 주어진다. 전자기장은 유한한 속도인 빛의 속도$c$로 전파되므로, 과거의 전류 및 전하 분포(원인)와 그로 인한 미래의 전자기파 관측(결과) 사이에는 시간 지연이 발생한다. 지연 시간은 이러한 시간 지연을 나타낸다.

지연 퍼텐셜에 대해 다음 식을 적용하면,

:$\backslash boldsymbol\{B\}=\backslash operatorname\{rot\}\backslash boldsymbol\{A\}$

:$\backslash boldsymbol\{E\}=-\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash boldsymbol\{A\}\}\{\backslash partial\; t\}-\backslash operatorname\{grad\}[\backslash phi]$

제피멘코 방정식^{[26][20][19][25]}을 유도할 수 있다.

:$\backslash boldsymbol\{B\}(\backslash boldsymbol\{r\},\; t)$

= \frac{\mu_0}{4\pi}

{\int}_{\boldsymbol{s}\in\mathbb{R}^{3}}

\left(

\frac{

\boldsymbol{i}(\boldsymbol{s}, {t}_{\mathrm{ret}})}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{s}|^3}

+ \frac{1}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{s}|^2 c}\frac{\partial

\boldsymbol{i}(\boldsymbol{s}, {t}_{\mathrm{ret}})}{\partial t}

\right) \times (\boldsymbol{r}-\boldsymbol{s}) \mathrm{d}^3 \boldsymbol{s}

:$\backslash boldsymbol\{E\}(\backslash boldsymbol\{r\},\; t)\; =$

\frac{1}{4\pi \epsilon_0}

{\int}_{\boldsymbol{s}\in\mathbb{R}^{3}}

\left(

\left(

\frac{\rho(\boldsymbol{s}, {t}_{\mathrm{ret}})}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{s}|^3}

+ \frac{1}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{s}|^2 c}

\frac{\partial \rho(\boldsymbol{s}, {t}_{\mathrm{ret}})}{\partial t}

\right)

(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{s})

\right)

• \frac{1}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{s}| c^2}\frac{\partial \boldsymbol{i}(\boldsymbol{s}, {t}_{\mathrm{ret}})}{\partial t}

\right)

\mathrm{d}^3 \boldsymbol{s}

이 방정식들은 일반적인 맥스웰 방정식의 해가 된다. 여기서 $\backslash mathbb\{R\}^\{n\}$는 n차원 실수 수 벡터 공간을 의미한다.

자기 벡터 포텐셜에 대한 지연 퍼텐셜 유도는 다음 단계를 따른다.

• '''STEP1''': 포텐셜 형식의 맥스웰 방정식을 푸리에 변환한다.
• '''STEP2''': 그린 함수가 따르는 방정식을 유도한다.
• '''STEP3''': STEP2에서 얻은 방정식의 공간 성분에 구면 좌표 변환을 적용하여 등방성(구칭성)을 고려한다.
• '''STEP4''': 그린 함수를 구한다.
• '''STEP5''': 해의 푸리에 역변환을 수행한다.
• '''STEP6''': 해의 푸리에 역변환을 한번 더 수행한다.
• '''STEP7''': 시공간 인과율에 맞지 않는 해(선행 포텐셜)를 기각한다.

전위 스칼라 포텐셜도 같은 방식으로 유도되지만, 여기서는 생략한다.^[49]

이 유도 과정은 오펜하이머^[13], 카와무라^[14], 스나가와^[15]의 논의와 대체로 일치한다.^[49]

STEP6에서 얻은 일반해에서 시공간 인과율에 위배되는 선행 포텐셜은 기각한다.

선행 포텐셜 $\backslash hat\{\backslash boldsymbol\{A\}\}\_\{\backslash mathrm\{adv\}\}$은 위치 $\backslash boldsymbol\{s\}$의 전류 미소 요소가 만드는 벡터 포텐셜을 모든 $\backslash boldsymbol\{s\}$에 대해 적분한 것으로, 관측점보다 미래 시각의 전류 미소 요소가 영향을 준다는 점에서 부적절하다. 반면 지연 포텐셜 $\backslash hat\{\backslash boldsymbol\{A\}\}\_\{\backslash mathrm\{ret\}\}$은 관측점보다 이전 시각의 전류 미소 요소가 영향을 주며, 영향이 광속으로 전파될 때 시간 지연이 일관성 있게 발생하여 타당하다. 따라서 선행 포텐셜은 비현실적이며 시공간 인과율 관점에서도 부적합하므로 기각하고, 지연 포텐셜만 남겨야 한다.

8. 1. STEP1: 푸리에 변환

본 절에서는 포텐셜 형식의 맥스웰 방정식 양변의 '''A'''와 '''i''' 각각의 시간 성분에 대해 (일변수 함수의 의미로) 푸리에 변환^[50]을 실시한다. 결론은 다음 보조정리 1에 요약되어 있다.



식 (2-1-2)의 $\backslash hat\{\backslash boldsymbol\{A\}\}(x,y,z,\backslash omega),\; \backslash hat\{\backslash boldsymbol\{i\}\}(x,y,z,\backslash omega)$는, $\{\backslash boldsymbol\{A\}\}(x,y,z,\backslash omega),\; \{\backslash boldsymbol\{i\}\}(x,y,z,\backslash omega)$의 시간 성분에 일변수 함수의 의미로 푸리에 변환을 실시하여 얻어진 것이다.^[50][51][52]

따라서, $\backslash hat\{\backslash boldsymbol\{A\}\}(x,y,z,\backslash omega),\; \backslash hat\{\backslash boldsymbol\{i\}\}(x,y,z,\backslash omega)$ 각각에 (일변수의 의미로 ω에 대해) 푸리에 역변환을 실시하면,

:$\backslash boldsymbol\{A\}(t,\backslash boldsymbol\{r\})\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\backslash pi\}\}\backslash int\_\{\backslash omega=-\backslash infty\}^\{\backslash omega=\backslash infty\}\; \backslash hat\{\backslash boldsymbol\{A\}\}(\backslash boldsymbol\{r\},\backslash omega)\backslash exp(\backslash mathrm\{i\}\backslash omega\; t\; )\; \backslash \; \backslash mathrm\{d\}\backslash omega$

　(2-1-5a)

:$\backslash boldsymbol\{i\}(t,\backslash boldsymbol\{r\})\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\backslash pi\}\}\backslash int\_\{\backslash omega=-\backslash infty\}^\{\backslash omega=\backslash infty\}\; \backslash hat\{\backslash boldsymbol\{i\}\}(\backslash boldsymbol\{r\},\backslash omega)\backslash exp(\backslash mathrm\{i\}\backslash omega\; t\; )\; \backslash \; \backslash mathrm\{d\}\backslash omega$　(2-1-5b)

를 얻는다. 식 (2-1-5)를 식 (2-1-1)에 대입하여, (달랑베르 연산자로부터) 시간 성분을 소거한다.

먼저, 식 (2-1-1)의 좌변에 대해 검토한다.

식 (2-1-5a)의 양변에, 식 (2-1-1)의 좌변, 즉 달랑베르 연산자

:$\backslash Box\; =-\backslash frac\{1\}\{c^2\}\backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\; t^2\}+\; \backslash nabla^2$　　 (2-1-6)

를 작용시키면,

:$\backslash Box\; \backslash boldsymbol\{A\}\; =\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\backslash pi\}\}\; \backslash int\_\{-\backslash infty\}^\{\backslash infty\}\; \backslash left\backslash \{$

\left (\frac{\omega^2}{c^2}\right )\hat{\boldsymbol{A}}(\boldsymbol{r},\omega)\exp(\mathrm{i}\omega t )

+ \nabla^{2} \hat{\boldsymbol{A}}(\boldsymbol{r},\omega)\exp(\mathrm{i}\omega t ) \right\}\mathrm{d}\omega

　　 (2-1-7)

을 얻는다. 실제로,

:$\backslash begin\{align\}\; \backslash Box\; \backslash boldsymbol\{A\}$

&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}

• \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial{t}^{2}}

\hat{\boldsymbol{A}}(\boldsymbol{r},\omega)\exp(\mathrm{i}\omega t ) \ \mathrm{d}\omega

+

\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}

\nabla^{2}

\hat{\boldsymbol{A}}(\boldsymbol{r},\omega)\exp(\mathrm{i}\omega t ) \ \mathrm{d}\omega \\

&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}

\left (\frac{\omega^2}{c^2}\right )\hat{\boldsymbol{A}}(\boldsymbol{r},\omega)\exp(\mathrm{i}\omega t ) \ \mathrm{d}\omega

+

\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}

\nabla^2

\hat{\boldsymbol{A}}(\boldsymbol{r},\omega)\exp(\mathrm{i}\omega t ) \ \mathrm{d}\omega \\

&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \left\{

\left (\frac{\omega^2}{c^2}\right )\hat{\boldsymbol{A}}(\boldsymbol{r},\omega)\exp(\mathrm{i}\omega t )

+

\nabla^2

\hat{\boldsymbol{A}}(\boldsymbol{r},\omega)\exp(\mathrm{i}\omega t ) \right\}\mathrm{d}\omega

\end{align} 　　(2-1-8)

이다.

한편, 식 (2-1-1) 우변을, (2-1-5b)의 전류 밀도 "i"에 작용시키면,

:$-\{\backslash mu\}\_\{0\}\; \backslash boldsymbol\{i\}(\backslash boldsymbol\{r\},\backslash omega)\; =\; -\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\backslash pi\}\}$

\int_{-\infty}^{\infty} \hat{\boldsymbol{i}}(\boldsymbol{r},\omega)\exp(\mathrm{i}\omega t )\ \mathrm{d}\omega　 (2-1-9)

을 얻는다.

식 (2-1-1), (2-1-7), (2-1-9)에서,

:$\backslash int\_\{-\backslash infty\}^\{\backslash infty\}\; \backslash left\backslash \{\backslash left\; (\backslash frac\{\backslash omega^2\}\{c^2\}\backslash right\; )\backslash hat\{\backslash boldsymbol\{A\}\}(\backslash boldsymbol\{r\},\backslash omega)\backslash exp(\backslash mathrm\{i\}\backslash omega\; t\; )$

+ \nabla^2 \hat{\boldsymbol{A}}(\boldsymbol{r},\omega)\exp(\mathrm{i}\omega t ) \right\} \mathrm{d}\omega

= -\mu_0 \int_{-\infty}^{\infty} \hat{\boldsymbol{i}}(\boldsymbol{r},\omega)\exp(\mathrm{i}\omega t ) \ \mathrm{d}\omega 　　(2-1-11)

임을 알 수 있다. 이상으로부터, 헬름홀츠 방정식, 즉, 식 (2-1-3)이 임의의 실수 ω에 대해 성립함을 알 수 있다.

8. 2. STEP2: 그린 함수법

헬름홀츠 방정식의 임펄스 응답을 사용하여 해를 구하는 방법을 그린 함수법이라고 하며, 이때 사용되는 임펄스 응답을 그린 함수라고 한다.



실제로, (2-2-2)의 양변에 미분 연산자 $D$를 작용시키면, "적분과 미분의 교환 가능성"과 "라이프니츠 규칙"에 의해,

:$(D[\backslash hat\{\backslash boldsymbol\{A\}\}])(\backslash boldsymbol\{r\},\backslash omega)$

= -{\mu}_{0}\int_{\boldsymbol{s}\in\mathbb{R}^{3}}

\left(

D[G(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{s},\omega)] \hat{\boldsymbol{i}}(\boldsymbol{s},\omega) \ +

G(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{s},\omega) D[\hat{\boldsymbol{i}}(\boldsymbol{s},\omega)]

\right)

\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{s}

　　(2-2-3)

이다. 여기서,

: '''r'''=(x,y,z)　　(2-2-4)

이다.

먼저, 식(2-2-3)의 첫 번째 항에 대해 검토하면 다음과 같다.

:DG('''r'''-'''s''',ω) = δ³('''r'''-'''s''')　　(2-2-5)

또한, 델타 함수와의 컨볼루션의 성질로부터,

:$\backslash int\_\{\backslash boldsymbol\{s\}\backslash in\backslash mathbb\{R\}^\{3\}\}$

D[G(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{s},\omega)]\hat{\boldsymbol{i}}(\boldsymbol{s},\omega)

\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{s}= \hat{\boldsymbol{i}}(\boldsymbol{r},\omega)

　　(2-2-6)

이다. 다음으로 식(2-2-3)의 첫 번째 항에 대해 검토하면, $\backslash hat\{\backslash boldsymbol\{i\}\}\; (t,\backslash boldsymbol\{s\})$는 $\backslash boldsymbol\{r\}$에 의존하지 않으므로,

:$D[\backslash hat\{\backslash boldsymbol\{i\}\}(t,\backslash boldsymbol\{s\})]=0$　　(2-2-7)

이다.

결과적으로, 식(2-2-2)의 $\backslash hat\{\backslash boldsymbol\{A\}\}$는,

:$D\backslash hat\{\backslash boldsymbol\{A\}\}(\backslash boldsymbol\{r\},\backslash omega)=\; -\backslash mu\_0\backslash hat\{\backslash boldsymbol\{i\}\}(\backslash boldsymbol\{r\},\backslash omega)$

　　(2-2-8)

를 만족한다. 즉, 식 (2-1-3)의 헬름홀츠 방정식을 만족한다는 것을 알 수 있다.^[53][54]

8. 3. STEP3: 구면 좌표 변환

헬름홀츠 방정식의 임펄스 응답에 구면 좌표 변환을 적용하고, 공간의 구대칭성을 고려하여 상미분 방정식으로 만든다.

x-y-z 공간상의 스칼라 값 함수 G(x, y, z)가 식 (2-2-1)의 구대칭 해가 되기 위한 필요충분 조건은, G(x, y, z)가 다음 식 (2-3-1)을 만족하는 것이다.^{[40][41][42][43][44]}

:$$

\frac{1}{r}\frac{\partial^{2}

[r G(\Phi(r,\theta,\rho),\omega)]}{\partial r^{2}}

+k^{2}G(\Phi(r,\theta,\rho),\omega)

={\delta}^{3}(\boldsymbol{r})　　(2-3-1)

단, k는 다음 식 (2-3-2)로 정의되는 상수이다.

:$k=\backslash left\; (\backslash frac\{\backslash omega\}\{c\}\backslash right\; )$　　(2-3-2)

라플라시안 ($\backslash Delta=\backslash nabla^2$)에 대해 구면 좌표 변환을 적용한 것을 $(\{\backslash Phi\}^\{*\}\backslash Delta)$라고 쓰면,

:$$

({\Phi}^{*}\Delta) =\frac{\partial^2}{\partial r^2}

+\frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r}

+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}

+\frac{1}{r^2}\operatorname{cot}\theta \frac{\partial}{\partial \theta}

+\frac{1}{r^2\sin^2{\theta}}\frac{\partial^2}{\partial \rho^2}

　　(2-3-3)

가 된다. 따라서, 식 (2-1-4)의 D에 대해 구면 좌표 변환을 적용한 것을 L이라고 쓰면,

:$$

L=

({\Phi}^{*}\Delta) + \left (\frac{\omega^2}{c^2}\right )

=\frac{\partial^2}{\partial r^2}

+\frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r}

+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}

+\frac{1}{r^2}\operatorname{cot}\theta \frac{\partial}{\partial \theta}

+\frac{1}{r^2\sin^2{\theta}}\frac{\partial^2}{\partial \rho^2}

+\left (\frac{\omega^2}{c^2}\right )

　　(2-3-4)

이다. 위의 미분 작용소 L은 $$

G(\Phi(r,\theta,\rho),\omega)에 대해 미분 작용소의 구면 좌표 변환의 식 (S3-2-1)의 의미에서의 $\backslash Phi$ 관계, 즉,

:$$

L[G(\Phi(r,\theta,\rho),\omega)]=

(\Delta[G]) (\Phi(r,\theta,\rho),\omega)　　(2-3-5)

를 만족하도록 작용하므로, 위의 헬름홀츠 방정식은,

:$$

(\Delta[G])(\Phi(r,\theta,\rho),\omega)

+{k}^{2}G(\Phi(r,\theta,\rho),\omega)

={\delta}^{3}(\boldsymbol{r})　　(2-3-6)

로 변형된다.

한편, 위치 $\backslash boldsymbol\{s\}$에서의 전류 소편의 영향은 구대칭성, 즉 시험 전하(시험 전류)의 위치 $\backslash boldsymbol\{r\}$과 전류 소편과의 거리 $|\backslash boldsymbol\{r\}-\backslash boldsymbol\{s\}|$에만 의존하므로, G의 θ 방향, $\backslash rho$ 방향의 편미분은 모두 0이어야 한다. 따라서,

:$$

L[

G(\Phi(r,\theta,\rho),\omega)

]=

\frac{\partial^2 [

G(\Phi(r,\theta,\rho),\omega)

]}{\partial r^2}

+\frac{2}{r}\frac{\partial [

G(\Phi(r,\theta,\rho),\omega)

]}{\partial r}

　　(2-3-7)

가 성립한다.

더욱이, 곱의 미분 공식을 고려하면,

:$L[$

G(\Phi(r,\theta,\rho),\omega)

]=

\frac{1}{r}\frac{\partial^{2}

[

r\cdot G(\Phi(r,\theta,\rho),\omega)

]}{\partial r^{2}}

　　(2-3-8)

를 얻을 수 있다. 여기서 "$\backslash cdot$"는 스칼라 곱을 의미한다. 즉, $r\backslash cdot\; G(\backslash Phi(r,\backslash theta,\backslash rho),\backslash omega)$는 스칼라 r에 의한 벡터 '''A'''의 스칼라 곱을 의미한다.

따라서, '''구대칭성을 고려한 경우''',

:$$

\frac{1}{r}\frac{\partial^{2}

[r\cdot (G(\Phi(r,\theta,\rho),\omega))]}{\partial r^{2}}

+{k}^{2}\cdot G(\Phi(r,\theta,\rho),\omega)

={\delta}^{3}(\boldsymbol{r})　　(2-3-9)

을 얻을 수 있다.

8. 4. STEP4: 구대칭 그린 함수

앞 절에서 유도한 상미분 방정식 (2-3-9)을 풀어 구대칭 그린 함수를 구한다.

x-y-z 공간 상의 스칼라 값 함수 $G(x,\; y,\; z)$가 식 (2-3-1)의 해가 되기 위한 필요충분조건은 $G$가 다음 식 (2-4-2)의 형태로 표현되는 것이다.

:$G=aG\_\{\backslash mathrm\{adv\}\}+bG\_\{\backslash mathrm\{ret\}\}$　　(2-4-2)

단, a, b는

:$a+b=1$ 　　(2-4-3)

을 만족하는 실수 상수이며, G_adv, G_ret는 다음 식 (2-4-4), (2-4-5)^[53]

로 정의되는 함수이다.

:$\{G\}\_\{\backslash mathrm\{adv\}\}(x,y,z,\backslash omega):=\backslash frac\{\backslash exp(ikr)\}\{-4\backslash pi\; r\}$　(2-4-4)

:$\{G\}\_\{\backslash mathrm\{ret\}\}(x,y,z,\backslash omega):=\backslash frac\{\backslash exp(-ikr)\}\{-4\backslash pi\; r\}$　(2-4-5)

또한 k는 식 (2-3-2)로 주어지며, r은 식 (2-4-6)으로 정해진다.

:$r(x,y,z)=\backslash sqrt\{x^2\; +\; y^2\; +\; z^2\}$　(2-4-6)

(1) 상미분 방정식 부분


먼저 r≠0에서 식 (2-3-1)을 푼다.

:$u(r):=r\; G(\backslash Phi(r,0,0),\backslash omega)$　　(2-4-7)

로 놓고, (2-3-1)식에 대입하면 r≠0에서

:$\backslash frac\{d^\{2\}u\}\{dr^\{2\}\}(r)=-\{k\}^\{2\}u(r)$ 　　(2-4-8)

을 얻는다. 이 상미분 방정식은 변수 분리형이므로, 상수(스칼라) a, b를 사용하여

:$u(r)=\; a\backslash frac\{\backslash exp(ikr)\}\{-4\backslash pi\}+\; b\backslash frac\{\backslash exp(-ikr)\}\{-4\backslash pi\}$ 　　(2-4-9)

로 나타낼 수 있다. $u(r)$의 정의로부터,

:$G(\backslash Phi(r,0,0),\backslash omega)=a\backslash frac\{\backslash exp(ikr)\}\{-4\backslash pi\; r\}+b\backslash frac\{\backslash exp(-ikr)\}\{-4\backslash pi\; r\}$ 　　(2-4-10)

이지만, G는 구대칭성을 가지므로, θ, ρ에 의존하지 않으며, 따라서 임의의 r, θ, ρ, ω에 대해

:$G(\backslash Phi(r,\backslash theta,\backslash rho),\backslash omega)$

= a\frac{\exp(ikr)}{-4\pi r}+

b\frac{\exp(-ikr)}{ -4\pi r}

　　(2-4-11)

이 r≠0에서 구대칭성을 고려한 헬름홀츠 방정식의 해임을 알 수 있다.

(2) 그린 함수 부분


다음으로, 식 (2-4-11)이 r=0에서 식 (2-3-1)의 해가 되는 조건을 식 (2-4-3)으로 나타낼 수 있음을 보인다.

먼저, $G\_\{\backslash mathrm\{adv\}\}$에 대해 생각한다.

G_adv의 양변에 라플라시안을 작용시키는 것을 고려한다.

:$\backslash frac\{\backslash partial[\{G\}\_\{\backslash mathrm\{adv\}\}]\}\{\backslash partial\; x\}=$

\frac{-1}{4\pi r}\left(\frac{\partial[\exp(ikr)]}{\partial x }\right)+

\exp(ikr)\frac{\partial}{\partial x} \left[ \frac{-1}{4\pi r}\right]

:$$

=\frac{-ikx\exp(ikr)}{4\pi {r}^{2}}+

\exp(ikr)\frac{\partial}{\partial x} \left[\frac{-1}{4\pi r}\right]

　　(2-4-12)

따라서,

:$$

\frac}

\right]+

\frac{\partial}{\partial x}\left[

\exp(ikr)\frac{\partial}{\partial x}\left[

\frac{1}{-4\pi r}

\right]\right]



:$=$

\frac{-{i}^{2}{k}^{2}{x}^{2}\exp(ikr)}{4\pi {r}^{3}}+

\frac{ik\exp(ikr) }{4\pi {r}^{2}}+

\frac{-ik{x}^{2}\exp(ikr)}{-4\pi {r}^{3}}+

\frac{2ik{x}^{2}\exp(ikr)}{-4\pi {r}^{4}}+

\exp(ikr)\frac{\partial{ x}^{2}} \left[\frac{-1}{4\pi r}\right]



:$=$

\frac+

\exp(ikr)\frac{\partial{x}^{2}}\left[\frac{1}{4\pi r}\right]

• \frac{ ik\exp(ikr) }{4\pi {r}^{2}}

+\frac{3ik{x}^{2}\exp(ikr) }{4\pi {r}^{3}}

　　(2-4-13)

마찬가지로,

:$$

\frac}\left[\frac{-1}{4\pi r}\right]

• \frac{ ik\exp(ikr) }{4\pi {r}^{2}}

+\frac{3ik{y}^{2}\exp(ikr) }{4\pi {r}^{3}}

　　(2-4-14)

:$$

\frac}\left[\frac{-1}{4\pi r}\right]

• \frac{ ik\exp(ikr) }{4\pi {r}^{2}}

+\frac{3ik{z}^{2}\exp(ikr) }{4\pi {r}^{3}}

　　(2-4-15)

이상으로부터,

:$$

\Delta [{G}_{\mathrm{adv}}]=

{k}^{2}

\exp(ikr) \frac{({x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2})}{4\pi {r}^{3}}+

\frac{1}{4\pi }\exp(ikr) \Delta [ \frac{1}{r}]+

:$$

\frac{-1}{4\pi }3ik\exp(ikr) \frac{1}

+3ik\exp(ikr) \frac



:$$

=-{k}^{2}\exp(ikr) \frac{-1}{4\pi r}+

\exp(ikr) \Delta [ \frac{-1}{4\pi r }]

=-{k}^{2}{G}_{\mathrm{adv}}+\Delta [ \frac{-1}{4\pi r }]

　　(2-4-16)

이상으로부터,

:$D[\{G\}\_\{\backslash mathrm\{adv\}\}]=\backslash exp(ikr)\; \backslash Delta\; [\; \backslash frac\{-1\}\{4\backslash pi\; r\; \}]$ 　　(2-4-17a)

마찬가지로,

:$D[\{G\}\_\{\backslash mathrm\{ret\}\}]=\backslash exp(-ikr)\; \backslash Delta\; [\; \backslash frac\{-1\}\{4\backslash pi\; r\; \}]$ 　　(2-4-17b)

가 된다.

여기서, 디랙 델타의 체적 적분(보충 참조)에서,

:$\backslash Delta\backslash left[\backslash frac\{-1\}\{4\backslash pi\; r\; \}\backslash right]=\backslash delta(r)$　　(2-4-18)

이며, 또한

:$\backslash exp(ikr)\backslash delta(r)\; =$

\begin{cases}

0\exp(ikr) & \text{if } r\neq 0\\

\infty \exp(ik0) & \text{if } r = 0 .

\end{cases}= \begin{cases}

0 & \text{if } r\neq 0\\

\infty & \text{if } r = 0 .

\end{cases}

=\delta(r)

　　(2-4-19a)

:$\backslash exp(-ikr)\backslash delta(r)=\backslash delta(r)$　　(2-4-19b)

이다. 따라서 식 (2-4-2)의 좌변에 D를 작용시키면,

:$DG\_\{\backslash mathrm\{adv\}\}=\backslash delta^3(\backslash boldsymbol\{r\})$ 　　(2-4-20a)

:$DG\_\{\backslash mathrm\{ret\}\}=\backslash delta^3(\backslash boldsymbol\{r\})$　　(2-4-20b)

:$D[G]=aD[G\_\{\backslash mathrm\{adv\}\}]+bD[G\_\{\backslash mathrm\{ret\}\}]=(a+b)\backslash delta^3(\backslash boldsymbol\{r\})$　(2-4-20c)

이므로 식 (2-4-3)의 계수 조건이 충족되면 식 (2-4-2)의 $G$는 $r=0$에서도 구대칭성을 고려한 헬름홀츠 방정식의 해임을 알 수 있었다.

충분성에 대해서는, 상미분 방정식의 해의 유일성으로부터 자명하다.

8. 5. STEP5: 해의 표현

헬름홀츠 방정식의 해는 STEP4에서 구한 그린 함수를 사용하여 표현할 수 있다.^[49]

'''보조 정리 5'''

식 (2-4-4), 식 (2-4-5)의 $\{G\}\_\{\backslash mathrm\{adv\}\},\{G\}\_\{\backslash mathrm\{ret\}\}$에 대해, $\backslash hat\{\backslash boldsymbol\{A\}\}\_\{\backslash mathrm\{adv\}\}$, $\backslash hat\{\backslash boldsymbol\{A\}\}\_\{\backslash mathrm\{ret\}\}$를 각각 식 (2-5-1), 식 (2-5-2)와 같이 정의한다.

:$$

\hat{\boldsymbol{A}}_{\mathrm{adv}}(\boldsymbol{s},\omega)

:=-\mu_0\int_{\boldsymbol{s}\in\mathbb{R}^{3}}

{G}_{\mathrm{adv}}

(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{s})

\hat{\boldsymbol{i}} (\boldsymbol{s},\omega)

\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{s}

　　(2-5-1)

:$$

\hat{\boldsymbol{A}}_{\mathrm{ret}}(\boldsymbol{s},\omega)

:=-\mu_0\int_{\boldsymbol{s}\in\mathbb{R}^{3}}

{G}_{\mathrm{ret}}

(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{s})

\hat{\boldsymbol{i}} (\boldsymbol{s},\omega)

\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{s}

　　(2-5-2)

또한,

:$\backslash boldsymbol\{A\}\_\{\backslash mathrm\{adv\}\}(t,\backslash boldsymbol\{r\})$

:=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}

\int_{\omega=-\infty}^{\omega=\infty}

\hat{\boldsymbol{A}}_{\mathrm{adv}}(\boldsymbol{r},\omega)\exp(\mathrm{i}\omega t ) \ \mathrm{d}\omega

　　(2-5-3)

:$\backslash boldsymbol\{A\}\_\{\backslash mathrm\{ret\}\}\; (t,\backslash boldsymbol\{r\})$

:= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}

\int_{\omega=-\infty}^{\omega=\infty}

\hat{\boldsymbol{A}}_{\mathrm{ret}}(\boldsymbol{r},\omega)\exp(\mathrm{i}\omega t ) \ \mathrm{d}\omega

　　(2-5-4)

이 때, 다음 (1), (2)가 성립한다.

• (1) $a+b=1$이면, 다음 식 (2-5-5)는 식 (2-1-3)의 헬름홀츠 방정식의 해이다.

::$\backslash hat\{\backslash boldsymbol\{A\}\}:=a\backslash hat\{\backslash boldsymbol\{A\}\}\_\{\backslash mathrm\{adv\}\}+b\backslash hat\{\backslash boldsymbol\{A\}\}\_\{\backslash mathrm\{ret\}\}$ (2-5-5)

• (2) $a+b=1$이면, 다음 식 (2-5-6)은 식 (2-1-1)의 방정식의 해이다.

::$\{\backslash boldsymbol\{A\}\}:=a\{\backslash boldsymbol\{A\}\}\_\{\backslash mathrm\{adv\}\}+b\{\backslash boldsymbol\{A\}\}\_\{\backslash mathrm\{ret\}\}$ (2-5-6)

:$$

\hat{\boldsymbol{A}}(\boldsymbol{r},\omega)

=-\mu_0\int_{\boldsymbol{s}\in\mathbb{R}^{3}}

G(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{s})

\hat{\boldsymbol{i}} (\boldsymbol{s},\omega) \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{s}

　　(2-5-7)

에, STEP4의 식 (2-4-2)에서 얻은 $G$를 대입하여 일반해를 구하면 다음과 같다.

:$$

\hat{\boldsymbol{A}}(\boldsymbol{r},\omega) =

:$$

• \mu_0\int_{\boldsymbol{s}\in\mathbb{R}^{3}}

\left(a{G}_{\mathrm{adv}}

(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{s})

\hat{\boldsymbol{i}} (\boldsymbol{s},\omega) +

b{G}_{\mathrm{ret}}

(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{s})

\hat{\boldsymbol{i}} (\boldsymbol{s},\omega) \right)

\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{s}



:$$

=-a\mu_0\int_{\boldsymbol{s}\in\mathbb{R}^{3}}

{G}_{\mathrm{adv}}

(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{s})

\hat{\boldsymbol{i}} (\boldsymbol{s},\omega)

\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{s}+

b\mu_0\int_{\boldsymbol{s}\in\mathbb{R}^{3}}

{G}_{\mathrm{ret}}

(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{s})

\hat{\boldsymbol{i}} (\boldsymbol{s},\omega)

\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{s}



따라서, 식 (2-5-1), 식 (2-5-2)와 같이 $\backslash hat\{\backslash boldsymbol\{A\}\}\_\{\backslash mathrm\{adv\}\},\backslash hat\{\backslash boldsymbol\{A\}\}\_\{\backslash mathrm\{ret\}\}$를 정하면,

:$$

\hat{\boldsymbol{A}}(\boldsymbol{s},\omega)

=

a\hat{\boldsymbol{A}}_{\mathrm{adv}}(\boldsymbol{s},\omega)

+

b\hat{\boldsymbol{A}}_{\mathrm{ret}}(\boldsymbol{s},\omega)

(2-5-10）

임을 알 수 있다. 즉, 식 (2-5-5)가 헬름홀츠 방정식의 해가 된다.

또한, 식 (2-5-3), 식 (2-5-4)의 정의에 따라 $\{\backslash boldsymbol\{A\}\}\_\{\backslash mathrm\{adv\}\},\{\backslash boldsymbol\{A\}\}\_\{\backslash mathrm\{ret\}\}$는 $\backslash hat\{\backslash boldsymbol\{A\}\}\_\{\backslash mathrm\{adv\}\},\backslash hat\{\backslash boldsymbol\{A\}\}\_\{\backslash mathrm\{ret\}\}$에 푸리에 역변환을 적용하여 시간 영역으로 되돌린 것이므로, STEP1의 식 (2-1-3)의 역을 따라가면, 식 (2-5-6)을 얻는다. 즉, 식(2-5-6)은 일반적인 맥스웰 방정식의 해가 된다.

8. 6. STEP6: 푸리에 역변환

보조정리 6에 따르면, 식 (2-5-1)과 식 (2-5-2)의 '''A'''_adv^영어, '''A'''_ret^영어는 각각 다음을 만족한다.

:$\backslash boldsymbol\{A\}\_\{\backslash mathrm\{adv\}\}(\backslash boldsymbol\{r\},t)\; =$

\dfrac{\mu_0}{4\pi} \int_{\boldsymbol{s}\in\mathbb{R}^{3}}

\dfrac{\boldsymbol{i}(\boldsymbol{s},{t}_{\mathrm{adv}})}

\cdot\mathrm{d} \boldsymbol{s} 　(2-6-1)

:$\backslash boldsymbol\{A\}\_\{\backslash mathrm\{ret\}\}(\backslash boldsymbol\{r\},t)\; =$

\dfrac{\mu_0}{4\pi} \int_{\boldsymbol{s}\in\mathbb{R}^{3}} \dfrac{\boldsymbol{i}(\boldsymbol{s},{t}_{\mathrm{ret}})}

\cdot \mathrm{d} \boldsymbol{s} 　(2-6-2)

단,

:$\{t\}\_\{\backslash mathrm\{adv\}\}=t+\backslash frac$

{c}　(2-6-3)

:$\{t\}\_\{\backslash mathrm\{ret\}\}=t-\backslash frac$

{c}　(2-6-4)

를 의미한다.

식 (2-6-2)를 유도하기 위해, 식 (2-5-2)의 G_ret^영어에 식 (2-4-5)를 대입하면,

:$$

\hat{\boldsymbol{A}}_{\mathrm{ret}}(\boldsymbol{s},\omega)

= -{\mu}_{0}\int_{\boldsymbol{s}\in\mathbb{R}^{3}}

\frac{-\exp(-ik|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{s}|)

\hat{\boldsymbol{i}} (\boldsymbol{s},\omega)}

{4\pi|\boldsymbol{\boldsymbol{r}-\boldsymbol{s}}|}

\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{s}

　　(2-6-5)

이다. 식 (2-6-5)의 에 푸리에 역변환을 적용하면,

:$$

{\boldsymbol{A}}_{\mathrm{ret}}(\boldsymbol{t,\boldsymbol{r}}) =

\frac{1}{\sqrt{2\pi}}

\int_{\omega=-\infty}^{\omega=\infty}

\left(

\int_{\boldsymbol{s}\in\mathbb{R}^{3}}

\frac{\exp(- ik|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{s}|)

\hat{\boldsymbol{i}} (\boldsymbol{s},\omega)}{4\pi |\boldsymbol{\boldsymbol{r}-\boldsymbol{s}}|}

\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{s}\right)\exp(i\omega t)\ d\omega

　　(2-6-6a)

:$$

=\frac{4\pi}

\int_{\boldsymbol{s}\in\mathbb{R}^{3}}

\frac{1}{ |\boldsymbol{\boldsymbol{r}-\boldsymbol{s}}|}

\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}

\int_{\omega=-\infty}^{\omega=\infty}

\exp(i(\omega t - k|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{s}|))

\hat{\boldsymbol{i}} (\boldsymbol{s},\omega)\ d\omega

\right)

\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{s}

　　(2-6-6b)

:$$

=\frac{4\pi}

\int_{\boldsymbol{s}\in\mathbb{R}^{3}}

\frac{1}

\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}

\int_{\omega=-\infty}^{\omega=\infty}

\exp(i\omega \left(t -\frac

{c}\right))

\hat{\boldsymbol{i}} (\boldsymbol{s},\omega)\ d\omega

\right)

\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{s}

　　(2-6-6c)

:$$

=\frac

\int_{\boldsymbol{s}\in\mathbb{R}^{3}}

\frac{1}

\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}

\int_{\omega=-\infty}^{\omega=\infty}

\exp(i\omega t_{\mathrm{ret}})

\hat{\boldsymbol{i}} (\boldsymbol{s},\omega)\ d\omega

\right)

\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{s}

　　　(2-6-6d)

:$=\backslash dfrac\{\backslash mu\_0\}\{4\backslash pi\}\; \{\backslash int\}\_\{\backslash boldsymbol\{s\}\backslash in\; \backslash mathbb\{R\}^\{3\}\}$

\dfrac{\boldsymbol{i}(\boldsymbol{s},{t}_{\mathrm{ret}})}

\cdot \mathrm{d} \boldsymbol{s}　　　(2-6-6e)

를 얻는다. 여기서, (2-6-6a)에서 (2-6-6b)로의 변환에서는 ω^영어에 의존하지 않는 항을 "$\backslash int\; \backslash \; d\backslash omega$" 밖으로 묶어냈다. (2-6-6b)에서 (2-6-6c)로의 변환에서는 식 (2-3-4), 즉 $k=\backslash omega/c$를 고려했다. 또한, (2-6-6d)에서 (2-6-6e)로의 변환은 (2-1-5b)에 t_ret^영어를 대입한 것이다.

8. 7. STEP7: 인과율에 따른 해 선택

STEP6에서 얻은 일반해에서 시공간 인과율에 맞지 않는 해를 제거한다.

식 (2-6-1)의 선행 포텐셜 $\backslash hat\{\backslash boldsymbol\{A\}\}\_\{\backslash mathrm\{adv\}\}$은 위치 $\backslash boldsymbol\{s\}$의 전류 미소 요소 $\{\backslash boldsymbol\{i\}(\backslash boldsymbol\{s\},\{t\}\_\{\backslash mathrm\{adv\}\})\}\; \backslash mathrm\{d\}\; \backslash boldsymbol\{s\}$ (2-7-1)가 위치 $\backslash boldsymbol\{r\}$에 만드는 벡터 포텐셜 $\backslash dfrac\{\backslash boldsymbol\{i\}(\backslash boldsymbol\{s\},\{t\}\_\{\backslash mathrm\{adv\}\})\}$

\cdot \mathrm{d} \boldsymbol{s} (2-7-2)를 모든 $\backslash boldsymbol\{s\}$에 대해 적분한 것으로 해석된다.

식 (2-6-2)의 지연 포텐셜 $\backslash hat\{\backslash boldsymbol\{A\}\}\_\{\backslash mathrm\{ret\}\}$는 $\{\backslash boldsymbol\{i\}(\backslash boldsymbol\{s\},\{t\}\_\{\backslash mathrm\{ret\}\})\}\; \backslash cdot\backslash mathrm\{d\}\; \backslash boldsymbol\{s\}$ (2-7-3)가 위치 '''r'''에 만드는 벡터 포텐셜 $\backslash dfrac\{\backslash boldsymbol\{i\}(\backslash boldsymbol\{s\},\{t\}\_\{\backslash mathrm\{ret\}\})\}$

\cdot \mathrm{d} \boldsymbol{s} (2-7-4)를 모든 '''s'''에 대해 적분한 것으로 해석된다.

식 (2-7-2)와 (2-7-4) 모두 전류 미소 요소의 영향이 전류 미소 요소가 있는 위치 '''s'''와 관측점 '''s''' 사이의 거리에 반비례하여 구대칭으로 퍼져나가는 것은 타당하다.

지연 포텐셜은 식 (2-7-4)와 같이 관측점의 시각 t에서의 벡터 포텐셜에 영향을 주는 전류 미소 요소가 관측점의 시각보다 이전 시각의 것이고, 영향이 광속으로 전파된다고 할 때 시간 지연이 일관성 있게 발생하여 타당하다.

반면, 식 (2-7-2)는 관측점의 시각 t에서의 벡터 포텐셜에 영향을 주는 전류 미소 요소가 관측점의 시각보다 미래의 것이 되어 적절하지 않다.

선행 포텐셜의 영향이 있다면 관측점 '''r'''의 관측자는 미래의 정보를 예측이 아닌 관측할 수 있다는 의미가 된다. 이는 비현실적이며 시공간 인과율 관점에서도 부적합하므로, 선행 포텐셜은 기각해야 한다.

따라서 식 (2-6-2)의 '''A'''_ret만 남아야 한다고 결론지을 수 있다.

9. 수학적 보충 (일본어판 보충)

본 절에서는 일변수 푸리에 변환, 벡터장의 대수 연산, 미분 연산자, 구면 좌표 변환, 분수 함수의 미분, 초함수(델타 함수) 등 뒤처진 퍼텐셜 유도에 필요한 수학적 내용을 보충 설명한다. 아래 내용은 오펜하이머^[13](특히 7장 p33 이후), 카와무라^[14](p151~), 스나가와^[15](특히 P254 부근)의 내용을 참고했다.^[49]
일변수 푸리에 변환^[36]

변수 t에 대한 일변수 스칼라 값 함수 f(t)의 푸리에 변환은 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash hat\{f\}(\backslash omega)=\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\backslash pi\}\}\{\backslash int\}\_\{t=-\backslash infty\}^\{t=\backslash infty\}\backslash \; f(t)\backslash exp\{(-i\backslash omega\; t)\}\; \backslash \; dt$

이때, 푸리에 역변환은 다음과 같다.

:$f(u)=\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\backslash pi\}\}\{\backslash int\}\_\{\backslash omega=-\backslash infty\}^\{\backslash omega=\backslash infty\}\backslash \; \backslash hat\{f\}(\backslash omega)\backslash exp\{(i\backslash omega\; u)\}\; \backslash \; d\backslash omega$
벡터 해석 공식^[37]

벡터장에 대수 연산을 적용하고 미분 연산자를 작용시켰을 때 성립하는 공식은 다음과 같다. (자세한 내용은 후지모토^[37] P64 부근 참조)

• 정의:
• 벡터장 $F=(f\_1,f\_2,f\_3)$에 대해,

:$$

\left\langle\ \boldsymbol{F}\ |\ \nabla \ \right\rangle :=

{f}_{1}{\partial \over \partial {x}_{1}} + {f}_{2}{\partial \over \partial {x}_{2}} + {f}_{3}{\partial \over \partial {x}_{3}}

• ∇는 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash nabla\; :=\; \backslash boldsymbol\{\backslash hat\{x\}\}\; \{\backslash partial\; \backslash over\; \backslash partial\; x\}\; +\; \backslash boldsymbol\{\backslash hat\{y\}\}\; \{\backslash partial\; \backslash over\; \backslash partial\; y\}\; +\; \backslash boldsymbol\{\backslash hat\{z\}\}\; \{\backslash partial\; \backslash over\; \backslash partial\; z\}$

• 는 "F・∇"라고도 쓴다.

• 벡터장 G에 를 작용시키면,

:$\backslash left\backslash langle\backslash \; \backslash boldsymbol\{F\}\backslash \; |\backslash \; \backslash nabla\; \backslash \; \backslash right\backslash rangle\; \backslash boldsymbol\{G\}=$

{f}_{1}{\partial{g}_{1} \over \partial {x}_{1}} +

{f}_{2}{\partial{g}_{2} \over \partial {x}_{2}} +

{f}_{3}{\partial{g}_{3} \over \partial {x}_{3}}

=(J[\boldsymbol{G}])\cdot\boldsymbol{F}



가 성립한다. 여기서, J['''G''']는 G의 야코비 행렬을 의미한다.

• F, G를 벡터장, *f*를 스칼라 값 함수라고 할 때, 다음 공식들이 성립한다.

• :$\backslash operatorname\{rot\}[f\backslash boldsymbol\{F\}]=\backslash operatorname\{grad\}[f]\backslash times\backslash boldsymbol\{F\}+f\backslash cdot\; \backslash operatorname\{rot\}[\backslash boldsymbol\{F\}]$
• :$$

\operatorname{rot}[\boldsymbol{F}\times\boldsymbol{G}]=

\left\langle\ \boldsymbol{G}\ |\ \nabla \ \right\rangle \boldsymbol{F}

• \left\langle\ \boldsymbol{F}\ |\ \nabla \ \right\rangle \boldsymbol{G}

+\boldsymbol{F}\operatorname{div}[\boldsymbol{G}]

• \boldsymbol{G}\operatorname{div}[\boldsymbol{F}]

• :$$

\operatorname{div}

\left[

f\boldsymbol{F}

\right]

=\left\langle

\boldsymbol{F}|\operatorname{grad}[f]

\right\rangle+

f\operatorname{div}[\boldsymbol{F}]


라플라시안

• 라플라시안은 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash Delta=\{\backslash nabla\}^\{2\}$

=\frac{\partial {x}^{2}}+

\frac{\partial {y}^{2}}+

\frac{\partial {z}^{2}}

• 라플라시안은 스칼라장 뿐만 아니라 벡터장에도 작용할 수 있다.

• 스칼라장 f에 대한 라플라시안:

:$\backslash Delta[f]=\backslash operatorname\{div\}[\backslash operatorname\{grad\}[f]]$

• 벡터장 X에 대한 라플라시안:

:$\backslash Delta[X]=\backslash operatorname\{grad\}[\backslash operatorname\{div\}[X]]-\backslash operatorname\{rot\}[\backslash operatorname\{rot\}[X]]$

(위 식의 자세한 유도 과정은 VectorAnalysis 참조)

미분 연산자의 좌표 변환에 대한 자세한 내용은 ^[37], ^{[40] [42] [43] [44]} 등의 문헌을 참조할 수 있다.

참조

_[1] 간행물 Potentials https://archive.org/[...] 1993
_[2] 서적 Classical Electromagnetism in a Nutshell 2012
_[3] 서적 Electromagnetism Manchester Physics, John Wiley & Sons 2008
_[4] 서적 Introduction to Electrodynamics Pearson Education, Dorling Kindersley 2007
_[5] 서적 Introduction to Electrodynamics Pearson Education, Dorling Kindersley 2007
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