맞붙인 오각둥근지붕

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1. 개요
2. 구성
3. 성질
4. 관련 다면체
- 4.1. 관련 다면체의 예시
참조

1. 개요

맞붙인 오각둥근지붕은 두 개의 오각둥근지붕을 십각형 면이 서로 겹치도록 연결하여 구성된 다면체이다. 32개의 면, 30개의 꼭짓점, 60개의 모서리를 가지며, 존슨의 다면체 중 34번째에 해당한다. 이십이십면체와 유사하며, 오각둥근지붕을 36° 회전시켜 붙인 십이이십면체와 관련이 있다.

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맞붙인 오각둥근지붕
다면체 정보
오각 엇붙임 쌍둥근지붕
종류	쌍둥근지붕, 존슨 J – J – J
면	삼각형 2x10개, 오각형 2+10개
모서리	60
꼭짓점	30
대칭군	D
꼭짓점 배열	10(3.5), 2.10(3.5.3.5)
성질	볼록
오각 엇붙임 쌍둥근지붕의 전개도
기타 정보
쌍대다면체	Trapezo-rhombic triacontahedron

2. 구성

맞붙인 오각둥근지붕은 두 개의 오각둥근지붕을 십각형 밑면끼리 서로 붙여서 만든다. 이 다면체는 32개의 면, 30개의 꼭짓점, 60개의 모서리를 갖는다.

맞붙인 오각둥근지붕은 십이이십면체와 관련이 있다. 십이이십면체는 '비틀어 붙인 오각둥근지붕'이라고도 불리며, 오각둥근지붕 두 개를 서로 36도 회전시켜 붙여 만든 아르키메데스의 다면체이다. 맞붙인 오각둥근지붕과의 차이점은, 십이이십면체는 두 오각둥근지붕 중 하나를 36도 회전시켜 오각형 면이 삼각형 면과 마주보게 붙이지만, 맞붙인 오각둥근지붕은 회전 없이 같은 종류의 면(오각형-오각형, 삼각형-삼각형)끼리 마주보게 붙인다는 점이다.

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(해체)

|

십이이십면체
(비틀어 붙인 오각둥근지붕)

맞붙인 오각둥근지붕

오각둥근지붕

|}

맞붙인 오각둥근지붕은 모든 면이 정다각형으로 이루어진 볼록 다면체이므로 존슨의 다면체에 속하며, 34번째 존슨 다면체로 J₃₄로 표기한다.

3. 성질

맞붙인 오각둥근지붕은 모든 면이 정다각형인 볼록 다면체 중 하나인 존슨의 다면체이며, 34번째 존슨의 다면체(J₃₄)이다.

한 변의 길이를 $a$ 라고 할 때, 맞붙인 오각둥근지붕의 주요 성질은 아래 표와 같다.

맞붙인 오각둥근지붕의 성질
성질	값
겉넓이 ( $A$ )	$\left(5\sqrt{3}+3\sqrt{25+10\sqrt{5}}\right) a^2 \approx 29.306a^2$
부피 ( $V$ )	$\frac{45+17\sqrt{5}}{6}a^3 \approx 13.836a^3$
외접구 반지름	$\sqrt5+1$ (한 변의 길이가 2일 때)

4. 관련 다면체

맞붙인 오각둥근지붕(정오각쌍둥근지붕)은 오각둥근지붕 두 개를 밑면끼리 붙여서 만든 존슨의 다면체 (J₃₄)이다. 이 다면체는 32개의 면, 30개의 꼭짓점, 60개의 모서리를 가진다.

맞붙인 오각둥근지붕은 오각둥근지붕 두 개를 붙여 만들지만, 한쪽 둥근지붕을 36도 회전시켜 붙인 십이이십면체와 밀접한 관련이 있다. 십이이십면체는 아르키메데스의 다면체이며 '비틀어 붙인 오각둥근지붕'이라고도 불린다. 즉, 맞붙인 오각둥근지붕과 십이이십면체는 동일한 오각둥근지붕 두 개로 구성되지만, 결합 시 회전 여부에서 차이가 있다.

4. 1. 관련 다면체의 예시

오각둥근지붕: 맞붙인 오각둥근지붕은 이 오각둥근지붕 두 개를 밑면끼리 붙여서 만든 구조이다. 즉, 맞붙인 오각둥근지붕을 반으로 자르면 오각둥근지붕이 된다.

십이이십면체: 오각둥근지붕 두 개를 붙여 만들지만, 한쪽을 36도 회전시켜 붙인 점이 맞붙인 오각둥근지붕과 다르다. 이 때문에 비틀어 붙인 오각둥근지붕이라고도 불리며, 아르키메데스의 다면체 중 하나이다.

늘린 맞붙인 오각둥근지붕: 맞붙인 오각둥근지붕의 두 오각둥근지붕 사이에 정십각기둥을 끼워넣어 늘린 형태이다.

비틀어 늘린 맞붙인 오각둥근지붕: 맞붙인 오각둥근지붕의 두 오각둥근지붕 사이에 엇정십각기둥을 끼워넣어 늘린 형태이다. 늘린 맞붙인 오각둥근지붕과 달리 중간의 기둥 부분이 36도 비틀려 있다.

붙인 오각지붕둥근지붕: 맞붙인 오각둥근지붕을 이루는 두 개의 오각둥근지붕 중 하나를 오각지붕으로 바꾼 형태이다.

참조

_[1] 논문 Regular-faced convex polyhedra
_[2] 논문 Johnson solids & their acronyms https://go.gale.com/[...]
_[3] 서적 Integrability, Quantization, and Geometry: II. Quantum Theories and Algebraic Geometry https://books.google[...] American Mathematical Society
_[4] 간행물 Convex polyhedra with regular faces

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