마법 상수

1. 개요

마법 상수는 마방진, 마육각진, 별 마방진 등에서 각 행, 열, 대각선의 숫자 합을 의미한다. n차 마방진의 마법 상수는 $\backslash frac\{n(n^2+1)\}\{2\}$로 계산되며, 소수 방진이나 다른 형태의 마방진에서는 사용된 숫자의 총합을 열의 수로 나누어 구한다. 마법 별의 마법 상수는 꼭짓점의 수를 n이라고 할 때 4n+2가 되며, 마법 수열과 관성 모멘트와도 관련이 있다.

2. 마방진의 정합

일반적인 마방진은 가로, 세로, 대각선에 있는 수들의 합이 모두 같지만, 프랭클린 방진이나 범마방진과 같이 특수한 경우에는 다른 위치에 있는 수들의 합도 같아지는 경우가 있다. 예를 들어 5차 범마방진에서는 임의의 칸과 그 칸에 인접한 4칸에 있는 숫자들의 합이 모두 같다.

2.1. 마법 상수 계산

n차 마방진에는 1부터 n²까지의 숫자가 들어가므로 그 합은 $\backslash frac\{n^2(n^2+1)\}\{2\}$이다. 이 안에는 독립된 n개의 열이 있으므로 n차 마방진의 정합은 다음 식으로 나타낸다.

:$\backslash frac\{n(n^2+1)\}\{2\}$

구체적으로 n≥3에서 15, 34, 65, …가 된다. n=2일 때의 값도 계산할 수 있지만, 이 크기의 마방진은 존재하지 않으므로 의미가 없다.

소수 방진처럼 1부터의 연속된 숫자를 사용하지 않는 방진의 경우 정합은 "(사용한 숫자의 총합) ÷ (열의 수)"로 구할 수 있다.

n차 마방진의 정합은 마찬가지로 계산하면 $\backslash frac\{n(n^3+1)\}\{2\}$가 된다.

1부터 시작하는 숫자로 만든 한 변의 길이가 n인 마육각진의 정합은 $\backslash frac\{(3n^2-3n+1)(3n^2-3n+2)\}\{2(2n-1)\}$이다. 이것이 정수가 되는 것은 n=1, 3일 때뿐이다. m부터 시작하는 숫자로 만든 경우의 정합은 $\backslash frac\{9n^4-18n^3+6(m+2)n^2-3(2m+1)n+2m\}\{2(2n-1)\}$이 된다.

일반적인 별 마방진의 정합은 꼭짓점의 수를 n이라고 했을 때 4n+2가 된다. 그 외의 형태의 경우에는 "(중복을 포함한 숫자의 총합) ÷ (선의 수)"로 구할 수 있다.

2.2. 특수 마방진

n차 마방진에는 1부터 n²까지의 숫자가 들어가므로 그 합은 $\backslash frac\{n^2(n^2+1)\}\{2\}$이다. 이 안에는 독립된 n개의 열이 있으므로 n차 마방진의 정합은 다음 식으로 나타낸다.

:$\backslash frac\{n(n^2+1)\}\{2\}$

구체적으로 n≥3에서 15, 34, 65, …가 된다. n=2일 때의 값도 계산할 수 있지만, 이 크기의 마방진은 존재하지 않으므로 의미가 없다.

소수 방진처럼 1부터의 연속된 숫자를 사용하지 않는 방진의 경우 정합은 "(사용한 숫자의 총합) ÷ (열의 수)"로 구할 수 있다.

일반적인 마방진의 경우 세로, 가로 열 및 대각선의 합만이 정합이 되지만, 프랭클린 방진이나 범마방진의 경우 그 외의 위치의 합이 정합이 되는 경우도 있다. 예를 들어 5차 범마방진에서는 임의의 칸과 그에 인접한 4칸의 숫자의 합이 정합과 같아진다.

3. 기타 마법 형태

n차 마방진의 정합은 $\backslash frac\{n(n^2+1)\}\{2\}$으로 나타낸다. n≥3에서 이 값은 15, 34, 65, … 가 된다. 소수 방진처럼 1부터 연속된 숫자를 사용하지 않는 방진의 경우 정합은 "(사용한 숫자의 총합) ÷ (열의 수)"로 구할 수 있다.

일반적인 마방진은 세로, 가로, 대각선의 합만 같지만, 프랭클린 방진이나 범마방진은 다른 위치의 합도 같을 수 있다. 예를 들어 5차 범마방진에서는 임의의 칸과 인접한 4칸의 숫자 합이 정합과 같다.

1부터 시작하는 숫자로 만든 한 변의 길이가 n인 마육각진의 정합은 $\backslash frac\{(3n^2-3n+1)(3n^2-3n+2)\}\{2(2n-1)\}$이다. 이것이 정수가 되는 것은 n=1, 3일 때뿐이다.

일반적인 별 마방진의 정합은 꼭짓점의 수를 n이라고 했을 때 4n+2가 된다. 그 외 형태는 "(중복을 포함한 숫자의 총합) ÷ (선의 수)"로 구할 수 있다.

3.1. 마법 별 (Magic Star)

n각 정규 마법 별의 마법 상수는 $M\; =\; 4n\; +\; 2$이다.

3.2. 마법 수열 (Magic Series)

2013년 디르크 키나스는 매직 수열 다면체를 발견했다. 매직 상수를 형성하는 고유한 수열의 수는 현재 $n=1000$까지 알려져 있다.

3.3. 관성 모멘트

질량 모델에서 각 셀의 값은 해당 셀의 질량을 지정한다. 이 모델은 두 가지 주목할 만한 특징을 가지고 있다. 첫째, 모든 마방진의 균형 잡힌 특성을 보여준다. 이러한 모델을 중앙 셀에 매달면 구조가 균형을 이룬다. (행/열의 마법 합을 고려하면, 같은 거리에서 같은 질량이 균형을 이룬다.) 계산할 수 있는 두 번째 특징은 관성 모멘트이다. 개별 관성 모멘트(중심으로부터의 거리 제곱 × 셀 값)를 합하면 마방진의 관성 모멘트가 나오며, 이는 정사각형의 차수에만 의존한다.