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맞붙인 오각둥근지붕

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1. 개요

맞붙인 오각둥근지붕은 두 개의 오각둥근지붕을 십각형 면이 서로 겹치도록 연결하여 구성된 다면체이다. 32개의 면, 30개의 꼭짓점, 60개의 모서리를 가지며, 존슨의 다면체 중 34번째에 해당한다. 이십이십면체와 유사하며, 오각둥근지붕을 36° 회전시켜 붙인 십이이십면체와 관련이 있다.

맞붙인 오각둥근지붕
다면체 정보

이미지 준비중입니다.

오각 엇붙임 쌍둥근지붕
종류쌍둥근지붕, 존슨 J{{sub – J – J{{sub
면삼각형 2x10개, 오각형 2+10개
모서리60
꼭짓점30
대칭군D
꼭짓점 배열10(3.5), 2.10(3.5.3.5)
성질볼록

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오각 엇붙임 쌍둥근지붕의 전개도
기타 정보
쌍대다면체Trapezo-rhombic triacontahedron
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목차

2. 구성

맞붙인 오각둥근지붕은 두 개의 오각둥근지붕을 십각형 밑면끼리 서로 붙여서 만든다. 이 다면체는 32개의 면, 30개의 꼭짓점, 60개의 모서리를 갖는다.

맞붙인 오각둥근지붕은 십이이십면체와 관련이 있다. 십이이십면체는 '비틀어 붙인 오각둥근지붕'이라고도 불리며, 오각둥근지붕 두 개를 서로 36도 회전시켜 붙여 만든 아르키메데스의 다면체이다. 맞붙인 오각둥근지붕과의 차이점은, 십이이십면체는 두 오각둥근지붕 중 하나를 36도 회전시켜 오각형 면이 삼각형 면과 마주보게 붙이지만, 맞붙인 오각둥근지붕은 회전 없이 같은 종류의 면(오각형-오각형, 삼각형-삼각형)끼리 마주보게 붙인다는 점이다.

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십이이십면체의 분해
십이이십면체의 분해

(해체)
십이이십면체
십이이십면체

십이이십면체
(비틀어 붙인 오각둥근지붕)
맞붙인 오각둥근지붕
맞붙인 오각둥근지붕

맞붙인 오각둥근지붕
오각둥근지붕
오각둥근지붕

오각둥근지붕


맞붙인 오각둥근지붕은 모든 면이 정다각형으로 이루어진 볼록 다면체이므로 존슨의 다면체에 속하며, 34번째 존슨 다면체로 J34로 표기한다.

3. 성질

맞붙인 오각둥근지붕은 모든 면이 정다각형인 볼록 다면체 중 하나인 존슨의 다면체이며, 34번째 존슨의 다면체(J34)이다.

한 변의 길이를 a라고 할 때, 맞붙인 오각둥근지붕의 주요 성질은 아래 표와 같다.

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맞붙인 오각둥근지붕의 성질
성질값
겉넓이 (A)\left(5\sqrt{3}+3\sqrt{25+10\sqrt{5}}\right) a^2 \approx 29.306a^2
부피 (V)\frac{45+17\sqrt{5}}{6}a^3 \approx 13.836a^3
외접구 반지름\sqrt5+1 (한 변의 길이가 2일 때)

4. 관련 다면체

맞붙인 오각둥근지붕(정오각쌍둥근지붕)은 오각둥근지붕 두 개를 밑면끼리 붙여서 만든 존슨의 다면체 (J34)이다. 이 다면체는 32개의 면, 30개의 꼭짓점, 60개의 모서리를 가진다.

맞붙인 오각둥근지붕은 오각둥근지붕 두 개를 붙여 만들지만, 한쪽 둥근지붕을 36도 회전시켜 붙인 십이이십면체와 밀접한 관련이 있다. 십이이십면체는 아르키메데스의 다면체이며 '비틀어 붙인 오각둥근지붕'이라고도 불린다. 즉, 맞붙인 오각둥근지붕과 십이이십면체는 동일한 오각둥근지붕 두 개로 구성되지만, 결합 시 회전 여부에서 차이가 있다.

4.1. 관련 다면체의 예시

* 오각둥근지붕: 맞붙인 오각둥근지붕은 이 오각둥근지붕 두 개를 밑면끼리 붙여서 만든 구조이다. 즉, 맞붙인 오각둥근지붕을 반으로 자르면 오각둥근지붕이 된다.
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* 십이이십면체: 오각둥근지붕 두 개를 붙여 만들지만, 한쪽을 36도 회전시켜 붙인 점이 맞붙인 오각둥근지붕과 다르다. 이 때문에 비틀어 붙인 오각둥근지붕이라고도 불리며, 아르키메데스의 다면체 중 하나이다.

십이이십면체
십이이십면체

십이이십면체 분해 (오각둥근지붕 두 개로 구성)
십이이십면체 분해 (오각둥근지붕 두 개로 구성)


* 늘린 맞붙인 오각둥근지붕: 맞붙인 오각둥근지붕의 두 오각둥근지붕 사이에 정십각기둥을 끼워넣어 늘린 형태이다.
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* 비틀어 늘린 맞붙인 오각둥근지붕: 맞붙인 오각둥근지붕의 두 오각둥근지붕 사이에 엇정십각기둥을 끼워넣어 늘린 형태이다. 늘린 맞붙인 오각둥근지붕과 달리 중간의 기둥 부분이 36도 비틀려 있다.
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* 붙인 오각지붕둥근지붕: 맞붙인 오각둥근지붕을 이루는 두 개의 오각둥근지붕 중 하나를 오각지붕으로 바꾼 형태이다.
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